资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 二次根式
考点类型
知识一遍过
（一）二次根式
（1）二次根式概念：一般地，我们把形如（ ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】
①二次根式中，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。
②二次根式≥0，是一个非负数。
③二次根式与算术平方根有着内在联系，,（ ≥0）就表示a的算术平方根。
（2）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
（二）二次根式的性质
=
考点一遍过
考点1：二次根式的定义
典例1：（2023下·河南驻马店·八年级校考阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1，，，，
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式1】（2022下·河南三门峡·八年级校考阶段练习）下列式子：①；②；③；④；⑤，是二次根式的有（ ）
A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤
【变式2】（2022下·湖北襄阳·八年级统考期末）在式子中，二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】（2023下·辽宁铁岭·八年级统考期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
考点2：二次根式的定义——求字母
典例2：（2023下·广东汕头·七年级校考期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．8 D．11
【变式1】（2023下·天津·八年级校考期中）已知为整数，则正整数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023下·湖北咸宁·八年级咸宁市温泉中学校联考期中）若二次根式，的值是整数，则下列n的取值符合条件的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022下·江西赣州·八年级统考期末）已知是整数，a是正整数，a的最小值是（ ）
A．0 B．3 C．6 D．24
考点3：二次根式有意义的条件
典例3：（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·广东深圳·八年级统考期中）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·河南郑州·八年级校考阶段练习）若，则的值为（ ）
A．8 B． C．6 D．9
【变式3】（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考阶段练习）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
考点4：利用二次根式的性质化简
典例4：（2023上·福建泉州·九年级福建省永春第三中学校联考期中）下列说法正确的是（ ）
A． B．二次根式有意义的条件是
C．若a为实数，则 D．若，则，
【变式1】（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023下·云南昭通·八年级统考期中）若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022上·江苏泰州·九年级统考期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．7 B． C． D．无法确定
【变式4】（2023上·山西临汾·九年级校联考阶段练习）已知，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）实数在数轴上的对应点如图所示，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【变式6】（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图，则化简的结果为（ ）

A． B． C． D．
【变式6】（2023上·甘肃天水·九年级校联考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点5：复合二次根式的化简
典例5：（2022上·四川遂宁·九年级四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）若，则 化简后的结果是（ ）
A．xy B． C． D．
【变式1】（2022下·黑龙江鹤岗·八年级统考期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　 ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023下·河北石家庄·八年级统考阶段练习）下面的推导中开始出错的步骤是（ ）
因为，①
，②
所以.③
所以.④
A．① B．② C．③ D．④
【变式3】（2022上·上海宝山·八年级统考期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（2022下·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式6】（2022上·上海嘉定·八年级校考阶段练习）对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式7】（2022上·安徽芜湖·九年级统考期中）把根号外的因式移入根号内的结果是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
同步一遍过
一、单选题
1．（2022下·辽宁盘锦·八年级统考期末）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022下·河北邢台·八年级河北省临西县第一中学统考期末）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将化成分数，设，则有，，解得，类比上述方法及思想则（　　）
A．3 B． C． D．
3．（2022下·浙江舟山·八年级校联考期末）二次根式在实数范围内有意义，则x可以取的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．3
4．（2022上·山东德州·八年级统考期末）将化简后的结果是（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2022上·内蒙古锡林郭勒盟·九年级校考阶段练习）下列各式总能成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022上·福建三明·八年级统考期中）实数在数轴上的位置如图所示，请化简：=（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·湖北十堰·八年级校联考期中）若，，且，则（ ）
A．7 B．13 C． D．
8．（2022·江苏·八年级假期作业）若a、b是实数，且，则a＋b的值是（ ）
A．3或﹣3 B．3或﹣1 C．﹣3或﹣1 D．3或1
9．（2022下·浙江宁波·八年级校考期中）下列各式中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2023下·广东惠州·八年级校考阶段练习）下列命题中错误的是(　　)
A．若，则
B．若为有理数，则是它的算术平方根
C．化简的结果是
D．若二次根式有意义，则的取值范围为
二、填空题
11．（2022·四川眉山·八年级校考期中）如果x、y都是有理数，且，则4xy的平方根是 ．
12．（2023上·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考阶段练习）计算的结果是 ．
13．（2022·全国·八年级专题练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ．
14．（2023下·四川广元·八年级校联考期中）小明做了四道题：①，②，③，④，⑤做对的有 ．
15．（2022下·安徽安庆·八年级统考期末）计算的结果为 ．
16．（2022上·八年级单元测试）对于任意两个不相等的数，，定义一种运算：，若，则 ， ．（其中为负数）
三、解答题
17．（2022下·上海·七年级期末）计算：（﹣2）0+（）﹣1_
18．（2022上·河南鹤壁·八年级鹤壁市外国语中学校考阶段练习）若x，y都是实数，且，求的立方根．
19．（2022下·四川遂宁·七年级校考期中）阅读材料，解答问题：
（1）计算下列各式：
①=_________ =_________
②=_________ =_________
通过计算，我们可以发现=
（2）运用（1）中的结果可以得到：
（3）通过（1）（2），完成下列问题：
①化简：= ；②计算：= ；③ (a>0，b>0)= ：
20．（2022上·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）观察下列各式：
…………①
…………②
…………③
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
(1)发现规律___________（为正整数）；
(2)计算___________；
(3)如果，那么___________．
21．（2022下·上海·七年级专题练习）已知：，，利用以上结果，求下列各式的近似值．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
22．（2022下·八年级课时练习）你能找出规律吗？
(1)计算：　；　；　；　．
(2)请按找到的规律计算：
①；
②；
(3)已知a，b，用含a，b的式子表示．
23．（2022下·北京海淀·八年级清华附中校考期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则______，_______；
（2）已知是的算术平方根，求的值；
（3）当时，化简_______．
24．（2022·福建福州·福建省福州第十六中学校考模拟预测）先化简，再求值
(1)已知：求的值
(2)，其中
25．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）计算．
（1） (2)
(3) (4)
(5) (6)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 二次根式
考点类型
知识一遍过
（一）二次根式
（1）二次根式概念：一般地，我们把形如（ ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】
①二次根式中，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。
②二次根式≥0，是一个非负数。
③二次根式与算术平方根有着内在联系，,（ ≥0）就表示a的算术平方根。
（2）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
（二）二次根式的性质
=
考点一遍过
考点1：二次根式的定义
典例1：（2023下·河南驻马店·八年级校考阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1，，，，
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义进行解答即可．
【详解】解：，1，，，，中一定是二次根式的有、，共2个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式．
【变式1】（2022下·河南三门峡·八年级校考阶段练习）下列式子：①；②；③；④；⑤，是二次根式的有（ ）
A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤
【答案】A
【分析】由二次根式的性质和定义进行判断，即可得到答案
【详解】解：、、是二次根式；故①③⑤符合题意；
无意义，是三次方根式；故②④不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，解题的关键是掌握二次根式的定义进行判断
【变式2】（2022下·湖北襄阳·八年级统考期末）在式子中，二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义判断即可，形如的代数式叫做二次根式．
【详解】解：是二次根式，符合题意，
是三次根式，不合题意，
是二次根式，符合题意，
不是二次根式，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
【变式3】（2023下·辽宁铁岭·八年级统考期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、的被开方数，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、，∵，∴，是二次根式，故本选项符合题意；
C、的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D、当时，，∴不是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．
考点2：二次根式的定义——求字母
典例2：（2023下·广东汕头·七年级校考期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．8 D．11
【答案】B
【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论．
【详解】解：由题意得：，解得，
又因为是整数，
∴是完全平方数，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，
故答案选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键．
【变式1】（2023下·天津·八年级校考期中）已知为整数，则正整数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据开平方的运算即可求解．
【详解】解：∵为整数，
∴是某个数的平方，
∴当时，，
∴正整数的最小值为，
故选：．
【点睛】本题主要考查求一个数的算术平方根，掌握开平方运算的方法是解题的关键．
【变式2】（2023下·湖北咸宁·八年级咸宁市温泉中学校联考期中）若二次根式，的值是整数，则下列n的取值符合条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简，根据题意逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵是整数，
A. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；
C. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；
D. 当时，，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式3】（2022下·江西赣州·八年级统考期末）已知是整数，a是正整数，a的最小值是（ ）
A．0 B．3 C．6 D．24
【答案】C
【分析】因为是整数，且，则6a是完全平方数，满足条件的最小正整数a为
【详解】解：∵，且是整数，
∴是整数，即6a是完全平方数；
∴a的最小正整数值为
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式，把24分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键．
考点3：二次根式有意义的条件
典例3：（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：．
故选A．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键．
【变式1】（2023上·广东深圳·八年级统考期中）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知根号里面式子需要大于等于0，分母不能为0，再合并解集，是解题的关键．
【详解】解：由可得，
解得，
故选：B．
【变式2】（2023上·河南郑州·八年级校考阶段练习）若，则的值为（ ）
A．8 B． C．6 D．9
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件，得出，进而得出，将x和y的值代入即可求解．
【详解】解：∵和有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数．
【变式3】（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考阶段练习）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数，大于等于0，进行求解即可．
【详解】解：根据题意得，且，
解得且．
故选：D．
【点睛】本题考查代数式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0，二次根式的被开方数，大于等于0，是解题的关键．
考点4：利用二次根式的性质化简
典例4：（2023上·福建泉州·九年级福建省永春第三中学校联考期中）下列说法正确的是（ ）
A． B．二次根式有意义的条件是
C．若a为实数，则 D．若，则，
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件和二次根式的性质进行求解即可得到答案．本题考查这两个知识点．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．二次根式有意义的条件是，故选项错误，不符合题意；
C．若a为实数，则，，故选项错误，不符合题意；
D．若，则，，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【变式1】（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判断的符号，将还原成，再化简即可．
【详解】解： ，
，
，
原式
．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质和有意义的条件是本题解题关键．
【变式2】（2023下·云南昭通·八年级统考期中）若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查二次根式的性质和化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
【变式3】（2022上·江苏泰州·九年级统考期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．7 B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】由数轴可得，据此判断出，的正负，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由数轴可得，
∴，，
∴
故选A．
【点睛】本题考查了利用数轴判断代数式的大小，二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质化简．
【变式4】（2023上·山西临汾·九年级校联考阶段练习）已知，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据a的范围判断出与的正负，利用二次根式的性质和绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式的性质、整式的加减、绝对值的代数意义等，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式5】（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）实数在数轴上的对应点如图所示，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断，可得，，再化简绝对值和算术平方根，合并同类项即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，化简绝对值，整式的加减运算，掌握算术平方根的含义与化简绝对值是解本题的关键．
【变式6】（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图，则化简的结果为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据数轴上点的位置关系得出，再根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，掌握二次根式性质与化简的应用，根据数轴上点的位置关系判断绝对值里面的数与0的关系，是解题关键．
【变式6】（2023上·甘肃天水·九年级校联考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质进行化简，然后判断即可．
【详解】解：A．，原式错误；
B．，原式错误；
C．，正确；
D．，原式错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
考点5：复合二次根式的化简
典例5：（2022上·四川遂宁·九年级四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）若，则 化简后的结果是（ ）
A．xy B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，有意义可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，有意义，
∴，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，得出是解题的关键．
【变式1】（2022下·黑龙江鹤岗·八年级统考期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可．
【详解】∵被开方数，分母.
∴，∴.
∴原式．
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．
【变式2】（2023下·河北石家庄·八年级统考阶段练习）下面的推导中开始出错的步骤是（ ）
因为，①
，②
所以.③
所以.④
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据算术平方根的非负性即可判断．
【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等，
∴第②步推导错误．
故选B．
【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键．
【变式3】（2022上·上海宝山·八年级统考期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式4】（2022下·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答．
【详解】∵，
∴，
∴-
故选A．
【点睛】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键．
【变式5】（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简．
【详解】解：由题意可得：x＜0
∴
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键．
【变式6】（2022上·上海嘉定·八年级校考阶段练习）对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】解：由题意可得：，∴
∴
故选：C
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
【变式7】（2022上·安徽芜湖·九年级统考期中）把根号外的因式移入根号内的结果是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】C
【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可．
【详解】解：由题意可知：，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了复合二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022下·辽宁盘锦·八年级统考期末）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义：形如的式子逐项判断即可．
【详解】解：A、缺少条件，不一定是二次根式，本选项不符合题意；
B、为三次根式，不符合二次根式的定义，本选项不符合题意；
C、被开方数，不符合二次根式的定义，本选项不符合题意；
D、，，一定是二次根式，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，属于基础题型，熟知二次根式的概念是关键．
2．（2022下·河北邢台·八年级河北省临西县第一中学统考期末）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将化成分数，设，则有，，解得，类比上述方法及思想则（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】设，等式两边平方得，然后解一元二次方程即可．
【详解】解：设，
两边平方得，
整理得，
解得，（舍去），
即则．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：方程的思想的运用是解决问题的关键．也考查了规律性问题的解决方法．
3．（2022下·浙江舟山·八年级校联考期末）二次根式在实数范围内有意义，则x可以取的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．3
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，即可得到答案．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：，
解得，
符合条件的答案只有D，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确理解二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．
4．（2022上·山东德州·八年级统考期末）将化简后的结果是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】解：．
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
5．（2022上·内蒙古锡林郭勒盟·九年级校考阶段练习）下列各式总能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简，逐项判断即可．
【详解】A项，，故本项不符合题意；
B项，，故本项不符合题意；
C项，，故本项不符合题意；
D项，，故本项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解答本题的关键,易错点是忽略非负性,会得到的情况.
6．（2022上·福建三明·八年级统考期中）实数在数轴上的位置如图所示，请化简：=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据数轴确定的取值范围，根据二次根式的性质进行化简，再计算．
【详解】解：由数轴可知：，，
∴原式 .
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质与化简，根据数轴判断的取值范围是解题关键．
7．（2023下·湖北十堰·八年级校联考期中）若，，且，则（ ）
A．7 B．13 C． D．
【答案】C
【分析】利用平方根的定义求出a与b的值，即可确定出的值．
【详解】解：∵，，，
∴，
则．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
8．（2022·江苏·八年级假期作业）若a、b是实数，且，则a＋b的值是（ ）
A．3或﹣3 B．3或﹣1 C．﹣3或﹣1 D．3或1
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出b的值，代入即可求出a的值，从而求出结论．
【详解】解：由题意得：，
解得：b＝1，
则：a＝±2，
∴当a＝2，b＝1时，a+b＝3，
当a＝﹣2，b＝1时，a+b＝﹣1，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义是解题的关键．
9．（2022下·浙江宁波·八年级校考期中）下列各式中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、＝3，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题关键．
10．（2023下·广东惠州·八年级校考阶段练习）下列命题中错误的是(　　)
A．若，则
B．若为有理数，则是它的算术平方根
C．化简的结果是
D．若二次根式有意义，则的取值范围为
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质对A、C进行判断；根据算术平方根的定义对B进行判断；根据二次根式有意义的条件对D进行判断．
【详解】解：A、若，则，所以A选项错误；
B、若为有理数，则是它的算术平方根，所以B选项正确；
C、化简的结果是，所以C选项正确；
D、若二次根式有意义，则x的取值范围为，所以D选项正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，算术平方根的定义，命题的知识，掌握二次根式的性质，，算术平方根的定义是解题的关键．
二、填空题
11．（2022·四川眉山·八年级校考期中）如果x、y都是有理数，且，则4xy的平方根是 ．
【答案】±6
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而得出答案．
【详解】解：根据题意得，2x-3≥0，3-2x≥0，
∴2x-3=0，
解得：x=，
∵，
∴y=6，
∴4xy=4××6=36，
∴4xy的平方根是±6，
故答案为：±6．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出a，b的值是解题关键．
12．（2023上·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考阶段练习）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键．
13．（2022·全国·八年级专题练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ．
【答案】/
【分析】依据数轴即可得到，即可化简．
【详解】解：由题可得，，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质．
14．（2023下·四川广元·八年级校联考期中）小明做了四道题：①，②，③，④，⑤做对的有 ．
【答案】①④
【分析】根据二次根式的性质逐一化简即可求解．
【详解】解：①，故①正确；
②，故②错误；
③，故③错误；
④，故④正确；
⑤当，时，，故⑤错误；
则，做对的有①④，
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握，是关键．
15．（2022下·安徽安庆·八年级统考期末）计算的结果为 ．
【答案】/
【分析】根据二次根式的性质化解即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
16．（2022上·八年级单元测试）对于任意两个不相等的数，，定义一种运算：，若，则 ， ．（其中为负数）
【答案】
【分析】先根据新定义列式，再计算化简即可.
【详解】解：，
∵，
∴，
故答案为：，
【点睛】本题考查的是实数的新定义运算，二次根式的化简，理解运算法则是解本题的关键.
三、解答题
17．（2022下·上海·七年级期末）计算：（﹣2）0+（）﹣1_
【答案】3
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和二次根式的性质计算得出答案．
【详解】解：原式＝1+﹣（﹣2）
＝3．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．（2022上·河南鹤壁·八年级鹤壁市外国语中学校考阶段练习）若x，y都是实数，且，求的立方根．
【答案】5．
【分析】根据二次根式有意义的条件，我们可以得到x的值，进而得到y的值，最后代入求解即可．
【详解】由题意得：，解得x＝3．
所以，
所以．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根及平方根的知识，属于基础题，掌握各个知识点是关键．二次根式有意义的条件：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
19．（2022下·四川遂宁·七年级校考期中）阅读材料，解答问题：
（1）计算下列各式：
①=_________ =_________
②=_________ =_________
通过计算，我们可以发现=
（2）运用（1）中的结果可以得到：
（3）通过（1）（2），完成下列问题：
①化简：= ；②计算：= ；③ (a>0，b>0)= ：
【答案】（1）6，6；20，20； ab；（3）.
【分析】（1）利用二次根式的性质计算即可得到结果；
根据上述算式得出一般性规律即可；
（2）应用（1）得到结果；
（3）利用得出的规律化简各式即可．
【详解】（1）①=，=2×3=6；
②=，=4×5=20；
通过计算，我们可以发现=
（3）①=；
②=；
③ (a>0，b>0)=.
【点睛】此题考查了实数的运算，弄清题中的规律是解本题的关键．
20．（2022上·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）观察下列各式：
…………①
…………②
…………③
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
(1)发现规律___________（为正整数）；
(2)计算___________；
(3)如果，那么___________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）观察前三个式子特点，找出规律即可解答；
（2）利用（1）的规律解答即可；
（3）利用（1）的规律解答即可．
【详解】（1）解：∵，
，
，……
∴．
故答案为：；
（2）解：原式=
．
故答案为：；
（3）解：根据题意，得，
∴，
∴，
∴，
经检验得是原方程的解．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算和化简，读懂题意，找出规律是解题的关键．
21．（2022下·上海·七年级专题练习）已知：，，利用以上结果，求下列各式的近似值．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】利用已知，结合每个式子中被开方数中小数点的移动规律即可求解．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【点睛】本题考查实数的运算，注意每题之间的联系，类比推理．
22．（2022下·八年级课时练习）你能找出规律吗？
(1)计算：　；　；　；　．
(2)请按找到的规律计算：
①；
②；
(3)已知a，b，用含a，b的式子表示．
【答案】(1)12；；30；30；
(2)①25；②4；
(3).
【分析】（1）利用二次根式的乘法的法则进行求解即可；
（2）利用二次根式的乘法的法则进行求解即可；
（3）利用二次根式的乘法的法则进行求解即可．
【详解】（1），
，
，
；
（2）①；
②；
（3）当a，b时，
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，二次根式的性质与化简，解答本题的关键是对相应的运算法则的掌握．
23．（2022下·北京海淀·八年级清华附中校考期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则______，_______；
（2）已知是的算术平方根，求的值；
（3）当时，化简_______．
【答案】（1）2，1；（2）－2022；（3）2．
【分析】（1）根据题目所给方法对变形即可；
（2）根据题意结合所给方法求出，然后对所求式子变形，整体代入计算即可；
（3）根据题目所给方法，将写成的形式，然后根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：（1）∵，
∴a＝2，b＝1；
故答案为：2,1
（2）∵是的算术平方根，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
，
，
，
．
故答案为：2
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中所给方法，将根号内的式子变形为完全平方式的形式．
24．（2022·福建福州·福建省福州第十六中学校考模拟预测）先化简，再求值
(1)已知：求的值
(2)，其中
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）将原式因式分解后，代入a和b的值求解即可；
（2）根据分式的混合运算法则化简，再将代入化简后的式子求值即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴原式
；
（2）原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值、代数式求值以及二次根式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和二次根式的混合运算法则是解题关键．
25．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）计算．
（1） (2)
(3) (4)
(5) (6)
【答案】（1）4；（2）；（3）3；（4）3+；（5）0；（6）
【分析】（1）（2）先化简，再合并得出答案即可；
（3）先算乘法，化简后再算除法；
（4）先算0指数幂，绝对值，化简二次根式，进一步合并即可；
（5）先化简，利用平方差公式计算，进一步合并得出答案即可；
（6）先化简，再算减法，最后算除法．
【详解】(1)原式=2 3+5=4；
(2)原式=3 +2= ；
(3)原式=3；
(4)原式=1+2+2 =3+；
(5)原式= =0；
(6)原式=
【点睛】此题考查二次根式的混合运算，零指数幂，解题关键在于掌握运算法则.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑