资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
6.1 分类加法计数原理与分类乘法计数原理
考点一 分类加法计数原理
【例1-1】（24-25高二上·广西·期末）已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（ ）
A．120 B．15 C．25 D．90
【答案】B
【解析】根据分类加法计数原理可知，不同的选法种数为.故选：B.
【例1-2】（2024湖南长沙）从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．13
【答案】C
【解析】其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形：
①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个；
②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个；
③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222．
共有个，
故选：C．
【一隅三反】
1．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（ ）
A．9种 B．10种 C．19种 D．90种
【答案】C
【解析】由分类加法计数原理知，不同的选法种数为. 故选 C.
2．（24-25高二下·全国·课后作业）现有编号为1，2，3，4的四个人到编号也为1，2，3，4的四个座位上落座，若要求落座时每个人的编号不能与其座位号相同，则不同的坐法共有 种．
【答案】9
【解析】为了方便将编号为1，2，3，4的四个座位依次记为，
则编号为1的人落座的情况有3种，即．
编号为1的人落座时，按照1，2，3，4的顺序有，，，共3种；
编号为1的人落座时，按照1，2，3，4的顺序有，，，共3种；
编号为1的人落座时，按照1，2，3，4的顺序有，，，共3种．
综上共有种情况，
故答案为：9
3（2024广东梅州）用标有1克，5克，10克的砝码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）有多少种 （ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【解析】①当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有1克，5克，10克；
②当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有
克，克，克；
③当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有克
④当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以成量重物的克数有
克，克，克；
⑤当天平的一端放1个砝码，另一端也放2个砝码时，可以成量重物的克数有
克，克，克；
去掉重复的克数后，可称重物的克数有10种，
故选：A
考点二 分步乘法计数原理
【例2-1】（辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷）某体育用品店有5种不同价格的篮球，4种不同价格的排球，若从中选购1个篮球和1个排球，则不同的选购方法有（ ）
A．9种 B．20种 C．625种 D．1024种
【答案】B
【解析】第一步，从5种不同的篮球中选一个，有5种选法，第二步，从4种不同的排球中选一个，有4种选法，故不同的选法为：种.故选：B.
【例2-2】（24-25高二上·陕西汉中·期末）一辆公交车上有位乘客，沿途个车站，则乘客下车的可能方式共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【解析】一辆公交车上有位乘客，沿途个车站，每位乘客都有种下车方式，
所以，乘客下车的可能方式共有种.故选：A.
【一隅三反】
1．（24-25高二上·河南南阳·期末）从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【解析】从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，
第一个路口有种选择，第二个路口有种选择，最后一个路口有种选择，
由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为种.
故选：B.
2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小红3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（ ）
A．36种 B．50种 C．75种 D．125种
【答案】C
【解析】因为小明不选篮球和足球，所以小明有3种选课方法，小强和小红各有5种选课方法，
所以不同的选课方法共有种.故选：C.
3．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（ ）
A．10种 B．20种 C．30种 D．60种
【答案】C
【解析】原来有4个广告，则这4个广告之间以及两端共有5个空位插入第一个公益广告，
则有5种方法；
插入第一个公益广告之后，此时包括原来的4个广告和已经插入的第一个公益广告，
共5个元素，它们之间以及两端共有6个空位可以插入第二个公益广告，
则有6种方法；
由分步乘法计数原理可得，将两个公益广告插入的方式有种.
故选：C
考点三 两个计数原理综合应用---涂色
【例3-1】（辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷）如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．60种 B．80种 C．100种 D．125种
【答案】A
【解析】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定所有区域的涂色．
先涂区域1，有5种选择；再涂区域2，有4种选择；最后涂区域3，有3种选择．
故不同的涂色方案有种．故选：A.
【例3-2】（23-24高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ）

A．120 B．26
C．340 D．420
【答案】D
【解析】根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，

分4步进行分析：
①，对于区域A，有5种颜色可选；
②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；
③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；
④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，
若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，
则区域D、E有种选择，
所以不同的涂色方案有种.
故选：D.
【例3-3】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域与区域）所涂颜色相同.若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种.

【答案】
【解析】根据题意，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色．
先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择，
当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择；
当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择，
故不同的涂色方案有种．
故答案为：
【一隅三反】
1．（23-24高二下·四川凉山·期末）用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域A、B、C、D涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）
A．14种 B．16种 C．20种 D．18种
【答案】D
【解析】先涂A，有3种涂法，再涂B有2种涂法，涂C时，与A同色，有1种涂法，此时D有2种涂法，
当C与A异色时有1种涂法，这是D有1种涂法，
所以共有3×2×（1×2＋1×1）＝18种.
故选：D.
2．（24-25高二上·全国·单元测试）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）

A．120种 B．720种 C．840种 D．960种
【答案】D
【解析】有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，
，均有4种颜色可选，故共有涂色方法（种）．故选：D.
3．（25-26高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ）．

A．240种 B．300种 C．360种 D．420种
【答案】D
【解析】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，
则B有4种布置方法，C有3种布置方法．
如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法；
如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法．
按照分步乘法与分类加法计数原理，
则全部的布置方法有（种）.
故选：D．
4．（2024高二下·江苏·学业考试）用红、黄、蓝、白、黑五种颜色在“田”字型的4个小方格内涂色，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．120 B．260 C．280 D．320
【答案】B
【解析】将“田”字型的4个小方格分别编号为，如下图所示：
根据题意，将问题分成4步进行，
第一步：涂方格A，共有5种颜色选择，
第二步：涂方格B，需与A不同，共有4种颜色选择，
第三步：涂方格C，若方格C与方格B颜色相同，只有1种选择；若方格C与方格B颜色不同，则有3种选择；
第四步：涂方格D，当方格C与方格B颜色相同，方格D有4种颜色选择；当方格C与方格B颜色不同，方格D有3种颜色选择，
因此可得不同的涂色方法共有种.
故选：B
5．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．25 B．630 C．605 D．580
【答案】B
【解析】先涂第一个圆，由6种情况；再涂第二个圆有5种情况；涂第三个圆有5种情况；涂第四个圆有5种情况；涂第五个圆有5种情况，利用计数原理可知，一共有种；
若没有红色，
先涂第一个圆，由5种情况；再涂第二个圆有4种情况；涂第三个圆有4种情况；涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况，一共有种；
若红色涂一个圆，
当红色涂第一个圆，再涂第二个圆有5种情况；涂第三个圆有4种情况；涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况，一共有种；
当红色涂第二个圆，再涂第一个圆有5种情况，涂第三个圆有5种情况，涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况；一共有种；
当红色涂第三个圆，再涂第二个圆有5种情况，涂第四个圆有5种情况，涂第一个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况；一共有种；
当红色涂第四个圆，再涂第三个圆有5种情况，涂第五个圆有5种情况，涂第一个圆有4种情况；涂第二个圆有4种情况；一共有种；
当红色涂第五个圆，再涂第四个圆有5种情况，涂第是三个圆有4种情况，涂第二个圆有4种情况；涂第一个圆有4种情况；一共有种；
所以红色至少涂两个圆的方案有.
故选:B
考点四 两个计数原理综合应用---数字
【例4】（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择，
而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论:
①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况，
与百位数一样，只有一种选择，
与个位数一样，也只有一种选择;
②当个位数为2时，
如果百位数为2，则十位数有6种选择，
如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择:
当个位数为4时，
如果百位数为4，则十位数有6种选择，
如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择
综上所述，.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024-2025广东深圳）用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数．（用数字作答）
【答案】420
【解析】①第1类，当千位数字为奇数，即取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计数原理，有种法．
②第2类，当千位数字为偶数，即取2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字外的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字，根据分步乘法计数原理，有种取法．
所以根据分类加法计数原理，共可以组成个无重复数字的四位偶数．
故答案为：420.
2．（24-25高三·上海·随堂练习）在3000和8000之间，有多少个没有重复数字的偶数？
【答案】1288
【解析】当千位数是3时，个位数有0，2，4，6，8五种可能，
由乘法原理，有个，
同理，当千位是5，7时，也分别有280个，
当千位数是4时，个位数有0，2，6，8四种可能，
由乘法原理，有个，
同理，当千位是6时，也分别有224个，所以，由加法原理，
共个没有重复数字的偶数．
故答案为：1288.
3．（2024湖南）用0，1，2，3，4五个数字．
(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？
(2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
(4)可以组成多少个无重复数字的四位奇数？
【答案】(1)125(2)100(3)30(4)36
【解析】（1）三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，
共有(个)．
（2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有(个)．
（3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，
因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有(种)排法；
一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有 (种)排法，
因此有(种)排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
（4）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：
第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；
第二步定首位，从1，2，3，4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方法；
第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.
由分步计数原理知共有(个)．
考点五 两个计数原理综合应用--几何
【例5】（24-25高二上·全国·课后作业）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为 ．

【答案】24
【解析】梯形的上、下底平行且不相等，如图，

若以AB为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有（个），
若以AC为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有（个），
所以梯形的个数是（个）．
故答案为：24
【一隅三反】
1（23-24高二上·湖北黄石·期末）过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（ ）
A．18 B．30 C．36 D．54
【解题思路】根据题意，分棱柱侧棱与底面边、棱柱侧棱与侧面对角线、底面边与侧面对角线、底面边与底面边、侧面对角线与侧面对角线五类依次计数即可得答案.
【解答过程】解：如图，分以下几类：
棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有：对；
棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
底面边与底面边之间所构成的异面直线有：对；
侧面对角线与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
所以共有对.
故选：C.
2（2025高二·全国·专题练习）从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）.
A．105种 B．225种 C．315种 D．420种
【解题思路】首先选取一个点作为钝角顶点，并该点与圆心连线将其余14个顶点分成左右各7个：在左侧选取一个点作为第二顶点，依次选取右侧7个点作为第三顶点判断三角形形状，依此步骤即可得当前钝角顶点下的钝角三角形个数，最后乘以15即可得结果.
【解答过程】如图所示，以A为钝角顶点，在直径的左边取点，右边依次取，得到6个钝角三角形，当取时，△为锐角三角形；
同理，直径的左边取点，右边依次取，得到5个钝角三角形，当取，时，△、△为锐角三角形；
……
在直径的左边取点时，得到一个钝角△，
在直径的左边取点时，没有钝角三角形.
故以A为钝角顶点的三角形共有（个）.
以其余14个点为钝角顶点的三角形也各有21个，
所以总共有（个）钝角三角形.
故选：C.
3（2024云南）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有________种.
【答案】72
【解析】下面分两种情况，即C，A同色与C，A不同色来讨论.
（1）P的着色方法有4种，A的着色方法有3种，B的着色方法有2种，
C，A同色时，C的着色方法为1种，D的着色方法有2种.
（2）P的着色方法有4种，A的着色方法有3种，B的着色方法有2种.
C与A不同色时C的着色方法有1种，D的着色方法有1种，
综上，两类共有4×3×2×1×2＋4×3×2×1×1＝48＋24＝72(种).故答案为：72
考点六 两个计数原理综合应用---其他类型
【例6-1】（24-25高二上·全国·课后作业）李明为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数为 ．
【答案】13
【解析】将5月剩余的30天依次编号为1，2，3，…，30，
因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次，
且5月1日李明去了这四家超市配送，所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，
每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，
每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，
则李明去甲超市的天数编号为3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，共10天；
李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为4，8，16，20，28，共5天；
李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；
李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为7，14，共2天，
所以李明需要去配送的天数为，
所以整个5月李明不用去配送的天数是．
故答案为：13.
【例6-2】（24-25高二上·全国·课后作业）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（ ）
1 2 3 4 5 6 7 8 9表示如下
纵式：
横式：
A．81个 B．64个 C．18个 D．17个
【答案】B
【解析】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，共可以摆出（个）两位数，
其中个位和十位上的算筹都为1有（个）；
个位和十位上的算筹都为2有（个）；
个位和十位上的算筹都为3有（个）；
个位和十位上的算筹都为4有（个）；
个位和十位上的算筹都为5有（个），
共有（个），
所以个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（个）.
故选：B
【一隅三反】
1．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）设集合A中的元素皆为无重复数字的二位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 .
【答案】
【解析】由题意知集合中元素中任意两者之积皆为偶数，
故该集合元素中最多只能有一个奇数，其余元素均是偶数．
①当个位为0时，则十位有9个数字可供选择，则这样的偶数有个；
②当个位不为0时，则个位有2,4,6,8共4个数字可供选择，十位有8个数字可供选择，
则这样的偶数有个；
则集合中元素个数的最大值为个．
故答案为：．
2．（24-25高三·上海·课堂例题）集合，从集合中取出4个元素构成集合，并且集合中任意两个元素、满足，则这样的集合的个数为 个．
【答案】35
【解析】因为集合中有5个奇数，5个偶数
若集合中的4个元素均为偶数，则有
，
共5个；
同理可得：若集合中的4个元素均为奇数，则有共5个；
若集合中的4个元素有2个奇数、2个偶数，则有
，
共9个；
若集合中的4个元素有1个奇数、3个偶数，则有
，
共8个；
同理可知：若集合中的4个元素有3个奇数、1个偶数，则有8个；
综上所述：共有个.
故答案为：35.
3．（24-25高二下·全国·课后作业）如图有A，B两组电路图．
(1)对于B组电路图，闭合两个开关即可通电的方法数有多少种？
(2)若A组电路与B组电路从衔接点M，N处连接，把两电路串联起来，只需闭合三个开关就可通电的方法数有多少种？
【答案】(1)13
(2)65
【解析】（1）对于组电路，可分上、中、下路三类，
上路：第一步接通有1种方法，第二步接通有3种方法，由分步乘法计数原理，总方法数为；
中路：第一步接通有2种方法，第二步接通有2种方法，由分步乘法计数原理，总方法数为；
下路：第一步接通有2种方法，第二步接通有3种方法，由分步乘法计数原理，总方法数为．
故所求方法数有种．
（2）对于组，合上一个开关可使电路通电，可分两路：从上路接通有2种方法，从下路接通有3种方法，
由分类加法计数原理，总方法数为；
两组串联后要使电路通电，需两组均通电，组电路通电有5种情况，由（1）知组电路通电有13种情况，
所以串联后的电路通电有种情况．
单选题
1．（辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷）将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【答案】C
【解析】若两个盒子中都放入2个球，则有3种不同的方法；
若一个盒子中放1个球，另一个盒子中放3个球，则有4种不同的方法．
故不同的放法有7种．
故选：C
2．（24-25高二上·甘肃白银·期末）小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习，则不同的选择方案共有（ ）
A．5种 B．6种 C．8种 D．9种
【答案】B
【解析】由分步计数原理，得不同的选择方案共有种.故选：B
3．（24-25高二上·全国·课后作业）将《步步高》《创新设计》等三本不同的书按如图所示的方式放在一起，则《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有（ ）
A．2种 B．4种 C．6种 D．9种
【答案】B
【解析】《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有种，故选：B.
4．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（ ）
A．18种 B．48种 C．108种 D．192种
【答案】D
【解析】因甲不去北京，应该分步完成：
第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法；
第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有中选法；
由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种．
故选：D．
5．（23-24高二下·河南洛阳·期中）用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有（ ）
A．48个 B．24个 C．18个 D．12个
【答案】C
【解析】根据题意，三位数的个位数字必须为1或3，有2种情况，
百位数字不能为0，有3种情况，
十位数字在剩下的3个数字任选1个，有3种情况，
则共有种情况，即有18个符合题意的三位奇数．
故选：C．
6．（24-25高二下·全国·课后作业）某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有（ ）
1 2 3 4 5
A．30240种 B．60480种 C．120960 D．241920种
【答案】C
【解析】由题得相邻两块实验田分成1和2；2和3；3和4；4和5四类；
第一类在1和2上种植小麦，“1”有7种选择，“2”有6种选择，剩下3块实验田种植水稻，
分别有种选择，所以共计种；
第二、三、四类和第一类种数相同．综上总计有种方法．
故选：C.
7．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有（ ）
A．12种 B．14种
C．7种 D．9种
【答案】B
【解析】当甲安排“定点投篮”，另外3人任意安排工作有6种方法.
当甲不安排“定点投篮”时，先安排甲有2种，再安排乙有2种，另外剩余2人有2种，此时有种方法，
共有种，
故选：B
8．（2024·福建）某公园有如图所示A至F共6个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列（ ）
A．24 B．36 C．72 D．81
【答案】C
【解析】第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有3个位置可选，
另一个男生有两种排法，
由于两名男生可以互换，故男生的排法有种，
第二步：排女生，若男生选AF，两个女生排在,
由于女生可以互换，故女生的排法有种，
根据分步计数原理，共有种．
故选：C．
多选题
9．（2024湖北）现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法
【答案】AB
【解析】对于A，从中任选1个球，共有种不同的选法，故A正确；
对于B，每种颜色选出1个球，可分步从每种颜色分别选择，共有种不同的选法，故B正确；
对于C，若要选出不同颜色的2个球，首先按颜色分三类“黄，黑”，“黄，蓝”，“黑，蓝”，再进行各类分步选择，共有种不同的选法，故C错误；
对于D，若要不放回地选出任意的2个球，直接分步计算，共有种不同的选法，故D错误．
故选：AB．
10.（2023·广东佛山）现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是（ ）
A．只需1人参加，有16种不同选法
B．若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法
C．若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法
D．若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法
【答案】ABC
【解析】选项A，分三类：取老师有3种选法，取男生有8种选法，取女生有5种选法，故共有种选法，故A正确；
选项B，分三步：第一步选老师，第二步选男生，第三步选女生，
故共有种选法，故B正确；
选项C，分两步：第一步选老师，第二步选学生，第二步，又分为两类：第一类选男生，第二类选女生，故共有种选法，故C正确；
选项D，若需3名老师和1名学生参加，则有13种不同选法，故D错误.
故选：ABC.
11．（2024浙江嘉兴）如图，用种不同的颜色把图中四块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（ ）
A．
B．当时，若同色，共有48种涂法
C．当时，若不同色，共有48种涂法
D．当时，总的涂色方法有420种
【答案】ABD
【解析】对于A，由于区域与均相邻，所以至少需要三种及以上的颜色才能保证相邻区域不同色，故A正确，
对于B，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法，
涂时，由于同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂，
故共有种涂法，B正确；
对于C，当时，涂有种，
当不同色（D只有一种颜色可选），此时四块区域所用颜色各不相同，涂只能用与同色，此时共有24种涂法，C错误；
对于D，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法，
涂时，当同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的两种颜色中或者与同色的颜色中选择一种涂，
故共有种涂法，
当不同色，此时四块区域所用颜色各不相同，共有，
只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂此时共有种涂法，
综上可知，总的涂色方法有420种，故D正确，
故选：ABD
填空题
12．（2025高三·全国·专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色，欲给如图所示的地图中南昌市及与它相邻的4个城市着色，要求相邻城市不涂同一颜色，则不同的涂色方法共有 种.

【答案】72
【解析】由地图可知，与南昌市相邻的4个城市为：九江市、上饶市、抚州市、宜春市，
先给南昌市着色，有4种方法，再给与南昌市相邻的四个城市涂色，
可分以下两类：
①九江市与抚州市涂同种颜色，方法数为：（种）；
②九江市与抚州市涂不同颜色，方法数为：（种），
故不同涂色方法数为：.
故答案为：72
13．（24-25高二下·全国·课后作业）自然数有一位数、两位数、多位数，在一位数和两位数的自然数中含有数字1的自然数的个数为 ．
【答案】19
【解析】一位数中含有数字1的有1个；两位数中十位为1的有10个，十位不为1，个位数字为1的自然数有8个，故共有个．答案为：19.
14．（24-25福建厦门）现有A，B，C，D，E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有 种摆法．
【答案】260
【解析】分两类：第一类，2，3区域放同一兴趣小组的手工艺品：
第一步，第1区域，有5种摆法，
第二步，第2，3区域有4种摆法，
第三步，第4区域有4种摆法，共计有种摆法；
第二类，2，3区域摆放不同兴趣小组的手工艺品：
第一步，第1区域，有5种摆法，
第二步，第2区域，有4种摆法，
第三步，第3区域，有3种摆法，第四步，第4区域，有3种摆法，
共计有5×4×3×3=180种摆法．
故共有80+180=260种摆法．
故答案为：260.
解答题
15．（24-25黑龙江）某商场举行购物赠礼品活动，购物满100元不超过200元可从A组或B组礼品中取一件礼品（礼品种类互不相同，且A组礼品种类比B组礼品种类多），购物超过200元可从A组和B组中各选一个礼品．现顾客甲消费180元，可取不同礼品的情况数为9种，顾客乙消费300元可取两件礼品的不同情况数有20种．求A组、B组分别有多少种礼品？
【答案】分别有5种、4种礼品
【解析】设组、组分别有种礼品，
由题意，结合分类加法计数原理可得，；
结合分步乘法计数原理可得，，
又组礼品种类比组多，
所以得，
故组、组分别有5种、4种礼品．
16．（24-25广西柳州）在平面直角坐标系内，已知曲线方程．
(1)若曲线方程表示的轨迹为圆，则这样的圆有多少个？
(2)若曲线方程表示的轨迹为椭圆，则这样的椭圆有多少个？
【答案】(1)5个
(2)20个
【解析】（1）因为，
所以，
因为曲线方程表示的轨迹为圆，
则，共有5种情况，
即这样的圆有5个．
（2）由（1）知，
当焦点在轴上，此时需，
当时，没有对应值，0个椭圆；
当时，共1个椭圆；
当时，共2个椭圆；
当时，共3个椭圆；
当时，共4个椭圆，
由分类加法计数原理，焦点在轴上的椭圆有个；
焦点在轴上与焦点在轴上的椭圆个数相同，有10个；
综上所述，满足题意的椭圆共有个．
17．（24-25高二上·上海·期末）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：
①每位学生每天最多选择1项；
②每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
课后服务 音乐、阅读、体育、编程 口语、阅读、编程、美术 手工、阅读、科技、体育 口语、阅读、体育、编程 音乐、口语、美术、科技
(1)若学生甲仅在周一和周二参加了课后服务课程，写出实验的样本空间Ω；
(2)若学生乙一周内有三天参加了课后服务课程，共选择了阅读、体育、编程3项，则共有多少种不同的选择方案 并求这些方案中事件：“周一选择阅读”发生的概率．
【答案】(1)答案见解析；
(2)14，.
【解析】（1）(音乐,口语), (音乐,阅读)，(音乐,编程)，(音乐,美术), (阅读,口语), (阅读,编程)，(阅读,美术)，
(体育,口语), (体育,阅读)，(体育,编程)，(体育,美术), (编程,口语), (编程,阅读)，(编程乐,美术).
（2）依题意，周一、二、三、四均可选阅读，体育在周一、三、四，编程在周一、二、四，
①若周一选编程，则体育在周三或周四，有2种，阅读在剩下的两天中选，有2种，共有4种方案；
②若周二选编程，则体育在周一，周三或周四，有3种，
阅读在剩下的两天中选，有2种，共有6种方案；
③若周四选编程，则体育在周一或周三，有2种，阅读在剩下的两天中选，有2种，共有4种方案，
所以不同选择方案共有（种），
事件含有的样本点：(周一阅读,周二编程,周三体育), (周一阅读,周二编程,周四体育),(周一阅读,周二体育,周四编程)，
事件有3个样本点，事件发生的概率.
18．（24-25江苏）假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，求从最初位置爬到6号蜂房共有多少种不同的爬法？
【答案】21种
【解析】解法1：由树形图可得，蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房先进入0号蜂房有13种爬法；蜜蜂先进入1号蜂房共有8种爬法．
所以蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房，共有种不同的爬法．
说明：图1所表示的图形叫树形图．用这种方式解决排列组合问题较为直观形象．
解法2：依题意，蜜蜂爬到0号蜂房有1种爬法；爬到1号蜂房有2种爬法；
爬到2号蜂房有种爬法（在爬到0号或1号蜂房后再爬到2号蜂房）；
同理，爬到3号蜂房有种爬法；
爬到4号蜂房有种爬法；
爬到5号蜂房有种爬法；
爬到6号蜂房有种爬法．
所以蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房共有21种
19．（24-25江西）如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为凸数（如120、343、275等），求所有凸数的个数．
【答案】240
【解析】若，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，凸数为120与121，共2个；
若，则百位数字可选1或2，个位数字可选1或0或2，则凸数个；
若，则百位数字可选1或2或3，个位数字可选0或1或2或3，则凸数个；
若，则百位数字可选1或2或3或4，个位数字可选0或1或2或3或4，
则凸数个；
若，则百位数字可选1或2或3或4或5，个位数字可选0或1或2或3或4或5，
则凸数个；
若，则百位数字可选1或2或3或4或5或6，个位数字可选0或1或2或3或4或5或6，
则凸数个；
若，则百位数字可选1或2或3或4或5或6或7，个位数字可选0或1或2或3或4或5或6或7，
则凸数个；
若，则百位数字可选1或2或3或4或5或6或7或8，个位数字可选0或1或2或3或4或5或6或7或8，
则凸数个；
凸数共有个.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
6.1 分类加法计数原理与分类乘法计数原理
考点一 分类加法计数原理
【例1-1】（24-25高二上·广西·期末）已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（ ）
A．120 B．15 C．25 D．90
【例1-2】（2024湖南长沙）从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．13
【一隅三反】
1．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（ ）
A．9种 B．10种 C．19种 D．90种
2．（24-25高二下·全国·课后作业）现有编号为1，2，3，4的四个人到编号也为1，2，3，4的四个座位上落座，若要求落座时每个人的编号不能与其座位号相同，则不同的坐法共有 种．
3（2024广东梅州）用标有1克，5克，10克的砝码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）有多少种 （ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
考点二 分步乘法计数原理
【例2-1】（辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷）某体育用品店有5种不同价格的篮球，4种不同价格的排球，若从中选购1个篮球和1个排球，则不同的选购方法有（ ）
A．9种 B．20种 C．625种 D．1024种
【例2-2】（24-25高二上·陕西汉中·期末）一辆公交车上有位乘客，沿途个车站，则乘客下车的可能方式共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【一隅三反】
1．（24-25高二上·河南南阳·期末）从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2．（24-25高二上·湖南长沙·期末）某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小红3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（ ）
A．36种 B．50种 C．75种 D．125种
3．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（ ）
A．10种 B．20种 C．30种 D．60种
考点三 两个计数原理综合应用---涂色
【例3-1】（辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷）如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．60种 B．80种 C．100种 D．125种
【例3-2】（23-24高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ）

A．120 B．26
C．340 D．420
【例3-3】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域与区域）所涂颜色相同.若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种.

【一隅三反】
1．（23-24高二下·四川凉山·期末）用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域A、B、C、D涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）
A．14种 B．16种 C．20种 D．18种
2．（24-25高二上·全国·单元测试）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）

A．120种 B．720种 C．840种 D．960种
3．（25-26高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ）．

A．240种 B．300种 C．360种 D．420种
4．（2024高二下·江苏·学业考试）用红、黄、蓝、白、黑五种颜色在“田”字型的4个小方格内涂色，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．120 B．260 C．280 D．320
5．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．25 B．630 C．605 D．580
考点四 两个计数原理综合应用---数字
【例4】（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024-2025广东深圳）用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数．（用数字作答）
2．（24-25高三·上海·随堂练习）在3000和8000之间，有多少个没有重复数字的偶数？
3．（2024湖南）用0，1，2，3，4五个数字．
(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？
(2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
(4)可以组成多少个无重复数字的四位奇数？
考点五 两个计数原理综合应用--几何
【例5】（24-25高二上·全国·课后作业）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为 ．

【一隅三反】
1（23-24高二上·湖北黄石·期末）过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（ ）
A．18 B．30 C．36 D．54
2（2025高二·全国·专题练习）从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）.
A．105种 B．225种 C．315种 D．420种.
3（2024云南）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有________种.
考点六 两个计数原理综合应用---其他类型
【例6-1】（24-25高二上·全国·课后作业）李明为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数为 ．
【例6-2】（24-25高二上·全国·课后作业）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（ ）
1 2 3 4 5 6 7 8 9表示如下
纵式：
横式：
A．81个 B．64个 C．18个 D．17个
【一隅三反】
1．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）设集合A中的元素皆为无重复数字的二位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 .
2．（24-25高三·上海·课堂例题）集合，从集合中取出4个元素构成集合，并且集合中任意两个元素、满足，则这样的集合的个数为 个．
3．（24-25高二下·全国·课后作业）如图有A，B两组电路图．
(1)对于B组电路图，闭合两个开关即可通电的方法数有多少种？
(2)若A组电路与B组电路从衔接点M，N处连接，把两电路串联起来，只需闭合三个开关就可通电的方法数有多少种？
单选题
1．（辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷）将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
2．（24-25高二上·甘肃白银·期末）小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习，则不同的选择方案共有（ ）
A．5种 B．6种 C．8种 D．9种
3．（24-25高二上·全国·课后作业）将《步步高》《创新设计》等三本不同的书按如图所示的方式放在一起，则《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有（ ）
A．2种 B．4种 C．6种 D．9种
4．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（ ）
A．18种 B．48种 C．108种 D．192种
5．（23-24高二下·河南洛阳·期中）用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有（ ）
A．48个 B．24个 C．18个 D．12个
6．（24-25高二下·全国·课后作业）某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有（ ）
1 2 3 4 5
A．30240种 B．60480种 C．120960 D．241920种
7．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有（ ）
A．12种 B．14种
C．7种 D．9种
8．（2024·福建）某公园有如图所示A至F共6个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列（ ）
A．24 B．36 C．72 D．81
多选题
9．（2024湖北）现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法
10.（2023·广东佛山）现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是（ ）
A．只需1人参加，有16种不同选法
B．若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法
C．若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法
D．若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法
11．（2024浙江嘉兴）如图，用种不同的颜色把图中四块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（ ）
A．
B．当时，若同色，共有48种涂法
C．当时，若不同色，共有48种涂法
D．当时，总的涂色方法有420种
填空题
12．（2025高三·全国·专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色，欲给如图所示的地图中南昌市及与它相邻的4个城市着色，要求相邻城市不涂同一颜色，则不同的涂色方法共有 种.

13．（24-25高二下·全国·课后作业）自然数有一位数、两位数、多位数，在一位数和两位数的自然数中含有数字1的自然数的个数为 ．
14．（24-25福建厦门）现有A，B，C，D，E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有 种摆法．
.
解答题
15．（24-25黑龙江）某商场举行购物赠礼品活动，购物满100元不超过200元可从A组或B组礼品中取一件礼品（礼品种类互不相同，且A组礼品种类比B组礼品种类多），购物超过200元可从A组和B组中各选一个礼品．现顾客甲消费180元，可取不同礼品的情况数为9种，顾客乙消费300元可取两件礼品的不同情况数有20种．求A组、B组分别有多少种礼品？
16．（24-25广西柳州）在平面直角坐标系内，已知曲线方程．
(1)若曲线方程表示的轨迹为圆，则这样的圆有多少个？
(2)若曲线方程表示的轨迹为椭圆，则这样的椭圆有多少个？
17．（24-25高二上·上海·期末）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：
①每位学生每天最多选择1项；
②每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
课后服务 音乐、阅读、体育、编程 口语、阅读、编程、美术 手工、阅读、科技、体育 口语、阅读、体育、编程 音乐、口语、美术、科技
(1)若学生甲仅在周一和周二参加了课后服务课程，写出实验的样本空间Ω；
(2)若学生乙一周内有三天参加了课后服务课程，共选择了阅读、体育、编程3项，则共有多少种不同的选择方案 并求这些方案中事件：“周一选择阅读”发生的概率．
18．（24-25江苏）假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，求从最初位置爬到6号蜂房共有多少种不同的爬法？
19．（24-25江西）如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为凸数（如120、343、275等），求所有凸数的个数．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑