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期末素能测评(二)
一、 选择题(每小题3分,共24分)
1. 下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的为 (　　)
　　　　
2. 2024年某市有4万名学生参加中考,为了了解这些考生的数学成绩,从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析.下列说法正确的是 (　　)
A. 4万名考生全体是总体 B. 每名考生是个体
C. 2000名考生是总体的一个样本 D. 样本容量是2000
第3题
3. 如图,已知△ABD,用尺规进行如下操作:① 以点B为圆心,AD长为半径画弧;② 以点D为圆心,AB长为半径画弧;③ 两弧在BD的上方交于点C,连接BC、DC.下列条件可直接判定四边形ABCD为平行四边形的是 (　　)
A. 两组对边分别平行
B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分
D. 一组对边平行且相等
4. 下列二次根式中,与是同类二次根式的为 (　　)
A. B.
C. D.
5. 下列说法正确的是 (　　)
A. “水在标准大气压下,温度为-10℃时不结冰”是不可能事件
B. 某彩票的中奖机会是0.1%,买1000张一定会中奖
C. 为检验某品牌LED灯管的使用寿命,采用普查的调查方式比较合适
D. “如果x、y是实数,那么x+y=y+x”是随机事件
6. 已知关于x的分式方程+1=的解是非负数,则m的取值范围是 (　　)
A. m≤2 B. m≥2
C. m≤2且m≠-2 D. m<2且m≠-2
7. 若函数y=-(x<0)与y=-2x+3的图像交于点P(a,b),则代数式+的值是 (　　)
A. - B.
C. -2 D. 2
第8题
8. 如图,P是线段AB上的一动点,CA⊥AB,DB⊥AB,AB=4,AC=3,DB=2,M、N分别是PC、PD的中点,随着点P的运动,线段MN的长 (　　)
A. 随着点P的位置变化而变化 B. 保持不变,长为
C. 保持不变,长为 D. 保持不变,长为
二、 填空题(每小题3分,共24分)
9. 若式子有意义,则x的取值范围是　　　　　　.
10. 比较大小:2　　　　3(填“>”“<”或“=”).
11. 小明同学发现自己解决问题时不细心,很容易造成失误,于是他想了一个办法,既能记录自己每天的失误次数,又能看出失误次数的变化情况,来提醒自己要细心做题,你认为他应该用　　　　统计图来记录失误次数.
12. 若分式的值为0,则x的值为　　　　.
13. 如图,在菱形ABCD中,AB=10,AC=16,那么菱形ABCD的面积为　　　　.
　　　　　　
14. 若将如图所示的矩形ABCD放入平面直角坐标系中,点A、B、D的坐标分别为(-a,b)、(-4,3)、(a,b),则点C的坐标为　　　　.
15. 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C的坐标为(-3,0),顶点D的坐标为(0,4),点E为菱形的对称中心.若函数y=(k≠0,x<0)的图像恰好经过点E,则k的值为　　　　.
16. 如图,在正方形ABCD中,AB=4,E、F分别为AD、AB上一点,且DE=BF,连接BE、CF,则BE+CF的最小值为　　　　.
三、 解答题(共82分)
17. (5分)计算:
(1) ×; (2) (1+)×(1-)+(+)2.
18. (5分)先化简,再求值:÷,其中x为满足-1≤x≤1的整数.
19. (6分)如图,AB∥CD,BE⊥AD,垂足为E,CF⊥AD,垂足为F,AE=DF,连接BF、CE.求证:四边形BECF是平行四边形.
第19题
20. (6分)密闭容器内有一定质量的二氧化碳,当容器的体积V(单位:m3)变化时,气体的密度ρ(单位:kg/m3)随之变化.已知ρ与V成反比例函数关系,图像如图所示,当V=2.5时,ρ=4.
(1) 求ρ关于V的函数表达式;
(2) 当V=5时,求二氧化碳的密度.
第20题
21. (6分)为营造读书氛围,满足学生的阅读需求,某校打算购进一批图书.随机抽取部分学生进行问卷调查,被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类(只选择一类),根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图.
(1) 此次共调查了　　　　名学生;
(2) 将条形统计图补充完整;
(3) 在扇形统计图中,“小说类”所在扇形对应的圆心角度数为　　　　°;
(4) 若该校共有学生1600名,试估计该校喜欢“文史类”的学生人数.
22. (8分)已知是最简二次根式,且与可以合并.求:
(1) x的值;
(2) 与的乘积.
23. (8分)已知关于x的分式方程-=1.
(1) 若分式方程有增根,求a的值;
(2) 若分式方程无解,求a的值.
24. (8分)一项工程,甲队单独完成比乙队单独完成少用8天,甲队单独做3天的工作乙队单独做需要5天.
(1) 甲、乙两队单独完成此项工程各需几天
(2) 甲队每施工一天,需付给甲队工程款5.5万元;乙队每施工一天,需付给乙队工程款3万元.该工程先由甲、乙两队合作若干天后,再由乙队完成剩下的工程.若要求完成此项工程的工程款不超过65万元,则甲、乙两队最多合作多少天
25. (10分)如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与反比例函数y=的图像交于点A(-1,a)与点B(m,-1).
(1) 求这个一次函数的表达式;
(2) 根据图像,直接写出关于x的不等式(3) 若动点P在x轴上,△PAB的面积等于6,则点P的横坐标为　　　　.
第25题
26. (10分)如图,A、B分别是x轴正半轴上和y轴正半轴上的点,以AB为边在第一象限内作正方形ABCD,函数y=(k≠0,x>0)的图像经过点C.
(1) 若点C的坐标为(2,3),则k的值为　　　　.
(2) 若A、B两点的坐标分别为(2,0)、(0,2).
① k的值为　　　　;
② 此时点D　　　　(填“在”“不在”或“不一定在”)该函数的图像上.
(3) 若C、D两点都在函数y=(x>0)的图像上,求点C的坐标.
第26题
27. (10分)小乾同学提出一种新图形定义:一组对边相等且垂直的四边形叫做等垂四边形.如图①,在四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,四边形ABCD为等垂四边形,其中相等的边AB、CD称为腰,另两边AD、BC称为底.
(1) 性质初探:小乾同学探索了等垂四边形的一些性质,请你补充完整:
① 等垂四边形的两个钝角的度数和为　　　　°;
② 若等垂四边形的两底平行,则它的最小内角的度数为　　　　°.
(2) 拓展研究:
① 小乾同学发现两底中点的连线与腰长有特定的关系,如图②,M、N分别为等垂四边形ABCD的底AD、BC的中点,连接MN,试探索MN与AB之间的数量关系.小乾同学的想法是把其中一腰绕一个中点旋转180°,请按此方法求出MN与AB之间的数量关系,并写出AB与MN所在直线相交所成的锐角的度数.
② 如图①,等垂四边形ABCD的腰为AB、CD,AB=CD=AD=3,则较长的底BC的长的取值范围是　　　　　　　　.
(3) 实践应用:如图③,直线l1、l2是两条相互垂直的公路,利用三段围栏AB、BC、AD靠路边围成一块四边形种植园,第四条边CD做成一条隔离带.已知AB=250米,BC=240米,AD=320米,则此隔离带最长为多少米
期末素能测评(二)
一、 1. C　2. D　3. B　4. D　5. A　6. C　7. A　8. D
二、 9. x≥且x≠1　10. <　11. 折线　12. 3　13. 96　14. (4,3)　15. -8
16. 4　解析:如图,作点D关于直线AB的对称点D',连接D'F、DF.∴ D'F=DF,AD'=AD.∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AB=AD=CD=4,∠ADC=90°.∵ DE=BF,∴ AD-DE=AB-BF,即AE=AF.又∵ ∠EAB=∠FAD,∴ △ABE≌△ADF.∴ BE=DF.∴ BE=D'F.∴ BE+CF=D'F+CF.∴ 当C、F、D'三点共线时,D'F+CF取得最小值,即BE+CF取得最小值.连接CD',交AB于点F',则BE+CF的最小值为CD'的长.∵ AD'=AD=4,∴ D'D=8.在Rt△D'DC中,CD'==4.∴ BE+CF的最小值为4.
三、 17. (1) 5　(2) 2
18. 原式=÷=·=.∵ x-1≠0且x+1≠0,∴ x≠±1.又∵ x为满足-1≤x≤1的整数,∴ x=0.把x=0代入,得原式==0
19. ∵ BE⊥AD,CF⊥AD,∴ ∠AEB=∠DFC=90°.∵ AB∥CD,∴ ∠A=∠D.在△AEB和△DFC中,∴ △AEB≌△DFC.∴ BE=CF.∵ BE⊥AD,CF⊥AD,∴ BE∥CF.∴ 四边形BECF是平行四边形
20. (1) 设ρ=.由题意,得k=2.5×4=10,∴ ρ关于V的函数表达式为ρ=　(2) 当V=5时,ρ==2.∴ 二氧化碳的密度为2kg/m3
21. (1) 200　(2) 喜欢“生活类”的人数为200×15%=30,喜欢“文史类”的人数为200-20-80-30=70,补全条形统计图如图所示　(3) 144　(4) 1600×=560(名),∴ 估计该校喜欢“文史类”的学生人数为560
22. (1) 由题意,可知两个根式为同类二次根式.∵ =,∴ x+1=10.∴ x=9　(2) 当x=9时,=,∴ 与的乘积为×==5
23. (1) 方程两边同乘x(x-2),得x(x-a)-5(x-2)=x(x-2).整理,得(a+3)x=10.∵ 分式方程有增根,∴ x(x-2)=0.∴ x=0或x=2.把x=0代入(a+3)x=10,无解;把x=2代入(a+3)x=10,得2(a+3)=10,解得a=2.综上所述,a=2　(2) 由(1),可知(a+3)x=10.当a+3=0时,方程无解,∴ a=-3.当a+3≠0,即a≠-3时,要使方程无解,则分式方程有增根,由(1),知a=2.综上所述,a=-3或a=2
24. (1) 设甲队单独完成此项工程需x天,则乙队单独完成此项工程需(x+8)天.根据题意,得=,解得x=12.经检验,x=12是原分式方程的解,且符合题意.当x=12时,x+8=20.∴ 甲队单独完成此项工程需12天,乙队单独完成此项工程需20天　(2) 设甲、乙两队合作m天.根据题意,得5.5m+×3≤65,解得m≤10.又∵ m≤1,∴ m≤7.5.∴ 甲、乙两队最多合作7天
25. (1) 把A(-1,a)代入y=,得a==2,∴ A(-1,2).把B(m,-1)代入y=,得-1=,解得m=2,∴ B(2,-1).把A(-1,2)、B(2,-1)代入y=kx+b(k≠0),得解得∴ 一次函数的表达式为y=-x+1　(2) x<-1或0(3) -3或5　解析:如图,设直线y=-x+1与x轴交于点C,P(n,0),则易得C(1,0).∴ PC=|n-1|.∵ S△PAB=S△PAC+S△PBC=6,∴ ×2|n-1|+×|n-1|=6.∴ |n-1|=4.∴ n=-3或n=5.∴ 点P的横坐标为-3或5.
26. (1) 6　(2) ① 8　② 在　(3) 如图,过点C作CE⊥y轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点F,则∠CEB=∠DFA=90°=∠BOA.∴ ∠1+∠2=90°.在正方形ABCD中,AB=BC=AD,∠ABC=∠BAD=90°.∴ ∠2+∠3=90°.∴ ∠1=∠3.在△BCE和△ABO中,∴ △BCE≌△ABO.∴ BE=AO,CE=BO.同理,可得OA=FD,BO=AF.设点C的坐标为(m,m+n),m>0,n>0,则易得点D的坐标为(m+n,n).∵ 点C、D都在函数y=(x>0)的图像上,∴ m(m+n)=(m+n)n.∴ m=n.∴ C(m,2m).∴ 2m2=2,解得m=1(负值舍去).∴ 点C的坐标为(1,2)
27. (1) ① 270　解析:如图①,延长BA、CD交于点P.∵ 四边形ABCD为等垂四边形,即AB=CD,AB⊥CD于点P,∴ ∠B+∠C=90°.∴ ∠BAD+∠ADC=360°-(∠B+∠C)=270°.∴ 等垂四边形的两个钝角的度数和为270°.
② 45　解析:延长BA、CD交于点P,过点D作DE∥AB,交BC于点E.∴ ∠DEC=∠B.又∵ 等垂四边形的两底平行(即AD∥BC),∴ 四边形ABED为平行四边形.∴ DE=AB.又∵ 四边形ABCD为等垂四边形,即AB=CD,AB⊥CD于点P,∴ DE=CD,∠B+∠C=90°.∴ ∠DEC=∠C=∠B=45°.∴ 它的最小内角的度数为 45°.
(2) ① 如图②,分别延长BA、CD交于点P,延长NM,交BP于点F,交CP的延长线于点Q,将腰AB绕中点M旋转180°至DE,连接CE、BE,易知B、M、E三点共线.∵ 四边形ABCD为等垂四边形,即AB=CD,AB⊥CD于点P,∴ ∠BPC=∠FPC=90°.∵ 将腰AB绕中点M旋转180°至DE,∴ 易得MA=MD,MB=ME,AB=DE,AB∥DE.∴ CD=DE=AB,∠EDP=∠BPC=90°.∴ ∠DEC=∠DCE,∠EDC=90°.∴ ∠DEC=∠DCE=45°.∴ EC==CD=AB.∵ N为等垂四边形ABCD的底BC的中点,MB=ME,∴ MN是△BCE的中位线.∴ MN=EC,MN∥EC.∴ MN=EC=×AB=AB　∵ MN∥EC(即NF∥EC),∴ ∠NQC=∠DCE=45°,即∠PQF=45°.∵ ∠FPC=90°,∴ ∠BFN=∠PFQ=90°-45°=45°,即AB与MN所在直线相交所成的锐角的度数为45°
② 3(3) 如图④,取AB、CD的中点M、N,连接MN,作点C关于点M的对称点E,连接CE、AE、DE,设直线l1、l2的交点为P,连接PM、PN.由(2)①,知AE∥BC,AE=BC=240米.∵ l1⊥l2,∴ ∠APB=90°=∠PAE.∴ ∠DAE=90°.∴ DE===400(米).∵ 易知MN是△CDE的中位线,∴ MN=DE=200米,MN∥DE.∵ ∠APB=90°,AM=BM,∴ PM=AB=125米.∴ PN≤PM+MN=125+200=325(米).∵ ∠CPD=90°,CN=DN,∴ CD=2PN≤650米.∴ 此隔离带最长为650米

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