资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 勾股定理与逆定理
考点类型
知识一遍过
（一）勾股定理
（1）勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
（2）表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
（3）变式：
①a2=c2- b2
②b2=c2- a2
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
（二）勾股定理的几何证明
（1）方法一：，，化简可证．
（2）方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　
大正方形面积为
所以
（3）方法三：，，化简得证
（三）勾股数
（1）勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
（2）常见的勾股数：如；；；等
（3）扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：
①（为正整数）；
②（为正整数）
③（，为正整数）
注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。
（四）勾股定理逆定理
内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边
注意：
（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，若=则以，，为三边的三角形是直角三角形；
（2）定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边
考点一遍过
考点1：勾股定理求线段
典例1：（2023上·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，在中，，，垂足为D．若，，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．5
【变式1】（2023上·江苏连云港·八年级连云港市新海实验中学校考期中）如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为1，，之间的距离为3，则的长是（ ）
A．5 B．9 C．13 D．17
【变式2】（安徽省淮北市五校联考2023-2024学年八年级上学期月考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，，点B在第一象限，，若，，则四边形的面积为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3】（2023上·江苏连云港·八年级校考期中）定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在中，，则中边的“中高偏度值”为（ ）
A． B． C． D．
考点2：勾股定理——网格问题
典例2：（2023上·福建宁德·八年级统考期中）如图：网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·广东深圳·八年级深圳大学附属中学校考期中）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（ ）

A．4.5 B． C． D．
【变式2】（2023上·山东临沂·八年级统考阶段练习）如图，在的正方形网格中标出了和，则（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（2022上·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有（ ）个；
①的形状是等腰三角形；
②的周长是；
③点C到边的距离是．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点3：勾股定理——折叠问题
典例3：（2022上·江苏无锡·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【变式1】（2023上·上海青浦·八年级校考期中）如图长方形中，，，点为边上一点，将沿翻折后，点恰好落在边上的点处，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【变式2】（2023上·浙江温州·八年级统考期中）如图，小林折叠一张长方形纸片，已知该纸片长，宽，折叠时，小林在边上取一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的处，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3】（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，三角形纸片中，点是边上一点，把沿着直线翻折，得到，连接交于点，若，，的面积为，则的长为(　　)

A． B． C． D．
考点4：勾股定理——勾股树问题
典例4：（2022下·安徽滁州·八年级统考期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．17 B．34 C．77 D．86
【变式1】（2022下·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，若，则（ ）
A．5 B．7 C．13 D．15
【变式2】（2022上·浙江·八年级期末）如图，已知图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为，正方形，，，的面积分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022上·江西萍乡·八年级统考阶段练习）如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，再分别以正方形②和②’的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，...，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（ ）
A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64cm2
考点5：勾股定理——勾股数问题
典例5：（2022上·广东茂名·八年级校考期中）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．6，8，10 C．12，16，20 D．
【变式1】（2022下·湖北武汉·八年级校联考期中）下列各组数能构成勾股数的是（　　）
A．2，， B．12，16，20 C．，， D．，，
【变式2】（2023上·全国·八年级专题练习）如果正整数满足等式，那么正整数叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　）

A．67 B．34 C．98 D．73
【变式3】（2023下·贵州铜仁·八年级统考期末）成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为（，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（ ）

A．14 B．16 C．35 D．37
考点6：勾股逆定理——判定Rt△
典例6：（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）分别具备下列条件的中，不属于直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
【变式1】（2023上·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）在中以下条件能判定是直角三角形的个数有（ ）个
条件①：；
条件②：三角形三边a，b，c的比；
条件③：；条件④：、、．
条件⑤：三角形三边a，b，c满足
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】（2023上·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期中）已知、、是的三边长，它们满足，则这个三角形的形状是( )
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【变式3】（2023上·河南郑州·八年级校考期中）中，，，的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（ ）
A．如果，则
B．如果，则为直角三角形
C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数
D．如果，则为直角三角形
考点7：勾股定理——弦图计算
典例7：（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·广东广州·八年级南海中学校考期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则下列四个说法：①，②，③，④，其中正确的是（ ）

A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【变式2】（2023下·河南驻马店·八年级校考阶段练习）“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（2022上·辽宁沈阳·八年级统考期末）在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
考点8：勾股定理——几何应用
典例8：（2024上·广东广州·九年级广州市黄埔军校纪念中学校考开学考试）如图，正方形的顶点A，B别在x轴、y轴上，，，若的中点E好落在x轴上，此时恰好也垂直于y轴，交y轴于点F，连接．判断：①；②是等边三角形；③；④．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【变式1】（2023上·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期中）如图，在和中，，，，点C，D，连接B、D和B，E，下列四个结论：①；②；③；④，其中，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（2023上·浙江绍兴·八年级新昌县七星中学校考期中）如图，已知点在的边上，，点，在边上．若，，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．9
【变式3】（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，且，连接，若，，则的长为（　　）
A．15 B． C．18 D．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022上·山东淄博·七年级统考期中）已知中，，BD是AC边上的高线，，那么BD等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2022上·山东泰安·七年级统考期中）下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=5：12：13； ④△ABC中，三边长分别为；其中，直角三角形的个数有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022·河北保定·校考一模）如图，嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长为，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022上·河南商丘·九年级永城市实验中学校考期末）在中，，以点A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与相似，且相似比为，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，23 D．6，8，11
6．（2022上·九年级课时练习）定义：顺次连接平面内不在同一条直线上的任意三点A，B，C，称为A，B，C，三点的勾股差，记作，即．若D、E、F是平面内不在同一条直线上的任意三点，顺次将其连接，根据上述定义，下列结论错误的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，，，则
7．（2022上·江苏连云港·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，4）、P（﹣1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江金华·统考二模）如图，四边形是平行四边形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；连接并延长，交于点E．连接，若，则的长为（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
9．（2022上·黑龙江牡丹江·九年级牡丹江四中校考阶段练习）如图，Rt△ABC中，，，，将绕O旋转120°后，点C的对应点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
10．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学校联考一模）如图，已知四边形中，，，点分别是边上的两个动点，且，过点B作于G，连接，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022上·七年级单元测试）数组3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……都是勾股数，若n为直角三角形的一较长直角边，用含n的代数式表示斜边为 ．
12．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考开学考试）如图，在中，，点是边上的中点，，分别以、边为直径向三角形外部作半圆，半圆的面积分别为和，则 ．（结果保留）

13．（2022上·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，是边上的中线，点E，F，M，N是上的四点，则图中阴影部分的总面积是___________．

14．（2022下·上海徐汇·九年级统考阶段练习）过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为 cm．
15．（2022下·安徽宿州·八年级安徽省泗县中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC－BC=，△ABC的面积为4，则AB= ．
16．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）在矩形ABCD中，点E为AD的中点，点F是BC上的一点，连接EF和DF，若AB=4，BC=8，EF=2，则DF的长为 ．
三、证明题
17．（2022下·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，PA＝3，PB＝1，CD＝PC＝2，CD⊥PC．
(1)找出图中一对全等三角形，并证明；
(2)求∠BPC的度数．
18．（2022上·福建福州·八年级福州华伦中学校考期末）如图，已知，，，，．

(1)求证：是直角三角形；
(2)求四边形的面积．
19．（2022上·江苏盐城·八年级统考期中）如图，是等腰直角三角形，，是斜边的中点，分别是、边上的点，且.
（1）证明：；
（2）证明：.
20．（2022上·浙江宁波·八年级校考期中）如图，已知四边形中，平分，，与互补，求证：．
21．（2022上·广东佛山·八年级校考期中）如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部D处．已知楼顶D处离地面的距离为，云梯的长度为，求梯子的底部和墙基的距离．
22．（2023下·江西九江·八年级校考期中）如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地时需经过C地沿折线行驶，开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知，，，隧道开通后，汽车从A地到B地行驶的直线距离为多少千米

23．（2022上·江苏无锡·八年级校考期中）小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
(1)如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，若AC=6cm，BC=8cm，求CD的长．
(2)如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC=6cm，BC=8cm，求CD的长．
24．（2022上·全国·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，点B在的延长线上，，连接．
(1)求的长；
(2)动点P从点A出发，向终点B运动，速度为2个单位/秒，运动时间为秒．
①当t为何值时，为等腰直角三角形；
②当t为何值时，是等腰三角形？
25．（2022上·吉林长春·八年级吉林省实验校考阶段练习）由边长为1的正方形组成的网格中，已知点A，点D在格点上，请画出四边形ABCD，使另外两个顶点B，C也在格点上，且，，，并直接写出四边形ABCD的面积．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 勾股定理与逆定理
考点类型
知识一遍过
（一）勾股定理
（1）勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
（2）表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
（3）变式：
①a2=c2- b2
②b2=c2- a2
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
（二）勾股定理的几何证明
（1）方法一：，，化简可证．
（2）方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　
大正方形面积为
所以
（3）方法三：，，化简得证
（三）勾股数
（1）勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
（2）常见的勾股数：如；；；等
（3）扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：
①（为正整数）；
②（为正整数）
③（，为正整数）
注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。
（四）勾股定理逆定理
内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边
注意：
（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，若=则以，，为三边的三角形是直角三角形；
（2）定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边
考点一遍过
考点1：勾股定理求线段
典例1：（2023上·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，在中，，，垂足为D．若，，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键．先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，即．
故选C．
【变式1】（2023上·江苏连云港·八年级连云港市新海实验中学校考期中）如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为1，，之间的距离为3，则的长是（ ）
A．5 B．9 C．13 D．17
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理、三角形的全等与性质等知识点．作于D，作于E，再证明，因此可得，再结合勾股定理即可求解．
【详解】解：如图：作于D，作于E，

∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理，得：，
故选：A．
【变式2】（安徽省淮北市五校联考2023-2024学年八年级上学期月考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，，点B在第一象限，，若，，则四边形的面积为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】该题主要考查了勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线；
过B作，根据勾股定理解出再根据等面积法算出从而得出，再根据四边形的面积即可求解；
【详解】过B作，
，，，
，
，
，
，
则四边形的面积；
故选：B．
【变式3】（2023上·江苏连云港·八年级校考期中）定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在中，，则中边的“中高偏度值”为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理．根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离,再求它们的比值即可．
【详解】解 ： 作于点D，为的中线，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵为斜边上的中线，，
∴，
∴，
即点到的距离为，
∴中边的“中偏度值”为：，

故选：A．
考点2：勾股定理——网格问题
典例2：（2023上·福建宁德·八年级统考期中）如图：网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，利用网格的特点和勾股定理分别求出4条线段的长即可得到答案．
【详解】解：由网格的特点可知，，，，
∴表示长的线段是，
故选C．
【变式1】（2023上·广东深圳·八年级深圳大学附属中学校考期中）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（ ）

A．4.5 B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理，直接利用勾股定理求出的长．
【详解】解：．
故选C．
【变式2】（2023上·山东临沂·八年级统考阶段练习）如图，在的正方形网格中标出了和，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，再利用等量代换即可解答．
【详解】解：如图：连接，

由题意得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识点，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式3】（2022上·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有（ ）个；
①的形状是等腰三角形；
②的周长是；
③点C到边的距离是．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据勾股定理求出、、长，即可判断①和②，根据三角形面积公式即可判断③．
【详解】解：由勾股定理得：，，，
∴，
∴的形状是等腰三角形，
∴①正确；
的周长是，
∴②错误；
设C到的距离是h，
由三角形面积公式得：，
∵，
∴，
∴③错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
考点3：勾股定理——折叠问题
典例3：（2022上·江苏无锡·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】先利用折叠的性质得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得到，求解即可．
【详解】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴，
∴，
设，则，，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．
【变式1】（2023上·上海青浦·八年级校考期中）如图长方形中，，，点为边上一点，将沿翻折后，点恰好落在边上的点处，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质及勾股定理，设，则，由折叠性质可知，， ，求出，，在中，，即，即可求解．
【详解】解：设，则，
由折叠性质可知，， ，
在中，，，
，
，
在中，，
即，
解得 ．
故选：C．
【变式2】（2023上·浙江温州·八年级统考期中）如图，小林折叠一张长方形纸片，已知该纸片长，宽，折叠时，小林在边上取一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的处，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．．由折叠的性质可知，，，由勾股定理，得出，进而得到，设，利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．灵活利用勾股定理是解题关键．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，
四边形是长方形，
，，，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
即，
故选：C．
【变式3】（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，三角形纸片中，点是边上一点，把沿着直线翻折，得到，连接交于点，若，，的面积为，则的长为(　　)

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，先由沿着直线翻折，得到，证明垂直平分，再由，根据勾股定理求得，再由，得，则，即可列面积等式求得，则，再根据勾股定理求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵沿着直线翻折，得到，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长是，
故选：B．
考点4：勾股定理——勾股树问题
典例4：（2022下·安徽滁州·八年级统考期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．17 B．34 C．77 D．86
【答案】C
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
【详解】解：如下图：
根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，
S1＝42+62，S2＝32+42，
于是S3＝S1+S2，
即可得S3＝16+36+9+16＝
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，根据勾股定理的几何意义表示出S3是解答本题的关键．
【变式1】（2022下·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，若，则（ ）
A．5 B．7 C．13 D．15
【答案】B
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可．
【详解】∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵S1=BC2=3，S2=AB2=10，S3=AC2，
∴S3=S2 S1=10 3=7，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．
【变式2】（2022上·浙江·八年级期末）如图，已知图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为，正方形，，，的面积分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a，分别用含b和含a的式子表示出最大正方形的边长、正方形D左侧的正方形的边长及最大正方形下方直角三角形的最长边；再分别表示出S1，S2，S4；然后在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得出b2与a2的数量关系；最后观察并计算可得出答案．
【详解】解：设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a，
∵其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k，
∴最大正方形的边长为kb，正方形D左侧的正方形的边长为ka，
∴最大正方形下方直角三角形的最长边为k2a，
∴S1=（kb）2-b2
=（k2-1）b2，
S2=b2，
S4=a2，
在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得：
（ka）2+（kb）2=（k2a）2，
∴a2+b2=k2a2，
∴b2=（k2-1）a2，
∴S1=（k2-1）2a2，
∴S1 S4=（k2-1）2a2 a2
=[（k2-1）a2]2
=S22，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形和正方形中的运用，数形结合并正确找到相关线段的数量关系是解题的关键．
【变式3】（2022上·江西萍乡·八年级统考阶段练习）如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，再分别以正方形②和②’的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，...，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（ ）
A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64cm2
【答案】C
【分析】求出正方形的性质，再根据勾股定理依次求出各正方形的面积，然后求出正方形①的面积，再根据正方形的性质求出边长即可．
【详解】解：正方形⑤的面积是，各三角形都是等腰直角三角形，
正方形④的面积为，
同理，正方形③的面积是，
正方形②的面积是，
正方形①的面积是．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，依次求出各正方形的面积是解题的关键．
考点5：勾股定理——勾股数问题
典例5：（2022上·广东茂名·八年级校考期中）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．6，8，10 C．12，16，20 D．
【答案】D
【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．
【详解】解：A、，是勾股数，不符合题意；
B、，是勾股数，不符合题意；
C、，是勾股数，不符合题意；
D、，不是勾股数，符合题意；
故选：D．
【变式1】（2022下·湖北武汉·八年级校联考期中）下列各组数能构成勾股数的是（　　）
A．2，， B．12，16，20 C．，， D．，，
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股数，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、，但不是正整数，故选项错误；
B、，能构成直角三角形，是整数，故选项正确；
C、，不能构成直角三角形，故选项错误；
D、，不能构成直角三角形，故选项错误．
故选：B．
【变式2】（2023上·全国·八年级专题练习）如果正整数满足等式，那么正整数叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　）

A．67 B．34 C．98 D．73
【答案】C
【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值．
【详解】解：由题可得：
，
，
，
∴当时，，
∴，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键．
【变式3】（2023下·贵州铜仁·八年级统考期末）成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为（，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（ ）

A．14 B．16 C．35 D．37
【答案】C
【分析】依题意，设斜边为x，则股为，根据勾股定理即可求出x的值．
【详解】解：依题意，设斜边为x，则股为，
∴，
解得：，
∴股为，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，考查转化思想以及计算能力．
考点6：勾股逆定理——判定Rt△
典例6：（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）分别具备下列条件的中，不属于直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等知识，熟知三角形三个内角的度数之和为180度是解题的关键．根据三角形内角和为180度，求出每一个角的度数即可判断选项A、C、D，根据勾股定理的逆定理即可判断选项B．
【详解】解：A．∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
B．∵，，，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
C．∵，，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
D．∵，，
∴，，
∴不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
【变式1】（2023上·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）在中以下条件能判定是直角三角形的个数有（ ）个
条件①：；
条件②：三角形三边a，b，c的比；
条件③：；条件④：、、．
条件⑤：三角形三边a，b，c满足
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．本题利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：①，则，因此，
故是直角三角形；
②三角形三边a，b，c的比；，则，
故是直角三角形；
③，则最大的角，
故不是直角三角形；
④、、，因为，
则是直角三角形；
⑤三角形三边a，b，c满足，即，
则是直角三角形；
故能判定是直角三角形的个数有4个，
故选：C．
【变式2】（2023上·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期中）已知、、是的三边长，它们满足，则这个三角形的形状是( )
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据绝对值，偶次方，算术平方根的非负性可得，，，从而可得，，，然后利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
【详解】解：
，，，
，，，
，，
，
是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值，偶次方，算术平方根的非负性，等边三角形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【变式3】（2023上·河南郑州·八年级校考期中）中，，，的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（ ）
A．如果，则
B．如果，则为直角三角形
C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数
D．如果，则为直角三角形
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，勾股数的定义进行分析判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴设，
∵，，
∴，
∴，故不符合题意；
B、∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故符合题意；
C、∵a，b，c长分别为6，8，10，
∴，且a，b，c的长都是正整数，
∴a，b，c是一组勾股数．故不符合题意；
D、∵①，
②，
将①代入②得：，
∴，
∴是直角三角形，故不符合题意．
故选：B．
考点7：勾股定理——弦图计算
典例7：（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，得出，，再根据三个正方形面积公式列式相加：，求出的值，从而可以计算结论即可．
【详解】解：八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【变式1】（2023上·广东广州·八年级南海中学校考期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则下列四个说法：①，②，③，④，其中正确的是（ ）

A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】利用大正方形面积和勾股定理可判断①，利用小正方形面积可求出小正方形边长，再利用线段和差可判断②，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和可判断③，利用①③可判断④．
【详解】解：如图，

∵是直角三角形，
∴根据勾股定理得，故①正确；
由图可知，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即，故③正确；
由可得．
∵，
∴，整理得，
∴，故④错误．
正确的是①②③．
故选：C．
【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，解题的关键是利用大正方形面积和小正方形面积得出大正方形和小正方形的边长．
【变式2】（2023下·河南驻马店·八年级校考阶段练习）“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设图中直角三角形的两条直角边长分别为，斜边为，根据题意“空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25”可得，将两式相加并求解即可获得答案．
【详解】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为，斜边为，

∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，
∴可有，
解得，
解得或（不合题意，舍去），
∴大正方形的边长是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、方程组的应用等知识，正确表示出直角三角形的面积是解题关键．
【变式3】（2022上·辽宁沈阳·八年级统考期末）在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】利用正方形的性质，易证，得到，再利用勾股定理，得到，同理可得，，，即可得到答案．
【详解】解：由正方形的性质可知，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
同理可得，，，
，
故选：A．

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意得出是解题关键．
考点8：勾股定理——几何应用
典例8：（2024上·广东广州·九年级广州市黄埔军校纪念中学校考开学考试）如图，正方形的顶点A，B别在x轴、y轴上，，，若的中点E好落在x轴上，此时恰好也垂直于y轴，交y轴于点F，连接．判断：①；②是等边三角形；③；④．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】根据正方形的性质，可得，，，证明，从而得到①正确，作轴于点M，则，由平行线的性质可得，证得③正确，根据，，得到，根据直角三角形中斜边大于直角边，得到，判定不是等边三角形，设，则，利用勾股定理结合等面积法即可求得，即可判断②④均错误．本题考查了图形与坐标，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
【详解】∵正方形，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴,
∴①正确，
作轴于点M，
则，
∴，
∵,
∴,
∴③正确，
∵，，
∴，
根据直角三角形中斜边大于直角边，
∴，
∴不是等边三角形，
∴②错误；
设，则，
∴，
根据直角三角形面积不同表示法，得，
∴，
∵，
∴，
解得
∴，
故④错误．
综上所述，正确的有①③，
故选：C．
【变式1】（2023上·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期中）如图，在和中，，，，点C，D，连接B、D和B，E，下列四个结论：①；②；③；④，其中，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①由条件证明，就可以得到结论；
②由就可以得出，就可以得出而得出结论；
③由条件知，由，就可以得出结论；
④为直角三角形就可以得出，由和是等腰直角三角形得到，，再由就可得出结论．
【详解】解：①∵，
∴，
即．
在和中，
∵，
∴，
∴．故①正确；
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴；故②正确；
③∵，，
∴，
∴．
∴，故③错误；
④∵，
∴．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键．
【变式2】（2023上·浙江绍兴·八年级新昌县七星中学校考期中）如图，已知点在的边上，，点，在边上．若，，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质等知识，熟记等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．过点作于点，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，则，在中根据勾股定理可求得，再在中，根据勾股定理求的长即可．
【详解】解：过点作于点，如下图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴在中，．
故选：C．
【变式3】（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，且，连接，若，，则的长为（　　）
A．15 B． C．18 D．
【答案】B
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键，连接，利用证明，根据全等三角形的性质得出，进而推出，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理求出，，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
，
，
在和中，
，
，
，
，
且，
，
，
，
，
，
故选：B．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022上·山东淄博·七年级统考期中）已知中，，BD是AC边上的高线，，那么BD等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】由题意根据已知可求得AD的长，再根据勾股定理即可求得BD的长．
【详解】解：∵AB=AC=10，DC=2，
∴AD= AC-DC=8，
∴.
故选：C．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形勾股定理是解题的关键.
2．（2022上·山东泰安·七年级统考期中）下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=5：12：13； ④△ABC中，三边长分别为；其中，直角三角形的个数有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，逐一判定即可.
【详解】①∵△ABC中，∠C=∠A-∠B，
∴∠C+∠B=∠A，
∵∠C+∠A+∠B=180°，
∴2（∠B+∠C）=180°，
∴∠B+∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
∴x+2x+3x=180°，
∴x=30°，
∴∠C=3x=3×30°=90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵△ABC中，a：b：c=3：4：5，
∴设a=3x，则b=4x，c=5x，
∴a2+b2+c2=（3x）2+（4x）2=（5x）2，
∴△ABC是直角三角形；
④∵△ABC中，三边长分别为
∴
∴△ABC不是直角三角形；
故答案为C.
【点睛】此题主要考查直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键.
3．（2022·河北保定·校考一模）如图，嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长为，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理，求出FC=，令DE=x，在Rt中，EC2=，在Rt中，EC2==，代入求解即可．
【详解】解：由题意，得
∠ECF=∠CDF=∠CDE=90°，CD=4m，=，
由勾股定理，得
FC=，
EC2=，EC2=，
∴=，
令DE=x，则EF=x+8，
∴，
整理，得16x=32，
解得x=2．
故选：A．
【点睛】本题考查利用勾股定理求线段长，拓展一元一次方程，正确的运算能力是解决问题的关键．
4．（2022上·河南商丘·九年级永城市实验中学校考期末）在中，，以点A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与相似，且相似比为，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的性质逐一判断即可．
【详解】A、，则，此选项是符合要求的作图，故不符合题意；
B、，则，此选项是符合要求的作图，故不符合题意；
C、，则，此选项是符合要求的作图，故不符合题意；
D、，由勾股定理得：，则，此选项是不符合要求的作图，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的相似比等于对应边的比是关键．
5．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，23 D．6，8，11
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理，即可求解．
【详解】解：A、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6．（2022上·九年级课时练习）定义：顺次连接平面内不在同一条直线上的任意三点A，B，C，称为A，B，C，三点的勾股差，记作，即．若D、E、F是平面内不在同一条直线上的任意三点，顺次将其连接，根据上述定义，下列结论错误的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，，，则
【答案】B
【分析】根据定义，并结合有关的几何知识，可以对选项的正确性作出判断，从而选出错误选项．
【详解】A、由已知定义，,,通过比较，成立，A正确；
B、由A可知，不管是否成立，都有成立，所以B不一定正确；
C、若，则为直角三角形，根据勾股定理有：，所以，C正确；
D、若，，，则，D正确；
故选B．
【点睛】本题综合考查阅读能力以及勾股定理等有关几何知识的应用，解题关键是根据题目给出的定义对各选项的有关符号作出表示．
7．（2022上·江苏连云港·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，4）、P（﹣1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作AH⊥y轴，CE⊥AH，证明△AHB∽△CEA，根据相似三角形的性质得到AE＝2BH，求出点M的坐标，根据两点间的距离公式用x表示出PM，根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥y轴于H，过点C作CE⊥AH于E，则四边形CEHO是矩形，
∴OH＝CE＝4，
∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABH＋∠HAB＝90°，∠HAB＋∠EAC＝90°，
∴∠ABH＝∠EAC，
∴△AHB∽△CEA，
∴，即，
∴AE＝2BH，
设BH＝x，则AE＝2x，
∴OC＝HE＝2＋2x，OB＝4 x，
∴B（0，4 x），C（-2-2x，0），
∵BM＝CM，
∴M（-1-x，），
∵P（-1，0），
∴PM＝
最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的性质，正确添加辅助线、掌握二次函数的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
8．（2022·浙江金华·统考二模）如图，四边形是平行四边形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；连接并延长，交于点E．连接，若，则的长为（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
【答案】A
【分析】如图，连接FE，设AE交BF于点O．首先证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出AB即可．
【详解】如图，连接FE，设AE交BF于点O．
由作图可知：AB=AF，AE平分∠BAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，
∴AO=OE=4，BO=OF=3，
在Rt△AOB中，，
故选：A．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．（2022上·黑龙江牡丹江·九年级牡丹江四中校考阶段练习）如图，Rt△ABC中，，，，将绕O旋转120°后，点C的对应点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】连接OC，可得∠AOC=30°；分顺时针和逆时针两种情况考虑即可求得结果．
【详解】如图，连接OC
由A、C的坐标知，OA=，AC=1，AC⊥OA，由勾股定理得OC=2
∴∠AOC=30°
当OC绕点O逆时针旋转120°时,，
∵∠BOC=90° ∠AOC=60°
∴∠
即与OC关于y轴对称
∴
当OC绕点O顺时针旋转120°时，，
此时点在y轴负半轴上
∴
综上所述，点C的对应点的坐标为或
故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质，旋转的性质等知识，注意分类讨论．
10．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学校联考一模）如图，已知四边形中，，，点分别是边上的两个动点，且，过点B作于G，连接，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点C作，交延长线于M，连接，交于O，则构造的四边形为正方形，由可证，得出，则O是正方形的中心，由正方形的性质得出，取中点N，连接，过点N作于H，由勾股定理求出，由直角三角形的中线性质得出，由三角形三边关系得，则当C、G、N三点共线时，最小，即可得出结果．
【详解】解：过点C作，交延长线于M，连接，交于O，如图所示：
∴，

∵，，
∴，
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴四边形为正方形，
∴．
∵，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴O是正方形的中心．
∵，
∴，
取中点N，连接，过点N作于H，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，N是的中点，
∴．
∵，
当C、G、N三点共线时，最小为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握正方形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
11．（2022上·七年级单元测试）数组3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……都是勾股数，若n为直角三角形的一较长直角边，用含n的代数式表示斜边为 ．
【答案】/
【分析】首先确定各勾股数中的较长直角边、斜边，认真观察，总结规律，不难得出．
【详解】解：因为3、4、5中较长直角边是4、斜边是；
5、12、13中较长直角边是12、斜边是；
7、24、25中较长直角边是24、斜边是；
9、40、41中较长直角边是40、斜边是；…
∴若n为直角三角形的一较长直角边，用含n的代数式表示斜边为．
【点睛】此题考查勾股数之间的规律，认真观察是关键．
12．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考开学考试）如图，在中，，点是边上的中点，，分别以、边为直径向三角形外部作半圆，半圆的面积分别为和，则 ．（结果保留）

【答案】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据图形得到，，根据勾股定理推出，即可求解．
【详解】由题意，得，，
∵在中，，点是边上的中点，，
∴
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键
13．（2022上·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，是边上的中线，点E，F，M，N是上的四点，则图中阴影部分的总面积是___________．

【答案】
【分析】先根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出的长，再根据同底等高的三角形面积相等可知，，故可得出，由此即可得出结论．
【详解】解：在中，，，是边上的中线，
∴，，
∴，
∵同底等高的三角形面积相等，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟知同底等高的三角形面积相等是解答此题的关键．
14．（2022下·上海徐汇·九年级统考阶段练习）过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为 cm．
【答案】
【分析】根据题意画出图，可得ED=6cm，AB=4cm，由垂径定理知OA=3cm，AM=2cm，再根据勾股定理即可求得．
【详解】解：由题意知，最长的弦为过点M的直径，最短的弦为过点M且垂直于OM的弦，
如图所示，直径ED⊥AB于点M，则ED=6cm，AB=4cm，
由垂径定理知：点M为AB的中点，
所以AM=2cm，
因为半径OA=3cm，
所以OM2=OA2 AM2=9 4=5，
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握垂径定理的性质及勾股定理的应用．
15．（2022下·安徽宿州·八年级安徽省泗县中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC－BC=，△ABC的面积为4，则AB= ．
【答案】
【分析】先根据AC-BC=得出（AC-BC）2=8，再根据△ABC的面积等于4得出AC BC的值，结合完全平方公式可得出AC2+BC2的值，根据勾股定理可得出结论．
【详解】解：∵AC-BC=，
∴（AC-BC）2=8，∴AC2+BC2-2AC·BC=8①．
∵S△ABC=AC BC=4，∴AC BC=8②，
把②代入①得，AC2+BC2-2×8=8，∴AC2+BC2=24，
根据勾股定理得，AB2=AC2+BC2=24，
∴AB=．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理以及完全平方公式，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解答此题的关键．
16．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）在矩形ABCD中，点E为AD的中点，点F是BC上的一点，连接EF和DF，若AB=4，BC=8，EF=2，则DF的长为 ．
【答案】或/或
【分析】分两种情况考虑，①当BF＞CF时，②当BF＜CF时，然后过F作FG⊥AD于G，根据勾股定理进行求解．
【详解】①如图所示，当BF＞CF时，过F作FG⊥AD于G，则GF＝4，
Rt△EFG中，，
又∵E是AD的中点，AD＝BC＝8，
∴DE＝4，
∴DG＝4﹣2＝2，
∴Rt△DFG中，；
②如图所示，当BF＜CF时，过F作FG⊥AD于G，则GF＝4，
Rt△EFG中，，
又∵E是AD的中点，AD＝BC＝8，
∴DE＝4，
∴DG＝4+2＝6，
∴Rt△DFG中，，
故答案为：或．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，学会运用分类讨论的思想与巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
三、证明题
17．（2022下·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，PA＝3，PB＝1，CD＝PC＝2，CD⊥PC．
(1)找出图中一对全等三角形，并证明；
(2)求∠BPC的度数．
【答案】(1)△APC≌△BDC，理由见解析；(2) ∠BPC＝135°.
【分析】（1）根据同角的余角相等求出∠ACP=∠BCD，再利用“边角边”证明△APC≌△BDC；
（2）先判断出△PCD是等腰直角三角形，再根据全等三角形对应边相等可得AP=BD，然后利用勾股定理逆定理判断出△BPD是直角三角形，∠BPD=90°，再根据∠BPC=∠BPD+∠CPD代入数据计算即可得解
【详解】(1)△APC≌△BDC，理由如下：
∵∠ACB＝90°，CD⊥CP，∴∠ACB＝∠PCD，
∴∠ACB－∠PCB＝∠PCD－∠PCB，
即∠ACP＝∠BCD，
又∵AC＝BC，PC＝DC，∴△APC≌△BDC(SAS)．
(2)∵△APC≌△BDC，∴AP＝BD，
∵PC＝CD＝2，∠PCD＝90°，
∴PD2＝PC2＋CD2＝8，∠CPD＝45°.
∵PA＝3，PB＝1，∴BD＝3，∴BD2＝9，PB2＝1.
∴BD2＝PB2＋PD2，∴∠BPD＝90°.
∴∠BPC＝∠BPD＋∠CPD＝135°.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键
18．（2022上·福建福州·八年级福州华伦中学校考期末）如图，已知，，，，．

(1)求证：是直角三角形；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先利用勾股定理求得，再利用勾股定理的逆定理求得，即可得证；
（2）根据四边形的面积等于与的面积之和，即可求解．
【详解】（1）证明：，，，
，
，，
，，
，
是直角三角形，且.
（2）解：
．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
19．（2022上·江苏盐城·八年级统考期中）如图，是等腰直角三角形，，是斜边的中点，分别是、边上的点，且.
（1）证明：；
（2）证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得：，三线合一可得：，平分，从而得出，根据同角的余角相等可得：，最后利用ASA即可证出：，从而得出；
（2）根据全等三角形的性质可得：，再根据等式的基本性质可证：，最后根据勾股定理可证：.
【详解】（1）证明：连接，
∵等腰直角三角形，
∴，
∵为的中点，
∴，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴.
（2）证明：∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
即
【点睛】此题考查的是等腰直角三角形三角形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握等腰直角三角形三角形两底角是45°、三线合一、用ASA判定两三角形全等和勾股定理证三边关系是解决此题的关键.
20．（2022上·浙江宁波·八年级校考期中）如图，已知四边形中，平分，，与互补，求证：．
【答案】见解析
【分析】过C点分别作的垂线，利用同角的补角相等，得到，利用证明，推出，再根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，据此即可证明结论．
【详解】证明：过C点分别作的垂线，垂足分别为E、F，
∵为的平分线，，
∴．
而与互补，与也互补，
∴．
在与中，，
∴．
∴．
∵为的平分线，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定及性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键．
21．（2022上·广东佛山·八年级校考期中）如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部D处．已知楼顶D处离地面的距离为，云梯的长度为，求梯子的底部和墙基的距离．
【答案】
【分析】根据勾股定理可得即可求解．
【详解】解：由题意得：，，在中，根据勾股定理得：
梯子的底部和墙基的距离．
【点睛】本题主要考查勾股定理，能根据勾股定理求直角边是解题的关键．
22．（2023下·江西九江·八年级校考期中）如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地时需经过C地沿折线行驶，开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知，，，隧道开通后，汽车从A地到B地行驶的直线距离为多少千米

【答案】汽车从A地到B地比原来少走千米
【分析】过C作于D，在中，根据，，解直角三角形求出、的长度，然后在中，求出、的长度，用即可求解．
【详解】解：过C作于D，如图所示：

在中， ∵，，
∴，，
在中， ∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
则．
答：汽车从A地到B地比原来少走．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是作三角形的高建立直角三角形幷解直角三角形．
23．（2022上·江苏无锡·八年级校考期中）小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
(1)如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，若AC=6cm，BC=8cm，求CD的长．
(2)如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC=6cm，BC=8cm，求CD的长．
【答案】(1)CD=；
(2)CD=3
【分析】（1）利用对称找准相等的量：BD=AD，∠BAD=∠B，然后利用周长求得答案；
（2）利用折叠找着AC=AE，利用勾股定理列式求出AB，设CD=x，表示出BD，AE，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）由折叠可知，AD=BD，设CD=x，则AD=BD=8-x，
∵∠C=90°，AC=6，
∴，
∴x=
∴CD=
（2）在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
由折叠可知，AE=AC=6，CD=ED，∠AED=∠C=90°，
∴BE=10－6=4，设CD=x，则DE=x，BD=8－x，
∴，
∴x= 3，
∴CD= 3
【点睛】本题考查了直角三角形中的勾股定理的应用及图形的翻折问题；解决翻折问题时一般要找着相等的量，然后结合有关的知识列出方程进行解答．
24．（2022上·全国·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，点B在的延长线上，，连接．
(1)求的长；
(2)动点P从点A出发，向终点B运动，速度为2个单位/秒，运动时间为秒．
①当t为何值时，为等腰直角三角形；
②当t为何值时，是等腰三角形？
【答案】(1)
(2)①秒；②秒或秒或秒
【分析】（1）利用勾股定理即可得出结论；
（2）①由于为等腰直角三角形，得到，即可得出结论；
②分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：①由运动知，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得；
∴当秒时，为等腰直角三角形；
②由运动知，，则，，
当时，
在中，，，，
∴，
解得；
当时，
∵，
∴，
∴，
解得；
当时，
∴，
∴，
解得；
综上所述，满足条件的t的值为秒或秒或秒．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
25．（2022上·吉林长春·八年级吉林省实验校考阶段练习）由边长为1的正方形组成的网格中，已知点A，点D在格点上，请画出四边形ABCD，使另外两个顶点B，C也在格点上，且，，，并直接写出四边形ABCD的面积．
【答案】画图见解析，或
【分析】先根据题意利用勾股定理作图，然后求解面积即可．
【详解】解：如图1所示，由勾股定理得：，，，
∴
如图2所示，由勾股定理得：，，，
∴；
【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，正确作出对应的图形是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑