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微专题01 勾股定理最短路径问题通关专练
一、单选题
1．（2023上·陕西榆林·八年级榆林市第一中学分校校考阶段练习）如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm，底而周长为12cm，在圆柱的下底面的内壁A处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点E处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（　　）
A．2cm B．2cm C．4cm D．10cm
2．（2022上·山东烟台·七年级统考期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022上·广东佛山·八年级校联考期中）如图，圆柱的底面周长是24，高是5，—只在A点的蚂蚁沿侧面爬行，想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（ ）
A．9 B．13 C．14 D．
4．（2023下·湖北荆门·八年级统考期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期末）如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）

A． B． C． D．
6．（2023上·河北保定·八年级校考期中）如图，长方体的高为，底面是正方形，边长为，现有一苍蝇从A点出发，沿长方体的表面到达C点处，则苍蝇所经过的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022下·广西梧州·八年级统考期中）如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从A点沿盒子的表面爬行到M点的最短距离为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．（2023上·山东威海·八年级山东省文登第二中学校考期中）如图，长方体鱼缸长宽高分别为120cm，50cm，40cm，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿10cm，壁虎爬行最短路程是 cm．
9．（2023上·陕西渭南·八年级校联考阶段练习）在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，三棱柱的上底面与下底面是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点处爬行翻过三棱柱到处需要走的最短路程是 米．

10．（2022下·山东滨州·八年级统考期中）如图，有一圆柱形玻璃杯，高为8cm，底面周长为12cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁上，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．
11．（2023上·山东枣庄·八年级校联考阶段练习）如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为，底面边长为，则这图金属丝的长度至少为 ．

12．（2023下·安徽铜陵·八年级统考期中）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面圆直径为cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为 cm（容器壁厚度忽略不计）．
13．（2023下·四川南充·八年级校考期中）如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的底面A点处有一只小蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是 ．（取3）
14．（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）长方形中，，E为边上的动点，F为的中点，连接，则的最小值为 ．

15．（2023·山东德州·统考一模）小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点B的最短路径为 米．
三、解答题
16．（2022·全国·八年级假期作业）如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？
17．（2023上·广东深圳·八年级深圳市罗湖区翠园初级中学校考期中）如图所示．有一个圆柱．它的高等于12厘米．底面半径等于厘米．在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁．它想吃到上底面B点处的食物．沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π的值取3）．
18．（2023上·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考阶段练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形的地毯上爬行，地毯上堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个等腰直角三角形，且，斜边上的高为，求这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程．

(1)如图1，______________，______________．
(2)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．
(3)在图②中，线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_______________________．
(4)问题解决：在图②中，求这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程．
19．（2023上·河南郑州·八年级校联考阶段练习）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．

(1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)当时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方．
20．（2022上·山东淄博·七年级统考期末）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于5cm、3cm、1cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
21．（2022上·全国·八年级期中）如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深为，在水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且；一小虫想从鱼缸外的点沿壁爬进鱼缸内处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离．（鱼缸厚度忽略不计）
22．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高，底面周长为，在外侧距下底的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．

23．（2023下·辽宁葫芦岛·八年级校考阶段练习）如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm．
(1)在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？
(2)若此长方体盒子有盖，则能放入木棒的最大长度是多少？
24．（2023上·陕西西安·八年级校考期末）如图，一个无盖的长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬到点G，已知，，，，求这只蚂蚁爬行的最短距离．
25．（2022上·陕西汉中·八年级校考期中）如图，一只蜘蛛从长方体的一个顶点A爬到另一顶点B，已知长方体的长、宽高分别是是，是，是，求这只蜘蛛爬行的最短距离是多少？
26．（2023上·江西九江·八年级校考阶段练习）课本再现
如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

方法探究
（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______．
方法应用
（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度．
（3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计）
27．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积：
S梯形ABCD＝ 　 　，
S△EBC＝ 　 　，
S四边形AECD＝ 　 　，
再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 　 　，化简后，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 　 　米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式的最小值＝ 　 　．
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微专题01 勾股定理最短路径问题通关专练
一、单选题
1．（2023上·陕西榆林·八年级榆林市第一中学分校校考阶段练习）如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm，底而周长为12cm，在圆柱的下底面的内壁A处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点E处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（　　）
A．2cm B．2cm C．4cm D．10cm
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：BC=10cm，AB= cm，CE=2cm，
∴BE=BC-CE=8cm，
在 中，由勾股定理得：
，
即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离10cm．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，画出图形是解题的关键．
2．（2022上·山东烟台·七年级统考期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可．
【详解】解：如图所示：作A点关于直线的对称点，再连接，交直线于点P，
则此时最小，过点B作交延长线于点E，
∵，，．
∴，，
∴，，
在中，
，
则的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．
3．（2022上·广东佛山·八年级校联考期中）如图，圆柱的底面周长是24，高是5，—只在A点的蚂蚁沿侧面爬行，想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（ ）
A．9 B．13 C．14 D．
【答案】B
【分析】画出该圆柱的侧面展开图，根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为，然后根据勾股定理求出AB即可求出结论．
【详解】解：该圆柱的侧面展开图，如下图所示，
根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为，
恰为一个矩形的对角线，该矩形的长为圆柱的底面周长的一半，
即长为，宽为5，
∴，
即沿着侧面需要爬行的最短路径长为13．
故选：B．
【点睛】此题考查的是勾股定理与最短路径问题，解题的关键是掌握勾股定理和两点之间线段最短．
4．（2023下·湖北荆门·八年级统考期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，
∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2dm，
∴AC2＝22+22＝4+4＝8，
∴AC＝2dm，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝4dm．
故选：A．
【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
5．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期末）如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出 ，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，

由题意得：，，
由勾股定理得：，
故选：C．
6．（2023上·河北保定·八年级校考期中）如图，长方体的高为，底面是正方形，边长为，现有一苍蝇从A点出发，沿长方体的表面到达C点处，则苍蝇所经过的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画出长方体的侧面展开图，分两种情况讨论，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：第一种情况如图所示，将长方体正面和右面展开，
连接AC，显然两点之间线段最短，AC为点A到点C的最短距离，
由勾股定理知：（cm）；
第二种情况如图所示，将长方体上面和右面展开，
连接AC，显然两点之间线段最短，AC为点A到点C的最短距离，
由勾股定理知：（cm）．
，
苍蝇所经过的最短距离为5cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理的应用，利用了两点之间线段最短的性质，将长方体展开成平面图，分类讨论是解题的关键．
7．（2022下·广西梧州·八年级统考期中）如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从A点沿盒子的表面爬行到M点的最短距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用展开图确定最短路线，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，蚂蚁沿路线AM爬行时距离最短；
∵正方体盒子棱长为2，M为BC的中点，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了蚂蚁爬行的最短路径为题，涉及到了正方形的性质、正方体的展开图、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题关键是牢记相关概念与灵活应用．
二、填空题
8．（2023上·山东威海·八年级山东省文登第二中学校考期中）如图，长方体鱼缸长宽高分别为120cm，50cm，40cm，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿10cm，壁虎爬行最短路程是 cm．
【答案】130
【分析】根据题意，要爬行到内侧点E处，可作出点E关于A’D’的对称点E’，连接AE’，利用勾股定理求解即为爬行的最短路程．
【详解】解：作点E关于A’D’的对称点E’，连接AE’，
根据题意可得：，，
∴，
在中，
，
∴爬行的最短路程为130cm，
故答案为：130．
【点睛】题目主要考查轴对称的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形是解题关键
．
9．（2023上·陕西渭南·八年级校联考阶段练习）在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，三棱柱的上底面与下底面是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点处爬行翻过三棱柱到处需要走的最短路程是 米．

【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短求出对角线长是解题关键．
【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，

∴长方形的长为米米，
∵长方形的宽为米，
∴一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是对角线，
∴米，
故答案为：．
10．（2022下·山东滨州·八年级统考期中）如图，有一圆柱形玻璃杯，高为8cm，底面周长为12cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁上，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．
【答案】10
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′C的长度即为所求．
【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′C，则A′C即为最短距离，
由题意可得出：A′D＝6cm，CD＝8cm，
A′C＝（cm）．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
11．（2023上·山东枣庄·八年级校联考阶段练习）如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为，底面边长为，则这图金属丝的长度至少为 ．

【答案】17
【分析】画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，将三棱柱沿展开，其展开图如图：
∴，
∴这图金属丝的长度至少为，
故答案为：17．
”
【点睛】本题考查的知识点是平面展开-最短路径问题，解题关键是先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．
12．（2023下·安徽铜陵·八年级统考期中）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面圆直径为cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为 cm（容器壁厚度忽略不计）．
【答案】2
【分析】先展开圆柱的侧面得到矩形，再根据两点之间线段最短，可知CF的长即为所求；然后结合已知条件求出DF与CD的长，最后利用勾股定理求出CF即可．
【详解】解：如图：圆柱形玻璃容器的侧面展开图，
根据两点之间线段最短可知：线段CF是蜘蛛由C到F的最短路程
根据题意，可知DF=18－1－1=16（cm），CD=π×÷2=10（cm），
∴=2（cm），
即蜘蛛所走的最短路线的长度是2cm．
故填2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、最短路径、立体图形展开图等知识点，把立体图形展开成平面图形找出最短路径是解答本题的关键．
13．（2023下·四川南充·八年级校考期中）如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的底面A点处有一只小蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是 ．（取3）
【答案】15厘米/
【分析】要想求得最短路程，首先要把和展开到一个平面内．根据两点之间线段最短、勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程即可．
【详解】解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，则即为最短路程（两点之间线段最短）．
由题意可知，这个矩形中，等于圆柱的底面周长的一半，即为厘米，等于圆柱的高，即为12厘米，
则（厘米），
即沿圆柱侧面爬行的最短路程是15厘米，
故答案为：15厘米．
【点睛】本题主要考查了最短路径问题，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内是解题关键．
14．（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）长方形中，，E为边上的动点，F为的中点，连接，则的最小值为 ．

【答案】20
【分析】作关于的对称点，连接，交于点, 则的长即为的最小值，然后利用勾股定理解题即可.
【详解】作关于的对称点，连接，交于点, 则的长即为的最小值.

长方形中, , 为的中点,
，
，
，
即的最小值为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，矩形的性质，正确的找出点E， 的位置是解题的关键.
15．（2023·山东德州·统考一模）小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点B的最短路径为 米．
【答案】
【分析】利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：平面展开图为：
（米），
故答案为．
【点睛】本题考查立体图形中两点间最短路径问题，通用办法是展开为平面图形，两点间最短路径为两点线段长度，利用水平距离和竖直距离得到直角三角形，勾股定理求出两点线段长度．熟悉立体图形中两点间最短路径问题的计算方法是解题的关键．
三、解答题
16．（2022·全国·八年级假期作业）如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？
【答案】10cm
【分析】将正方体侧面展开图展开，由勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示．
∵BC＝2cm，棱长为6cm，
∴AD＝6+2＝8（cm），BD＝6cm
由勾股定理得，
AB＝＝10（cm），
答：蚂蚁爬行的最短行程是10cm．
【点睛】此题考查了平面展开一最短路径问题，利用勾股定理是解题的关键．
17．（2023上·广东深圳·八年级深圳市罗湖区翠园初级中学校考期中）如图所示．有一个圆柱．它的高等于12厘米．底面半径等于厘米．在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁．它想吃到上底面B点处的食物．沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π的值取3）．
【答案】厘米
【分析】根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段AB的长，求出AC，BC，根据勾股定理求出AB即可．
【详解】解：根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段AB的长，
由题意得：AC＝=厘米，BC＝12厘米，
由勾股定理得：AB＝（厘米）．
答：沿圆柱侧面爬行的最短路程是厘米．
【点睛】本题考查的是平面展开 最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
18．（2023上·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考阶段练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形的地毯上爬行，地毯上堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个等腰直角三角形，且，斜边上的高为，求这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程．

(1)如图1，______________，______________．
(2)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．
(3)在图②中，线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是____________________________．
(4)问题解决：在图②中，求这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程．
【答案】(1)　　
(2)见解析
(3)两点之间线段最短
(4)
【分析】（1）过点作的垂线，交于点，根据等腰三角形的判定，可求得，，结合勾股定理可求得的长度．
（2）结合（1）的计算结果，根据几何体展开图作图方法作图即可．
（3）根据线段的性质即可求得答案．
（4）在侧面展开图中，可求得，根据勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）如图所示，过点作的垂线，交于点．

∵为等腰直角三角形，且，
∴．
又，
∴．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
故答案为：　　
（2）
（3）线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
（4）在侧面展开图中
．
根据勾股定理可知
．
所以，这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程为．
【点睛】本题主要考查等腰三角形、勾股定理，牢记等腰三角形的判定及性质、勾股定理的定义是解题的关键．
19．（2023上·河南郑州·八年级校联考阶段练习）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．

(1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)当时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）蚂蚁可从柜角A处沿着木柜的前面和右侧面爬到柜角处；也可从柜角A处沿着木柜的前面和上面爬到柜角处；
（2）分别计算和即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的和
（2）解：∵
∴
∵
∴蚂蚁爬过的最短路径长的平方为
【点睛】本题考查了勾股定理与最短路径问题．根据立体图形的侧面展开图找到最短路径是解题关键．
20．（2022上·山东淄博·七年级统考期末）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于5cm、3cm、1cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
【答案】13cm
【分析】先将台阶展开，可得AC=12cm，BC=5cm，∠C=90°，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：将台阶展开，如下图，
根据题意得：AC=3×3+1×3=12cm，BC=5cm，∠C=90°，
∴，
即蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线13cm．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确构造直角三角形是解题的关键．
21．（2022上·全国·八年级期中）如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深为，在水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且；一小虫想从鱼缸外的点沿壁爬进鱼缸内处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离．（鱼缸厚度忽略不计）
【答案】100cm
【分析】本题我们首先需要将立体图形转化为几何图形，然后利用勾股定理进行求解.
【详解】解：如图所示作点关于的对称点，连接交与点，小虫沿着的路线爬行时路程最短．
在直角△中，，，
．
最短路线长为．
【点睛】本题主要考查的就是勾股定理在实际问题中的应用.在立体图形中求两点之间的最短距离的时候我们一般首先将几何图形进行展开，转化成直角三角形来进行求解.本题中一个在外面，另一个在里面，我们需要通过翻折将里面的转化成一个平面，然后进行求解.这种问题，在矩形的时候一定要特别注意展开图的不同方法，从而得出不同的直角三角形，然后得出最短距离.
22．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高，底面周长为，在外侧距下底的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．

【答案】
【分析】要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，首先要把两个点展开到一个平面内，然后分析展开图形中的数据，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：将曲面沿展开，如图所示，过作于，

在中，，，，
由勾股定理，得．
答：蜘蛛所走的最短路线是．
【点睛】本题考查了最短路径问题，解题思路为：①先根据题意把立体图形展开成平面图形后并画出展开图，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短；②构建直角三角形，利用勾股定理列式解出．
23．（2023下·辽宁葫芦岛·八年级校考阶段练习）如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm．
(1)在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？
(2)若此长方体盒子有盖，则能放入木棒的最大长度是多少？
【答案】(1)25cm
(2)cm
【分析】(1)把盒子展开，通过两点之间线段最短，画出草图，根据勾股定理可求得，根据盒子展开的方式不同，分类讨论；
(2)连接DP、PD，放入木棒的最大长度即为长方体的顶角的连线的最长长度，此时计算出DB或AP的长度即为可能放入木棒的最大长度．
【详解】（1）长方体的各边长度如图所示，
第一种展开方式，如图，
展开：
由图可知：
此时的最短路径为CD，在Rt△ACD中，，
C为AB中点，即AC=15，
即，
此时最短路径为CD=25cm，
第二种展开方式，如图，
展开：
由图可知：
此时的最短路径为CD，在Rt△ACD中，，
C为AB中点，即AC=15，
即，
此时最短路径为CD=25cm；
第三种展开方式，如图，
展开：
由图可知：
此时的最短路径为CD，在Rt△ACD中，，
C为AB中点，即AC=15，
即，
此时最短路径为CD=cm，
∵＞25，
∴最短路径的长度为25cm；
答：最短路径为25cm．
（2）连接DB、PD，如图：
则有，
（cm），
故放入木棒的最大长度是cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理：两个直角边的积等于斜边与斜边高的积.本题还涉及到两点之间线段最短的知识点．
24．（2023上·陕西西安·八年级校考期末）如图，一个无盖的长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬到点G，已知，，，，求这只蚂蚁爬行的最短距离．
【答案】
【分析】将长方体盒子展开得到矩形，求出矩形的对角线即为正确答案．
【详解】解：①如图所示，
∴；
∴这只蚂蚁爬行的最短距离是．
【点睛】此题考查了平面展开——最短路径问题，利用勾股定理是解题的关键．
25．（2022上·陕西汉中·八年级校考期中）如图，一只蜘蛛从长方体的一个顶点A爬到另一顶点B，已知长方体的长、宽高分别是是，是，是，求这只蜘蛛爬行的最短距离是多少？
【答案】
【分析】将长方体按照图1和图2的方式展开利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴展开图只需要考虑两种，
当按照如图1所示的方式展开的时候，由勾股定理得；
当按照如图2所示的方式展开的时候，由勾股定理得；
∵，
∴这只蜘蛛爬行的最短距离是．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确将长方体按照不同的分式展开是解题的关键．
26．（2023上·江西九江·八年级校考阶段练习）课本再现
如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

方法探究
（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______．
方法应用
（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度．
（3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计）
【答案】（1）15；（2）（3）
【分析】本题考查勾股定理、几何体的展开图．
（1）根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可．
（2）根据绕两圈到B，则展开后相当于求出的斜边长，并且，根据勾股定理求出即可．
（3）将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，
由题意得：.
在中，由勾股定理得：，
所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是
故答案为：15．
（2）如图所示，
∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，
∴展开后
由勾股定理得：，
所以彩条的最短长度是．
（3）展开玻璃杯的侧面，如图，
作点A关于的对称点，连接，作于点C，则
，，，．
在中，，
所以蚂蚁爬行的最短路径长为．
27．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积：
S梯形ABCD＝ 　 　，
S△EBC＝ 　 　，
S四边形AECD＝ 　 　，
再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 　 　，化简后，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 　 　米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式的最小值＝ 　 　．
【答案】（小试牛刀），，，；（知识运用）米；（知识迁移）
【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可，四边形面积为和的面积和，求解即可；
（知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小；
（知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小．
【详解】解：（小试牛刀）
由图形可得
化简可得
故答案为：，，，；
（知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图：
由题意可得：
，则的最小值，即为的最小值
由三角形三边关系可得：，当三点共线时
∴的最小值为，米
故答案为米；
（知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，
由上可得当三点共线时，距离最小，最小为，
故答案为
【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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