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第9章　中心对称图形——平行四边形 素能测评
一、 选择题(每小题3分,共24分)
1. 　　　　
下列用七巧板拼成的图案中,为中心对称图形的是 (　　)
2. 如图,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE,旋转角为α(0°<α<180°),点B的对应点D恰好落在边BC上.若DE⊥AC,∠CAD=24°,则α的度数为 (　　)
A. 24° B. 28° C. 48° D. 66°
　　　　　　　　　　
3. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是 (　　)
　　　　
A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 邻边互相垂直 D. 对角线互相垂直
4. 如图, ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是BC的中点,AC=4.若 ABCD的周长为12,则△COE的周长为 (　　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
5. 如图,在菱形ABCD中,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长为20,面积为24,则PE+PF的值为 (　　)
A. 4 B. C. 6 D.
6. 如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为正方形,点A的坐标为(0,3),点B的坐标为(5,0),E为对角线的交点,则点E的坐标为 (　　)
A. (4.5,4) B. (4,4) C. (4.5,3.5) D. (4,3)
　　　　　　　　　　
7. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B、C的坐标分别为(2,1)、(6,1),∠BAC=90°,AB=AC,直线AB交y轴于点P.若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称,则点A'的坐标为 (　　)
A. (-4,-5) B. (-5,-4) C. (-3,-4) D. (-4,-3)
第8题
8. 如图,在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,过点B作BF⊥AC,交CD于点F,交AC于点M,过点D作DE∥BF,交AB于点E,交AC于点N,连接FN、EM.有下列结论:① DN=BM;② EM∥FN;③ AE=FC;④ 当AO=AD时,四边形DEBF是菱形.其中,正确的有(　　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
二、 填空题(每小题3分,共24分)
9. 如图所示的图案由三个叶片组成,绕点O旋转120°后可以和自身重合.若每个叶片的面积为4cm2,∠AOB的度数为120°,则图中阴影部分的面积为　　　　cm2.
　　　　　　　　　　
10. 已知点E是菱形ABCD的对称中心,∠B=56°,连接AE,则∠BAE的度数为　　　　.
11. 如图,四边形ABCD各边的中点分别是E、F、G、H.若对角线AC=24,BD=18,则四边形EFGH的周长是　　　　.
12. 如图,四边形ABCD是轴对称图形,且直线AC是对称轴,AB∥CD.有下列结论:① AC⊥BD;② AD∥BC;③ 四边形ABCD是菱形;④ △ABD≌△CDB.其中,正确的是　　　　　(填序号).
13. 如图,在矩形ABCD中,E是边AD的中点,将△ABE沿BE翻折至△FBE,连接DF,则图中与∠AEB相等的角有　　　　　　　　.
　　　　　　　　　　　　
14. 数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何思想,主张取代数和几何中最好的东西来以长补短.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标是(1,3),则AC的长为　　　　.
15. 如图,正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋转,连接DE、DG、BE、BG,有下列结论:① BE=DG;② BE⊥DG;③ DE2+BG2=2a2+2b2.其中,正确的是　　　　(填序号).
16. 如图, OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上,O是坐标原点,则对角线OB长的最小值为　　　　.
三、 解答题(共82分)
17. (5分)如图,P、Q是方格纸中的两个格点,请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形.
(1) 在图①中画出一个面积最小的 PAQB;
(2) 在图②中画出一个四边形PCQD,使其是轴对称图形而不是中心对称图形,且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到.
18. (5分)如图,点A在射线OX上,OA=a.如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0(1) 若a=3,n=37,则点A'的位置可以表示为　　　　.
(2) 在(1)的条件下,点B的位置用(3,74°)表示,连接A'A、A'B.求证:A'A=A'B.
第18题
19. (6分)如图,在 ABCD中,DE平分∠ADB,交AB于点E,BF平分∠CBD,交CD于点F.
(1) 求证:DE=BF;
(2) 若AD=BD,求证:四边形DEBF是矩形.
第19题
20. (6分)如图,在等边三角形ABC中,D为边BC上的一个动点(不与点B、C重合),以点D为旋转中心,把线段DA按顺时针方向旋转60°,得到线段DF,过点F作FE⊥BC,交BC的延长线于点E,连接CF.
(1) 依题意补全图形;
(2) 在(1)补全的图形中的AC上取一点P,使CP=BD,连接BP、FP,请判断四边形BDFP的形状,并说明理由.
第20题
21. (6分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点C作CE∥BD,过点D作DE∥AC,CE与DE相交于点E.
(1) 求证:四边形CODE为矩形;
(2) 若AB=5,AC=6,求四边形CODE的周长.
第21题
22. (8分)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E、F分别是AC、AB的中点,O是DF的中点,EO的延长线交线段BD于点G,连接DE、EF、FG.
(1) 求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2) 当AD=5,=时,FG的长为　　　　.
第22题
23. (8分)如图,AD和BC相交于点O,∠ABO=∠DCO=90°,OB=OC,E、F分别是AO、DO的中点,连接BE、BF、CE、CF.
(1) 求证:OE=OF;
(2) 当∠A=30°时,求证:四边形BECF是矩形.
第23题
24. (8分)如图,在△ABC中,AB=BC=15,BD平分∠ABC,交AC于点D,点F在BC上,连接AF,E为AF的中点,AF、BD交于点G,连接DE.
(1) 若BF=3,求DE的长;
(2) 若点F在直线BC上,当DE=5时,求BF的长.
第24题
25. (10分)如图,在矩形ABCD中,E是AD上一点,连接BE,PQ垂直平分BE,分别交AD、BE、BC于点P、O、Q,连接BP、EQ.
(1) 求证:四边形BPEQ是菱形;
(2) 若AB=6,F为AB的中点,连接OF,OF+OB=9,求PQ的长.
第25题
26. (10分)在正方形ABCD中,E是边CD上一点(点E不与点C、D重合),连接BE.
【感知】 如图①,过点A作AF⊥BE,交BC于点F.易证△ABF≌△BCE(不需要证明).
【探究】 如图②,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE,交BC于点F,交AD于点G.
(1) 求证:GF=BE.
(2) 连接CM,若CM=1,求GF的长.
【应用】
(3) 如图③,取BE的中点M,连接CM,过点C作CG⊥BE,交AD于点G,连接EG、MG.若CM=3,求四边形GMCE的面积.
27. (10分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,在四边形OABC中,BC∥OA,BC=24,点A、C的坐标分别为(26,0)、(0,12),D是OA的中点,动点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点C向点B运动,连接PD.设动点P的运动时间为t秒.
(1) 当动点P的运动时间为　　　　秒时,四边形PDAB是平行四边形.
(2) 在直线CB上是否存在一点Q,使得以O、D、Q、P为顶点的四边形是菱形 若存在,求t的值,并求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
第27题
第9章素能测评
一、 1. C　2. C　3. D　4. B　5. B　6. B　7. A　8. D
二、 9. 4　10. 62°　11. 42　12. ①②③④　13. ∠BEF、∠CBE、∠EDF、∠EFD　14. 　15. ①②③
16. 5　解析:过点B作BD⊥直线x=4于点D,过点B作BE⊥x轴于点E,则OB=.设直线x=1交x轴于点F. 证△OAF≌△BCD,得BD=OF=1,即OE=4+1=5,此时OB=.注意到点B在直线x=5上运动,因此当点B在x轴上时,BE=0,此时OB长取得最小值,为OB=OE=5.
三、 17. 答案不唯一,如(1) 如图①所示　(2) 如图②所示
18. (1) (3,37°)　(2) 如图,连接OB.∵ A'(3,37°)、B(3,74°),∴ ∠AOA'=37°,∠AOB=74°,OA=OB=OA'=3.∴ ∠BOA'=∠AOB-∠AOA'=74°-37°=37°.∴ ∠AOA'=∠BOA'.∵ OA'=OA',∴ △AOA'≌△BOA'.∴ A'A=A'B
19. (1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC,AB∥CD.∴ ∠ADB=∠CBD.∵ DE平分∠ADB,BF平分∠CBD,∴ ∠EDB=∠ADB,∠DBF=∠CBD.∴ ∠EDB=∠DBF.∴ DE∥BF.又∵ AB∥CD,∴ 四边形DEBF是平行四边形.∴ DE=BF　(2) ∵ AD=BD,DE平分∠ADB,∴ DE⊥AB,即∠DEB=90°.又∵ 四边形DEBF是平行四边形,∴ 四边形DEBF是矩形
20. (1) 依题意补全图形如图①所示　(2) 四边形BDFP是平行四边形　理由:如图②,依题意补全图形,连接AF.∵ △ABC是等边三角形,∴ AB=AC,∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°.由旋转的性质,得∠ADF=60°,AD=DF.∴ △ADF是等边三角形.∴ AD=AF,∠DAF=60°.∵ ∠DAF=∠DAC+∠2=60°,∠DAC+∠1=60°,∴ ∠1=∠2.在△ADB和△AFC中,∴ △ADB≌△AFC.∴ DB=FC,∠ABD=∠ACF=60°.∵ CP=BD,∴ CP=CF.∴ △PCF是等边三角形.∴ ∠CPF=∠ACB=60°,PF=CP=BD.∴ PF∥BD.∴ 四边形BDFP是平行四边形
21. (1) ∵ CE∥BD,DE∥AC,∴ 四边形CODE为平行四边形.∵ 四边形ABCD为菱形,∴ AC⊥BD.∴ ∠COD=90°.∴ 四边形CODE为矩形　(2) ∵ 四边形ABCD为菱形,∴ OC=AO=AC=3,OD=OB,∠AOB=90°.在Rt△AOB中,由勾股定理,得OB==4.∴ OD=OB=4.由(1),得四边形CODE为矩形,∴ 四边形CODE的周长为2×(3+4)=14
22. (1) ∵ E、F分别是AC、AB的中点,∴ EF是△ABC的中位线.∴ EF∥BC,即EF∥GD.∴ ∠EFO=∠GDO.∵ O是DF的中点,∴ OF=OD.在△OEF和△OGD中,∴ △OEF≌△OGD.∴ EF=GD.∴ 四边形DEFG是平行四边形　(2)
23. (1) 在△AOB和△DOC中,∴ △AOB≌△DOC.∴ AO=DO.∵ E、F分别是AO、DO的中点,∴ OE=AO,OF=DO.∴ OE=OF　(2) ∵ OB=OC,OE=OF,∴ 四边形BECF是平行四边形,BC=2OB,EF=2OE.∵ ∠ABO=90°,E是AO的中点,∠A=30°,∴ ∠AOB=60°,BE=AO=OE.∴ △BOE为等边三角形.∴ OB=OE.∴ BC=EF.∴ 四边形BECF是矩形
24. (1) ∵ BC=15,BF=3,∴ FC=BC-BF=12.∵ AB=BC,BD平分∠ABC,∴ AD=DC.∵ E为AF的中点,∴ DE是△AFC的中位线.∴ DE=FC=6　(2) 分三种情况讨论:① 当点F在线段BC上时,由(1),得FC=2DE=10.∴ BF=BC-FC=15-10=5.② 当点F在线段CB的延长线上时,由(1),得FC=2DE=10.∵ BC=15,∴ FC25. (1) ∵ PQ垂直平分BE,∴ QB=QE,OB=OE.∵ 四边形ABCD是矩形,∴ AD∥BC.∴ ∠QBO=∠PEO.在△BOQ和△EOP中,∴ △BOQ≌△EOP.∴ QB=PE.又∵ BC∥AD,即QB∥PE,∴ 四边形BPEQ是平行四边形.又∵ QB=QE,∴ 四边形BPEQ是菱形　(2) 由(1),得OB=OE,∴ BE=2OB.∵ F为AB的中点,∴ BF=FA.∴ OF为△BAE的中位线.∴ AE=2OF.∵ OF+OB=9,∴ AE+BE=2OF+2OB=18.设AE=x,则BE=18-x.∵ 四边形ABCD是矩形,∴ ∠A=90°.∴ 在Rt△ABE中,62+x2=(18-x)2,解得x=8.∴ AE=8,BE=10.∴ OB=BE=5.设PE=y,则AP=8-y.由(1),得四边形BPEQ是菱形,∴ BP=PE=y,PQ=2PO.∴ 在Rt△ABP中,62+(8-y)2=y2,解得y=.∴ BP=.∴ 在Rt△BOP中,PO==.∴ PQ=2PO=
26. (1) 过点G作GP⊥BC于点P,则∠BPG=∠FPG=90°.∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AB=CB,∠A=∠ABC=∠ECB=90°.∴ 四边形ABPG是矩形,∠FPG=∠ECB.∴ PG=AB.∴ PG=CB.∵ GP⊥BC,FG⊥BE,∴ ∠PGF+∠PFG=90°,∠CBE+∠PFG=90°.∴ ∠PGF=∠CBE.在△PGF和△CBE中,∴ △PGF≌△CBE.∴ GF=BE　(2) 由(1),得GF=BE,∠ECB=90°.∵ 在Rt△BCE中,M是BE的中点,CM=1,∴ BE=2CM=2.∴ GF=2　(3) ∵ 四边形ABCD是正方形,∴ ∠ECB=90°.∵ 在Rt△BCE中,M是BE的中点,CM=3,∴ BE=2ME=2CM=6.∴ ME=3.同(1),得CG=BE=6.∵ CG⊥BE,∴ S四边形GMCE=CG·ME=×6×3=9
27. (1) 5.5　解析:∵ A(26,0)、C(0,12),∴ OA=26,OC=12.∵ D是OA的中点,∴ OD=AD=OA=13.由题意,得PC=2t.∴ BP=BC-PC=24-2t.∵ 四边形PDAB是平行四边形,∴ PB=AD=13.∴ 24-2t=13,解得t=5.5.∴ 当动点P的运动时间为5.5秒时,四边形PDAB是平行四边形.
(2) 存在　分三种情况讨论:① 当点Q在点P的右边时,如图①.∵ 四边形ODQP是菱形,∴ OD=OP=PQ=13.在Rt△OPC中,由勾股定理,得PC==5.∴ 2t=5,解得t=2.5.∴ CQ=18.∴ Q(18,12).② 当点Q在点P的左侧且在线段BC上时,如图②.同理①,得Q(5,12),PC=18.∴ 2t=18,解得t=9.③ 当点Q在点P的左侧且在线段BC的延长线上时,如图③.同理①,可得QC=5,PQ=13.∴ PC=13-5=8,Q(-5,12).∴ 2t=8,解得t=4.综上所述,当t=2.5时,Q(18,12);当t=9时,Q(5,12);当t=4时,Q(-5,12)

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