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专题04 勾股定理单元过关（培优版）
考试范围：第17章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．边长为的等边三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，则P点的横坐标为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（　　）

A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
5．在中它的三边分别为a，b，c，条件：①；②；③；④；中，能确定是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为（　　）

A． B． C． D．
7．利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
D．S四边形AECD＝S四边形DEBC
8．《九章算术》提供了许多勾股数如，等一组勾股数最大的数称为“弦数”．经研究，若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个数组成勾股数，若m是大于1的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，那么m与这两个数组成勾股数，根据上面的规律，由10生成的勾股数的“弦数”是（ ）
A．16 B．24 C．26 D．32
9．如图，正方形ABCD的边长是2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，以该等腰直角三角形的一条直角边DE为边向外作正方形，其面积标记为S2......按照此规律继续作图，则S2021的值为（ ）
A． B． C． D．
10．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2； ④S1S4＝S3S2，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．图中代表的是所在的正方形的面积，则的值是 ．
12．若直角三角形的两边长分别为 3cm，5cm，则第三边长为 cm．
13．如图，是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，若最大的正方形E的边长为10，则正方形ABCD的面积之和为 ．
14．数学综合实践课，老师要求同学们利用直径为的圆形纸片剪出一个如图所示的展开图，再将它沿虚线折叠成一个无盖的正方体形盒子（接缝处忽略不计）．若要求折出的盒子体积最大，则正方体的棱长等于 ．
15．如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长为 .
16．已知:如图,在Rt ABC中,,AB=5cm, AC=3cm, 动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s 的速度移动,设运动的时间为t秒.t= 时三角形ABP为直角三角形.

评卷人得分
三、解答题
17．如图，△ABC在正方形的网格中，若点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（﹣2，0）.
按要求回答下列问题：
(1)在图中建立正确的平面直角坐标系；
(2)根据所建立的坐标系，直接写出点C的坐标 ( ， )；
(3)作出三角形ABC关于y轴对称的三角形A1B1C1；
(4)求△ABC的周长．
18．如图，在中，是边的中线，，，，求的度数．
19．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在处完成从高处救人后，然后前进到处从高处救人．
(1)_________米，_________米；
(2)①求消防车在处离楼房的距离（的长度）；
②求消防车两次救援移动的距离（的长度）．（精确到，参考数据，，）
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 12，BC = 5，CD⊥AB于点D，求CD的长．
21．如图，已知，．

(1)请用尺规作图法，在BC边上取一点D，使得，连接AD，（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)若线段，，求线段AD的长．
22．阅读下面的材料:勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．
由图1可以得到（a+b）2=4×ab+c2
整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．
所以a2+b2=c2．
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述方法证明勾股定理．
23．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为；调整张角的大小，当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为；

(1)求的长；
(2)求的长．
24．数学学习小组的同学在玩拼正方形的游戏，规则如下：将若干个边长为1的小正方形裁剪后拼成一个边长为无理数的大正方形，且其面积等于所使用小正方形的面积之和．甲同学用2个小正方形拼成面积为2的大正方形，如图1所示．
（1）乙同学将5个小正方形如图2所示摆放，裁剪后拼成一个面积为5的大正方形，请你在图2中用虚线画出裁剪线，并在正方形网格（图3）内画出拼接后的大正方形；
（2）在正方形网格（图3）中存在多种边长为无理数的格点正方形（即正方形顶点都在格点上），请直接写出所有满足条件的格点正方形的边长．
25．对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

(1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，．则 度， 度．
(2)在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”(如图2)，其中，，此时她发现成立．请你证明此结论；
②在①的条件下，若，，，求等对角四边形的面积．
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专题04 勾股定理单元过关（培优版）
考试范围：第17章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
【详解】解：A．∵52+122=25+144=169，132=169，
∴52+122=132，
即a2+b2=c2，
∴以a，b，c为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵
∴，
即a2+b2=c2，
∴以a，b，c为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．设a=k，b=2k，c=k，
∵k2+（2k）2=k2+4k2=5k2，（k）2=5k2，
∴k2+（2k）2=（k）2，
即a2+b2=c2，
∴以a，b，c为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵42+52=16+25=41，62=36，
∴42+52≠62，
即a2+b2≠c2，
∴以a，b，c为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
2．边长为的等边三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图所示，是边长为的等边三角形，过点作于点，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理可求出的长度，根据三角形的面积计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，是边长为的等边三角形，过点作于点，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，几何图形的面积计算方法，掌握以上知识的运用是解题的关键．
3．如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，则P点的横坐标为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】过点P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB=5，根据角平分线的性质得PE=PC=PD，设P（t，t），利用面积的和差得到，求出t的值得到P点坐标．
【详解】过点P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，
∵A（0，4），B（3，0），
∴OA=3，OB=4，
∴,
∵△OAB的两锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴PE=PC=PD，
设P（t，t），则PC=t，
∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB=S矩形PEOD，
∴，
解得，t=6，
∴P（6，6），
∴P的横坐标为6，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
4．已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（　　）

A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【答案】C
【分析】先根据勾股求出，再根据勾股定理求出，最后根据即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方．
5．在中它的三边分别为a，b，c，条件：①；②；③；④；中，能确定是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和定理，勾股定理逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，故①符合题意；
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴不是直角三角形，故②不符合题意；
∵，
∴最大的角为，
∴不是直角三角形，故③不符合题意；
∵，
设，
此时，
∴不是直角三角形，故④不符合题意；
能确定是直角三角形的条件有1个．
故选：A
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理，三角形的内角和定理是解题的关键．
6．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先运用勾股定理求得线段的长，再计算出此题结果即可．
【详解】由题意得，，
∴，
∴点D表示的数，
故答案为：C．
【点睛】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识和勾股定理进行求解．
7．利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
D．S四边形AECD＝S四边形DEBC
【答案】B
【分析】利用梯形面积等于3个三角形面积之和解答即可．
【详解】解：由题意可得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明依据．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
8．《九章算术》提供了许多勾股数如，等一组勾股数最大的数称为“弦数”．经研究，若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个数组成勾股数，若m是大于1的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，那么m与这两个数组成勾股数，根据上面的规律，由10生成的勾股数的“弦数”是（ ）
A．16 B．24 C．26 D．32
【答案】C
【分析】根据题意，按照题目所给的方法进行计算求解即可．
【详解】解：，
，
，
∴由10生成的勾股数的“弦数”是26，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股数以及数字变化规律，解题的关键是正确理解题意．
9．如图，正方形ABCD的边长是2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，以该等腰直角三角形的一条直角边DE为边向外作正方形，其面积标记为S2......按照此规律继续作图，则S2021的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得等腰直角三角形的直角边是斜边的，从而得到，，，，……，由此得到规律，即可求解．
【详解】解：∵△CDE是以CD为斜边等腰直角三角形，
∴DE=CE，∠CED=90°，
∴，
∴，
即等腰直角三角形的直角边是斜边的，
∴，
，
，
，
……，
由此发现，，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
10．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2； ④S1S4＝S3S2，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用正方形的性质证明△ABI≌△ADC，得出∠AIB=∠ACD，即可得出∠CNI=∠NAI，即可判断①，利用△ABI≌△ADC，即可求出△ABI的面积，即可判断②，由勾股定理和S3+S4=S ABED，即可判断③，由③S1-S4=S3-S2，两边平方，根据勾股定理可得，然后计算，即可判断④．
【详解】解：∵四边形ACHI和四边形ABED为正方形，
∴AI=AC，AD=AB，∠CAI=∠BAD=90°，
∵∠BAI=∠BAC+∠CAI，∠DAC=∠BAC+∠BAD，
∴∠BAI=∠DAC，
∴△ABI≌△ADC（SAS），
∴∠AIB=∠ACD，
∵∠CNI=∠CAI=90°，
∴BI⊥CD，
故①正确；
∵S△ACD=S△AIB=×AI×AC，S正方形ACHI=S1=AI×AC，
∴S1：S△ACD=2：1，
故②正确；
∵S1=AC2，S2=BC2，S3+S4=S正方形ADEB=AB2，AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=S3+S4，
∴S1-S4=S3-S2，
故③正确；
S1-S4=S3-S2，
，
∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AK KJ= AK AB，S4=BK KJ=BK AB，
，，
∵AB2=AC2+ BC2，，
，
即，
，
∴S1 S4=S2 S3，
故④正确，
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的条件，勾股定理的运用，完全平方公式的变形．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．图中代表的是所在的正方形的面积，则的值是 ．
【答案】225
【分析】根据勾股定理可直接求解．
【详解】解：所在正方形的面积为，
故答案为：225．
【点睛】本题主要考查考查勾股定理，勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，找我勾股定理是解题的关键．
12．若直角三角形的两边长分别为 3cm，5cm，则第三边长为 cm．
【答案】4或/或4
【分析】先分类讨论，①当5cm长的边为直角边时，②当5cm长的边为斜边时，进而根据勾股定理求解即可．
【详解】①当5cm长的边为直角边时，
第三边长为cm，
②当5cm长的边为斜边时，
第三边长为cm，
故答案为：4或．
【点睛】本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键．
13．如图，是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，若最大的正方形E的边长为10，则正方形ABCD的面积之和为 ．
【答案】100
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形，，，的面积和即为最大正方形的面积．
【详解】解：如图：
根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，，于是，
即．
故答案为：100．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够发现正方形，，，的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，解题的关键是根据勾股定理最终能够证明正方形，，，的面积和即是最大正方形的面积．
14．数学综合实践课，老师要求同学们利用直径为的圆形纸片剪出一个如图所示的展开图，再将它沿虚线折叠成一个无盖的正方体形盒子（接缝处忽略不计）．若要求折出的盒子体积最大，则正方体的棱长等于 ．
【答案】
【分析】根据题意作图，可得AB=6cm，设正方体的棱长为xcm，则AC=x，BC=3x，根据勾股定理对称62=x2+（3x）2，解方程即可求得．
【详解】解：如图示，
根据题意可得AB=6cm，
设正方体的棱长为xcm，则AC=x，BC=3x，
根据勾股定理，AB2=AC2+BC2，即，
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．
15．如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长为 .
【答案】20
【分析】分情况讨论，将纸箱展开后，蚂蚁可经上表面爬到B点，也可经右侧面爬到B点．求出这两种情况所走路线的长度，比较可得答案．
【详解】将纸箱展开,当蚂蚁经右表面爬到B点,则,
当蚂蚁经上侧面爬到B点,则
比较上面两种情况,一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点,那么它所行的最短路线的长是20，
故答案为20.
【点睛】本题涉及平面展开最短路径问题和分类讨论思想,难度中等.
16．已知:如图,在Rt ABC中,,AB=5cm, AC=3cm, 动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s 的速度移动,设运动的时间为t秒.t= 时三角形ABP为直角三角形.

【答案】2s或s
【分析】根据勾股定理求出BC的长度，再分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可．
【详解】解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，
∴BC=4 cm．
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4 cm，
∴t=4÷2=2s．
②当∠BAP为直角时，BP=2tcm，CP=（2t-4）cm，AC=3 cm，
在Rt△ACP中，AP2=32+（2t-4）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，
∴52+[32+（2t-4）2]=（2t）2，
解得t=s．
综上，当t=2s或s时，△ABP为直角三角形．
故答案为2s或s．
【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
评卷人得分
三、解答题
17．如图，△ABC在正方形的网格中，若点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（﹣2，0）.
按要求回答下列问题：
(1)在图中建立正确的平面直角坐标系；
(2)根据所建立的坐标系，直接写出点C的坐标 ( ， )；
(3)作出三角形ABC关于y轴对称的三角形A1B1C1；
(4)求△ABC的周长．
【答案】（1）见解析；（2）C（0，-2）；（3）见解析；（4）．
【分析】（1）根据点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（﹣2，0），得出原点的位置，进而建立正确的平面直角坐标系；
（2）观察所建立的直角坐标系即可得出答案；
（3）先找出A、B、C三点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（4）根据勾股定理得到△ABC的边长，即可得到结论．
【详解】解：（1）如图：建立平面直角坐标系，
（2）根据坐标系可得出： C（0，-2）；
（3）所作△A1B1C1如图所示；
（4）由勾股定理得：AC=，
BC＝，
AB＝，
所以△ABC的周长为=．
【点睛】本题考查勾股定理，轴对称变换作图，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
18．如图，在中，是边的中线，，，，求的度数．
【答案】
【分析】根据已知条件利用勾股定理的逆定理可得出是直角三角形，且，再根据，推出，即可得出答案．
【详解】解：如图，∵是边的中线，，
∴，
，，而，
∴由勾股定理的逆定理得：是直角三角形，且，
∵又，
∴，
∵是的邻补角，
∴．
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的逆定理的应用，根据题目推出是等腰直角三角形是解此题的关键．
19．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在处完成从高处救人后，然后前进到处从高处救人．
(1)_________米，_________米；
(2)①求消防车在处离楼房的距离（的长度）；
②求消防车两次救援移动的距离（的长度）．（精确到，参考数据，，）
【答案】(1)米，米
(2)①消防车在处离楼房的距离为；②消防车两次救援移动的距离约为
【分析】（1）根据题意，可得消防车的高为的长，再根据题中图形，可得云梯的长为的长．
（2）①根据题意，可得的长，再根据勾股定理，即可得到消防车在处离楼房的距离．②根据题意，可得的长，再根据勾股定理，可得到的长，然后根据，即可算出消防车两次救援移动的距离．
【详解】（1）根据题意，可得消防车的高为的长，
∴m；
根据题中图形，可得云梯的长为的长，
∴m．
故答案为：3；10．
（2）①由题意得，，，
∴，
在中，，
即消防车在处离楼房的距离为；
②由题意得，，，
∴
在中，
，
∴．
即消防车两次救援移动的距离约为．
【点睛】本题考查了数形结合思想，勾股定理等知识点，熟练运用数形结合思想是解本题的关键．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 12，BC = 5，CD⊥AB于点D，求CD的长．
【答案】
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形面积法求解即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 12，BC = 5，
∴，
∵CD⊥AB，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形面积法，熟知勾股定理是解题的关键．
21．如图，已知，．

(1)请用尺规作图法，在BC边上取一点D，使得，连接AD，（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)若线段，，求线段AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】（1）作线段的垂直平分线即可．
（2）设，则，，在中，利用勾股定理求出的值即可．
【详解】（1）解：若，
则点在线段的垂直平分线上．
如图，点即为所求．

（2）设，
则，，
在中，由勾股定理得，，
解得．
线段的长为13．
【点睛】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理是解答本题的关键．
22．阅读下面的材料:勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．
由图1可以得到（a+b）2=4×ab+c2
整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．
所以a2+b2=c2．
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述方法证明勾股定理．
【答案】见解析
【分析】直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案．
【详解】解：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b-a）2，
∴c2=4×ab+（b-a）2，
整理，得2ab+b2-2ab+a2=c2，
∴c2=a2+b2．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键．
23．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为；调整张角的大小，当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为；

(1)求的长；
(2)求的长．
【答案】(1)的长为；
(2)的长为
【分析】本题主要考查了利用勾股定理解三角形.
（1）根据勾股定理：两直角边平方和等于斜边平方直接求解即可得到答案；
（2）根据勾股定理：两直角边平方和等于斜边平方直接求解即可得到答案；
【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，
，
答：的长为；
（2）解：由题意可知，，
，
，
答：的长为．
24．数学学习小组的同学在玩拼正方形的游戏，规则如下：将若干个边长为1的小正方形裁剪后拼成一个边长为无理数的大正方形，且其面积等于所使用小正方形的面积之和．甲同学用2个小正方形拼成面积为2的大正方形，如图1所示．
（1）乙同学将5个小正方形如图2所示摆放，裁剪后拼成一个面积为5的大正方形，请你在图2中用虚线画出裁剪线，并在正方形网格（图3）内画出拼接后的大正方形；
（2）在正方形网格（图3）中存在多种边长为无理数的格点正方形（即正方形顶点都在格点上），请直接写出所有满足条件的格点正方形的边长．
【答案】（1）见解析；（2），，，
【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可．
（2）利用勾股定理，数形结合的思想解决问题即可．
【详解】（1）如图2中，裁剪线即为所求作，如图3中，正方形即为所求．
（2）满足条件的正方形的边长为，，，．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，无理数，完全平方，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
25．对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

(1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，．则 度， 度．
(2)在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”(如图2)，其中，，此时她发现成立．请你证明此结论；
②在①的条件下，若，，，求等对角四边形的面积．
【答案】(1)，
(2)①，证明见解析；② ．
【分析】（1）根据四边形是“等对角四边形”得出，根据多边形内角和定理求出即可；
（2）①连接，根据等边对等角得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可；
②连接，求出，求出，解直角三角形求出和，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】（1）∵四边形是“等对角四边形”，，，，
，
，
故答案为，；
（2）①证明：如图1，连接，
，
，
，
．
，
；

②解：如图，连接，
在和中
，
，
，
在中，，，
，
，
四边形 ．
【点睛】本题考查了四边形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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