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微专题01 二次根式的混合运算通关专练
一、单选题
1．（2023上·江西景德镇·八年级统考期中）下列二次根式的运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山西太原·八年级统考期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023下·辽宁铁岭·八年级统考期末）计算：的结果是（ ）
A．2 B．0 C． D．
4．（2023下·广东广州·八年级统考期中）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023下·山东临沂·八年级统考期中）下列各式，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市杨家坪中学校考期中）估算的值在（ ）
A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间
7．（2023上·陕西榆林·八年级校考期中）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022下·云南红河·八年级统考期末）的值等于（ ）
A． B． C． D．2
9．（2023上·河南新乡·九年级校考阶段练习）已知，则代数式的值为（ ）
A．2 B． C．7 D．3
10．（2023上·上海松江·八年级校考阶段练习）下列各式运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）估算在（　　）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
12．（2022下·河北邯郸·八年级校考阶段练习）课堂上学习了二次根式的乘法“”，学生小鸥写了五个等式：
①；②；③；
④；⑤．其中成立的是（）
A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．①④ D．①③④
13．（2022下·重庆綦江·八年级校考阶段练习）有依次排列的一列式子：小红对式子进行计算得：
第1个式子：
第2式子：
根据小红的观察和计算，她得到以下几个结论：
①第8个式子为；②对第n个式子进行计算的结果为；③前100个式子的和为；④将第n个式子记为，令，且，则正整数n=15；小红得到的结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，如： ．根据这种方法，化简后的结果为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022上·广东梅州·八年级校考阶段练习）化简得（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2021上·甘肃张掖·八年级统考期中）计算的结果是 ．
17．（2023下·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）已知，，则 ．
18．（2023下·福建厦门·八年级统考期中）（1）＝ ；
（2）＝ ；
（3）＝ ；
（4）＝ ．
19．（2023·山西吕梁·统考一模）计算的结果是 ．
20．（2022下·河南许昌·八年级统考期末）计算： ．
21．（2023上·江西南昌·八年级校联考期中）某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，则长方形绿地的周长为 m．
22．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市雨田实验中学校考期中）对于任意两个不相等的正实数a，b，定义一种新运算“”，即，如：，则 ．
23．（2023上·湖南长沙·九年级校联考阶段练习）一个数的小数部分用表示，为整数，且，记，的小数部分分别为，，则 ．
24．（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第六中学校考阶段练习）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，若，则 ．
25．（2023下·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）当时，分式的值为 ．
26．（2023上·湖南张家界·八年级统考期末）已知三角形的三边长a，b，c，求其面积的问题，中外数学家曾进行过深入研究，古希腊的数学家海伦给出的海伦公式，其中；我国古代数学家秦九韶提出的秦九韶公式.现已知△ABC三边长为1，，3，则△ABC的面积为 .
27．（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第六中学校考阶段练习）若，则 ．
28．（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）最简二次根式与是同类二次根式，则为 ．
29．（2023下·河北石家庄·八年级统考期末）已知a，b都是实数，m为整数，若，则称a与b是关于m的一组“平衡数”．
（1）与 是关于1的“平衡数”；
（2）与 是关于3的“平衡数”；
（3）若，，判断与 （是或否）为关于某数的一组“平衡数”．
30．（2023上·辽宁辽阳·八年级统考期末）对于任意正数，，定义运算“*”为:，如，则的运算结果为 ．
三、问答题
31．（2023上·海南儋州·九年级儋州市第一中学校联考期中）计算：
(1)；
(2)．
32．（2023上·山东济南·八年级统考期中）我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为a，小数部分为b，则，且．例如，∴的整数部分为3，小数部分为．
(1)的整数部分 ，是小数部分是 ；
(2)若的整数部分为m，小数部分为n，求的值．
33．（2023上·山西晋中·八年级统考期中）阅读下列材料，解答提出的问题：
原题：已知，求的值
王鹏的解法：
＝
＝，
张璐的解法：∵，
∴，，
∴
(1)你认为 的解法比较适合你，应用了 代入法
(2)【模仿】若，，则代数式的值为
(3)【探究】已知：，求：的值；
34．（2023上·四川巴中·九年级统考期中）已知，，试求下列各式的值：
(1)
(2)．
35．（2023上·江苏淮安·八年级校考期中）请阅读下列材料：问题：已知，求代数式的值．
小敏的做法是：根据得， ∴，得：．
把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值
36．（2023上·广东深圳·八年级统考期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：
，，（是的面积）；
，，（是的面积）；
，，（是的面积）；
…
(1)填空：__________，__________；
(2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：___________，___________；
(3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值；
37．（2023上·河南焦作·八年级统考期中）阅读理解并回答问题：
①因为，所以的整数部分为1．
②因为，所以的整数部分为2．
③因为，所以的整数部分为3．
……
(1)填空：的整数部分是 ；
(2)分别是的整数部分和小数部分；
①分别写出的值；
②求的值．
38．（2023上·广东深圳·八年级校考期中）（1）
（2）
（3）已知，，求的平方根．
（4）已知，，求的值．
四、计算题
39．（2023上·福建泉州·八年级校联考期中）计算：．
40．（2023下·山东淄博·八年级校联考期中）计算：
(1)；
(2)．
41．（2023下·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）计算
(1)
(2)
42．（2023下·江苏南京·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
43．（2023上·辽宁朝阳·七年级校考期中）已知，，求的值．
44．（2023上·重庆南岸·八年级重庆市广益中学校校考期中）[阅读材料]
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．
例如，化简
解：
材料二：化简方法，如果能找到两个实数m，n，使，并且，那么．
例如，化简
解：
【理解应用】
(1)填空：化简的结果等于______．
(2)计算：
①
②
45．（2023上·山西太原·八年级山西实验中学校考期中）计算
(1)；
(2)；
(3)．
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微专题01 二次根式的混合运算通关专练
一、单选题
1．（2023上·江西景德镇·八年级统考期中）下列二次根式的运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查二次根式的混合计算，根据二次根式的合并和乘除以及性质判断即可．
【详解】解：A、和不能合并，计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选：B．
2．（2023上·山西太原·八年级统考期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用二次根式的化简的法则，二次根式的加法的法则，二次根式的除法的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、与被开方数不同，不可以进行加法运算，故A不符合题意；
B、与被开方数不同，不可以进行减法运算，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
3．（2023下·辽宁铁岭·八年级统考期末）计算：的结果是（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】B
【分析】先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【详解】解：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．
4．（2023下·广东广州·八年级统考期中）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的乘法，除法，加减法的计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
B、，计算错误，故不符合题意；
C、，计算错误，故不符合题意；
D、，计算正确，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，乘法和除法计算，熟知相关计数法则是解题的关键．
5．（2023下·山东临沂·八年级统考期中）下列各式，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A选项：与不能合并，故A不符合题意；
B选项：，故B不符合题意；
C选项：，故C不符合题意；
D选项：，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解题的关键．
6．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市杨家坪中学校考期中）估算的值在（ ）
A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，先利用乘法分配律进行计算，然后再估算出的值的范围，从而估算出的值的范围，即可解答．
【详解】解：
∵
∴
∴
故选：A．
7．（2023上·陕西榆林·八年级校考期中）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据立方根，二次根式的混合运算法则计算选择即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：B．
8．（2022下·云南红河·八年级统考期末）的值等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质及平方差公式运算求解即可．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的运算，涉及到积的乘方运算的逆运算、平方差公式运算等知识点，熟练掌握二次根式的运算性质及运算法则是解决问题的关键．
9．（2023上·河南新乡·九年级校考阶段练习）已知，则代数式的值为（ ）
A．2 B． C．7 D．3
【答案】A
【分析】将代数式配方得，然后将，代入求解即可．
【详解】解：
．
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式求值，掌握完全平方公式，实数的计算是解题的关键．
10．（2023上·上海松江·八年级校考阶段练习）下列各式运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A. 与不属于同类二次根式，不能运算，故A选项运算错误，不符合题意；
B. ，故B选项运算错误，不符合题意；
C. ，故C不符合题意；
D. ，故D选项运算错误，不不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
11．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）估算在（　　）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】C
【分析】本题考查无理数的估算，先将原式计算后再进行估算即可．熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．也考查了二次根式的运算．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴原式的值和之间，
故选：C．
12．（2022下·河北邯郸·八年级校考阶段练习）课堂上学习了二次根式的乘法“”，学生小鸥写了五个等式：
①；②；③；
④；⑤．其中成立的是（）
A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．①④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据二次根式的运算法则和二次根式的性质逐个判断即可．
【详解】解：①正确；
②如，而 ，所以错误；
③正确；
④正确；
⑤如时，，错误；
所以正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和二次根式的性质，能举出反例是解此题的关键．
13．（2022下·重庆綦江·八年级校考阶段练习）有依次排列的一列式子：小红对式子进行计算得：
第1个式子：
第2式子：
根据小红的观察和计算，她得到以下几个结论：
①第8个式子为；②对第n个式子进行计算的结果为；③前100个式子的和为；④将第n个式子记为，令，且，则正整数n=15；小红得到的结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】通过阅读题中给出的操作方法，总结出规律即可．
【详解】解：第1个式子：；
第2个式子：；
第3个式子：；
第4个式子：

第8个式子：；

第个式子：；
故①②正确；
前100个式子的和，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴
=
∵
∴
解得，，
∴④正确，
所以，小红得到的结论中正确的有4个，
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确进行分母有理化是解答本题的关键．
14．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，如： ．根据这种方法，化简后的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分子和分母都乘，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
【详解】解：
＝
＝
＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．
15．（2022上·广东梅州·八年级校考阶段练习）化简得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用完全平方公式计算根号里面的，再将三次根号下的式子写成立方的形式，利用立方根的定义即可求解．
【详解】解：
故选：A
【点睛】本题考查二次根式的运算，将三次根号内的式子整理成立方形式是解题的关键．
二、填空题
16．（2021上·甘肃张掖·八年级统考期中）计算的结果是 ．
【答案】8
【分析】利用平方差公式即可求解．
【详解】解：
故答案为：8
【点睛】本题考查了平方差公式，二次根式的混合运算．熟记平方差公式是解题关键．
17．（2023下·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）已知，，则 ．
【答案】4
【分析】先通分，再代值计算即可．
【详解】解：
∵，
∴，
∴
故答案为：4
【点睛】本题考查分式的化简求值．切记先化简，再代值．
18．（2023下·福建厦门·八年级统考期中）（1）＝ ；
（2）＝ ；
（3）＝ ；
（4）＝ ．
【答案】 3 /
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：（1），
（2），
（3），
（4），
故答案为：3，，，．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，属于基础题，难度不大，注意细心运算．
19．（2023·山西吕梁·统考一模）计算的结果是 ．
【答案】1
【分析】利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：1
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和平方差公式是解题的关键．
20．（2022下·河南许昌·八年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的混合运算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
21．（2023上·江西南昌·八年级校联考期中）某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，则长方形绿地的周长为 m．
【答案】
【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，根据长方形周长公式列式求解即可，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
即长方形绿地的周长为，
故答案为：．
22．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市雨田实验中学校考期中）对于任意两个不相等的正实数a，b，定义一种新运算“”，即，如：，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的性质．根据题目所给的新定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
23．（2023上·湖南长沙·九年级校联考阶段练习）一个数的小数部分用表示，为整数，且，记，的小数部分分别为，，则 ．
【答案】
【分析】先估算出，，可得，，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
，的小数部分分别为，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，二次根式的混合运算，利用“夹逼法”求出求出a、b的取值范围是解答本题关键．
24．（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第六中学校考阶段练习）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，若，则 ．
【答案】7
【分析】易知与是一对“对偶式”，可根据化简计算即可．
【详解】解：根据材料可知，与是一对“对偶式”，
∵，
∴
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键．
25．（2023下·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）当时，分式的值为 ．
【答案】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：原式＝
；
当时，原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，分母有理化，正确的计算是解题的关键．
26．（2023上·湖南张家界·八年级统考期末）已知三角形的三边长a，b，c，求其面积的问题，中外数学家曾进行过深入研究，古希腊的数学家海伦给出的海伦公式，其中；我国古代数学家秦九韶提出的秦九韶公式.现已知△ABC三边长为1，，3，则△ABC的面积为 .
【答案】/
【分析】将三角形三边代入所给公式求解即可．
【详解】解：将1，，3，代入公式得出：
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的运算法则是解此题的关键．
27．（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第六中学校考阶段练习）若，则 ．
【答案】
【分析】对已知进行化简得到，推出，，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，即，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，分式的化简求值，化简得到是解题的关键．
28．（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）最简二次根式与是同类二次根式，则为 ．
【答案】
【分析】先化简得到，根据同类二次根式的定义求得，再代入求解即可．
【详解】解：
，
∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
当时，；
当时，没有意义，舍去，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
29．（2023下·河北石家庄·八年级统考期末）已知a，b都是实数，m为整数，若，则称a与b是关于m的一组“平衡数”．
（1）与 是关于1的“平衡数”；
（2）与 是关于3的“平衡数”；
（3）若，，判断与 （是或否）为关于某数的一组“平衡数”．
【答案】 / / 是
【分析】（1）设与x是关于1的“平衡数”，根据平衡数的定义可列出关于x的方程，解出x的值即可；
（2）设与y是关于3的“平衡数”， 根据平衡数的定义可列出关于y的方程，解出y的值即可；
（3）求出，，即可求出，即说明与是关于19的一组“平衡数”．
【详解】解：（1）设与x是关于1的“平衡数”，
根据平衡数的定义可得：，
解得：，
∴与是关于1的“平衡数”．
故答案为：；
（2）设与y是关于3的“平衡数”，
根据平衡数的定义可得：，
解得：，
∴与是关于3的“平衡数”．
故答案为：；
（3）∵，，
∴，，
∴，
∴与关于19的一组“平衡数”．
故答案为：是．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，对“平衡数”的定义的理解．读懂题意，理解“平衡数”的定义是解题关键．
30．（2023上·辽宁辽阳·八年级统考期末）对于任意正数，，定义运算“*”为:，如，则的运算结果为 ．
【答案】
【分析】先根据新运算法则计算与，再计算乘法即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键．
三、问答题
31．（2023上·海南儋州·九年级儋州市第一中学校联考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是：
（1）先算开方，化简二次根式，再合并计算；
（2）先将括号展开，再合并计算．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
32．（2023上·山东济南·八年级统考期中）我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为a，小数部分为b，则，且．例如，∴的整数部分为3，小数部分为．
(1)的整数部分 ，是小数部分是 ；
(2)若的整数部分为m，小数部分为n，求的值．
【答案】(1)4；
(2)103
【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的加减混合运算，掌握算术平方根的概念和二次根式的加减运算法则是解题关键．
（1）利用无理数的估算求值；
（2）利用无理数的估算确定m和n的值，然后代入求解．
【详解】（1）解：
的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：4；；
（2）解：，的整数部分为m，小数部分为n，
，
．
33．（2023上·山西晋中·八年级统考期中）阅读下列材料，解答提出的问题：
原题：已知，求的值
王鹏的解法：
＝
＝，
张璐的解法：∵，
∴，，
∴
(1)你认为 的解法比较适合你，应用了 代入法
(2)【模仿】若，，则代数式的值为
(3)【探究】已知：，求：的值；
【答案】(1)张璐，整体（答案不唯一）
(2)4
(3)
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，
（1）张璐应用了整体代入法，用到完全平方公式和平方差公式；王鹏应用了直接代入法，同样用到完全平方公式和平方差公式；
（2）利用完全平方公式将所求代数式转化后直接代入即可；
（3）将所求代数式利用完全平方公式和提取公因式后整体代入即可；
【详解】（1）解：张璐的解法比较合适，应用了整体代入法；
（2）原式，
（3）∵，
∴原式
34．（2023上·四川巴中·九年级统考期中）已知，，试求下列各式的值：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式化简求值，根据二次根式的混合运算法则求得，和的值，
（1）利用完全平方公式把原式变形后求解即可；
（2）根据分式的混合运算先通分在利用平方差公式计算即可；
熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
，
（2），
35．（2023上·江苏淮安·八年级校考期中）请阅读下列材料：问题：已知，求代数式的值．
小敏的做法是：根据得， ∴，得：．
把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简求值、求代数式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）先由条件得到，再把化为，再整体代入计算即可；
（2）先计算，再把化为，再整体代入计算即可；
【详解】（1）解：，
，
则原式
；
（2）∵，
∴，
∴．
36．（2023上·广东深圳·八年级统考期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：
，，（是的面积）；
，，（是的面积）；
，，（是的面积）；
…
(1)填空：__________，__________；
(2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：___________，___________；
(3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值；
【答案】(1)10，
(2)，
(3)18
【分析】本题考查了数学中的阅读能力，规律问题，还有二次根式的化简，分母有理化，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．
【详解】（1）根据题意可得，
，；
（2）根据题意可得，
，；
（3）
．
37．（2023上·河南焦作·八年级统考期中）阅读理解并回答问题：
①因为，所以的整数部分为1．
②因为，所以的整数部分为2．
③因为，所以的整数部分为3．
……
(1)填空：的整数部分是 ；
(2)分别是的整数部分和小数部分；
①分别写出的值；
②求的值．
【答案】(1)n
(2)①，；②
【分析】（1）依据题干中的方法估算的范围，即可得到整数部分；
（2）①估算出，得到整数部分和小数部分即可；②将①中结果代入计算即可．
本题主要考查的是估算无理数的大小，二次根式的混合运算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得：
，
的整数部分为n．
故答案为：n．
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分是2，小数部分是，
∴，．
②
38．（2023上·广东深圳·八年级校考期中）（1）
（2）
（3）已知，，求的平方根．
（4）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先化简，然后合并同类二次根式得到答案；
（2）先算乘法，再化简，然后合并同类二次根式得到答案；
（3）根据，的值，得到，的值，然后将所求式子变形，求得的平方根；
（4）根据，的值，得到，的值，然后将所求式子变形，求得的值．
【详解】解：（1）
；
（2）
（3） ，，
，，
（4） ，，
，，
．
四、计算题
39．（2023上·福建泉州·八年级校联考期中）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
40．（2023下·山东淄博·八年级校联考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先化简，然后去括号，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
41．（2023下·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）计算
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．
42．（2023下·江苏南京·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】利用二次根式的混合运算法则及即可求解．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握相关运算法则是解题的关键．
43．（2023上·辽宁朝阳·七年级校考期中）已知，，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质，灵活进行公式变形是解题的关键．先求出，的值，然后把变形后整体代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
．
44．（2023上·重庆南岸·八年级重庆市广益中学校校考期中）[阅读材料]
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．
例如，化简
解：
材料二：化简方法，如果能找到两个实数m，n，使，并且，那么．
例如，化简
解：
【理解应用】
(1)填空：化简的结果等于______．
(2)计算：
①
②
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，探索二次根式计算中的规律．
（1）根据材料一方法，把分母有理化化简即可得出答案；
（2）①根据材料二方法化简即可得出答案；②根据材料一方法化简即可得出答案．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：①；
②原式
．
45．（2023上·山西太原·八年级山西实验中学校考期中）计算
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则，熟记完全平方公式和平方差公式．
（1）先根据二次根式混合运算法则进行化简，然后再根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可；
（3）利用二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
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