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6.2.1 排列数与排列
考点一 排列定义的理解
【例1】（24-25高二上·全国·课前预习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法
B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种
【答案】B
【解析】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误；
对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确；
对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误；
对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误．
故选：B
【一隅三反】
1．（23-24高二下·陕西咸阳·期中）下列问题不属于排列问题的是（ ）
A．从10个人中选2人分别去种树和扫地
B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表
D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数
【答案】B
【解析】对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，因为工作内容不一样，故有顺序，属于排列问题，故A不满足题意；
对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，没有顺序，所以不属于排列问题，故B满足题意；
对于C，从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表，因为科目不相同，故有顺序，属于排列问题，故C不满足题意；
对于D，从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数，数字所在位置有顺序，属于排列问题，故D不满足题意.
故选：B
2．（23-24高二下·全国·课堂例题）（多选）下列问题是排列问题的是（ ）
A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法
B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种
【答案】BC
【解析】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误；
对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确；
对于C，确定向量涉及顺序问题，是排列问题，C正确；
对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误．
故选：BC
3．（2024高二下·江苏·专题练习）（多选）下列问题是排列问题的为（　　）
A．高二（1）班选名班干部去学校礼堂听团课
B．某班名同学在假期互发微信
C．从1，2，3，4，5中任取两个数字相除
D．10个车站，站与站间的车票
【答案】BCD
【解析】对于A：不存在顺序问题，不是排列问题；
对于B：存在顺序问题，是排列问题；
对于C：两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题；
对于D：车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．
故选：BCD
考点二 排列数的运算
【例2-1】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）（1）可以表示为
（2）（24-25高二上·山东东营·阶段练习）
（3）（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）不等式的解集是
【答案】（1）（2）3（3）
【解析】（1）由排列数公式2），可知.
A． B．3 C． D．
（2）.
（3）不等式中，，化为，
整理得，解得，因此，所以不等式的解集是.
【一隅三反】
1．（2024湖北）已知，则（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解析】因为，则，
整理可得，解得，经检验，满足题意．
2．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）（多选）满足不等式的的值可为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】AB
【解析】由，得，，即，解得，又，
所以或
3．（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知，.因为，，，
所以原不等式可化为，所以，所以原不等式的解集为.
4（2024上海）求解下列问题：
(1)解方程：.
(2)求证：．
【答案】(1)(1)(2)证明见解析
【解析】（1）由，得，
即，即，解得或，
又因为且，故，故的解为.
（2），.
考点三 排列常见方法---特殊元素优先
【例3-1】（24-25高二上·江苏常州·期末）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种排法，再排其余4节，有种排法，根据乘法原理，共有种排法，故选：B．
【例3-2】（2025海南）5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（ ）
A．18 B．36 C．48 D．60
【答案】B
【解析】甲在排头或排尾站法有种，再让乙在中间3个位置选一个，有种站法，其余3人有种站法，
所以共有种站法，故选：B
【一隅三反】
1．（甘肃省2024-2025学年高二上学期）某中学环保社团计划利用社团前空地栽种五棵高低不一样的树木，其中最高和最矮的两棵树木种在两头的方法有（ ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．48种
【答案】B
【解析】先安排最高和最矮的树木的位置，方法有种；再安排剩下三棵树的位置，方法有种，
所以一共有种安排方法．故选：B．
2．（2025河南）5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（ ）
A．18 B．36 C．48 D．60
【答案】B
【解析】甲在排头或排尾站法有种，再让乙在中间3个位置选一个，有种站法，其余3人有种站法，
所以共有种站法，故选：B
3．（24-25高二上·河北唐山·期末）甲、乙等5人站成一排，要求甲在中间，乙不在两端，则不同的排列方式共有（ ）
A．12种 B．6种 C．24种 D．60种
【答案】A
【解析】∵甲在中间，乙不在两端，∴先排甲，则乙有2种排法，剩下的3人任意排列，故有种.
故选：A.
4．（24-25高三上·湖北随州·期末）在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ）
A．18种 B．36种 C．72种 D．108种
【答案】B
【解析】先排，两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2，3，4道程序中选两个放，，共有种安排方法；再排剩余的3道程序，共有种安排方法，所以一共有种不同的顺序安排方法.故选：B.
考点四 排列常见方法---相邻捆绑法
【例4-1】（24-25高二上·江西南昌·期末）现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将甲、乙两位同学捆绑，再和另外4位同学全排列，即.故选：B
【例4-2】（2024高三·全国·专题练习）2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（ ）
A．1440种 B．1360种
C．1282种 D．1128种
【答案】D
【解析】采取对丙和甲进行捆绑的方法：
如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：种，
如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：种，
若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：种．
则不同的安排方案共有(种)．故选：D．
【一隅三反】
1．（2024福建）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【解析】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则两者“捆绑”，所以不同的排列种数为.
故选：B
2．（24-25 福建泉州·阶段练习）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲 乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（ ）
A．96种 B．120种 C．192种 D．240种
【答案】C
【解析】由题意可知，丙排在第4位，则甲乙两人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位，
故不同的排法有种.故选：C.
3．（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】将本语文书捆绑、本数学书捆绑，则相同科目的书相邻的排法种数为种.
故选：C.
考点五 排列常见方法---不相邻插空法
【例5-1】（江西省南昌市2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷）小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】先将一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄进行排序，然后将两颗圣女果插入一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄所形成的空位中，从个空位中抽取个空位进行排序，由插空法可知，不同的串法有种.故选：C.
【例5-2】（24-25高二上·辽宁·期末）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可 波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（ ）
A．84 B．120 C．504 D．720
【答案】C
【解析】8个同学站成一排有9个空，甲、乙、丙在9个空中任意排列，则不同的方法种数为.
故选：C
【一隅三反】
1．（24-25 湖北·阶段练习）甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（ ）
A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种
【答案】B
【解析】环排问题线排策略，增加一个凳子．
九个凳子排一排，甲放一号和九号，中间剩余七个位置可选，再将其他五人放入中间有种．
甲、乙、丙两两不相邻．乙、丙只能放中间四空中共有种，
由分步计数原理得总数种．
故选：B.
2．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）某单位参加年月日在四角井历史文化街区举办的晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先排三个唱歌节目这有种情况，然后四个空排两个舞蹈节目这有种情况，
所以舞蹈节目不能相邻的情况有情况.故选：D.
3．（福建省漳州市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题）据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，则“宫”和“角”之间恰好有一个音阶的排法种数为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
【答案】D
【解析】先从“商、徵、羽”中选一个插在“宫”和“角”之间，有，再作为一个整体和剩下的两个音阶排列，
所以共有种排法.故选：D
4．（2025高三·全国·专题练习）现需将编号分别为1，2，3，4，5的五人每人安排一天值班，则编号恰好奇偶相间的排班方法数共有（ ）
A．8 B．12 C．24 D．36
【答案】B
【解析】先将3个奇数编号排好，有种方法，然后将2，4插入到排好的奇数的中间可得，
故共有种．故选：B．
考点六 排列常见方法---定序倍缩法
【例6-1】（24-25高二上·河南驻马店·期末）某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，则不同的出场次序有（ ）
A．18种 B．36种 C．60种 D．72种
【答案】C
【解析】因为A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，且A须在B前面出场，所以有种出场顺序.故选：C
【例6-2】（2024高二·全国·专题练习）四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（ ）
A．12600 B．6000 C．8200 D．12000
【答案】A
【解析】根据题意，如图，
将10个气球进行编号1-10，原问题可以转化为将编号为1～10的10个气球排列，
其中2，3号，4，5，6号，7，8，9，10号气球必须是从下到上的顺序，按小球从下到上的编号顺序打破气球即可，则有（种）排列方法，则有12600（种）不同打法，故选：A．
【一隅三反】
1．（2024山东烟台 ）某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为（ ）．
A．20 B．120 C．360 D．720
【答案】B
【解析】因为甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，所以不同的上台顺序种数为.故选：B.
2．（24-25高二下·全国·课后作业）现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，则共有不同排法 种．
【答案】30240
【解析】先将10人全排，即为，再将甲、乙、丙、丁、戊五人全排，即为，
故有种排法．故答案为：30240.
3．（23-24高二下·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．30
【答案】D
【解析】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法，
如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法，故A，B，C错误.故选：D.
4．（23-24高二下·新疆喀什·期中）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为 .（结果用数字表示）
【答案】60
【解析】依题意，6串香蕉任意收取共有种方法，
考虑在收取最右边一列时有种取法，收取中间一列时有种取法，
而从下往上收取只是其中的一种，故按照从下往上的收取方法，不同取法数是种.
故答案为：60.
考点七 排列方法综合运用
【例7】（2024广东潮州饶平）名同学，其中名男同学，名女同学：
（1）站成一排，共有多少种不同的排法？
（2）站成两排，前排名同学，后排名同学，共有多少种不同的排法？
（3）站成两排，前排名女同学，后排名男同学，共有多少种不同的排法？
（4）站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
（5）站成三排，前排名同学，中间排名同学，后排名同学，其中甲站在中间排的中间位置，共有多
少种不同的排法？
（6）站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
（7）站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
（8）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？
（9）站成一排，名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起.
（10）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
（11）站成一排，甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种？
（12）站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？
（13）站成一排，名男同学都不能相邻，名女同学也不能相邻的排法共有多少种？
（14）站成一排，甲必要站在乙的前面(可以相邻也可以不相邻)的排法共有多少种？
（15）名同学座圆桌吃饭，只考虑谁挨着谁的排法共有多少种？
【答案】（1）5040；（2）5040；（3）144；（4）720；（5）720；（6）240；（7）2400；（8）1440；（9）288；（10）960；（11）3600；（12）1440；（13）144；（14）2520；（15）720.
【解析】（1）问题可以看作个元素的全排列，故有种排列方法.
（2）根据分步计数原理，共有种排列方法.
（3）根据分步计数原理，共有种排列方法.
（4）首先先把甲放在中间的位置，则问题可以看作余下的个元素的全排列，
共有种排列方法.
（5）首先把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看作余下的个元素的全排列，
共有种排列方法.
（6）第一步甲、乙站在两端有种，第二步余下的名同学进行全排列有种，
∴共有种排列方法.
（7）第一步从(除去甲、乙)其余的名同学中选名同学站在排头和排尾有种方法，
第二步从余下的名同学中选名进行排列(全排列)有种方法，
∴一共有种排列方法；
（8）先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种方法，
再与其余的个元素(同学)一起进行全排列有种方法，
∴这样的排法一共有种方法.
（9）先将名女同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种情况，
再将名男同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种情况，
这时一共有个整合的后元素，有种情况，
∴一共有排法种数：(种).
（10）将甲、乙“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有个元素，
∵丙不能站在排头和排尾，
∴可以从其余的个元素中选取个元素放在排头和排尾，有种方法，
将剩下的个元素进行全排列有种方法，
最后将甲、乙“松绑”进行排列有种方法，
∴这样的排法一共有种方法.
（11） (排除法)七名同学全排，有种可能，甲、乙两名同学相邻，有种可能，
则甲、乙两名同学不能相邻有种方法.
（12）先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，
再将甲、乙和丙三名同学分别插入这五个“空”有种方法，
∴一共有种.
（13）先将名女同学排好有种方法，此时她们留下四个“空”，
再将名男同学分别插入这四个“空”有种方法，
∴一共有种.
（14）先将名同学全排有种方法，再将甲、乙两名同学全排有种方法，
∵甲必要站在乙的前面，∴只需要总数的种方法，∴一共有种.
（15）把任意一名同学固定在任意一个位置，
再把其他名同学往其他位置里全排，有种方法，
则一共有种方法.
【一隅三反】
1．（24-25高二上·江苏常州·期末）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有576种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法
D．如果女生不能站在两端，那么有720种不同排法
【答案】A
【解析】A：如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，
此时，共有种不同的排法，故A正确；
B：如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，
此时，共有种不同的排法种数，故B错误；
C：如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中，
此时，共有种不同的排法种数，故C错误；
D：如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，
此时，共有种不同的排法种数，故D错误.
故选：A
2．（24-25高二上·河南驻马店·期末）（多选）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ）
A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法
B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法
C．5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法
D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法
【答案】BD
【解析】对A：甲、乙、丙站前排，有种排法，丁、戌站后排，有种排法，共有种排法，故A错误；
对B：甲、乙看作一个元素，则5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有种排法，故B正确；
对C：5人站成一排，甲不在两端，共有种排法，故C错误；
对D：5人站成一排，有种排法，
则甲在最左端，乙不在最右端，共有种排法；
甲不在最左端，乙在最右端，共有种排法；
甲在最左端，乙在最右端，共有种排法；
则甲不在最左端，乙不在最右端，共有种排法，故D正确.
故选：BD.
3．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）有0，1，2，3，4五个数字（每小问均须用数字作答）.
(1)可以排成多少个三位数？
(2)求满足下列条件的五位数个数（无重复数字）.
（i）左起第二、四位数是偶数的奇数.
（ii）比大的偶数.
【答案】(1)个
(2)（i）20个；（ii）41个
【解析】（1）首先排百位数字有种选法，
再排十位数字有种选法，
最后排个位数字有种选法，
所以一共有三位数（个）.
（2）（i）首先从、两数中选一个数排在个位，有种；
①最高位排、中剩下的数，将三个偶数排到左起第二、三、四位，有种；
②最高位为从、两数中选一个，有种，再将剩下的两个偶数排到左起第二、四位，有种，最后将、中剩下的数排到第三位；
综上可得符合条件的数字一共有（个）；
（ii）比大的偶数可分为六类：
万位数字为的偶数，有个；
万位数字为的偶数，有个；
万位数字为，千位数字为的偶数，有个；
万位数字为，千位数字为的偶数，有个；
万位数字为，千位数字为的偶数，有个；
万位数字为，千位数字为的偶数，有，共个；
综上可得比大的偶数一共有个.
单选题
1．（23-24高二上·全国·课后作业）不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，
得，解得，
所以不等式的解集是.
故选：D.
2．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）用2，3，5，6，7，8这6个数字组成无重复数字的六位数，其中，个位数为质数的六位数有（ ）
A．360个 B．420个 C．480个 D．600个
【答案】C
【解析】这个数字中为质数，故个位数的排法有种，
前五位的排法有种，
由分步乘法计数原理可得，个位数为质数的六位数有个．
故选：C.
3．（23-24高二下·新疆阿克苏·阶段练习）现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】C
【解析】甲、乙相邻捆绑作为一全元素，丙、丁不相邻用插入法．
由题意不同站法数为：．
故选：C.
4．（24-25高二下·全国·课后作业）某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（ ）
A．8种 B．12种 C．16种 D．24种
【答案】B
【解析】先对剩下两个人进行全排列，有种，此时有3个空位置，再对甲、乙两人进行排列，有种，
根据分步乘法计数原理，共有种排法．
故选：B
5．（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫 商 角 徵 羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（ ）
A．128 B．64 C．48 D．24
【答案】D
【解析】先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有种，
然后与宫、商、角进行全排列有种，考虑到顺序问题，
则可排成不同音序的种数为.
故选：D.
6．（23-24高二下·山东潍坊·期末）现有五人并排站成一排，若甲与乙不相邻，并且甲在乙的左边，则不同的安排方法共有（ ）．
A．128种 B．36种 C．72种 D．84种
【答案】B
【解析】五人站成一排共有种，甲乙相邻共有种，
所以甲与乙不相邻共有种，
其中甲在乙的左边、右边机会相同，各有种，
故选：B
7．（2024高三·全国·专题练习）数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有（ ）
A．48种 B．40种 C．32种 D．24种
【答案】C
【解析】第1步：先将相邻的进行“捆绑”排列，
首先排，由题意可将两人看作一个整体，先站到正中间，共有种站法；
第2步：将不能相邻的插入合适的位置进行排列，
其次再排，因为两人不能相邻，所以只能排到的两侧，
若在左侧，则有种站法，此时只能在右侧，有种站法，
共种站法，同理在的右侧，在左侧，有种站法，
故共有8种站法；
第3步：将剩下的进行排列并计算所求，
剩下的有种站法，所以不同的站法共有种．
故选：C.
8（23-24高二下·浙江·阶段练习）将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（ ）
A．120种 B．240种 C．480种 D．600种
【答案】C
【解析】将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，共有,
其中的顺序有，共6种，
A，B在C同侧的情况有共4种，
即在A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行的排列中，
A，B在C同侧的情况占比为，
则将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（种），
故选：C
多选题
9．（2024北京） A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）
A．若A、B不相邻共有72种方法
B．若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法．
C．若A在B左边有60种排法
D．若A、B两人站在一起有24种方法
【答案】ABC
【解析】对于A：若A、B不相邻共有种方法，故A正确；
对于B：若A不站在最左边，B不站最右边，利用间接法有种方法，故B正确；
对于C：若A在B左边有种方法，故C正确；
对于D：若A、B两人站在一起有，故D不正确.
故选：ABC
10（24-25高二上·甘肃白银·期末）“六艺”即“礼 乐 射 御 书 数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法 乐舞 射箭 驾车 书法和算术，其中射箭 驾车（御战车 驾车）为军事技能．某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（ ）
A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种
B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为
C．“御 书 数”相邻的培训方法种数为
D．“射”排在最后的培训方法种数为
【答案】BCD
【解析】对于A，先排“礼、射”有种，然后将“礼、射”看作一个元素，与其余4个全排有，
所以满足条件的培训方法种数为，故A项错误；
对于B，先全排有种，“数”和“乐”的顺序有2种，满足顺序排法相同，
所以满足条件的排法有种，故B项正确；
对于C，先排“御、书、数”有种，然后将“御、书、数”看作一个元素，与其余3个全排有，
所以满足条件的培训方法种数为，故C项正确；
对于D，先排“射”，然后其他5种全排，共有培训方法种数为，故D项正确．
故选：BCD
11．（2024山东） 用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数和五位数，则（ ）
A．可组成360个四位数
B．可组成216个是5的倍数的五位数
C．可组成270个比1325大的四位数
D．若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数为2310
【答案】BC
【解析】对于A，可组成四位数的个数为，A错误；
对于B，有两类：个位上的数字是0，有个，个位上的数字是5，有个，则为5的倍数的五位数的个数是，B正确；
对于C，比1325大的四位数可分为三类：第一类，千位上数字比1大的四位数，共个，
第二类，千位上数字是1，百位上的数字是4，5之一的四位数，共个，
第三类，千位上数字是1，百位上的数字是3，十位上的数字是4，5之一的四位数，共个，
则比1325大的四位数的个数是，C正确；
对于D，千位上数字是1的四位数的个数是，千位上数字是2，百位上的数字是0，1之一的四位数的个数是，
于是得第85个数是2301，D错误．
故选：BC
填空题
12．（2024·四川成都·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，则不同的站法共有 种（用数字作答）．
【答案】20
【解析】】当甲和乙站前排，丙站后排时，不同站法有（种）；
当甲和乙站后排，丙站后排时，不同站法有（种），
所以不同的站法共有（种）．
故答案为:20.
13．（22-23高二下·江苏扬州·期中）3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的排法有 种．
【答案】84
【解析】由已知名同学的全排列数为：种,其中不满足题意的排法，即名男同学全部相邻.
此处应用捆绑法，先将名男生作为一个整体，与女生进行全排列，再对名男生进行全排列，
得到名男生全部相邻的排法总数为：种，在总数当中减去不满足题意的排法，
得到满足题意的排法有：种.
故答案为：84
14．（23-24高二下·上海·期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答）
【答案】2520
【解析】由题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，，
则因为每一串只能从上往下吃，
所以在前被吃，在前而在前被吃，即它们被吃的相对位置是已定的，同理被吃的相对位置也是已定的，
所以根据排列中定序问题可得不同的吃完的顺序有种.
故答案为：2520.
解答题
15．（24-25高二上·北京·阶段练习）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单：
(1)唱歌节目排在两头，有多少种排法
(2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法
(3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法
(4)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法
【答案】(1)240
(2)432
(3)144
(4)72
【解析】（1）先排唱歌节目，有2种排法，
再将剩下的5个节目全排列，有种方法，
故共有种排法；
（2）将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法.
再将剩下4个节目全排列，有种排法.
最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中，
有3种排法，故共有种排法；
（3）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法.
再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法.
则共有种排法.
（4）将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中.
若两个节目放入同一个空，有种排法，
若两个节目不放入同一个空，有种排法，
故共有种排法.
16（2025黑龙江）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)选5名同学排成一排；
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全体站成一排，男生排在一起；
(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；
(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；
(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．
【答案】(1)2520(2)2400(3)3720(4)288(5)720(6)1440(7)144(8)960(9)5040(10)840
【解析】（1）无条件的排列问题，排法有种；
（2）先安排甲乙在中间有 种，再安排余下的5人有 种，共有排法有种；
（3）排法有种，其中是甲在左端或乙在右端的排法，是甲在左端且乙在右端的排法；
（4）把男生看成一个整体共有 种，再把女生看成一个整体有 种，再把这两个整体全排列，共有种排法；
（5）即把所有男生视为一个整体，与4名女生组成五个元素全排列，共有种排法；
（6）即不相邻问题（插空法）：先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法；
（7）对比（6），让女生插空，共有种排法；
（8）（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共有种排法；
（9）分步完成共有种排法；
（10）由于乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列，
7人的全排列共有种，甲、乙、丙3人全排列有种，而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种，所以共有种排法.
17．（23-24高二下·山东聊城·阶段练习）从这7个数字中取出4个数字，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的四位数？
(2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？
(3)能组成多少个没有重复数字且个位不是5的四位数？
【答案】(1)720
(2)420
(3)620
【解析】（1）解：第一步：千位不能为0，有6种选择；
第二步：百位可以从剩余数字中选，有6种选择；
第三步：十位可以从剩余数字中选，有5种选择；
第四步：个位可以从剩余数字中选，有4种选择．
根据分步计数原理，能组成个没有重复数字的四位数．
（2）解：第一类：当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有个；
第二类：当个位数字是2时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个；
第三类：当个位数字是4时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个；
第四类：当个位数字是6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个．
根据分类计数原理．能组成个没有重复数字的四位偶数
（3）解：当个位是0时，有种排法；
当个位不是0时，有种排法，
由分类计数原理，可得符合条件的共种排法.
16．（2024海南·期中）用0、1、2、3、4五个数字:
(1)可组成多少个五位数；
(2)可组成多少个无重复数字的五位数；
(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【难度】0.65
【解析】（1）用0、1、2、3、4五个数字组成五位数,相当于从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在千位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在百位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在十位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在个位，有种情况，
所以可组成个五位数.
（2）用0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位数,相当于先从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，有种情况，再把剩下的三个数字和0全排列，有种情况，所以可组成个无重复数字的五位数.
（3）无重复数字的3的倍数的三位数组成它的三个数字之和必须是3的倍数，
所以三个数字必须是0、1、2或0、2、4或1、2、3或2、3、4，
若三个数字是0、1、2，则0不能放在百位，从1和2两个数字中抽取一个放在百位，有种情况，再把剩下的一个数字和0全排列，有种情况；
若三个数字是0、2、4，则0不能放在百位，从2和4两个数字中抽取一个放在百位，有种情况，再把剩下的一个数字和0全排列，有种情况；
若三个数字是1、2、3，则相当于对这三个数字全排列，有种情况;
若三个数字是2、3、4，则相当于对这三个数字全排列，有种情况.
所以根据分类计数原理，共可组成
个无重复数字的且是3的倍数的三位数.
（4）由数字0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位奇数，则放在个位的数字只能是奇数，所以放在个位数字只能是1或3，所以相当于先从1、3两个数字中抽取一个放在个位，有种情况，再从剩下的四个数字中除去0抽取一个放在万位，有种情况，再对剩下的三个数字全排列，有种情况，
所以可组成个无重复数字的五位奇数.
19（2025·广西）用、、、、这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如、等都是“凹数”，试求“凹数”的个数．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）偶数分为二类：
若个位数，则共有个；
若个位数是或，则首位数不能为，则共有个；
所以，符合条件的三位偶数的个数为；
（2）“凹数”分三类：
若十位是，则有个；
若十位是，则有个；
若十位是，则有个；
所以，符合条件的“凹数”的个数为．
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6.2.1 排列数与排列
考点一 排列定义的理解
【例1】（24-25高二上·全国·课前预习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法
B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种
【一隅三反】
1．（23-24高二下·陕西咸阳·期中）下列问题不属于排列问题的是（ ）
A．从10个人中选2人分别去种树和扫地
B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表
D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数
2．（23-24高二下·全国·课堂例题）（多选）下列问题是排列问题的是（ ）
A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法
B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种
3．（2024高二下·江苏·专题练习）（多选）下列问题是排列问题的为（　　）
A．高二（1）班选名班干部去学校礼堂听团课
B．某班名同学在假期互发微信
C．从1，2，3，4，5中任取两个数字相除
D．10个车站，站与站间的车票
考点二 排列数的运算
【例2-1】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）（1）可以表示为
（2）（24-25高二上·山东东营·阶段练习）
（3）（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）不等式的解集是
【一隅三反】
1．（2024湖北）已知，则（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
2．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）（多选）满足不等式的的值可为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4（2024上海）求解下列问题：
(1)解方程：.
(2)求证：．
考点三 排列常见方法---特殊元素优先
【例3-1】（24-25高二上·江苏常州·期末）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2025海南）5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（ ）
A．18 B．36 C．48 D．60
【一隅三反】
1．（甘肃省2024-2025学年高二上学期）某中学环保社团计划利用社团前空地栽种五棵高低不一样的树木，其中最高和最矮的两棵树木种在两头的方法有（ ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．48种
2．（2025河南）5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（ ）
A．18 B．36 C．48 D．60
3．（24-25高二上·河北唐山·期末）甲、乙等5人站成一排，要求甲在中间，乙不在两端，则不同的排列方式共有（ ）
A．12种 B．6种 C．24种 D．60种
4．（24-25高三上·湖北随州·期末）在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ）
A．18种 B．36种 C．72种 D．108种
考点四 排列常见方法---相邻捆绑法
【例4-1】（24-25高二上·江西南昌·期末）现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2024高三·全国·专题练习）2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（ ）
A．1440种 B．1360种
C．1282种 D．1128种
【一隅三反】
1．（2024福建）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．20
2．（24-25 福建泉州·阶段练习）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲 乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（ ）
A．96种 B．120种 C．192种 D．240种
3．（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
考点五 排列常见方法---不相邻插空法
【例5-1】（江西省南昌市2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷）小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【例5-2】（24-25高二上·辽宁·期末）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可 波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（ ）
A．84 B．120 C．504 D．720
【一隅三反】
1．（24-25 湖北·阶段练习）甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（ ）
A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种
2．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）某单位参加年月日在四角井历史文化街区举办的晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A． B． C． D．
3．（福建省漳州市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题）据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，则“宫”和“角”之间恰好有一个音阶的排法种数为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
4．（2025高三·全国·专题练习）现需将编号分别为1，2，3，4，5的五人每人安排一天值班，则编号恰好奇偶相间的排班方法数共有（ ）
A．8 B．12 C．24 D．36
考点六 排列常见方法---定序倍缩法
【例6-1】（24-25高二上·河南驻马店·期末）某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，则不同的出场次序有（ ）
A．18种 B．36种 C．60种 D．72种
【例6-2】（2024高二·全国·专题练习）四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（ ）
A．12600 B．6000 C．8200 D．12000
【一隅三反】
1．（2024山东烟台 ）某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为（ ）．
A．20 B．120 C．360 D．720
2．（24-25高二下·全国·课后作业）现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，则共有不同排法 种．
3．（23-24高二下·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．30
4．（23-24高二下·新疆喀什·期中）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为 .（结果用数字表示）
考点七 排列方法综合运用
【例7】（2024广东潮州饶平）名同学，其中名男同学，名女同学：
（1）站成一排，共有多少种不同的排法？
（2）站成两排，前排名同学，后排名同学，共有多少种不同的排法？
（3）站成两排，前排名女同学，后排名男同学，共有多少种不同的排法？
（4）站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
（5）站成三排，前排名同学，中间排名同学，后排名同学，其中甲站在中间排的中间位置，共有多
少种不同的排法？
（6）站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
（7）站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
（8）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？
（9）站成一排，名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起.
（10）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
（11）站成一排，甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种？
（12）站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？
（13）站成一排，名男同学都不能相邻，名女同学也不能相邻的排法共有多少种？
（14）站成一排，甲必要站在乙的前面(可以相邻也可以不相邻)的排法共有多少种？
（15）名同学座圆桌吃饭，只考虑谁挨着谁的排法共有多少种？
【一隅三反】
1．（24-25高二上·江苏常州·期末）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有576种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法
D．如果女生不能站在两端，那么有720种不同排法
2．（24-25高二上·河南驻马店·期末）（多选）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ）
A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法
B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法
C．5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法
D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法
3．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）有0，1，2，3，4五个数字（每小问均须用数字作答）.
(1)可以排成多少个三位数？
(2)求满足下列条件的五位数个数（无重复数字）.
（i）左起第二、四位数是偶数的奇数.
（ii）比大的偶数.
单选题
1．（23-24高二上·全国·课后作业）不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）用2，3，5，6，7，8这6个数字组成无重复数字的六位数，其中，个位数为质数的六位数有（ ）
A．360个 B．420个 C．480个 D．600个
3．（23-24高二下·新疆阿克苏·阶段练习）现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
4．（24-25高二下·全国·课后作业）某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（ ）
A．8种 B．12种 C．16种 D．24种
5．（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫 商 角 徵 羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（ ）
A．128 B．64 C．48 D．24
6．（23-24高二下·山东潍坊·期末）现有五人并排站成一排，若甲与乙不相邻，并且甲在乙的左边，则不同的安排方法共有（ ）．
A．128种 B．36种 C．72种 D．84种
7．（2024高三·全国·专题练习）数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有（ ）
A．48种 B．40种 C．32种 D．24种
8（23-24高二下·浙江·阶段练习）将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（ ）
A．120种 B．240种 C．480种 D．600种
多选题
9．（2024北京） A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）
A．若A、B不相邻共有72种方法
B．若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法．
C．若A在B左边有60种排法
D．若A、B两人站在一起有24种方法
10（24-25高二上·甘肃白银·期末）“六艺”即“礼 乐 射 御 书 数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法 乐舞 射箭 驾车 书法和算术，其中射箭 驾车（御战车 驾车）为军事技能．某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（ ）
A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种
B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为
C．“御 书 数”相邻的培训方法种数为
D．“射”排在最后的培训方法种数为
11．（2024山东） 用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数和五位数，则（ ）
A．可组成360个四位数
B．可组成216个是5的倍数的五位数
C．可组成270个比1325大的四位数
D．若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数为2310
填空题
12．（2024·四川成都·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，则不同的站法共有 种（用数字作答）．
13．（22-23高二下·江苏扬州·期中）3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的排法有 种．
14．（23-24高二下·上海·期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答）
解答题
15．（24-25高二上·北京·阶段练习）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单：
(1)唱歌节目排在两头，有多少种排法
(2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法
(3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法
(4)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法
16（2025黑龙江）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)选5名同学排成一排；
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全体站成一排，男生排在一起；
(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；
(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；
(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．
17．（23-24高二下·山东聊城·阶段练习）从这7个数字中取出4个数字，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的四位数？
(2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？
(3)能组成多少个没有重复数字且个位不是5的四位数？
16．（2024海南·期中）用0、1、2、3、4五个数字:
(1)可组成多少个五位数；
(2)可组成多少个无重复数字的五位数；
(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．
19（2025·广西）用、、、、这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如、等都是“凹数”，试求“凹数”的个数．
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