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期末素能测评(一)
一、 选择题(每小题3分,共24分)
1. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=25°.把△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△A'B'C,且点A在边A'B'上,则旋转角的度数可能为 (　　)
　　　　
A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°
　　　　　　
2. 如图所示为甲城市6~9月外国旅客人数的折线统计图.据此可以判断到甲城市的外国旅客中,旅客人数最少的国家是美国的月份是 (　　)
A. 6月 B. 7月 C. 8月 D. 9月
3. 下列成语描述的事件中,属于不可能事件的是 (　　)
A. 煎水作冰 B. 水涨船高 C. 旭日东升 D. 水滴石穿
4. 下列运算正确的是 (　　)
A. +2=2 B. (-a2)3=a6 C. += D. ÷=
5. 已知x=-1,y=+1,则分式的值是 (　　)
A. 2 B. C. 4 D. 2
6. 如图,在 ABCD中,分别以点B、D为圆心,大于BD的长为半径画弧,两弧相交于点M、N,过M、N两点作直线交BD于点O,分别交AD、BC于点E、F.下列结论不正确的是 (　　)
A. AE=CF B. DE=BF
C. OE=OF D. DE=DC
7. 如图,点P(m,1)、Q(-2,n)都在反比例函数y=的图像上.过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为M、N,连接OP、OQ、PQ.若四边形OMPN的面积记作S1,△POQ的面积记作S2,则 (　　)
A. S1∶S2=2∶3 B. S1∶S2=1∶1
C. S1∶S2=4∶3 D. S1∶S2=5∶3
8. 菱形ABCD的边长为2,∠A=60°,将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°,则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为 (　　)
A. 3- B. 2- C. -1 D. 2-2
二、 填空题(每小题3分,共24分)
9. 如图,在平面直角坐标系中有两点A(3,3)、B(3,1),反比例函数y=图像的一支与线段AB有交点,写出一个符合条件的k的整数值:　　　　.
　　　　　　　　　　　　
10. 当x=-2时,分式无意义;当x=4时,此分式的值为0,则a+b的值为　　　　.
11. 计算+的结果为　　　　.
12. 如图,在△ABC中,M、N分别是AB和AC的中点,连接MN,E是CN的中点,连接ME并延长,交BC的延长线于点D.若BC=4,则CD的长为　　　　.
13. 若关于x的方程-3=的解为非负数,则m的取值范围是　　　　　　　.
14. 在平面直角坐标系中,函数y=(x>0)与y=x-1的图像交于点P(a,b),则代数式-的值为　　　　.
15. 如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,对角线AC与BD交于点O,E为OB的中点,F为AD的中点,连接EF,则EF的长为　　　　.
16. 将邻边长分别为、1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无剩余纸片).有下列数:① ;② 1;③ -1;④ ;⑤ .其中,可以作为一个等腰三角形的腰长的是　　　　　(填序号).
三、 解答题(共82分)
17. (5分)计算:
(1) ÷; (2) |-|+-.
18. (5分)解方程:
(1) -=1; (2) -=1.
19. (6分)某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试,根据成绩x(单位:分,x为整数),评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级(优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示),A等级:90≤x≤100,B等级:80≤x<90,C等级:60≤x<80,D等级:0≤x<60.该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查,并绘制成不完整的统计表和如图所示的不完整的频数分布直方图.
等　级 频　数 频　率
A a 20%
B 16 40%
C b m
D 4 10%
　
请根据给出的信息,解答下列问题:
(1) 统计表中,a=　　　　,b=　　　　,m=　　　　.
(2) 本次调查共抽取了多少名学生 请补全频数分布直方图.
(3) 若该校九年级有800名学生,请估计成绩为优秀的学生有多少名.
20. (6分)已知反比例函数y=的图像分别位于第二、四象限,化简:-+.
21. (6分)王老师将8个黑球和若干个红球放入一个不透明的袋子中并搅匀,让若干学生进行摸球试验,每次摸出1个球并记下颜色(有放回),不断重复,试验中的一组统计数据如下表:
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸出红球的次数m 59 93 118 290 480 601
摸出红球的频率 0.59 0.59 0.60 0.601
(1) 将表格补充完整;
(2) 摸出红球的概率的估计值是　　　　(精确到0.1);
(3) 估计袋子中红球的个数.
22. (6分)某公司为节能环保,安装了一批A型节能灯,一年用电16000千瓦·时.后购进一批相同数量的B型节能灯,一年用电9600千瓦·时.已知一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时,求一盏A型节能灯每年的用电量.
23. (8分)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC于点F.
(1) 求证:四边形ADCE是矩形;
(2) 若BC=4,CE=3,求EF的长.
第23题
24. (10分)如图所示为反比例函数y=的图像.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与反比例函数y=的图像交于A(m,1)、B(-2,n)两点.
(1) 求一次函数的表达式,并在所给的平面直角坐标系中画出该一次函数的图像.
(2) 观察图像,直接写出关于x的不等式kx+b<的解集.
(3) 设直线AB与x 轴交于点C,P(0,a)为y轴上一动点,连接AP、CP.当△APC 的面积为时,求点P的坐标.
第24题
25. (10分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,矩形ABCD的四个顶点都在格点(网格线的交点)上,对角线AC、BD相交于点E,函数y=(x>0)的图像经过点A.
(1) 求这个函数的表达式;
(2) 请先描出这个函数图像上不同于点A的三个格点,再画出该函数图像;
(3) 将矩形ABCD向左平移,当点E落在这个函数的图像上时,平移的距离为　　　　个单位长度.
第25题
26. (10分)数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后,针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究,请阅读以下探究过程并解决问题.
【猜想发现】 观察下列式子:5+5=2=10;+=2=;0.4+0.4=2=0.8;+5>2=2;0.2+3.2>2=1.6;+>2=.
猜想:若a>0,b>0,则存在a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立).
【猜想证明】 ∵ (-)2≥0,
∴ ① 当且仅当-=0,即a=b时,a-2+b=0,即a+b=2;
② 当-≠0,即a≠b时,a-2+b>0,即a+b>2.
综上所述,若a>0,b>0,则存在a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立).
【猜想运用】 对于函数y=x+(x>0),当x取何值时,函数y的值最小 最小值是多少
【变式探究】 对于函数y=+x(x>3),当x取何值时,函数y的值最小 最小值是多少
【拓展应用】 疫情防控期间,为了解决疑似人员的临时隔离问题,高速公路检测站入口处,检测人员利用检测站的一面墙(墙的长度不限),用63m长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房(如图).设每间隔离房的面积为Sm2.当每间隔离房的长、宽各为多少时,可使每间隔离房的面积最大 最大面积是多少
第26题
27. (10分)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为正方形.已知点A、D的坐标分别为(-6,0)、(-7,3),点B、C在第二象限内.
(1) 点B的坐标为　　　　.
(2) 将正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移ts,若存在某一时刻t,使在第一象限内B、D两点的对应点B'、D'正好落在某反比例函数位于第一象限的图像上,请求出此时t的值及该反比例函数的表达式.
(3) 在(2)的情况下,是否存在x轴上的点P和反比例函数位于第一象限的图像上的点Q,使得以P、Q、B'、D'为顶点的四边形是平行四边形 若存在,请直接写出符合题意的点P、Q的坐标;若不存在,请说明理由.
第27题
期末素能测评(一)
一、 1. C　2. C　3. A　4. D　5. D　6. D
7. C　解析:∵ 点P(m,1)、Q(-2,n)都在反比例函数y=的图像上,∴ m×1=-2n=4,解得m=4,n=-2.∴ P(4,1)、Q(-2,-2).∴ S1=4.过点Q作QK⊥PN,交PN的延长线于点K,易知PN=4,ON=1,PK=6,KQ=3.∴ S2=S△PQK-S△PON-S梯形ONKQ=×6×3-×4×1-×(1+3)×2=3.∴ S1∶S2=4∶3.
8. A
二、 9. 答案不唯一,如4　10. 6　11. 　12. 2　13. m≥-5且m≠-3
14. -　解析:∵ 函数y=(x>0)与y=x-1的图像交于点P(a,b),∴ ab=4,b=a-1,即b-a=-1.∴ -==-.
15.
16. ①②③④　解析:如图所示.
三、 17. (1) 　(2) -
18. (1) x=1　(2) 无解
19. (1) 8　12　30%　(2) 本次调查共抽取了4÷10%=40(名)学生,A等级有8名学生,男生有8-2=6(名),B等级有16名学生,女生有16-8=8(名),补全频数分布直方图如图所示　(3) 800×=160(名),∴ 估计成绩为优秀的学生有160名
20. ∵ 反比例函数y=的图像分别位于第二、四象限,∴ k<0.∴ k-1<0.∴ -+=+=k+4+=k+4+|k-1|=k+4-k+1=5
21. (1) 0.62　0.58　(2) 0.6　(3) 设袋子中红球的个数为x.由题意,得=0.6,解得x=12.经检验,x=12是原分式方程的解,且符合题意.∴ 估计袋子中红球的个数为12
22. 设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时,则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦·时.根据题意,得=,解得x=96.经检验,x=96是分式方程的解,且符合题意.∴ 2x-32=2×96-32=160.∴ 一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时
23. (1) ∵ 在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,∴ AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°.∵ CE∥AD,∴ ∠ECD=∠ADB=90°.∵ AE⊥AD,∴ ∠EAD=90°.∴ ∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°.∴ 四边形ADCE是矩形　(2) ∵ D是BC的中点,BC=4,∴ CD=BC=2.由(1),知四边形ADCE是矩形,∴ AE=CD=2,∠AEC=90°.在Rt△AEC中,由勾股定理,得AC==.∵ EF⊥AC,∴ S△AEC=AC·EF=AE·CE.∴ EF===
24. (1) ∵ 反比例函数y=的图像经过A(m,1)、B(-2,n)两点,∴ 1=,n=,解得m=4,n=-2.∴ A(4,1)、B(-2,-2).将A(4,1)、B(-2,-2)代入y=kx+b,得解得∴ 一次函数的表达式为y=x-1.该一次函数的图像如图所示　(2) x<-2或025. (1) ∵ 函数y=(x>0)的图像经过点A(3,2),∴ k=3×2=6.∴ 这个函数的表达式为 y=(x>0)　(2) 如图所示
(3) 　解析:由图可知,E(6,4).令=4,得x=.∵ 6-=,∴ 将矩形ABCD向左平移个单位长度时,点E落在这个函数的图像上.
26. 【猜想运用】 ∵ x>0,∴ x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时,等号成立.∴ 当x取1时,函数y的值最小,最小值是2　【变式探究】 ∵ x>3,∴ x-3>0.∴ y=+x=+(x-3)+3≥2+3=5,当且仅当=x-3,即x=4时,等号成立.∴ 当x取4时,函数y的值最小,最小值是5　【拓展应用】 设每间隔离房与墙平行的边的长为xm,与墙垂直的边的长为ym.根据题意,得9x+12y=63,即3x+4y=21.∵ 3x>0,4y>0,∴ 3x+4y≥2,即21≥2.化简,得xy≤,即S≤,当且仅当3x=4y,即x=,y=时,等号成立.∴ 当每间隔离房的长为m,宽为m时,可使每间隔离房的面积最大,最大面积是m2
27. (1) (-3,1)　(2) 设该反比例函数的表达式为y=(k≠0).由题意,得点B'的坐标为(-3+t,1),点D'的坐标为(-7+t,3).∵ 点B'和点D'在该反比例函数的图像上,∴ k=(-3+t)·1=(-7+t)·3,解得t=9.∴ k=6.∴ 该反比例函数的表达式为y=
(3) 存在　P、Q或P(7,0)、Q(3,2)　解析:设点P的坐标为(m,0),点Q的坐标为.以P、Q、B'、D'为顶点的四边形是平行四边形,分两种情况讨论:① 当B'D'为对角线时,易得四边形B'PD'Q为平行四边形.设线段B'D'的中点为M.由(2),得点B'的坐标为(6,1),点D'的坐标为(2,3),∴ 点M的坐标为(4,2).∵ M也是线段PQ的中点,∴ 解得∴ 点P的坐标为,点Q的坐标为.② 当B'D'为边时,易得四边形PQD'B'为平行四边形.∴ 解得∴ 点P的坐标为(7,0),点Q的坐标为(3,2).综上所述,存在x轴上的点P和反比例函数位于第一象限的图像上的点Q,使得以P、Q、B'、D'为顶点的四边形是平行四边形,点P、Q的坐标分别为、或(7,0)、(3,2).

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