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专题02 正比例函数与一次函数
考点类型
知识一遍过
（一）正比例函数定义
一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。
（二）一次函数定义
如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。
注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。
（三）求函数解析式
待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法叫做待定系数法。
待定系数法求函数解析式的一般步骤：
①设函数解析式②将已知条件带入到解析式中
③解方程 ④将求出的数值代入到解析式中
考点一遍过
考点1：正比例函数的定义
典例1：（2023下·全国·八年级专题练习）下列各关系中，符合正比例关系的是（　　）
A．正方形的周长C和它的一边长a
B．距离s一定时，速度v和时间t
C．长40米的绳子减去x米，还剩y米，x和y
D．正方体的体积V和棱长m
【答案】A
【分析】根据正比例函数定义即可得答案．
【详解】A．根据正方形的周长公式可得，这是一个正比例函数；
B．根据速度路程时间可得，这是一个反比例函数；
C．根据剩下的长度总长减去的长度可得，这是一个一次函数；
D．根据正方体的体积公式，可得，是一个三次函数，不是正比例函数．
故选：A．
【点睛】本题考查正比例函数定义和表达式，掌握其概念是解题关键．
【变式1】（2022下·山东德州·八年级校考阶段练习）下列问题中，两个变量成正比例的是（　　）
A．圆的面积S与它的半径r
B．正方形的周长C与它的边长a
C．三角形面积一定时，它的底边a和底边上的高h
D．路程不变时，匀速通过全程所需要的时间t与运动的速度v
【答案】B
【分析】利用正比例函数的定义计算．
【详解】解∶ A、圆的面积S=，不是正比例函数，故本选项错误；
B、正方形的周长C=4a，是正比例函数，故本选项正确；
C、三角形面积S一定时，它的底边a和底边上的高h的关系，不是正比例函数，故本选项错误；
D、设路程为s，则依题意得s=vt，即，则v与t不是正比例关系,故本选项错误．
故选∶B．
【点睛】本题考查正比例函数的定义，一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx ( k为常数，且k≠0)的函数，我们称y就叫做x的正比例函数，熟记圆的面积公式、正方形的周长公式、三角形的面积公式以及路程、时间及速度间的关系是解题的关键．
【变式2】（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）若函数是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则m的值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】根据题意，，m+1＜0，验证判断即可．
【详解】∵函数是正比例函数，且图象经过第二、四象限，
∴，m+1＜0，
∴m=2或m=-2，且m＜-1，
∴m=2不符合题意，舍去，
∴m=-2，
故选A．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的图像分布，熟记定义，掌握图像分布与比例系数ｋ的关系是解题的关键．
【变式3】（2023·全国·八年级假期作业）若函数y＝（k﹣3）x+k2﹣9是正比例函数，则（　　）
A．k≠3 B．k＝±3 C．k＝3 D．k＝﹣3
【答案】D
【分析】形如的函数是正比例函数，根据定义解答.
【详解】解：∵y＝（k﹣3）x+k2﹣9是正比例函数，
∴k2﹣9＝0，且k﹣3≠0，
解得：k＝﹣3，
故选：D.
【点睛】此题考查正比例函数的定义：形如的函数是正比例函数，熟记定义是解题的关键.
考点2：识别一次函数
典例2：（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义：形如是常数的函数，叫做一次函数，解答即可．
【详解】①，当时，不是一次函数，故此选项不符合题意；
②，④，是一次函数，故此选项符合题意；
③，⑤，不是一次函数，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解决本题的关键．
【变式1】（2023下·山西吕梁·八年级统考期末）下列函数中，是的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义：，进行判断即可．
【详解】解：A．不是一次函数，不符合题意；
B．不是一次函数，不符合题意；
C．是一次函数，符合题意；
D．不是一次函数，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
【变式2】（2022下·山东德州·八年级校考阶段练习）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义对各小题进行逐一分析即可．
【详解】解：（1）是正比例函数也是一次函数；
（2）是一次函数；
（3）不是一次函数；
（4）是一次函数；
（5）不是一次函数；
∴是一次函数的有：（1）（2）（4）．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一次函数的定义，解决本题的关键是明确一次函数的定义，一般地，形如是常数的函数，叫做一次函数．
【变式3】（2023下·河北秦皇岛·八年级校考期中）下列函数：①；②；③，④其中一次函数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】①y=x是一次函数，故①符合题意；
②是一次函数，故②符合题意；
③自变量次数不为1，故不是一次函数，故③不符合题意；
④y=2x+1是一次函数，故④符合题意．
综上所述，是一次函数的个数有3个，
故选：C．
【点睛】此题考查了一次函数的定义，解题关键在于掌握一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为
考点3：根据一次函数定义求值
典例3：（2023上·安徽安庆·八年级统考期中）已知一次函数，若当x增加3时，y增加6，则k的值是（　　）
A．-2 B．-3 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练运用一次函数的性质是解题的关键．根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：当x增加3时，y增加6，
，
即，
，
，
故选：C．
【变式1】（2023·安徽合肥·校考三模）已知点在一次函数上，且，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将点代入一次函数，根据可求出的取值范围，再根据不等式的性质即可求解.
【详解】解：将点代入一次函数，
，
，
，
，
.
，
.
不等式两边同时除以得.
故选：A.
【点睛】本题考查了一次函数与不等式性质的综合，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质.
【变式2】（2022上·湖北宜昌·八年级统考期中）如果是一次函数，那么m的值是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为1次；③整式方程，并且注意，一次项系数不能为，列式求解即可得到答案．
【详解】解：∵是一次函数，
∴，且，解得，
故选：B．
【点睛】本题考查根据一次函数定义求参数，掌握一次函数定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为1次；③整式方程，并且注意，一次项系数不能为，准确列式是解决问题的关键．
【变式3】（2023下·山东济宁·八年级统考期末）若是一次函数，则m的值为（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．
【答案】A
【分析】形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义得到关于m的不等式组，进而求得m的值．
【详解】解：依题意得：5-m2=1且m+2≠0，
解得m=
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，解题时注意一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
考点4：求一次函数自变量或函数值
典例4：（2023上·安徽亳州·八年级统考阶段练习）一次函数中，当时，则函数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握由的符号判断一次函数的增减性是解答的关键．
【详解】解：对于一次函数，
∵，
∴随的增大而减小，
∵当时，，当时，，
∴当时，，
故选：B．
【变式1】（2023上·山西太原·八年级校考期末）已知正比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．-
【答案】C
【分析】把点的坐标代入函数解析式，转化为关于的一元一次方程求解即可．
【详解】解：把点代入正比例函数，
得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数与点的关系，掌握点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．
【变式2】（2022上·山东青岛·八年级统考期中）下列各点在一次函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别将各个选项的横坐标代入求解．
【详解】把代入得，不在图像上，A选项错误；
把代入得，不在图像上，B选项错误；
把代入得，不在图像上，C选项错误；
把代入得，在图像上，D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数与方程的关系．
【变式3】（2022下·福建三明·七年级校考期中）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在下表所示的关系：
销售价/元 90 100 110 120 130 140
销售量/件 90 80 70 60 50 40
设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计当时，y的值约为（ ）
A．56 B．43 C．54 D．46
【答案】D
【分析】该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，所以可以分析出销售量y与销售价x符合一次函数关系，再设出函数解析式，代入表格中的数据求出解析式，再把代入求y的值即可．
【详解】解：由图表可以看出y与x符合一次函数关系，设（k≠0），
把，和，代入，
可得，解得，
则，
当时，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的表示方法以及待定系数法求函数解析式，解题关键是根据题目中的条件分析函数关系，并且要熟练掌握待定系数法求解析式．
考点5：列一次函数解析式
典例5：（2023上·福建三明·八年级统考阶段练习）已知汽车油箱内有油，每行驶耗油，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是 ；
【答案】Q=50-0.10s．
【分析】根据题意，每千米需耗油=0.10升，根据题意可得，汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q （L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是Q=50-0.10s即可．
【详解】解：∵每行驶耗油，
∴每千米需耗油=0.10升，
∴s（km）耗油=0.10s升，
∴油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是Q=50-0.10s．
故答案为：Q=50-0.10s．
【点睛】本题考查一次函数在生活中应用，掌握列一次函数的方法是解题关键．
【变式1】（2023下·八年级课时练习）一根长为24cm的蜡烛被点燃后，每分钟缩短1.2cm，则其剩余长度y(cm)与燃烧时间x(min)的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ．
【答案】 y=24-1.2x 0≤x≤20
【分析】根据题意，剩下的蜡烛长度=总长度-已经燃烧的长度，已经燃烧的长度=每分钟缩短长度×燃烧时间，即可写出解析式；
列出关系式，根据蜡烛最长的燃烧时间可得自变量的取值范围；
【详解】解：由题意可得：
函数关系式为：y=24-1.2x，
∵x，y
∴24-1.2x
∴x．
∴自变量x的取值范围是0≤x≤
故答案为：y=24-1.2x，0≤x≤
【点睛】本题目考查一次函数的实际应用，正确理解题意，找到实际问题中的等量关系是解题的关键．
【变式2】（2019上·江苏盐城·八年级校考阶段练习）学校里现有粉笔15000盒，如果每个星期领出60盒子，则仓库内余下的粉笔的盒数Q与星期数t之间的函数关系式 .
【答案】Q=15000-60t
【分析】根据题意表示出t星期领出的粉笔数量，进而求出函数关系式．
【详解】解：由题意可得：Q=15000-60t．
故答案为Q=15000-60t．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，得出正确的等量关系是解题关键．
【变式3】（2023·山西·统考模拟预测）“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下：
送单数量 补贴（元/单）
每月超过300单且不超过500单的部分 5
每月超过500单的部分 7
设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】该员工的工资包括底薪1700元，每月超过300单且不超过500单的部分200×5=1000元，超过500单的7（x-500）元，然后求和即可．
【详解】解：y=1700+200×5+7（x-500）=7x-8
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列函数解析式，正确理解题意成为解答本题的关键．
考点6：待定系数法——一次函数解析式
典例6：（2023上·山东东营·七年级统考期末）已知正比例函数与一次函数的图像交于点，则一次函数函数的表达式是 ．
【答案】
【分析】把交点代入正比例函数求出点，再把点代入一次函数解析式即可得到答案．本题考查两直线相交或平行问题，解题关键是将含参数点代入已知函数，再反代入未知函数．
【详解】解：由题意可得，把点代入正比例函数得，，
把点代入，得，
解得，
函数解析式为，
故答案为：．
【变式1】（2023上·安徽滁州·八年级校考阶段练习）已知与成正比例，且当时，则当时， ．
【答案】
【分析】本题考查考查了待定系数法求一次函数解析式，利用正比例函数的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系式；利用关系式求出自变量为时对应的函数值即可．
【详解】解：设，
把代入得，解得，
所以，
即；
当时，．
故答案为：．
【变式2】（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知一次函数中自变量x的取值范围是，函数值的取值范围是，则这个一次函数解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式．由可知，随的增大而增大，进而得到时，，时，，代入一次函数解析式，求出、的值，即可得到一次函数解析式．
【详解】解：一次函数，
随的增大而增大，
自变量x的取值范围是，函数值的取值范围是，
当时，，当时，，
，解得：，
这个一次函数解析式为，
故答案为：
【变式3】（2023上·江苏盐城·八年级校考期中）已知与x成正比例，当时，．则y与x的函数关系式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，正比例的定义，由与x成正比例可设，当时，代入即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】∵与x成正比例，
设，
∵当时，
∴，
解得
∴，整理得，
故答案为：．
考点7：待定系数法——正比例函数解析式
典例7：（2023·陕西西安·模拟预测）若一个正比例函数的图象经过A(2，﹣4)，B(m，﹣6)两点，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
【答案】C
【分析】运用待定系数法求得正比例函数解析式，把点B的坐标代入所得的函数解析式，即可求出m的值．
【详解】解：设正比例函数解析式为：y＝kx，
将点A（2，﹣4）代入可得：2k＝﹣4，
解得：k＝﹣2，
∴正比例函数解析式为：y＝﹣2x，
将B（m，﹣6）代入y＝﹣2x，可得：﹣2m＝﹣6，
解得m＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．解题时需灵活运用待定系数法求出函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程思想解决问题是解本题的关键．
【变式1】（2023上·江苏徐州·八年级校考阶段练习）若正比例函数的图象经过点，则这个图像必经过点（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，直线经过点，点的坐标一定满足直线的解析式．解题的关键是正确求出正比例函数的解析式．先利用待定系数法求出正比例函数的解析式，然后代入检验即可．
【详解】解：设正比例函数的解析式为，
的图象经过点，
，
，
，
这个图象必经过点．
故选：B．
【变式2】（2022上·山东青岛·八年级统考期中）正比例函数，当时，，则此正比例函数的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意将时，，代入求解即可．
【详解】解：∵当时，，
∴，
解得，
∴正比例函数的关系式为，
故选C．
【点睛】本题考查了求解正比例函数解析式，将已知代入解析式中求解是解决本题的关键．
【变式3】（2023下·河南许昌·八年级统考期末）点是点A(6，2)关于y轴的对称点，若一个正比例函数的图象经过点，则该函数的解析式为（ ）
A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝x D．y＝x
【答案】D
【分析】先求得A′的坐标，然后设该正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），再把点A′的坐标代入求出k的值即可．
【详解】解：∵A′是点A（6，2）关于y轴的对称点．
∴A′（﹣6，2），
设该正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
∵正比例函数的图象经过点A′（﹣6，2），
∴，
解得，
∴这个正比例函数的表达式是．
故选：D．
【点睛】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023·广东湛江·校考一模）正比例函数 的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】因为正比例函数的函数值随的增大而减小，可以判断；再根据判断出的图象的大致位置．
【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而减小，
，
一次函数的图象经过二、三、四象限．
故选：．
【点睛】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：
①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；
②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；
③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象所经过的象限是（ ）
A．一、二、四 B．一、二、三 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】C
【分析】根据正比例函数的增减性得到，得到，再根据一次函数的性质解答．
【详解】解：∵正比例函数的函数值随的增大而减小，
∴，
∴，
∴一次函数的图象所经过第一，三，四象限，
故选：C．
【点睛】此题考查了正比例函数的图象及性质与一次函数的图象及性质，正确掌握各函数的图象与性质是解题的关键．
3．（2023下·福建福州·八年级统考期末）函数的图象经过点，的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接把点（1，m）代入正比例函数y=2x，求出m的值即可．
【详解】解：∵正比例函数y=2x的图象经过点（1，m），
∴m=2．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
4．（2023下·广东佛山·七年级佛山市华英学校校考期中）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如表关系：
销售价/元 90 100 110 120 130 140
销售量/件 90 80 70 60 50 40
设该商品的销售价为元，销售量为件，估计：当时，的值为（ ）
A．85 B．75 C．65 D．55
【答案】C
【分析】该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，所以可以分析出销售量y与销售价x符合一次函数关系，再设出函数解析式，代入表格中的数据求出解析式，再把x＝115代入求y的值即可．
【详解】解：由图表可以看出y与x符合一次函数关系，设y＝kx＋b（k≠0），
把x＝90，y＝90和x＝100，y＝80代入得，
，解得：，
则y＝ x＋180，
当x＝115时，y＝ 115＋180＝65．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，根据题目中的条件分析函数关系是关键的一步，并且要熟练掌握待定系数法求解析式．
5．（2023上·陕西西安·八年级统考期中）在同一平面直角坐标系内，正比例函数与一次函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，理解并掌握一次函数图象与比例系数，常数项的关系是解题的关键．
一次函数中，，图象经过第一、二、三象限；，图象经过第一、三、四象限；，图象经过第一、二、四象限；，图象经过第二、三、四象限；由此即可求解．
【详解】解：、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、二、四象限，故此选项不符合题意；
、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、二、四象限，故此选项不符合题意；
、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、三、四象限，故此选项不符合题意；
、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、三、四象限，故此选项符合题意；
故选：．
6．（2023下·八年级课时练习）已知正比例函数，若y的值随x的增大而减小，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先根据正比例函数的性质确定，，从而得出，即可判断点所在的象限．
【详解】解：∵正比例函数，y随x的增大而减小，
∴，
∴，
∴点在第四象限，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，解题的关键是根据正比例函数的性质，确定．
7．（2022上·浙江丽水·八年级统考期末）已知正比例函数y=2x，下列各点在该函数图象上的是（ ）
A．(1，2) B．(2，1) C．(1，) D．(-，1)
【答案】A
【分析】分别求出当横坐标为1、2、的时候的函数值即可得到答案．
【详解】解：当x=1时，y=2，
当x=2时，y=4，
当时，y=-1，
∴点（1，2）在正比例函数y=2x上，点（2，1），点（1，），点（，1）不在正比例函数y=2x上，
故选A．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，熟知在函数图象上的点一定满足函数解析式是解题的关键．
8．（2023下·八年级统考课时练习）关于x的正比例函数，y=（m+1）若y随x的增大而减小，则m的值为 （ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．-
【答案】B
【分析】根据正比例函数定义可得m2-3=1，再根据正比例函数的性质可得m+1＜0，再解即可．
【详解】由题意得：m2-3=1，且m+1＜0，
解得：m=-2，
故选B．
【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质和定义，关键是掌握正比例函数y=kx（k≠0）的自变量指数为1，当k＜0时，y随x的增大而减小．
9．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了一次函数图象．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案．
【详解】解： A、由一次函数图象可知，，则；由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意；
B、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意；
C、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意；
D、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意；
故选：C．
10．（2023上·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期中）一次函数y=mx-n与y=mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用分类讨论的方法，可以判断各个选项中的图象是否正确，从而可以解答本题．
【详解】当m＞0，n＞0时，一次函数y=mx-n的图象经过第一、三、四象限，一次函数y=mnx的图象经过第一、三象限，故选项B正确，选项C错误；
当m＞0，n＜0时，一次函数y=mx-n的图象经过第一、二、三象限，一次函数y=mnx的图象经过第二、四象限，故选项A正确；
当m＜0，n＜0时，一次函数y=mx-n的图象经过第一、二、四象限，一次函数y=mnx的图象经过第一、三象限，故选项D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题
11．（2023上·陕西宝鸡·八年级统考期中）要使是关于x的一次函数，n，m应满足 ，
【答案】
【分析】此题主要考查了一次函数定义，解题的关键是理解一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为1；常数项可以为任意实数．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，．
故答案为：，．
12．（2023上·广东揭阳·八年级统考期末）正比例函数y=kx的图象经过点A（2，-3）和B（a，3），则a的值为
【答案】-2
【详解】∵正比例函数y=kx的图象经过点A（2，-3），
∴代入解得k=，
即y=x，
把B（a，3）代入y=x，
解得a=-2.
故答案为：-2.
13．（2023下·上海浦东新·八年级校联考期中）如图所示，长方形的顶点在轴上，在轴上，点坐标为，若直线恰好将长方形分成面积相等的两部分，则的值为 ．
【答案】1
【分析】经过长方形对角线交点的直线把长方形分成面积相等的两个部分．所以先求对角线交点坐标，然后求解．
【详解】解：∵直线y＝mx 1恰好将长方形分成面积相等的两部分，
∴直线y＝mx 1经过长方形的对角线交点（2，1）．
把点（2，1）代入y＝mx 1可得2m 1＝1，
解得m＝1．
故答案为1．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质和矩形的性质．解题关键是要熟知对角线的交点是矩形的中心，过中心的直线能把矩形分成面积相等的两个部分．
14．（2023上·九年级课时练习）若抛物线的顶点在直线上，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线求得顶点坐标为，再将代入求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点为
将点代入可得，
解得
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是求得抛物线的顶点坐标为．
15．（2023上·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期中）已知关于x的函数是一次函数， 则m= ．
【答案】
【分析】根据一次函数定义进行计算得出答案．
【详解】根据一次函数定义可得： ，
解得：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数定义，牢记“函数自变量系数不为零且次数为1”是解题关键．
16．（2023·江苏苏州·八年级校联考期末）已知点P(a，b)在一次函数y＝2x+1的图象上，则2a﹣b＝ ．
【答案】-1
【分析】把P点的坐标代入，再求出答案即可．
【详解】∵点P(a，b)在一次函数y＝2x+1的图象上，
∴代入得：b＝2a+1，
∴2a﹣b＝﹣1，
故答案为﹣1．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，能得出b=2a+1是解此题的关键．
三、解答题
17．（2023下·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知与成正比例，且当时，．
(1)写出与之间的函数关系式；
(2)当时，求的值；
(3)当时，求的值．
【答案】(1)y=2x+3
(2)11
(3)2
【分析】(1)根据与成正比例，可设()，再把时，代入，即可求得k的值，据此即可求得；
(2)把代入函数关系式，即可求得；
(3)把代入函数关系式，即可求得．
【详解】（1）解：与成正比例，
设()，
把时，代入，得，
解得k=2，
，y=2x+3，
故与之间的函数关系式为y=2x+3；
（2）解：把代入函数关系式，
得，
故当时，的值为11；
（3）解：把代入函数关系式，
得7=2x+3，
解得x=2，
故当时，的值为2．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式及求函数值与自变量的值，准确求得函数关系式是解决本题的关键．
18．（2023下·广东韶关·七年级统考期末）在等式中，当时，，当时，．
(1)求k，b的值；
(2)求当时，y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求得到y与x的关系式，然后把代入求出y的值即可
【详解】（1）解：∵在等式中，当时，，当时，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴当时，．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数值，正确利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
19．（2023上·广西百色·八年级统考期中）若等腰三角形的周长是80cm
（1）写出腰长与底边长的函数关系式；
（2）写出自变量取值范围；
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据等腰三角形的周长=腰长×2+底长．据此可得出函数关系式；
（2）根据三角形的三边关系来自变量取值范围（三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边）．
【详解】解：（1）∵
∴
（2）∵，
∴，，．
解得．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握求自变量的取值范围时要注意三角形三边关系是解题的关键．
20．（2023上·江苏盐城·八年级校考阶段练习）已知y－1与x成正比例，当x＝1时，y＝3，
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当x＝－5时，y的值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）题干要求y与x之间的函数表达式，y－1与x成正比例，有y-1=kx，代入x，y值求出k值即可.
（2）根据（1）的y与x之间的函数表达式，将x＝－5代入即可求出y值.
【详解】解：（1）由y－1与x成正比例，得到y-1=kx，有当x＝1时，y＝3，代入y-1=kx求得k=2，则y与x之间的函数表达式为y=2x+1.
（2）将x＝－5代入y=2x+1，得到y=-10+1=-9.
【点睛】本题考查求函数表达式，清楚理解成正比例，列出其所表示的函数表达式，代入求值即可.
21．（2023上·陕西咸阳·八年级统考期中）已知是一次函数，且y随x的增大而增大，若点在这个一次函数的图象上，求k和a的值．
【答案】，
【分析】根据一次函数的定义以及一次函数增加性得出的值，将点代入函数解析式可得的值．
【详解】解：∵是一次函数，
∴，
即，
∵y随x的增大而增大，
∴，
则一次函数解析式为：，
∵点在这个一次函数的图象上，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的定义、一次函数增减性以及一次函数点的特征，熟练掌握相关定义以及性质是解本题的关键．
22．（2023下·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期中）已知（x1，y1）和（x2，y2）是函数y＝kx图象上的两点，且满足y2﹣y1＝﹣4，x2﹣x1＝2，当3≤x≤5时，求y的取值范围．
【答案】﹣10≤y≤﹣6
【分析】由正比例函数图象上点的坐标可求出k=-2，则正比例函数的解析式为y＝﹣2x，再分别求出当x＝3和x＝5时y的值，即可得到y的取值范围．
【详解】解：∵（x1，y1）和（x2，y2）是函数y＝kx图象上的两点，
∴y1＝kx1，y2＝kx2，
又∵y2﹣y1＝﹣4，x2﹣x1＝2，
∴﹣4＝2k，
∴k＝﹣2，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣2x．
∵当x＝3时，y＝﹣2×3＝﹣6；当x＝5时，y＝﹣2×5＝﹣10，
∴当3≤x≤5时，y的取值范围为﹣10≤y≤﹣6．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求正比例函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出正比例函数解析式是解题的关键．
23．（2022下·湖北十堰·八年级统考期末）某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 0 a -2 -3 -2 -1 0 b 2 …
(1)①表中a的值为 ，b的值为 ；
②以每组对应值作为一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出表中的所有点，并按照自变量从小到大的顺序连线，画出该函数的图象，并观察图象，发现函数的最小值为 ；
(2)在函数的图象所在坐标系中，作的图象，交的图象于点A，B（A在B的左侧），并观察图象，直接写出下列结果：
①方程组的解为 ；
②不等式的解集为 ．
【答案】(1)①-1，1；②详见解析，-3
(2)①，；②-3＜x＜3
【分析】（1）①根据表格的数值变化解答即可；
②利用描点法画函数图象，根据函数图象得到最值；
（2）①画出图象，方程组的解即为函数图象的交点，根据图象解答即可；
②不等式的解集即为函数的图象在的图象的下方，根据图象直接确定解集．
【详解】（1）①由表格知，当x=-2时与x=0时的函数值都为-2；x=-4与x=2时的函数值都为0，
故x=-3时与x=1时的函数值应相等都为-1，即a=-1，
当x>-1时，当自变量每扩大1时，函数值对应增加1，故b=1，
故答案为：-1，1；
②如图所示，函数的最小值为-3；
故答案为-3；
（2）①由图象知，A（-3，-1），B（3，1），
∴方程组的解为，；
故答案为：，；
②由图象知，不等式的解集为-3＜x＜3．
故答案为：-3＜x＜3．
【点睛】此题考查了画函数图象，列表法表示函数关系，二元一次方程组与一次函数图象交点问题，一元一次不等式与函数图象的关系，正确理解表格得到函数图象是解题的关键．
24．（2023·河北承德·统考一模）如图所示，已知直线与直线交于点，点到轴的距离为2，且在第一象限．直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)过轴上点作平行于轴的直线，分别与直线、交于点、点．
①求线段的长度；
②将沿着直线折叠，当点落在直线上时，直接写出的值．
【答案】(1)直线的解析式为．
(2)①6；②1或．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，由点A的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M，N的坐标，再求出的长即可；②设翻折后点A落在点F处，连接交折痕所在的直线于点P，连接，由折叠的性质可知：，点P为的中点，设点F的坐标为，由可求出t的值，进而可得出点F，P的坐标，再利用待定系数法即可求出k值．
【详解】（1）解：∵点，点到轴的距离为2，且点A在第一象限，
∴，
将代入得：，
∴点A的坐标为．，
将代入得：，
∴，
∴直线的解析式为．
（2）解：①在中，当时，，则；
在中，当时，，则，
∴；
②设翻折后点A落在点F处，连接交折痕所在的直线于点P，连接，如图2所示．
由折叠的性质，可知：，点P为的中点．
设点F的坐标为，
∵，，
∴，
解得：．
当时，点F的坐标为，
∴点P的坐标为，
∵点P在直线上，
∴，解得：；
当时，点F的坐标为，
∴点P的坐标为，
∵点P在直线上，
∴，解得：．
综上可知：k的值为1或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、折叠的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点A的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点B，M，N的坐标；（3）利用折叠的性质结合勾股定理求出点F的坐标．
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专题02 正比例函数与一次函数
考点类型
知识一遍过
（一）正比例函数定义
一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。
（二）一次函数定义
如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。
注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。
（三）求函数解析式
待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法叫做待定系数法。
待定系数法求函数解析式的一般步骤：
①设函数解析式②将已知条件带入到解析式中
③解方程 ④将求出的数值代入到解析式中
考点一遍过
考点1：正比例函数的定义
典例1：（2023下·全国·八年级专题练习）下列各关系中，符合正比例关系的是（　　）
A．正方形的周长C和它的一边长a
B．距离s一定时，速度v和时间t
C．长40米的绳子减去x米，还剩y米，x和y
D．正方体的体积V和棱长m
【变式1】（2022下·山东德州·八年级校考阶段练习）下列问题中，两个变量成正比例的是（　　）
A．圆的面积S与它的半径r
B．正方形的周长C与它的边长a
C．三角形面积一定时，它的底边a和底边上的高h
D．路程不变时，匀速通过全程所需要的时间t与运动的速度v
【变式2】（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）若函数是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则m的值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【变式3】（2023·全国·八年级假期作业）若函数y＝（k﹣3）x+k2﹣9是正比例函数，则（　　）
A．k≠3 B．k＝±3 C．k＝3 D．k＝﹣3
考点2：识别一次函数
典例2：（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（2023下·山西吕梁·八年级统考期末）下列函数中，是的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022下·山东德州·八年级校考阶段练习）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式3】（2023下·河北秦皇岛·八年级校考期中）下列函数：①；②；③，④其中一次函数的个数是（ ）
A． B． C． D．
考点3：根据一次函数定义求值
典例3：（2023上·安徽安庆·八年级统考期中）已知一次函数，若当x增加3时，y增加6，则k的值是（　　）
A．-2 B．-3 C．2 D．3
【变式1】（2023·安徽合肥·校考三模）已知点在一次函数上，且，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022上·湖北宜昌·八年级统考期中）如果是一次函数，那么m的值是（　　）
A．2 B． C． D．
【变式3】（2023下·山东济宁·八年级统考期末）若是一次函数，则m的值为（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．
考点4：求一次函数自变量或函数值
典例4：（2023上·安徽亳州·八年级统考阶段练习）一次函数中，当时，则函数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·山西太原·八年级校考期末）已知正比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．-
【变式2】（2022上·山东青岛·八年级统考期中）下列各点在一次函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022下·福建三明·七年级校考期中）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在下表所示的关系：
销售价/元 90 100 110 120 130 140
销售量/件 90 80 70 60 50 40
设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计当时，y的值约为（ ）
A．56 B．43 C．54 D．46
考点5：列一次函数解析式
典例5：（2023上·福建三明·八年级统考阶段练习）已知汽车油箱内有油，每行驶耗油，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是 ；
【变式1】（2023下·八年级课时练习）一根长为24cm的蜡烛被点燃后，每分钟缩短1.2cm，则其剩余长度y(cm)与燃烧时间x(min)的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ．
【变式2】（2019上·江苏盐城·八年级校考阶段练习）学校里现有粉笔15000盒，如果每个星期领出60盒子，则仓库内余下的粉笔的盒数Q与星期数t之间的函数关系式 .
【变式3】（2023·山西·统考模拟预测）“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下：
送单数量 补贴（元/单）
每月超过300单且不超过500单的部分 5
每月超过500单的部分 7
设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为 ．
考点6：待定系数法——一次函数解析式
典例6：（2023上·山东东营·七年级统考期末）已知正比例函数与一次函数的图像交于点，则一次函数函数的表达式是 ．
【变式1】（2023上·安徽滁州·八年级校考阶段练习）已知与成正比例，且当时，则当时， ．
【变式2】（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知一次函数中自变量x的取值范围是，函数值的取值范围是，则这个一次函数解析式为 ．
【变式3】（2023上·江苏盐城·八年级校考期中）已知与x成正比例，当时，．则y与x的函数关系式是 ．
考点7：待定系数法——正比例函数解析式
典例7：（2023·陕西西安·模拟预测）若一个正比例函数的图象经过A(2，﹣4)，B(m，﹣6)两点，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
【变式1】（2023上·江苏徐州·八年级校考阶段练习）若正比例函数的图象经过点，则这个图像必经过点（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（2022上·山东青岛·八年级统考期中）正比例函数，当时，，则此正比例函数的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023下·河南许昌·八年级统考期末）点是点A(6，2)关于y轴的对称点，若一个正比例函数的图象经过点，则该函数的解析式为（ ）
A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝x D．y＝x
同步一遍过
一、单选题
1．（2023·广东湛江·校考一模）正比例函数 的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象所经过的象限是（ ）
A．一、二、四 B．一、二、三 C．一、三、四 D．二、三、四
3．（2023下·福建福州·八年级统考期末）函数的图象经过点，的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·广东佛山·七年级佛山市华英学校校考期中）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如表关系：
销售价/元 90 100 110 120 130 140
销售量/件 90 80 70 60 50 40
设该商品的销售价为元，销售量为件，估计：当时，的值为（ ）
A．85 B．75 C．65 D．55
5．（2023上·陕西西安·八年级统考期中）在同一平面直角坐标系内，正比例函数与一次函数的图象可能为（ ）
A．B． C． D．
6．（2023下·八年级课时练习）已知正比例函数，若y的值随x的增大而减小，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2022上·浙江丽水·八年级统考期末）已知正比例函数y=2x，下列各点在该函数图象上的是（ ）
A．(1，2) B．(2，1) C．(1，) D．(-，1)
8．（2023下·八年级统考课时练习）关于x的正比例函数，y=（m+1）若y随x的增大而减小，则m的值为 （ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．-
9．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期中）一次函数y=mx-n与y=mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象不可能是（ ）
A．B．C． D．
二、填空题
11．（2023上·陕西宝鸡·八年级统考期中）要使是关于x的一次函数，n，m应满足 ，
12．（2023上·广东揭阳·八年级统考期末）正比例函数y=kx的图象经过点A（2，-3）和B（a，3），则a的值为
13．（2023下·上海浦东新·八年级校联考期中）如图所示，长方形的顶点在轴上，在轴上，点坐标为，若直线恰好将长方形分成面积相等的两部分，则的值为 ．
14．（2023上·九年级课时练习）若抛物线的顶点在直线上，则的值为 ．
15．（2023上·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期中）已知关于x的函数是一次函数， 则m= ．
16．（2023·江苏苏州·八年级校联考期末）已知点P(a，b)在一次函数y＝2x+1的图象上，则2a﹣b＝ ．
三、解答题
17．（2023下·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知与成正比例，且当时，．
(1)写出与之间的函数关系式；
(2)当时，求的值；
(3)当时，求的值．
18．（2023下·广东韶关·七年级统考期末）在等式中，当时，，当时，．
(1)求k，b的值；
(2)求当时，y的值．
19．（2023上·广西百色·八年级统考期中）若等腰三角形的周长是80cm
（1）写出腰长与底边长的函数关系式；
（2）写出自变量取值范围；
20．（2023上·江苏盐城·八年级校考阶段练习）已知y－1与x成正比例，当x＝1时，y＝3，
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当x＝－5时，y的值.
21．（2023上·陕西咸阳·八年级统考期中）已知是一次函数，且y随x的增大而增大，若点在这个一次函数的图象上，求k和a的值．
22．（2023下·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期中）已知（x1，y1）和（x2，y2）是函数y＝kx图象上的两点，且满足y2﹣y1＝﹣4，x2﹣x1＝2，当3≤x≤5时，求y的取值范围．
23．（2022下·湖北十堰·八年级统考期末）某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 0 a -2 -3 -2 -1 0 b 2 …
(1)①表中a的值为 ，b的值为 ；
②以每组对应值作为一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出表中的所有点，并按照自变量从小到大的顺序连线，画出该函数的图象，并观察图象，发现函数的最小值为 ；
(2)在函数的图象所在坐标系中，作的图象，交的图象于点A，B（A在B的左侧），并观察图象，直接写出下列结果：
①方程组的解为 ；
②不等式的解集为 ．
24．（2023·河北承德·统考一模）如图所示，已知直线与直线交于点，点到轴的距离为2，且在第一象限．直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)过轴上点作平行于轴的直线，分别与直线、交于点、点．
①求线段的长度；
②将沿着直线折叠，当点落在直线上时，直接写出的值．
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