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专题04 二次根式单元过关（基础版）
考试范围：第16章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．（2022下·江苏·八年级专题练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用最简二次根式的条件进行选择即可．
【详解】解：A．被开方数是分数，故A不符合题意；
B．，故B不符合题意；
C．，故C不符合题意；
D．是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了对最简二次根式的定义的理解与运用，判断最简二次根式可以从以下三个方面入手：（1）根号内不含分母；（2）分母中不含有根号；（3）被开方数不含有开方开得尽的因数或因式．
2．（2022下·广东东莞·八年级东莞市广东科技学院附属第一实验学校校联考阶段练习）化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质，进行化简即可求解．
【详解】解：，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质化简二次根式是解题的关键．
3．（2022下·重庆潼南·八年级统考期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，x-3≥0，
解得x≥3．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
4．（2022下·八年级课时练习）下列说法正确的是( )
A．被开方数相同的二次根式可以合并 B．与可以合并
C．只有根指数为2的根式才能合并 D．与不能合并
【答案】A
【详解】解：A．被开方数相同的二次根式可以合并，故A正确；
B．，，不能合并，故B错误；
C．只有根指数为2的根式才能合并，错误；
D．与可以合并，故D错误．
故选A．
5．（2022下·河北保定·八年级校联考期末）下列运算错误的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的加减法、乘法、除法逐项进行计算即可得.
【详解】A. 与不是同类二次根式，不能合并，故错误，符合题意；
B. ，正确，不符合题意；
C. = ，正确，不符合题意；
D. ，正确，不符合题意.
故选A.
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘除法、加减法的运算法则是解题的关键.
6．（2022下·河南安阳·八年级统考期末）若使算式2〇的运算结果最小，则〇表示的运算符号是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【答案】B
【分析】分别把四个选项中的符号代入计算，再比较结果的大小即可．
【详解】解：∵
∴，，，
∵
∴填“－”的时候结果最小
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和二次根式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
7．（2022下·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）若，二次根式有意义，则x，y满足的条件是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件得出，结合题意即可得出结果．
【详解】解：根据题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】题目主要考查二次根式有意义的条件及不等式的性质，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
8．（2022下·河南濮阳·八年级统考期中）估计×+的运算结果是（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
【答案】B
【详解】解：原式=，
∵，
∴，
故选B．
9．（2022下·广西柳州·八年级统考期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】同类二次根式的定义：化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式．
【详解】解：A、=，不是同类二次根式，故错误；
B、=，不是根式，故错误；
C、=，不是同类二次根式，故错误；
D、=，符合同类二次根式的定义，本选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．
10．（2023下·新疆克拉玛依·七年级统考期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式，将各项计算后进行判断即可．
【详解】解：A.与不是同类二次根式，无法合并，故此项错误；
B.，故此项错误；
C.，故此项错误；
D.，故此项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的化简与运算，掌握化简方法及运算法则是解题的关键．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．（2023下·福建泉州·九年级校联考期中）计算： ．
【答案】1
【分析】根据二次根式的化简和零指数幂的知识进行计算即可．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查的二次根式化简和零指数幂的知识，解题关键是学会二次根式化简和零指数幂．
12．（2022上·四川资阳·九年级统考期末）当时，二次根式的值是 ．
【答案】4
【分析】把x=2代入二次根式计算可得答案．
【详解】解：∵x=2，
∴=
=4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了二次根式的计算求值，解题的关键是正确代入数值计算．
13．（2023下·山西朔州·八年级统考期末）已知长方形的面积为，相邻两边分别为，已知，则的长为 ．
【答案】
【分析】利用长方形的面积等于，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
即：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则，是解题的关键．
14．（2022下·青海西宁·八年级校考期中）化简：= ；= ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：，
故答案为：；
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简，能熟练运用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
15．（2022上·吉林长春·九年级统考期中）若，则的值是 ．
【答案】1
【分析】要使，只有当和时成立，即可求出、的值，再代入到求解即可．
【详解】解：，而，，
，，
解得，，
所以
故答案为：
【点睛】此题考查了非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
16．（2023下·湖北鄂州·七年级统考期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】由正方形的面积可求出大小两个正方形的边长，再由折叠的性质可得阴影图形的长和宽，从而可得出答案．
【详解】解：如图，
由题意可知，
∴
∴阴影部分的面积为
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，二次根式的运算，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
评卷人得分
三、解答题
17．（2023下·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)11
【分析】（1）先化简二次根式，然后计算加减法．
（2）先去括号，然后计算加减法．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算顺序是解此题的关键．
18．（2022下·山西·八年级统考阶段练习）交通警察通常根据后车轮刹车滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式为．其中（单位：）表示车速，（单位：）表示刹车后车轮滑过的距离，表示摩擦系数．在对某次高速公路上发生的一起交通事故的调查中，测得肇事汽车后轮刹车滑过的距离，，求肇事汽车的速度．（结果保留根号）
【答案】肇事汽车的速度是．
【分析】根据题意将数据直接代入公式计算化简即可得出答案．
【详解】解：根据题意，把，代入，
．
答：肇事汽车的速度是．
【点睛】本题考查的知识点是二次根式的实际应用，题目比较简单，易于掌握．
19．（2022下·八年级课时练习）计算：
【答案】(1) ;(2) -2 .
【分析】（1）将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可.
【详解】解：（1）原式=2 -2-3+3=.
（2）原式=3+4-5= -2 .
故答案为(1) ;(2) -2 .
【点睛】本题考查二次根式的加减.
20．（2022下·山东青岛·八年级统考期末）已知长方形的长，宽
(1)求长方形的周长；
(2)有个正方形与该长方形的面积相等，求正方形与长方形周长的比．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用长方形的周长公式列出代数式并求值；
（2）利用正方形的面积=该长方形的面积列出等式求出正方形的边长，进而得出正方形与长方形周长的比．
【详解】（1）解：长方形的长，宽
所以长方形的周长=
（2）长方形的面积=
根据面积相等，则正方形的边长=，
周长=，
所以，正方形与长方形周长的比为
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
21．（2022上·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）已知，，
(1)化简和；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据，对，进行化简；
（2）提出公因式，然后把（1）中的，，代入，即可计算出代数式．
【详解】（1）
∴；
∴．
（2）由（1）得，；
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的加减运算，最简二次根式和平方差公式．
22．（2022下·江西·八年级校考期中）已知a，b，c为等腰三角形的三条边长，并且a，b满足，求此等腰三角形的周长．
【答案】等腰三角形的周长为．
【分析】由二次根式有意义的条件可得，解不等式可得a的值，进而可得b的值，然后再分两种情况进行计算即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∵a为正数，
∴a=2，
则b=，
若c=a=2时，2+>2，能构成三角形，此时周长为4+；
若c=b=，+2，不能构成三角形，
综上，此等腰三角形的周长为．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件和等腰三角形的性质，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
23．（2023下·江西宜春·八年级校考阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如于是善于思考的小明找到了一种把类似的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若，且、均为正整数，则 ______ ， ______ ．
（2）若，当、均为整数时，则 ______ ， ______ ．
【拓展延伸】
（3）化简．
【答案】（1），；（2），；（3）
【分析】（1）由，得，可解得答案．
（2）由，可得答案．
（3）把被开方数配成完全平方式可得答案．
【详解】解：（1），
，
解得：负值已舍去，
故答案为：，；
（2），
，，
故答案为：，；
（3）．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算及化简，解题的关键是掌握完全平方公式．
24．（2023上·湖南娄底·八年级统考期末）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式．
(1)下列式子中①，②，③，______是根分式（填写序号即可）；
(2)写出根分式中的取值范围______；
(3)已知两个根分式，．若，求的值；
【答案】(1)③
(2)且
(3)
【分析】（1）根据根分式的定义可得答案；
（2）由二次根式与分式有意义的条件可得答案；
（3）根据列分式方程，再解方程并检验即可．
【详解】（1）解：①的分子不是二次根式，不是根分式，
②的分母不是整式，不是根分式，
③是根分式，
故答案为：③
（2）由题意得：且，
解得：且，
故x的取值范围是：且；
故答案为：且；
（3）当，时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解；
【点睛】本题考查的是根分式的含义，二次根式有意义的条件，分式方程的解法，理解题意，根据新定义的含义作答是解本题的关键．
25．（2023下·陕西安康·八年级统考阶段练习）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．

(1)求长方形的周长；（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】(1)长方形的周长为米
(2)购买地砖需要花费元
【分析】（1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解；
（2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解．
【详解】（1）解：
（米）．
答：长方形的周长为米．
（2）
（平方米）．
（元）．
答：购买地砖需要花费元．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
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专题04 二次根式单元过关（基础版）
考试范围：第16章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．（2022下·江苏·八年级专题练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022下·广东东莞·八年级东莞市广东科技学院附属第一实验学校校联考阶段练习）化简（ ）
A． B． C． D．
3．（2022下·重庆潼南·八年级统考期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022下·八年级课时练习）下列说法正确的是( )
A．被开方数相同的二次根式可以合并 B．与可以合并
C．只有根指数为2的根式才能合并 D．与不能合并
5．（2022下·河北保定·八年级校联考期末）下列运算错误的是
A． B．
C． D．
6．（2022下·河南安阳·八年级统考期末）若使算式2〇的运算结果最小，则〇表示的运算符号是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
7．（2022下·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）若，二次根式有意义，则x，y满足的条件是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
8．（2022下·河南濮阳·八年级统考期中）估计×+的运算结果是（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
9．（2022下·广西柳州·八年级统考期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023下·新疆克拉玛依·七年级统考期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．（2023下·福建泉州·九年级校联考期中）计算： ．
12．（2022上·四川资阳·九年级统考期末）当时，二次根式的值是 ．
13．（2023下·山西朔州·八年级统考期末）已知长方形的面积为，相邻两边分别为，已知，则的长为 ．
14．（2022下·青海西宁·八年级校考期中）化简：= ；= ．
15．（2022上·吉林长春·九年级统考期中）若，则的值是 ．
16．（2023下·湖北鄂州·七年级统考期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积是 ．
评卷人得分
三、解答题
17．（2023下·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考期中）计算：
(1)
(2)
18．（2022下·山西·八年级统考阶段练习）交通警察通常根据后车轮刹车滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式为．其中（单位：）表示车速，（单位：）表示刹车后车轮滑过的距离，表示摩擦系数．在对某次高速公路上发生的一起交通事故的调查中，测得肇事汽车后轮刹车滑过的距离，，求肇事汽车的速度．（结果保留根号）
19．（2022下·八年级课时练习）计算：
20．（2022下·山东青岛·八年级统考期末）已知长方形的长，宽
(1)求长方形的周长；
(2)有个正方形与该长方形的面积相等，求正方形与长方形周长的比．
21．（2022上·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）已知，，
(1)化简和；
(2)求代数式的值．
22．（2022下·江西·八年级校考期中）已知a，b，c为等腰三角形的三条边长，并且a，b满足，求此等腰三角形的周长．
23．（2023下·江西宜春·八年级校考阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如于是善于思考的小明找到了一种把类似的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若，且、均为正整数，则 ______ ， ______ ．
（2）若，当、均为整数时，则 ______ ， ______ ．
【拓展延伸】
（3）化简．
24．（2023上·湖南娄底·八年级统考期末）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式．
(1)下列式子中①，②，③，______是根分式（填写序号即可）；
(2)写出根分式中的取值范围______；
(3)已知两个根分式，．若，求的值；
25．（2023下·陕西安康·八年级统考阶段练习）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．

(1)求长方形的周长；（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
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