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专题02 二次根式的乘除
考点类型
知识一遍过
（一）二次根式乘法法则
二次根式的乘法法则:
【注意】
①要注意a≥0，b≥0这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立；
②同样成立；
③乘法交换律在二次根式中仍然适用。
二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：=（a≥0，b≥0）
（二）二次根式除法法则
二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）
【注意】
①要注意a≥0，b＞0这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。
②在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。
二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）：
（a≥0，b＞0）
（三）最简二次根式
①被开方数不含分母，例：、；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：。
③分母有理化两种形式：、
考点一遍过
考点1：二次根式乘法
典例1：（2023上·福建泉州·九年级福建省永春第三中学校联考期中）设的小数部分为a，则的值为（ ）
A．22 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据无理数的估算，求的小数部分为，然后代入，根据二次根式的乘法，利用二次根式的性质进行化简，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴的整数部分为3，则小数部分，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法，利用二次根式的性质进行化简，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握各知识的运用．
【变式1】（2023上·河南周口·九年级校联考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的乘法运算和二次根式的化简进行运算排除选项．
【详解】、，计算错误，此选项不符合题意；
、，计算错误，此选项不符合题意；
、，计算错误，此选项不符合题意；
、，计算正确，此选项符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【变式2】（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）估算的结果在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【分析】先根据二次根式乘法计算出结果，再用“夹逼法”估算即可．
【详解】解：，
∵
∴
∴
∴的结果在2和3之间
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则和用“夹逼法”估算无理数的大小是解题的关键．
【变式3】（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）估计的值应在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
【答案】C
【分析】先利用二次根式的乘法法则计算，进而估算无理数的大小得出答案．
【详解】解：
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次根式乘法运算，估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．
考点2：二次根式除法
典例2：（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）估算的结果（　　）
A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间
【答案】A
【分析】先根据二次根式的除法法则计算，后运用无理数估算思想计算求解即可．
【详解】∵
，
且，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的除法，无理数的估算，熟练掌握除法运算，正确进行无理数的估算是解题的关键．
【变式1】（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的除法法则计算．
【详解】解：A、，∴不符合题意；
B、，∴符合题意；
C、，∴不符合题意；
D、，∴不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，掌握二次根式的除法运算法则是解题关键．
【变式2】（2023下·河北石家庄·八年级统考阶段练习）下列运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的除法公式逐一计算即可．
【详解】A. 运算正确；
B. 运算正确；
C. 运算正确；
D. 运算错误．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法公式是解答本题的关键．
【变式3】（2022上·河南新乡·九年级校考阶段练习）若等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质，即被开方数是非负数，分数的性质，即分母不能为零，即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
∴由①得，；由②得，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次根式中被开方数的非负性，掌握二次根式有意义的条件时解题的关键．
考点3：二次根式乘除——混合运算
典例3：（2023上·上海松江·八年级统考期中）计算：．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
．
【变式1】（2023下·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)2
【分析】根据二次根式的性质以及混合运算法则化简计算即可
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键
【变式2】（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先计算二次根式的乘法与除法，再计算加法即可；
（2）先化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式计算，再计算二次根式的加减法即可;
（4）先计算二次根式的乘除法，再计算二次根式的加减法即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
【变式3】（2023下·吉林松原·八年级校联考期中）计算：．
【答案】．
【分析】根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的乘除的运算法则是解题的关键．
【变式4】（2023·上海·八年级假期作业）计算．
(1)；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（2）根据二次根式乘除法法则计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式乘除混合运算，熟练掌握二次根式乘除法法则是解题的关键．注意法则的准确运用以及符号的判定．
【变式5】（2023·上海·八年级假期作业）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则化简计算即可；
（2）根据二次根式的乘除运算法则化简计算即可；
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘除运算，注意法则的准确运用以及符号的准确判定．
【变式6】（2022上·辽宁辽阳·八年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式的混合运算计算即可．
（2）根据二次根式的乘法，完全平方公式计算即可．
（3）根据二次根式的混合运算计算即可．
（4）根据零指数幂，负整数指数幂计算即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）原式．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式7】（2022下·八年级单元测试）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解；
（3）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解；
（4）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
考点4：最简二次根式的判断
典例4：（2023上·上海浦东新·八年级校联考期中）下列根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
【详解】解：A．，不是最简二次根式；
B．，不是最简二次根式；
C．是最简二次根式；
D．，不是最简二次根式；
故选：C．
【变式1】（2023上·广东深圳·八年级深圳中学校考期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式：“被开方数不含开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母”，进行判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，是最简二次根式，符合题意；
D、，不符合题意；
故选C．
【变式2】（2023上·广东茂名·八年级校联考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可．
【详解】解：A．，故A选项不符合题意；
B．，故B选项不符合题意；
C．，故C选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
【变式3】（2023上·上海松江·八年级校考阶段练习）在二次根式，，，，，中，最简二次根式个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：不能再化简，是最简二次根式；
，不是最简二次根式，
，不是最简二次根式，
不能再化简，是最简二次根式；
，不是最简二次根式，
即最简二次根式有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质、最简二次根式的概念是解题的关键．
考点5：最简二次根式的化简
典例5：（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）将化成最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】（，），据此进行化简即可．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式化简，掌握化简的方法是解题的关键．
【变式1】（2022下·山东德州·八年级校考阶段练习）下列各组二次根式中可以合并的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【分析】先将二次根式进行化简，再找出各组中的两个二次根式是同类二次根式的选项即可得．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不可合并，则此项不符题意；
B、与不是同类二次根式，不可合并，则此项不符题意；
C、，与是同类二次根式，可以合并，则此项符题意；
D、，，不是同类二次根式，不可合并，则此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．
【变式2】（2022下·重庆江津·八年级阶段练习）下列二次根式中，与能合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵
∴与能合并的是，
故选D.
【变式3】（2022上·上海闵行·八年级校考期中）下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出与是同类二次根式即可得．
【详解】解：．
A、，与不是同类二次根式，不可合并，此项不符题意；
B、，与不是同类二次根式，不可合并，此项不符题意；
C、，与不是同类二次根式，不可合并，此项不符题意；
D、，与是同类二次根式，可以合并，此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的化简、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．
考点6：最简二次根式——求字母
典例6：（2023下·山东泰安·八年级校考阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（ ）
A．0， B．，0 C．1， D．0，0
【答案】A
【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可．
【详解】解：∵是最简二次根式，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．
【变式1】（2022上·四川遂宁·九年级校联考期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程即可．
【详解】∵，而最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把化成最简二次根式．
【变式2】（2022下·广东广州·八年级校考期末）若与最简二次根式能合并，则m的值为（ ）
A．7 B．9 C．2 D．1
【答案】D
【分析】先将化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得．
【详解】解：，
与最简二次根式能合并，
，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键．
【变式3】（2022下·广西贺州·八年级统考期中）已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可．
【详解】根据题意可知，
解得：，
∴．
故选D．
【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键．
考点7：分母有理化
典例7：（2023上·山东枣庄·八年级校联考阶段练习）已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】将的值代入代数式中，然后再分母有理化即可．
【详解】解：原式；
故选：．
【点睛】此题考查的是二次根式的分母有理化．
【变式1】（2023下·四川南充·八年级校考期中）下列各式中，与的积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】找出其有理化因式即可．
【详解】解：∵，
∴与的积为有理数的是．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握有理化因式的确定和平方差公式是解题的关键．
【变式2】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，如： ．根据这种方法，化简后的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分子和分母都乘，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
【详解】解：
＝
＝
＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．
【变式3】（2023上·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先分母有理化，再根据相反数的定义进行解答即可．
【详解】解：，
则的相反数是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查分母有理化，相反数，解题的关键是熟知相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．
考点8：分母有理化的应用
典例8：（2023下·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【答案】A
【分析】首先分别求出、、的倒数，比较出、、的倒数的大小关系，然后根据：几个正实数，倒数越大这个数越小，判断出，，的大小关系即可．
【详解】解：，，，
，，，
，
，
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，几个正实数，倒数越大这个数越小．
【变式1】（2023下·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论：
①；
②若，，则；
③，且，则
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】①根据题干中给出的信息进行分母有理化，即可判断；
②先化简a、b，然后代入求值即可；
③先化简a、b，然后将a、b代入，求出即可．
【详解】解：①，故①正确；
②，
，
∴
，故②正确；
③
，
，
∵，
∴，
∴，
即，
，
∴，
∴，故③正确；
综上分析可知，正确的个数是3个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
【变式2】（2023下·江苏·八年级期末）如果，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把b分母有理化，再比较．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查分母有理化，正确计算是解题关键．
【变式3】（2023下·浙江杭州·八年级校考阶段练习）已知，，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
【答案】C
【分析】化简计算判断即可．
【详解】∵，，
∴，，
∴，
∴，
故互为倒数，
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，倒数即乘积为1的两个数，熟练掌握二次根式的乘法是解题的关键．
考点9：比较二次根式的大小
典例9：（2023上·福建泉州·八年级统考期末）若，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
，
∵，即，
∵a、b、c都是大于0的实数，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键．
【变式1】（2022上·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考期中）估计与最接近的整数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质，先估算出的范围，再求出与中点与比较大小，进而得到最接近的整数
【详解】解： ，，，
，即，
，且，
，
，即，
与最接近的整数是，
故选：C．
【点睛】本题考查利用二次根式的性质估算无理数的范围，得出的范围是，并取与得中点与比较大小是解决问题的关键．
【变式2】（2022下·江西抚州·七年级南城县第二中学校考阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把化为 再结合从而可得答案．
【详解】解：∵，
，
，
而
∴
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．
【变式3】（2022上·八年级校考单元测试）2、、15三个数的大小关系是（ ）
A．2＜15＜ B．＜15＜2
C．2＜＜15 D．＜2＜15
【答案】A
【分析】将分别化成，再进行比较即可．
【详解】且
即
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·江苏·八年级校考周测）下列二次根式中，还能继续化简的是（ ）
A． B． C．（） D．（）
【答案】C
【分析】根据二次根式的化简法则与最简二次根式的概念可得答案．
【详解】解：，，是最简二次根式，不能化简，
（），
故选C
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，最简二次根式的判定．熟记概念是解本题的关键．
2．（2022下·北京西城·八年级统考期末）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将各项的二次根式化简，即可得出答案．
【详解】因为，所以A不符合题意；
因为，所以B不符合题意；
因为，所以C不符合题意；
因为不能化简，是最简二次根式，所以D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．即被开方数中不含开方开的尽的数或因式是最简二次根式．
3．（2022下·湖北随州·八年级统考期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的法则计算化简即可．
【详解】解：A、，故该项错误；
B、，故该项正确；
C、，故该项错误；
D、，故该项错误；
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的计算及化简，正确掌握二次根式的计算法则及性质是解题的关键．
4．（2022下·八年级单元测试）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可化简.
【详解】A. ，故错误；
B. ，正确；
C. ，故错误；
D. ，故错误，
选B.
【点睛】此题主要考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟知运算法则并认真仔细.
5．（2022上·重庆·九年级重庆市第七中学校校考期中）估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】A
【分析】先计算二次函数的乘法运算可得结果为，再估算的范围即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，掌握“无理数的估算的方法”是解本题的关键．
6．（2022上·河南新乡·九年级校考阶段练习）下列二次根式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中是最简二次根式的是（ ）
A．②③④⑦ B．②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．③⑤⑦
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义即可进行解答．
【详解】解：①，不是最简二次根式；
②，不是最简二次根式；
③是最简二次根式；
④，不是最简二次根式；
⑤是最简二次根式；
⑥，不是最简二次根式；
⑦，是最简二次根式；
⑧，不是最简二次根式；
综上，是最简二次根式的有：③⑤⑦．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的定义，最简二次根式要求根号下不含有可开方的数，根号下不含有分母，分母也不能含有根号．
7．（2023下·贵州黔东南·七年级校考期中）已知，，那么（ ）
A．173.2 B． C．547.7 D．
【答案】C
【分析】首先将进行转化为，再由已知条件，即可得解．
【详解】∵= =
，
∴
故答案为C．
【点睛】此题主要考查二次根式的性质，熟练掌握，即可解题．
8．（2022下·黑龙江鸡西·八年级校考期中）与作乘积的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，再利用平方差公式简便计算．
【详解】解：
．
故选：A．
【点睛】主要考查了实数的运算，解题的关键是在进行根式的运算时要先根据幂的乘法运算法则化简再计算可使计算简便．
9．（2022·湖北荆门·八年级阶段练习）已知x、y为实数，且y=，则=(　 　)
A．13 B．1 C．5 D．6
【答案】C
【详解】∵y=﹣+4有意义，
∴，解得x=9，
所以y=4，
所以=3+2=5.
故选C.
10．（2022·重庆·校考一模）估计×（﹣）的值更接近于（ ）
A．7 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】先根据二次根式的化简方法把原式化简，再估算的大小，即可得出答案．
【详解】解：×（ ）
＝﹣
＝﹣2，
因为9＜10＜16，
所以3＜＜4，
所以1＜﹣2＜2，
因为10接近于9，
所以﹣2接近于1，
即×（﹣）接近于1，
故选：D．
【点睛】此题考查了实数的估算和二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解本题的关键．
二、填空题
11．（2022下·河南商丘·八年级统考期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么 ．
【答案】
【分析】根据定义的新运算的方式，把相应的数字代入运算即可；
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的化简，解答的关键是理解清楚题意，对实数的运算的相应的法则的掌握．
12．（2022上·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）计算的值为 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质得出答案即可．
【详解】解：
故答案为：20
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
13．（2022·山东青岛·青岛市崂山区第三中学校考模拟预测）二次根式的乘除运算法则： ； 0，b ．
【答案】 ≥ ＞
【分析】直接根据二次根式的乘除运算法则及应用条件进行解答即可．
【详解】解： ； ≥0，b＞．
故填：，，≥，＞．
【点睛】本题主要考查了据二次根式的乘除运算法则，掌握二次根式的乘除运算法则的运用条件是解答本题的关键．
14．（2022·四川成都·统考二模）已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用因式分解对代数式进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式=
将代入
原式= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式的约分，二次根式的化简，熟练掌握分式的约分是解题的关键．
15．（2022下·安徽滁州·八年级校考阶段练习）一组二次根式按一定规律排列：，，，3，6，，……，若a，b，c是这组式子中相邻的三个二次根式，则a，b，c之间的关系是 .
【答案】
【分析】在排列中任意将三个相邻的数定义给a，b，c的值，找出之间的运算关系即可．
【详解】解：∵，
，
……，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了与实数运算相关的规律性，解题的关键是找到三个数之间的关系．
16．（2023·湖北咸宁·统考一模）人们把 叫做黄金分割数．五角星是常见的图案，如图，在五角星中存在黄金分割数，，若，则 ．

【答案】/
【分析】根据，依次求出即可解答．
【详解】解：根据，可得，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练运用法则计算是解题的关键．
三、解答题
17．（2022上·湖南衡阳·八年级阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则，分母有理化计算即可；
（2）利用乘法分配律计算，利用分数的性质和二次根式的性质化简；
（3）根据二次根式除法和运算法则和分母有理化化简，再计算与5的和即可；
（4）先利用完全平方公式、平方差公式分别进行计算，再求和即可．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
18．（2022上·河南驻马店·八年级校联考期中）计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1） （2） （3）
【分析】（1）可运用进行计算.
（2）把根式化为最简二次根式，找准同类项，运用合并同类项的方法计算.
（3）先利用乘法公式去括号，然后再找准同类项进行合并.
【详解】（1）
（2）
（3）
故答案为（1）+3 （2）+3 （3）6-8
【点睛】本题考查了根式的加减乘除、去括号、合并同类项等运算以及平方差公式、完全平方公式的运用，需要注意的是分数作除数时，只需乘以它的倒数；去括号时，括号前面有负号，则括号里面要变号；合并同类项时，关键找准同类项，再把系数相加减；运用公式时，应熟练并细心.
19．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）计算：（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】⑴先把各二次根式化为最简二次根式，然后利用二次根式的乘除法则计算.
⑵先利用二次根式的完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
【详解】解：（1）
=
=
=
=
=
=
=3+
（2）
=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用运算法则是解题的关键.
20．（2022上·宁夏银川·八年级校考期中）计算：（1）；
（2）若，求（1）中代数式的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据二次根式的加减运算可进行化简；
（2）先对a、b进行分母有理化，然后代入（1）中进行求解即可．
【详解】解：（1）原式=
=；
（2）∵，，
∴，，
∴原式=
=．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
21．（2022下·上海静安·七年级上海市市北初级中学校考期中）计算：
（1）．
（2）化简求值：已知，求的值．
【答案】（1）；（2），当 原式＝．
【分析】（1）根据二次根式的混合运算直接进行求解即可；
（2）先对分式进行化简，然后代值计算即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）
，
，
原式．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算及分式的化简求解，熟练掌握二次根式及分式的运算是解题的关键．
22．（2022·广东佛山·模拟预测）先化简，再求值，其中a，b满足．
【答案】；．
【分析】先化简分式，再根据非负数的性质求出a，b的值，再代入化简结果中计算即可．
【详解】解：
；
∵
∴，
∴，
解得，，，
∴原式=
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式混合运算法则是解答此题的关键．
23．（2022下·上海嘉定·七年级校考期中）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）;(2)
【分析】（1）先将二次根式化简,再进行加减计算；
(2 )先将二次根式的除法化为乘法，再计算二次根式的乘法即可得．
【详解】解：（1）原式=
=
=
(2)原式=
=
=
【点睛】本题考查二次根式的加减和二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的性质进行化简是解题的关键．
24．（2022下·云南曲靖·七年级校考期中）观察下列等式：

．．．．
请解答下列问题：
（1）按以上规律写出= ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式： = （n为正整数）；
（3）求的值．
【答案】（1）；（2）（为正整数）；（3）
【分析】（1）把分子、分母都乘以后可得答案；
（2）把分子、分母都乘以后可得答案；
（3）根据提示与（1）（2）的计算方法可得答案．
【详解】解：（1）
故答案为：
（2）
故答案为：（为正整数）．
（3）
【点睛】本题考查的是二次根式的除法，解题的关键是掌握分母有理化完成除法运算．
25．（2022下·八年级课时练习）阅读下列运算过程，并完成各小题：；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作”分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：
；
模仿上例完成下列各小题：
（1）= ；
（2）= ．
（3）= ．
（4）请根据你得到的规律计算下题：(n为正整数)．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）分子分母都乘以，从而可得答案；
（2）把的分子分母都乘以 再合并同类二次根式即可得到答案；
（3）把的分子分母都乘以，利用二次根式的乘除运算可得答案；
（4）由题干的阅读部分得出规律： 利用规律把每个二次根式的分母有理化，再合并同类二次根式即可.
【详解】解：（1）原式==；
故答案为：
（2）原式=；
故答案为：
（3）原式=；
故答案为：
（4）原式=+++…+=．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，除法运算，分母有理化，以及合并同类二次根式，掌握二次根式的分母有理化是解题的关键.
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专题02 二次根式的乘除
考点类型
知识一遍过
（一）二次根式乘法法则
二次根式的乘法法则:
【注意】
①要注意a≥0，b≥0这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立；
②同样成立；
③乘法交换律在二次根式中仍然适用。
二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：=（a≥0，b≥0）
（二）二次根式除法法则
二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）
【注意】
①要注意a≥0，b＞0这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。
②在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。
二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）：
（a≥0，b＞0）
（三）最简二次根式
①被开方数不含分母，例：、；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：。
③分母有理化两种形式：、
考点一遍过
考点1：二次根式乘法
典例1：（2023上·福建泉州·九年级福建省永春第三中学校联考期中）设的小数部分为a，则的值为（ ）
A．22 B． C． D．
【变式1】（2023上·河南周口·九年级校联考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）估算的结果在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【变式3】（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）估计的值应在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
考点2：二次根式除法
典例2：（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）估算的结果（　　）
A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间
【变式1】（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023下·河北石家庄·八年级统考阶段练习）下列运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2022上·河南新乡·九年级校考阶段练习）若等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
考点3：二次根式乘除——混合运算
典例3：（2023上·上海松江·八年级统考期中）计算：．
【变式1】（2023下·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式2】（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式3】（2023下·吉林松原·八年级校联考期中）计算：．
【变式4】（2023·上海·八年级假期作业）计算．
(1)；
(2) ．
【变式5】（2023·上海·八年级假期作业）计算：
(1)；
(2)．
【变式6】（2022上·辽宁辽阳·八年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
【变式7】（2022下·八年级单元测试）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
考点4：最简二次根式的判断
典例4：（2023上·上海浦东新·八年级校联考期中）下列根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·广东深圳·八年级深圳中学校考期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·广东茂名·八年级校联考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·上海松江·八年级校考阶段练习）在二次根式，，，，，中，最简二次根式个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点5：最简二次根式的化简
典例5：（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）将化成最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022下·山东德州·八年级校考阶段练习）下列各组二次根式中可以合并的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式2】（2022下·重庆江津·八年级阶段练习）下列二次根式中，与能合并的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022上·上海闵行·八年级校考期中）下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
考点6：最简二次根式——求字母
典例6：（2023下·山东泰安·八年级校考阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（ ）
A．0， B．，0 C．1， D．0，0
【变式1】（2022上·四川遂宁·九年级校联考期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022下·广东广州·八年级校考期末）若与最简二次根式能合并，则m的值为（ ）
A．7 B．9 C．2 D．1
【变式3】（2022下·广西贺州·八年级统考期中）已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点7：分母有理化
典例7：（2023上·山东枣庄·八年级校联考阶段练习）已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式1】（2023下·四川南充·八年级校考期中）下列各式中，与的积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，如： ．根据这种方法，化简后的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
考点8：分母有理化的应用
典例8：（2023下·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【变式1】（2023下·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论：
①；
②若，，则；
③，且，则
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2】（2023下·江苏·八年级期末）如果，，那么（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023下·浙江杭州·八年级校考阶段练习）已知，，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
考点9：比较二次根式的大小
典例9：（2023上·福建泉州·八年级统考期末）若，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022上·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考期中）估计与最接近的整数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022下·江西抚州·七年级南城县第二中学校考阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022上·八年级校考单元测试）2、、15三个数的大小关系是（ ）
A．2＜15＜ B．＜15＜2
C．2＜＜15 D．＜2＜15
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·江苏·八年级校考周测）下列二次根式中，还能继续化简的是（ ）
A． B． C．（） D．（）
2．（2022下·北京西城·八年级统考期末）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022下·湖北随州·八年级统考期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022下·八年级单元测试）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022上·重庆·九年级重庆市第七中学校校考期中）估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
6．（2022上·河南新乡·九年级校考阶段练习）下列二次根式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中是最简二次根式的是（ ）
A．②③④⑦ B．②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．③⑤⑦
7．（2023下·贵州黔东南·七年级校考期中）已知，，那么（ ）
A．173.2 B． C．547.7 D．
8．（2022下·黑龙江鸡西·八年级校考期中）与作乘积的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·湖北荆门·八年级阶段练习）已知x、y为实数，且y=，则=(　 　)
A．13 B．1 C．5 D．6
10．（2022·重庆·校考一模）估计×（﹣）的值更接近于（ ）
A．7 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．（2022下·河南商丘·八年级统考期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么 ．
12．（2022上·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）计算的值为 ．
13．（2022·山东青岛·青岛市崂山区第三中学校考模拟预测）二次根式的乘除运算法则： ； 0，b ．
14．（2022·四川成都·统考二模）已知，则的值为 ．
15．（2022下·安徽滁州·八年级校考阶段练习）一组二次根式按一定规律排列：，，，3，6，，……，若a，b，c是这组式子中相邻的三个二次根式，则a，b，c之间的关系是 .
16．（2023·湖北咸宁·统考一模）人们把 叫做黄金分割数．五角星是常见的图案，如图，在五角星中存在黄金分割数，，若，则 ．

三、解答题
17．（2022上·湖南衡阳·八年级阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
18．（2022上·河南驻马店·八年级校联考期中）计算：
（1）
（2）
（3）
19．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）计算：（1）
（2）
20．（2022上·宁夏银川·八年级校考期中）计算：（1）；
（2）若，求（1）中代数式的值．
21．（2022下·上海静安·七年级上海市市北初级中学校考期中）计算：
（1）．
（2）化简求值：已知，求的值．
22．（2022·广东佛山·模拟预测）先化简，再求值，其中a，b满足．
23．（2022下·上海嘉定·七年级校考期中）（1）计算：；
（2）计算：．
24．（2022下·云南曲靖·七年级校考期中）观察下列等式：

．．．．
请解答下列问题：
（1）按以上规律写出= ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式： = （n为正整数）；
（3）求的值．
25．（2022下·八年级课时练习）阅读下列运算过程，并完成各小题：；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作”分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：
；
模仿上例完成下列各小题：
（1）= ；
（2）= ．
（3）= ．
（4）请根据你得到的规律计算下题：(n为正整数)．
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