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专题03 二次根式的加减
考点类型
知识一遍过
（一）二次根式的加减
（1）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
（2）二次根式比较大小：
①若a＞b＞0，则有；
②若，则有a＞b．
③将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。
（二）二次根式的混合运算
二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。
注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。
考点一遍过
考点1：同类二次根式
典例1：（2023上·四川巴中·九年级统考期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考期中）下列二次根式中，可以与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·河南新乡·九年级统考阶段练习）下列根式中能与合并的是（ ）
A． B． C． D．8
【变式3】（2023上·江西吉安·八年级统考期末）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是( )
A．与 B．与 C．与 D．与
考点2：同类二次根式——求字母
典例2：（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则合并后的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2013上·江苏无锡·九年级统考期末）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】（2022上·福建泉州·九年级晋江市安海中学校联考期中）若最简二次根式与可以合并，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022下·江苏徐州·八年级校考阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则b的值是
A．0 B．1 C． D．2
考点3：二次根式加减运算
典例3：（2023上·上海黄浦·八年级统考期中）计算：．
【变式1】（2023上·山东济南·八年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式2】（2023上·上海黄浦·八年级统考期中）计算：．
【变式3】（2023上·山东济南·八年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式4】（2021下·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式5】（2023下·吉林白城·八年级校联考期末）计算：．
考点4：已知字母的值化简求值
典例4：（2023上·河南南阳·九年级统考阶段练习）若，则代数式的值为（ ）
A．7 B． C． D．5
【变式1】（2023下·河北邢台·八年级校考阶段练习）当时，代数式的结果为（ ）
A． B． C．12 D．
【变式2】（2023下·江苏南通·八年级统考期中）已知，，则的值等于（　　）
A．0 B．4 C． D．16
【变式3】（2023上·海南海口·九年级统考期末）当时，代数式的值是（ ）
A． B．1 C． D．5
考点5：已知条件式化简求值
典例5：（2023上·四川内江·九年级校考阶段练习）如果，则的值是（　　）
A．5 B．3 C． D．
【变式1】（2023下·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·浙江宁波·校考一模）若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3】（2022下·江苏苏州·八年级校考期中）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（2022下·山西·八年级统考期中）若，，则代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（2022上·广东深圳·八年级校考阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点6：二次根式的新定义运算
典例6：（2023下·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期末）定义一种新运算“△”，，则的值为( )
A． B． C． D．
【变式1】（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级新疆生产建设兵团第一中学校考期中）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算，则的运算结果为（　　）
A． B． C． D．1
【变式2】（2023上·河北沧州·八年级统考期末）对于任意的实数m，n，定义一种词“”，，则（　　）
A． B．4 C． D．
【变式3】（2022下·河北廊坊·八年级统考阶段练习）对于任意的实数m，n，定义一种运算“*”，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
考点7：二次根式的应用
典例7：（2023上·广东深圳·八年级校考期中）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．
古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：
，其中 ①
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：
．②
若一个三角形的三边长依次为，，，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023下·湖北孝感·八年级统考期中）如图，从一个大正方形中截取面积为和的两个小正方形，余下部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【变式2】（2023下·河北唐山·八年级统考期中）如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B．
C． D．
【变式3】（2023下·河北邢台·八年级校考期中）若某长方体的长为，宽为，高为，则该长方体的体积为（ ）
A． B． C．21 D．24
同步一遍过
一、单选题
1．（2022上·上海浦东新·八年级校考阶段练习）下列二次根式（左边）化简结果一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022下·浙江台州·八年级统考期末）下列运算正确的是（　　）
A．+＝ B．4+＝4
C．＝＝2 D．＝6
3．（2022上·重庆潼南·九年级校联考阶段练习）估计运算结果应在（ ）
A．7和8之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间
4．（2022上·上海普陀·八年级校考期中）的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022上·陕西西安·八年级校考阶段练习）我们知道，因此，仿照这种方法计算可得结果为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022下·北京西城·八年级北京师大附中校考期中）下列二次根式计算正确的是（ ）
A．×＝ B．÷＝
C．-＝ D．＋＝
7．（2022下·河南·八年级校考期末）计算：的结果是（ ）
A． B．6 C． D．
8．（2022下·广西·八年级广西大学附属中学校考期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2022下·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2023下·河南商丘·八年级校联考阶段练习）如图，延时课上老师用个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形（无重叠、无间隔），已知小长方形的长为、宽为，小组研讨后得出四条结论，其中不正确的是（　　）
A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为
C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为
二、填空题
11．（2022下·浙江杭州·八年级统考期末）若，，则 ．
12．（2022上·广东佛山·八年级校联考期中）比较实数的大小： 2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
13．（2022下·福建龙岩·八年级统考期中）若最简二次方根式与可以合并，则ab的值为 ．
14．（2022上·云南楚雄·八年级统考期末）计算： = ．
15．（2023上·四川内江·九年级校考阶段练习）∵，∴；
∵，∴；
∵，∴．
请你根据以上规律，结合你的经验化简 ．
16．（2022上·九年级单元测试）能力拓展：
；；；________．
…：________．
请观察，，的规律，按照规律完成填空．
比较大小和
∵________
∴________
∴________
同理，我们可以比较出以下代数式的大小：________；________；________
三、解答题
17．（2023下·河北唐山·八年级统考期末）（1）
（2）
18．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）已知三角形的面积等于长与宽分别为与的矩形的面积，若三角形的一条边长为，求这条边上的高．
19．（2022·四川广安·统考三模）先化简，再求值：，其中
20．（2022下·湖北武汉·八年级统考期中）已知x，y，求下列各式的值：
(1)x2+2xy+y2；
(2)．
21．（2022上·上海·八年级上海市南洋模范初级中学校考期中）解不等式：．
22．（2023下·河南洛阳·八年级统考期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．
(1)求长方形的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
23．（2023下·吉林白山·八年级校联考期中）在一块矩形的地面上铺设地砖，该矩形地面的长为、宽为．
(1)求该矩形地面的周长；
(2)现计划在该矩形地面上铺满地砖，请计算需要的地砖总面积（提示：结果保留整数，）．
24．（2023下·湖北鄂州·七年级统考期末）先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题：
（1）已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值．
解：因为，
所以，
所以，
解得．
（2）已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值．
25．（2022上·河南南阳·九年级统考阶段练习）阅读下面的材料，解答后面提出的问题：
在二次根式计算中我们常常遇到这样的情况：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：
，．
像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．
解决问题：
(1)的一个有理化因式是__________．
(2)已知，，则_____________．
(3)利用上面所提供的解法，请化简．
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专题03 二次根式的加减
考点类型
知识一遍过
（一）二次根式的加减
（1）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
（2）二次根式比较大小：
①若a＞b＞0，则有；
②若，则有a＞b．
③将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。
（二）二次根式的混合运算
二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。
注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。
考点一遍过
考点1：同类二次根式
典例1：（2023上·四川巴中·九年级统考期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将各选项二次根式化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义做判断，本题主要考查同类二次根式的定义，解题过程中注意化简．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、和是同类二次根式，故本选项符合题意；
C、和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式1】（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考期中）下列二次根式中，可以与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】能与合并，则该数与之是同类二次根式，即化简后被开方数相同，由此即可求解．
【详解】A：与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意
B：与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意
C： ，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意
D：， 与是同类二次根式，能合并，符合题意
故选D
【点睛】本题考查同类二次根式的定义，熟记同类二次根式的定义是解题关键．
【变式2】（2023上·河南新乡·九年级统考阶段练习）下列根式中能与合并的是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】根据同类二次根式的定义“二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式”依次进行判断即可得．
【详解】解：A、，能与合并，选项符合题意；
B、不能与合并，选项不符合题意；
C、不能与合并，选项不符合题意；
D、8不能与合并，选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同类二次根式，解题的关键是正确化简二次根式，掌握同类二次根式的定义．
【变式3】（2023上·江西吉安·八年级统考期末）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是( )
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可得到答案．
【详解】A． 与都化成了最简，被开方数不同，不能合并，不是同类二次根式，不符合题意；
B． ，与被开方数不同，不能合并，不是同类二次根式，不符合题意；
C． 与都化成了最简，被开方数不同，不能合并，不是同类二次根式，不符合题意；
D． ，与被开方数相同，能合并，是同类二次根式，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
考点2：同类二次根式——求字母
典例2：（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则合并后的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据这两个最简二次根式可以合并，得出它们是同类二次根式，即被开方数相同，列出方程求出m，然后合并同类二次根式即可．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴，
解得：，
∴最简二次根式，，
∴合并后的结果=，
故选：C．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义和合并同类二次根式，根据被开方数相同，列出方程求出m是解题的关键．
【变式1】（2013上·江苏无锡·九年级统考期末）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．
【详解】根据题意得，3a-8=17-2a，
移项合并，得5a=25，
系数化为1，得a=
故选D．
【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．
【变式2】（2022上·福建泉州·九年级晋江市安海中学校联考期中）若最简二次根式与可以合并，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得出，求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式以及同类二次根式，根据题意得出是解本题的关键．
【变式3】（2022下·江苏徐州·八年级校考阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则b的值是
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解即可．
【详解】由最简二次根式与是同类二次根式可得：
解得：
故选：B
【点睛】此题考查同类二次根式，解题的关键在于根据同类二次根式的定义列出方程．
考点3：二次根式加减运算
典例3：（2023上·上海黄浦·八年级统考期中）计算：．
【答案】
【分析】根据二次根式的化简，将每一项先化简，再进行加减计算即可解答．
【详解】解：，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的加减计算，熟知二次根式化简的法则是解题的关键．
【变式1】（2023上·山东济南·八年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】先化简二次根式，再根据二次根式的加减法则合并计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式2】（2023上·上海黄浦·八年级统考期中）计算：．
【答案】
【分析】根据二次根式的化简，将每一项先化简，再进行加减计算即可解答．
【详解】解：，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的加减计算，熟知二次根式化简的法则是解题的关键．
【变式3】（2023上·山东济南·八年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】先化简二次根式，再根据二次根式的加减法则合并计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式4】（2021下·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式计算得出答案；
【详解】（1）
；
（2）
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式5】（2023下·吉林白城·八年级校联考期末）计算：．
【答案】
【分析】先化为最简二次根式，然后去括号合并解题即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查二次根式的加减，把二次根式化为最简二次根式是解题的关键．
考点4：已知字母的值化简求值
典例4：（2023上·河南南阳·九年级统考阶段练习）若，则代数式的值为（ ）
A．7 B． C． D．5
【答案】D
【分析】将代数式化简为，然后再代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，能够灵活运用完全平方公式是解答本题的关键．
【变式1】（2023下·河北邢台·八年级校考阶段练习）当时，代数式的结果为（ ）
A． B． C．12 D．
【答案】A
【分析】代入数据，利用二次根式的性质和乘法法则计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
【变式2】（2023下·江苏南通·八年级统考期中）已知，，则的值等于（　　）
A．0 B．4 C． D．16
【答案】D
【分析】根据完全平方公式可得，再将x和y的值代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式．
【变式3】（2023上·海南海口·九年级统考期末）当时，代数式的值是（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】A
【分析】直接将代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式的结构是关键．
考点5：已知条件式化简求值
典例5：（2023上·四川内江·九年级校考阶段练习）如果，则的值是（　　）
A．5 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】先根据已知等式求值，再利用完全平方公式变形求值即可得．
【详解】解：由题意可知，，
，
，即，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
【变式1】（2023下·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开得到，同理可得，再结合m的范围，判断的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式建立两个式子之间的关系．
【变式2】（2023·浙江宁波·校考一模）若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】先根据得出，，根据要有意义，得出，根据得出，从而得出，将代入即可求出式子的值．
【详解】解：∵，
∴，，
∵要有意义，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴
，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式有意义的条件得出．
【变式3】（2022下·江苏苏州·八年级校考期中）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件得出x、y同号，并且x、y都是负数，求出x=-1，y=-4或x=-4，y=-1，再求出答案即可．
【详解】解：，，
、同号，并且、都是负数，
解得：，或，，
当，时，
；
当，时，
，
则的值是，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简与求值，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
【变式4】（2022下·山西·八年级统考期中）若，，则代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把代数式进行运算，然后利用整体代入法进行计算，即可得到答案.
【详解】解：，
∵，，
∴原式=；
故选：A.
【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，以及整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.
【变式5】（2022上·广东深圳·八年级校考阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把原式化简为含ab、a-b的形式，再整体代入计算．
【详解】∵，
∴(a+1)(b 1)=ab a+b 1=ab (a b) 1= (2 1) 1= .
故选A.
【点睛】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.
考点6：二次根式的新定义运算
典例6：（2023下·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期末）定义一种新运算“△”，，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据所给的新定义列式计算即可．
【详解】解：由题意得，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，正确理解新定义是解题的关键．
【变式1】（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级新疆生产建设兵团第一中学校考期中）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算，则的运算结果为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意所给新运算的运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是理解题目所给新运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则．
【变式2】（2023上·河北沧州·八年级统考期末）对于任意的实数m，n，定义一种词“”，，则（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据，代入计算可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵，
∴
故选B．
【点睛】本题考查了新定义运算，二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．
【变式3】（2022下·河北廊坊·八年级统考阶段练习）对于任意的实数m，n，定义一种运算“*”，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据题目对“*”的定义把m、n的值代入计算即可．
【详解】解：由已知可得：
∴m*n=
=
=7，
故选C．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，在观察和理解新定义的基础上把公式中字母的值代入计算即可．
考点7：二次根式的应用
典例7：（2023上·广东深圳·八年级校考期中）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．
古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：
，其中 ①
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：
．②
若一个三角形的三边长依次为，，，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由分析可得，代入公式②中比较容易计算，把分别代入进行计算解答．
【详解】解：∵，，不是同类二次根式，无法合并，代入公式①中计算不方便，
∴可代入公式②进行计算，
∵，
∴；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
【变式1】（2023下·湖北孝感·八年级统考期中）如图，从一个大正方形中截取面积为和的两个小正方形，余下部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案．
【详解】解：从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，
大正方形的边长是，
留下部分（即阴影部分）的面积是．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．
【变式2】（2023下·河北唐山·八年级统考期中）如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和，
它们的边长分别为，，
，，
阴影部分的面积
．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．
【变式3】（2023下·河北邢台·八年级校考期中）若某长方体的长为，宽为，高为，则该长方体的体积为（ ）
A． B． C．21 D．24
【答案】D
【分析】先根据题意列出算式，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：长方体的体积是：，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键
同步一遍过
一、单选题
1．（2022上·上海浦东新·八年级校考阶段练习）下列二次根式（左边）化简结果一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用二次根式的性质和二次根式的乘除法法则对每个选项进行判断即可得出结论．
【详解】
解：∵是最简二次根式，不能再化简了，
∴A选项不一定成立；
∵成立的条件是：a≥0，b≥0，
∴B选项不一定成立；
∵ab，成立的条件是a，b同号，
∴C选项不一定成立；
∵，根据商的算术平方根的性质永远成立，
∴D选项一定成立．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质，二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质与乘除法法则成立的条件是解题的关键．
2．（2022下·浙江台州·八年级统考期末）下列运算正确的是（　　）
A．+＝ B．4+＝4
C．＝＝2 D．＝6
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘法运算法则分别化简得出答案．
【详解】解：A．，故此选项不合题意；
B．无法合并，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确化简二次根式．
3．（2022上·重庆潼南·九年级校联考阶段练习）估计运算结果应在（ ）
A．7和8之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间
【答案】B
【分析】原式化简后，估算即可得到结果．
【详解】解：原式，
∵，
∴，即：，
则原式的运算结果应在5和6之间，
故选：B．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2022上·上海普陀·八年级校考期中）的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理化的定义以及二次根式的乘法法则逐项判断，即可得出答案．
【详解】解：A， ，因此不是的有理化因式，故A选项不合题意；
B， ，因此不是的有理化因式，故B选项不合题意；
C， ，因此是的有理化因式，故C选项符合题意；
D， ，因此不是的有理化因式，故D选项不合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘法法则是解题的关键．
5．（2022上·陕西西安·八年级校考阶段练习）我们知道，因此，仿照这种方法计算可得结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题干所提供的的方法化简即可.
【详解】解：原式=
=
=
=.
故选B.
【点睛】本题考查了分母有理化，分母有理化的方法则是把分子、分母同乘以分母的有理化因式，因此分母有理化的关键是找分母的有理化因式．
6．（2022下·北京西城·八年级北京师大附中校考期中）下列二次根式计算正确的是（ ）
A．×＝ B．÷＝
C．-＝ D．＋＝
【答案】B
【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算进行计算即可求解．
【详解】A. ×＝，故该选项不正确，不符合题意；
B. ÷＝，故该选项正确，符合题意；
C. -，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
D. ＋，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，正确的计算是解题的关键．
7．（2022下·河南·八年级校考期末）计算：的结果是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【分析】利用平方差公式及积的乘方的法则对式子进行运算，从而可求解．
【详解】解：
=
=
=
=
=
故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．（2022下·广西·八年级广西大学附属中学校考期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质化简和同类二次根式的概念逐一判断即可．
【详解】解：A、，此选项运算错误；
B、，此选项运算错误；
C、，此选项运算正确；
D、3与不是同类二次根式，不能合并，此选项运算错误；
故选C．
【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简和同类二次根式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
9．（2022下·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质把每一项都化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、＝2，与是同类二次根式，符合题意；
B、＝，与不是同类二次根式，不合题意；
C、＝3，与不是同类二次根式，不合题意；
D、＝，与不是同类二次根式，不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的性质，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
10．（2023下·河南商丘·八年级校联考阶段练习）如图，延时课上老师用个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形（无重叠、无间隔），已知小长方形的长为、宽为，小组研讨后得出四条结论，其中不正确的是（　　）
A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为
C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为
【答案】D
【分析】根据题目中的数据分别求出大长方形的长、宽、周长和面积，以此即可解答．
【详解】解：∵小长方形的长为、宽为，
∴大长方形的长为（故选项A正确），
大长方形的宽为（故选项B正确），
大长方形的周长为（故选项C正确），
大长方形的面积为（故选项D不正确）．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式的性质及运算法则是解题关键．
二、填空题
11．（2022下·浙江杭州·八年级统考期末）若，，则 ．
【答案】
【分析】根据配方法以及二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的运算，求代数式的值，运用了恒等变换和整体代入的思想．解题的关键是熟练运用完全平方公式以及二次根式的运算法则．
12．（2022上·广东佛山·八年级校联考期中）比较实数的大小： 2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【分析】首先利用二次根式的性质可得2＝，再比较大小即可．
【详解】解：∵2＝，
∴＜2，
故答案为：＜．
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，准确计算是解题的关键．
13．（2022下·福建龙岩·八年级统考期中）若最简二次方根式与可以合并，则ab的值为 ．
【答案】﹣2．
【分析】根据“最简二次方根式与可以合并”可知它们是同类二次根式，然后进行列式计算即可.
【详解】由题意得：b+3=2，
7a+b=6a﹣b，
解得：a=2，b=﹣1，
所以，ab=2×(﹣1)=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查的是最简二次根式根式的定义和同类二次根式的定义，能够充分调动所学知识是解题的关键.
14．（2022上·云南楚雄·八年级统考期末）计算： = ．
【答案】-1
【详解】解：原式=．故答案为－1．
15．（2023上·四川内江·九年级校考阶段练习）∵，∴；
∵，∴；
∵，∴．
请你根据以上规律，结合你的经验化简 ．
【答案】/
【分析】直接利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
16．（2022上·九年级单元测试）能力拓展：
；；；________．
…：________．
请观察，，的规律，按照规律完成填空．
比较大小和
∵________
∴________
∴________
同理，我们可以比较出以下代数式的大小：________；________；________
【答案】(1)、；(2);(3)
【分析】（1）观察A1，A2，A3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；
（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或减去一个数，等式仍成立，求得，然后利用（1）的结论解答；
（3）利用（2）的结论进行填空.
【详解】解：（1）观察A1，A2，A3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以
，，
（2）∵，
∴，
∴，即
，
∴；
（3）由（1）、（2）知，，，；
故答案为(1)、；(2);(3)
【点睛】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同.
三、解答题
17．（2023下·河北唐山·八年级统考期末）（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据二次根式的加减混合运算法则计算即可；
（2）先计算完全平方公式与平方差公式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算以及乘法公式，熟知运算法则以及完全平方公式是解题的关键．
18．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）已知三角形的面积等于长与宽分别为与的矩形的面积，若三角形的一条边长为，求这条边上的高．
【答案】
【分析】首先利用矩形的面积计算方法求得三角形的面积，根据三角形的面积公式： 列式计算即可求解．
【详解】．
答：这条边上的高为．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握矩形和三角形的面积计算方法是解决问题的关键．
19．（2022·四川广安·统考三模）先化简，再求值：，其中
【答案】；
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,然后把x代入原式进行计算即可．
【详解】解：原式
=
当时，原式=．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20．（2022下·湖北武汉·八年级统考期中）已知x，y，求下列各式的值：
(1)x2+2xy+y2；
(2)．
【答案】(1)12
(2)
【分析】根据二次根式的加减法法则分别求出x+y、x﹣y，根据二次根式的乘法法则求出xy，根据完全平方公式求出（1）中代数式的值，根据分式的减法法则、平方差公式求出（2）中代数式的值．
【详解】（1）解：∵x，y，
∴x+y＝（）+（）＝2，x﹣y＝（）﹣（）＝2，xy＝（）（）＝1，
x2+2xy+y2
＝（x+y）2
＝（2）2
＝12；
（2）
＝22
＝4．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，分式的加减，掌握二次根式的加减法法则、分式的加减运算是解题的关键．
21．（2022上·上海·八年级上海市南洋模范初级中学校考期中）解不等式：．
【答案】
【分析】先化简二次根式，然后根据解不等式的方法和步骤解不等式即可；
【详解】解：
【点睛】本题考查了二次根式的化简、二次根式的混合运算、解一元一次不等式；熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
22．（2023下·河南洛阳·八年级统考期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．
(1)求长方形的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】(1)米
(2)元
【分析】（1）根据长方形的周长公式计算即可；
（2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可．
【详解】（1）解：（米），
∴长方形的周长为米．
（2）
（平方米），
则（元），
∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元．
【点睛】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
23．（2023下·吉林白山·八年级校联考期中）在一块矩形的地面上铺设地砖，该矩形地面的长为、宽为．
(1)求该矩形地面的周长；
(2)现计划在该矩形地面上铺满地砖，请计算需要的地砖总面积（提示：结果保留整数，）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据矩形的周长（长宽），计算即可．
（2）根据矩形的面积=长×宽，计算即可．
【详解】（1）矩形的周长
（2）矩形的面积
【点睛】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是熟知矩形周长和面积的计算公式．
24．（2023下·湖北鄂州·七年级统考期末）先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题：
（1）已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值．
解：因为，
所以，
所以，
解得．
（2）已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值．
【答案】或
【分析】分别找到等式两边的有理数部分和二次根式部分，让其对应相等即可求解．
【详解】解：，
解得或
或
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算．根据题意正确将等式两边进行整理是解题关键．
25．（2022上·河南南阳·九年级统考阶段练习）阅读下面的材料，解答后面提出的问题：
在二次根式计算中我们常常遇到这样的情况：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：
，．
像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．
解决问题：
(1)的一个有理化因式是__________．
(2)已知，，则_____________．
(3)利用上面所提供的解法，请化简．
【答案】(1)
(2)10
(3)9
【分析】（1）找出的有理化因式即可；
（2）将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．
（3）原式各项分母有理化，合并即可得到结果．
【详解】（1）解：∵或，
∴的有理化因式是或；
故答案为：(或)
（2），
，
∴；
故答案为：10
（3）利用上面所提供的解法可得：
＝
＝．
＝
【点睛】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
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