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专题05 二次根式单元过关（培优版）
考试范围：第16章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．（2022·河北石家庄·统考模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别根据算术平方根、立方根的概念、同类二次根式的概念及非零数的零指数幂的运算法则逐一判断即可得．
【详解】A.，故该选项计算错误，不符合题意，
B.，故该选项计算正确，符合题意，
C.和不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意，
D.，故该选项计算错误，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查算术平方根、立方根的概念、同类二次根式的概念及非零数的零指数幂的运算，熟练掌握运算法则及概念是解题关键．
2．（2022·内蒙古包头·校考三模）估计的值在（ ）
A．3和3.5之间 B．2.5和3之间 C．2和2.5之间 D．1.5和2之间
【答案】A
【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再对根式进行估算，即可得出答案．
【详解】解：
=2+
=；
∵4＜5＜6.25，
∴2＜＜2.5，
∴3＜＜3.5，
即的值在3和3.5之间．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法和估算无理数的范围，能估算出的范围是解答此题的关键．
3．（2022下·山东威海·八年级统考期中）下列根式中，属于最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意，此选项正确；
B、不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、，被开方数含小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、，被开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4．（2022·内蒙古包头·三模）若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的性质 ，将已知等式左边化简，可以得到a与b中至少有一个为0，进而分析得出答案即可．
【详解】解:∵ ，
∴a-b=-a-b， 或b-a=-a-b
∴a= -a，或b=-b, ∴a=0,或b=0, ∴ab=0, ∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
5．（2022下·山西大同·八年级统考阶段练习）函数自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【详解】根据题意得，且，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
6．（2022·四川德阳·七年级统考期末）已知实数x、y满足，则yx值是（ ）
A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．无法确定
【答案】C
【分析】依据二次根式中的被开方数是非负数求得x的值，然后可得到y的值，最后代入计算即可．
【详解】∵实数x、y满足，
∴x＝2，y＝﹣2，
∴yx＝＝-4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
7．（2022·湖南张家界·统考二模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式、合并同类项、幂的乘方、二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：A. a2﹣b2，故A错误；
B.x与2y不是同类项，不能合并，原式＝x+2y，故B错误；
C. ，故C正确；
D. ＝a6，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式、合并同类项、幂的乘方、二次根式，解题的关键是熟练运用运算法则．
8．（2022下·吉林白山·八年级统考期中）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先进行二次根式的除法运算，然后合并即可．
【详解】解：原式
．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．
9．（2022上·四川·八年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C． D．3的平方根是
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质、平方根的定义逐一分析即可．
【详解】A选项：，所以，A错误；
B选项：，所以，B错误；
C选项：，C正确；
D选项：3的平方根为，D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的性质、平方根的定义，掌握二次根式的性质是解题的关键．
10．（2022下·广西南宁·八年级上林县中学校考阶段练习）在△ABC中，cm，BC上的高为2cm，则△ABC的面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】C
【分析】先根据三角形的面积公式列式，再运用二次根式乘法运算法则计算即可．
【详解】解：∵cm，BC上的高为2cm
∴△ABC的面积为．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，审清题意、正确运用二次根式乘法计算是解答本题的关键．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．（2022上·云南昆明·八年级统考期末）已知x，y为实数，且，则 ．
【答案】6．
【详解】试题解析：由题意得，x-16≥0，16-x≥0，
解得x=16，
=4，
则．
考点：二次根式有意义的条件．
12．（2022·四川广元·统考一模）已知：x2﹣2x+1+=0，则|x﹣y|= ．
【答案】5
【详解】试题解析：∵x2﹣2x+1+=0
∴
∴
解得：x=1，y=-4
∴|x-y|=|1-(-4)|=5
13．（2022下·河南·九年级河南省实验中学阶段练习） .
【答案】0
【分析】先计算和的值再计算，计算顺序，先算乘方和开方，再算加减.
【详解】
【点睛】本题算术平方根和负指数幂的求法，掌握，是解答本题的关键.
14．（2022下·八年级单元测试），，，四个二次根式中，是同类二次根式的是 ．
【答案】,
【分析】可先将各二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可作出判断．
【详解】＝，＝5，＝3，＝5，
∴，是同类二次根式．
故答案为，．
【点睛】此题主要考查同类二次根式的定义，属于基础题，化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
15．（2022上·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）若，则 ．
【答案】
【分析】由，利用完全平方公式和二次根式运算将二元转化为一元，即用x去表示a，再去进行整式的化简求值．
【详解】解：，则，两边同时平方，得，将其代入原式得：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了完全平方公式、二次根式的混合运算以及整式的混合运算，如何利用二次根式计算将x表示为a是解题的关键．
16．（2022下·甘肃武威·八年级校考阶段练习）观察下列运算：
由（+1）（﹣1）=1，得﹣1；
由（）（）=1，得=；
由（）（）=1，得=；……
利用你发现的规律计算： ++…+为 ．
【答案】
【分析】原式各项化简后，合并即可得到结果．
【详解】原式=-1．
【点睛】此题考查分母有理化，弄清题中的规律是解题的关键．
评卷人得分
三、解答题
17．（2022上·广东深圳·八年级统考期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先化为最简二次根式，再利用二次根式的加减法则进行计算；
（2）利用二次根式的乘除法则及分式乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的乘法运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
18．（2022下·河南许昌·八年级统考期末）计算：.
【答案】1
【分析】先根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算得到原式=，然后化简后进行减法运算．
【详解】解：原式=
【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.
19．（2022下·黑龙江鸡西·八年级统考期末）计算
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）7．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（3）根据二次根式的乘除法则运算；
（4）利用平方差公式计算；
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
=7
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了平方差公式．
20．（2022下·八年级课时练习）已知，满足，求：．
【答案】．
【分析】根据非负数性质可得关于a、b的方程组，求得a、b的值代入计算即可．
【详解】根据题意，得：，
解得：，
故
=
=
=．
【点睛】本题主要考查二次根式的求值及非负数的性质，根据非负数性质列出方程组是解题的前提，代入求值是关键．
21．（2023上·湖南长沙·九年级校考开学考试）阅读下面材料，回答问题：
在化简的过程中，小张和小李的化简过程如下：
小张：；
小李：.
(1)请判断谁的化简结果是正确的，并说明理由.
(2)请你利用上面所学的方法化简.
【答案】(1)小李，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用二次根式的性质对他们的化简结果进行判断；
（2）阅读材料，利用完全平方公式把原式变形为，然后根据二次根式的性质化简即可．
【详解】（1）解：小李的化简结果正确．
∵，
∴，
∴小张的化简结果错误，小李的化简结果正确；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
22．（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）已知，分别求①；②的值．
【答案】①，②9
【分析】利用、的值计算出，，再利用因式分解的方法把变形为，然后利用整体代入的方法计算；
利用通分和完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵，
，，
①；
②．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
23．（2022下·河北邯郸·八年级校考阶段练习）阅读下面问题：
：
；．
试求：
（1）的值；
（2）（为正整数）的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用有理化因式的概念，分子分母同乘以，进而化简即可；
（2）利用有理化因式的概念，分子分母同乘以，进而化简即可．
【详解】（1）；
（2）
【点睛】此题主要考查了分母有理化，得出分母有理化因式是解题关键．
24．（2023上·广东深圳·八年级统考期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：
，，（是的面积）；
，，（是的面积）；
，，（是的面积）；
…
(1)填空：__________，__________；
(2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：___________，___________；
(3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值；
【答案】(1)10，
(2)，
(3)18
【分析】本题考查了数学中的阅读能力，规律问题，还有二次根式的化简，分母有理化，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．
【详解】（1）根据题意可得，
，；
（2）根据题意可得，
，；
（3）
．
25．（2022上·福建泉州·九年级晋江市第一中学校联考阶段练习）材料一：定义：（x，y为正整数）．
材料二：观察、思考、解答：；反之3﹣2．
∴3﹣2；
∴1．
(1)仿照材料二，化简：；
(2)结合两个材料，若（a，b，m，n均为正整数），用含m、n的代数式分别表示a和b；
(3)由上述m、n与a、b的关系，当a＝4，b＝3时，求m2＋n2的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)10
【分析】（1）仿照材料二解答即可；
（2）给左右两边分别平方，然后对比即可解答；
（3）由（2）可得m+n、mn的值，然后再运用完全平方公式变形即可解答．
【详解】（1）解：
∴
∴．
（2）解：∵
∴
∴，．
（3）解：∵，，a＝4，b＝3
∴=4，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式成为解答本题的关键．
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专题05 二次根式单元过关（培优版）
考试范围：第16章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．（2022·河北石家庄·统考模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·内蒙古包头·校考三模）估计的值在（ ）
A．3和3.5之间 B．2.5和3之间 C．2和2.5之间 D．1.5和2之间
3．（2022下·山东威海·八年级统考期中）下列根式中，属于最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
4．（2022·内蒙古包头·三模）若则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022下·山西大同·八年级统考阶段练习）函数自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·四川德阳·七年级统考期末）已知实数x、y满足，则yx值是（ ）
A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．无法确定
7．（2022·湖南张家界·统考二模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022下·吉林白山·八年级统考期中）计算：（ ）
A． B． C． D．
9．（2022上·四川·八年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C． D．3的平方根是
10．（2022下·广西南宁·八年级上林县中学校考阶段练习）在△ABC中，cm，BC上的高为2cm，则△ABC的面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．（2022上·云南昆明·八年级统考期末）已知x，y为实数，且，则 ．
12．（2022·四川广元·统考一模）已知：x2﹣2x+1+=0，则|x﹣y|= ．
13．（2022下·河南·九年级河南省实验中学阶段练习） .
14．（2022下·八年级单元测试），，，四个二次根式中，是同类二次根式的是 ．
15．（2022上·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）若，则 ．
16．（2022下·甘肃武威·八年级校考阶段练习）观察下列运算：
由（+1）（﹣1）=1，得﹣1；
由（）（）=1，得=；
由（）（）=1，得=；……
利用你发现的规律计算： ++…+为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．（2022上·广东深圳·八年级统考期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2022下·河南许昌·八年级统考期末）计算：.
19．（2022下·黑龙江鸡西·八年级统考期末）计算
（1） （2）
（3） （4）
20．（2022下·八年级课时练习）已知，满足，求：．
21．（2023上·湖南长沙·九年级校考开学考试）阅读下面材料，回答问题：
在化简的过程中，小张和小李的化简过程如下：
小张：；
小李：.
(1)请判断谁的化简结果是正确的，并说明理由.
(2)请你利用上面所学的方法化简.
22．（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）已知，分别求①；②的值．
23．（2022下·河北邯郸·八年级校考阶段练习）阅读下面问题：
：
；．
试求：
（1）的值；
（2）（为正整数）的值．
24．（2023上·广东深圳·八年级统考期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：
，，（是的面积）；
，，（是的面积）；
，，（是的面积）；
…
(1)填空：__________，__________；
(2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：___________，___________；
(3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值；
25．（2022上·福建泉州·九年级晋江市第一中学校联考阶段练习）材料一：定义：（x，y为正整数）．
材料二：观察、思考、解答：；反之3﹣2．
∴3﹣2；
∴1．
(1)仿照材料二，化简：；
(2)结合两个材料，若（a，b，m，n均为正整数），用含m、n的代数式分别表示a和b；
(3)由上述m、n与a、b的关系，当a＝4，b＝3时，求m2＋n2的值．
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