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中小学教育资源及组卷应用平台
6.2.2 组合数与组合
考点一 组合定义的理解
【例1】（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（ ）
A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式
D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
【一隅三反】
1．（23-24高二下·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（ ）
A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
2．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）下列问题中是组合问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有2024个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线
C．集合的含有三个元素的子集有多少个
D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
3．（22-23高二下·山东聊城·期中）（多选）给出下列问题，属于组合问题的有（ ）
A．从2，11，13，17中任选两个数相除，可以得到多少个不同的商.
B．有5张广场演唱会门票，要在8人中确定5人去观看，有多少种不同的选法
C．从20只不同颜色的气球中选出6只布置教室，有多少种不同的选法
D．艺术节排练，从甲、乙、丙等9名同学中选出4名分别去参加两个不同的节目，有多少种不同的安排方法
考点二 组合数的运算
【例2-1】（24-25高二上·江苏常州·期末）
（2）（24-25高二上·上海·期末）方程的解集是
（3）（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则
【一隅三反】
1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（ ）
A．84 B．83 C．70 D．69
2．（23-24高二下·河南·期中）若，则（ ）
A．5 B．20 C．60 D．120
3．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知，且，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点三 组合的简单应用
【例3-1】（23-24高二下·广东深圳·期中）在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的不同方法数共有（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2024高三·全国·专题练习）学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等六个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最多选择一个，则不同的选择方法共有（ ）
A．12种 B．16种 C．18种 D．20种
【一隅三反】
1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）2名医生和4名护士将分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，分配方法共有（ ）
A．10种 B．12种 C．14种 D．16种
2．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知 ，小明在设置银行卡的数字密码时，打算将 的前6位数字1，4，1，4，2，1进行某种排列得到密码．如果排列时要求三个1不相邻，两个4也不相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
3．（2024·全国·模拟预测）从这12个整数中随机抽取3个，则这3个数的和能被3整除的情况有( ).
A．12种 B．64种 C．76种 D．80种
4．（24-25 四川成都·开学考试）某高中运动会设有8个项目，甲 乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有（ ）
A．420种 B．840种 C．476种 D．896种
考法四 组合应用之---相同元素 隔板法
【例4-1】（2024·辽宁抚顺）将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（ ）
A．15 B．35 C．56 D．70
【例4-2】（2024高二·全国·专题练习）已知正整数，，，，满足，则不同的有序实数对有 种可能．
【一隅三反】
1．（2024·湖南永州 ）为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（ ）
A．26 B．25 C．24 D．23
2．（23-24 云南昆明·阶段练习）把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（ ）
A．60 B．36 C．30 D．12
3．（23-24 江苏南京·期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（ ）
A．120种 B．240种 C．360种 D．720种
考点五 组合排列综合应用---分组分配
【例6】．（2024云南）有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？
(1)分成三个组，各组人数分别为1、2、3；
(2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1、2、3；
(3)分成三个组，各组人数分别为2、2、2；
(4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2、2、2；
(5)分成四个组，各组人数分别为1、1、2、2；
(6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1、1、2、2.
【一隅三反】
1（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（ ）
A．1280 B．300 C．1880 D．1560
2．（24-25·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华 龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有5名大学生将前往3处场地开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地时，场地有且只有1名志愿者的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25 河北承德·阶段练习）某景区新开通了，，3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且丁不体验项目，则不同的体验方法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．30种
考点六 排列组合综合应用---小球问题
【例6】（2024江苏无锡·期中）现有4个不同的球，和4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
（1）共有多少种不同的方法？
（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？
（3）若恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？
（4）若恰有两个盒子不放球，共有多少种放法？
【一隅三反】
1．（2024吉林长春·期中）将4个编号为1、2、3、4的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中．
（1）恰好有一个空盒，有多少种放法？
（2）每个盒子放一个球，且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
（3）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
2．（2024天津南开·期中）（1）将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子.把球全部放入盒内，共有多少种放法？
（2）将编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有1个盒子的编号与放入小球的编号相同，有多少种不同的放法？
（3）将11个相同的小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中.若要求每个盒至少放一个小球，有多少种不同的放法？
3（2024甘肃）设有编号为1、2、3、4、5的5个球和编号为1、2、3、4、5的5个盒子，现将这5个球放入5个盒子内．
(1)只有1个盒子空着，共有多少种投放方法？
(2)没有1个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
(3)每个盒子内投放1球，并且至少有2个球的编号与盒子编号相同，有多少种投放方法？
单选题
1．（24-25高二下·全国·课后作业）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（ ）
A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种
2．（24-25高二上·黑龙江·期末）今年暑期档推出多部精彩影片，其中比较热门的有《解密》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍与金刚狼》，甲和乙两位同学准备从这5部影片中各选2部观看.若两人所选的影片恰有一部相同，且甲一定选《抓娃娃》，则两位同学不同的观影方案种数为（ ）
A．24 B．28 C．36 D．12
3．（24-25高二上·广西·期末）甲，乙，丙3名学生约定：利用假期观看A，B，C，D，E这5部新上映的电影，待返校后互相分享精彩内容.返校后，已知5部电影都有人观看，且每部电影只有一个人观看，则所有观看电影的情况种数为（ ）
A．150 B．243 C．183 D．393
4．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ）
A．24种 B．30种 C．36种 D．42种
5．（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．72 B．96 C．114 D．124
6．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等8名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（ ）
A．82 B．100 C．124 D．164
7．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）据典籍《周礼 春官》记载，“宫 商 角 徵 羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（ ）
A．50 B．64 C．66 D．78
8．（24-25高二下·全国·课后作业）从，，，，，，这个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
多选题
9．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
10．（2023春·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习） 在某城市中，两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发到地，则下列结论正确的是（ ）

A．不同的路径共有31条
B．不同的路径共有41条
C．若甲途经地，则不同的路径共有18条
D．若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有8条
11（2024福建 ） 新高考按照“”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考：“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可结合自身特长兴趣在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至多选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
填空题
12．（24-25 上海·随堂练习）给出下列问题：
①有10个车站，共需要准备多少种车票？
②有10个车站，共有多少种不同的票价？
③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？
④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？
⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？
以上问题中，属于组合问题的是 ．（填写问题序号）
13．（23-24高二下·全国·课后作业）将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为 .
14．（2024·上海闵行 ）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有 种.
解答题
15．（2023春·浙江·高二杭州市萧山区第五高级中学校联考期中）盒子中有个不同的白球和个不同的黑球.
(1)若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？
(2)随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，共有多少种不同的摸球结果？
(3)将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）
16．（2024安徽·阶段练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
17．（2023春·高二课时练习）4个人抽签，四个签上事先写上了各自的名字，求下面事件的概率：
(1)四个人都抽到写有自己名字的签；
(2)恰有一个人抽到写有自己名字的签；
(3)恰有两个人抽到写有自己名字的签；
(4)恰有三个人抽到写有自己名字的签；
(5)没有人抽到写有自己名字的签．
18．（2023·高二课时练习）将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．
(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；
(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；
(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；
(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．
19．（2023春·天津河西·高二统考期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加、、三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目．
(1)共有多少种不同的报名方法？
(2)甲必须报项目，乙必须报项目，那么有多少种不同的报名方法？
(3)甲、乙报同一项目，丙不报项目，那么有多少种不同的报名方法？
(4)每个项目都有人报名，那么有多少种不同的报名方法？
(5)甲不报项目，且、项目报名的人数相同，那么有多少种不同的报名方法？
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6.2.2 组合数与组合
考点一 组合定义的理解
【例1】（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（ ）
A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式
D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
【答案】C
【解析】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题.
B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题.
C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题.
D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题.
故选：C.
【一隅三反】
1．（23-24高二下·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（ ）
A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
【答案】B
【解析】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误；
对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确；
对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误；
对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误.
故选：B
2．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）下列问题中是组合问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有2024个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线
C．集合的含有三个元素的子集有多少个
D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
【答案】ABC
【解析】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题；
因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题；
因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题；
因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题.
故选：ABC,
3．（22-23高二下·山东聊城·期中）（多选）给出下列问题，属于组合问题的有（ ）
A．从2，11，13，17中任选两个数相除，可以得到多少个不同的商.
B．有5张广场演唱会门票，要在8人中确定5人去观看，有多少种不同的选法
C．从20只不同颜色的气球中选出6只布置教室，有多少种不同的选法
D．艺术节排练，从甲、乙、丙等9名同学中选出4名分别去参加两个不同的节目，有多少种不同的安排方法
【答案】BC
【解析】对于选项A，选数后作商有顺序，故不是组合问题，A错误；
对于选项B，从8人中选5人，无顺序，符合组合定义，B正确；
对于选项C，从20只不同的球中选6只，无顺序，符合组合定义，C正确；
对于选项D，9人中选4人参加两个不同节目，有先后顺序，不是组合问题，D错误.
故选：BC
考点二 组合数的运算
【例2-1】（24-25高二上·江苏常州·期末）
（2）（24-25高二上·上海·期末）方程的解集是
（3）（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则
【答案】（1）126（2）（3）21
【解析】（1）由组合数性质得，
.
（2）因为，，，
则，或，解得或，即方程的解集为
（3）由，则或，解得或，所以.
【一隅三反】
1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（ ）
A．84 B．83 C．70 D．69
【答案】D
【解析】
.
故选：D
2．（23-24高二下·河南·期中）若，则（ ）
A．5 B．20 C．60 D．120
【答案】D
【解析】因为，所以或，解得（舍去）或，
所以.故选：D
3．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知，且，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，
所以，C正确；
对于D，，D错误.故选：C
考点三 组合的简单应用
【例3-1】（23-24高二下·广东深圳·期中）在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的不同方法数共有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】“至少取到1件次品”分两种情况：取的1件次品的方法数为：种；
取到2件次品的方法数为：种，由分类加法计数原理知，共有种不同的方法数，
故选：D
【例3-2】（2024高三·全国·专题练习）学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等六个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最多选择一个，则不同的选择方法共有（ ）
A．12种 B．16种 C．18种 D．20种
【答案】B
【解析】由题知共有两种情况，第一种情况：美术、街舞都不选，则需从剩余的四个社团中选择三个，共有种选择方法；
第二种情况：美术、街舞中选择一个，则还需从剩余的四个社团中选择两个，共有种选择方法，
故不同的选择方法共有种．
故选：B
【一隅三反】
1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）2名医生和4名护士将分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，分配方法共有（ ）
A．10种 B．12种 C．14种 D．16种
【答案】B
【解析】先分配1名医生和2名护士到一所学校，另一所学校就就确定了，所以共有种分配方案，
故选：B
2．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知 ，小明在设置银行卡的数字密码时，打算将 的前6位数字1，4，1，4，2，1进行某种排列得到密码．如果排列时要求三个1不相邻，两个4也不相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
【答案】C
【解析】当2在两个4的左边时，两个4中间必有一个1，另外两个1可以插空，共有种；
由对称性可得，当2在两个4的右边时，共有3种；
当2在两个4的中间时，形成4个空，将3个1插入其中，共有种；
综上，共有10种；
故选：C
3．（2024·全国·模拟预测）从这12个整数中随机抽取3个，则这3个数的和能被3整除的情况有( ).
A．12种 B．64种 C．76种 D．80种
【答案】C
【解析】在1～12中能被3整除的有3，6，9，12，除以3余数为1的有1，4，7，10，
除以3余数为2的有2，5，8，11．抽取的3个数之和能被3整除的情况有：
①抽到3个能被3整除的数，有(种)；
②抽到3个除以3余数为1的数，有(种)；
③抽到3个除以3余数为2的数，有(种)；
④抽到能被3整除、除以3余数为1、除以3余数为2的三种数各1个，有(种)．
所以符合要求的情况有(种).
故选：C.
4．（24-25 四川成都·开学考试）某高中运动会设有8个项目，甲 乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有（ ）
A．420种 B．840种 C．476种 D．896种
【答案】D
【解析】由题意可知，可以分两种情况，
第一种情况所选取3个项目恰有2个相同，
第一步，在8个项目中选取2项，共有种，
第二步，甲在剩下的6个项目中选取1项，共有种，
第三步，乙在剩下5个项目中选取1项，共有种，
由分步乘法计算原理可知，共有种；
第二种情况所选取的3个项目完全相同，则有种；
由分类加法计数原理可知，总情况一共有种.
故选：D
考法四 组合应用之---相同元素 隔板法
【例4-1】（2024·辽宁抚顺）将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（ ）
A．15 B．35 C．56 D．70
【答案】B
【解析】将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，
可类比为用3个隔板插入8个小球中间的空隙中，将球分成4堆，
由于8个小球中间共有7个空隙，因此共有种不同的分法．
故选：B.
【例4-2】（2024高二·全国·专题练习）已知正整数，，，，满足，则不同的有序实数对有 种可能．
【答案】126
【解析】先将拆成个，并排成一排，于是正整数，，，，表示在这个中占有的个数，
然后用四个隔板把这一列分为五组，由于这一列数中间有个空，
因此四个隔板的放置方法种数为（种）．因此不同的有序实数对有种可能．
故答案为：
【一隅三反】
1．（2024·湖南永州 ）为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（ ）
A．26 B．25 C．24 D．23
【答案】C
【解析】将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，每人至少分得一份，有种分法，
而甲、乙两人分得的份数相同，可以都是1份，2份，3份，4份共4种分法，
所以每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为种.
故选：C
2．（23-24 云南昆明·阶段练习）把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（ ）
A．60 B．36 C．30 D．12
【答案】A
【解析】先将卡片分为符合条件的三份，
由题意知：三人分六张卡片，且每人至少一张，至多四张，
若分得的卡片超过一张，则必须是连号，
相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，共种情况，
再对应到三个人有种情况，则共有种法.
故选：A．
3．（23-24 江苏南京·期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（ ）
A．120种 B．240种 C．360种 D．720种
【答案】A
【解析】先在编2号,3号的盒内分别放入1个球和2个球，还剩17个小球，
三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，
插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可，共有（种）方法．故选:A.
考点五 组合排列综合应用---分组分配
【例6】．（2024云南）有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？
(1)分成三个组，各组人数分别为1、2、3；
(2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1、2、3；
(3)分成三个组，各组人数分别为2、2、2；
(4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2、2、2；
(5)分成四个组，各组人数分别为1、1、2、2；
(6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1、1、2、2.
【答案】(1)60(2)360(3)15(4)905)45(6)1080
【解析】（1）分成三个组，各组人数分别为1，2，3，即＝60（种）.
（2）分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1，2，3；即（种）.
（3）分成三个组，各组人数分别为2，2，2；即（种）.
（4）分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2，2，2；即（种）.
（5）分成四个组，各组人数分别为1，1，2，2；有（种）.
（6）分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1，1，2，2．有（种）.
【一隅三反】
1（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（ ）
A．1280 B．300 C．1880 D．1560
【答案】D
【解析】将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2．
当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法；
当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法．
故不同安排方法有种．
故选：D.
2．（24-25·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】满足条件的报名方法可分为两类：
第一类：甲单独参加某项比赛，
先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种，
再将余下人，安排到与下的三个项目，
由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，
故满足条件的报名方法有,
所以甲单独参加某项比赛的报名方法有种，
第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛，
先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法，
再安排余下三人，有种方法，
所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有种，
所以满足条件的不同的报名方法共有种方法.
故选：C.
3．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华 龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有5名大学生将前往3处场地开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地时，场地有且只有1名志愿者的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】其它四人分成三组，有种，再把三组安排到场地，有种，
其它四人分成两组，有种，再把两组安排到场地，有种，
其它四人分成两组，有种，再把两组安排到场地，有2种，
所以甲去场地时共有种安排方法，
场地有且只有1名志愿者，分成三组有种，分成两组有种，分成两组有0种，所以甲去场地时，场地有且只有1名志愿者共有种安排方法，所求概率为.
故选：C
4．（24-25 河北承德·阶段练习）某景区新开通了，，3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且丁不体验项目，则不同的体验方法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．30种
【答案】C
【解析】若甲、乙、丙3人体验的项目各不相同，丁体验A、B之一，则有种体验方法；
若甲、乙、丙3人中有2人体验的项目相同，丁体验A、B之一，则有种体验方法，
故不同的体验方法共有种．故选：C．
考点六 排列组合综合应用---小球问题
【例6】（2024江苏无锡·期中）现有4个不同的球，和4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
（1）共有多少种不同的方法？
（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？
（3）若恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？
（4）若恰有两个盒子不放球，共有多少种放法？
【答案】（1）256 （2）24 （3）144 （4）84
【解析】（1）将4个不同的球放入4个不同的盒子，则共有44=256种不同的放法，
（2）将4个不同的球放入4个不同的盒子，若没个盒子不空，则共有=24种不同的放法，
（3）将4个不同的球放入4个不同的盒子，恰有一个盒子不放球，则共有=144种不同的放法，
（4）将4个不同的球放入4个不同的盒子，恰有两个盒子不放球，则共有（）=84种不同的放法，
【一隅三反】
1．（2024吉林长春·期中）将4个编号为1、2、3、4的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中．
（1）恰好有一个空盒，有多少种放法？
（2）每个盒子放一个球，且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
（3）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
【答案】（1）144 （2）8 （3）12
【解析】(1)选取2个球作为一个球与其它两个球分别放到三个盒子中，共有种方法．
(2)1个球的编号与盒子的编号相同的选法有种，当1个球与1个盒子编号相同时，其余3个球的投放方法有2种，故共有种方法．
(3)先从四个盒子中选出三个盒子，有种选法，再从三个盒子中选出一个盒子放两个球，余下两个盒子各放一个，由于球是相同的，即没有顺序，由分步乘法计数原理知，共有种方法．
【点睛】本题考查排列组合的应用，解题关键是确定事件完成的方法，是分步还是分类．
2．（2024天津南开·期中）（1）将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子.把球全部放入盒内，共有多少种放法？
（2）将编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有1个盒子的编号与放入小球的编号相同，有多少种不同的放法？
（3）将11个相同的小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中.若要求每个盒至少放一个小球，有多少种不同的放法？
【答案】(1)81，(2)45，(3)210.
【解析】(1)满足条件的放发可分为4步，第一步放1号球，第二步放2号球，第三步放3号球，第四步放4号球，每步都有3种放法，由分步乘法计数原理可得满足条件的放法有种放法，即种放法；
(2)满足条件的放发可分为3步，第一步，从5个球中任选一个球将其放在与其编号为盒子中，有5种放法；第二步，从余下的四个球中任选一个球，放入编号为的盒子中，有3种放法，第三步，将编号为的小球放入余下的某一盒子中，有3种放法，第四步，将余下的两个小球按要求放入余下的盒子中，有1种放法，由分步乘法计数原理可得共有种放法，即45种放法；
(3)将11个相同的小球排成1排，在排列的两端各放置1块隔板，在小球之间的10个空隙中选择4个空隙插入隔板，即可将11个小球分为5段，依次将各段小球放入5个盒子中，可得满足要求的放法，故满足条件的放法有种，即满足条件的放法有210种.
3（2024甘肃）设有编号为1、2、3、4、5的5个球和编号为1、2、3、4、5的5个盒子，现将这5个球放入5个盒子内．
(1)只有1个盒子空着，共有多少种投放方法？
(2)没有1个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
(3)每个盒子内投放1球，并且至少有2个球的编号与盒子编号相同，有多少种投放方法？
【答案】(1)1200种(2)119种(3)31种
【解析】（1）解：首先选定两个不同的球，作为一组，选法有种，
再将组排到个盒子，有种投放法．共计种方法；
（2）解：没有一个盒子空着，相当于个元素排列在个位置上，有种，
而球的编号与盒子编号全相同只有1种，
所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有种．
（3）解：满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种；
第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种；
第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：种；
第四类，两个球的编号与盒子编号相同的放法：种．
所以满足条件的放法数为：种．
单选题
1．（24-25高二下·全国·课后作业）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（ ）
A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种
【答案】C
【解析】根据题意甲乙丙丁四个班的书可以按照3，1，2，1或者2，1，2，2或者2，1，3，1三种方式分配，
故总的分配方案有种．
故选：C
2．（24-25高二上·黑龙江·期末）今年暑期档推出多部精彩影片，其中比较热门的有《解密》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍与金刚狼》，甲和乙两位同学准备从这5部影片中各选2部观看.若两人所选的影片恰有一部相同，且甲一定选《抓娃娃》，则两位同学不同的观影方案种数为（ ）
A．24 B．28 C．36 D．12
【答案】A
【解析】若两人所选影片中，《抓娃娃》相同，则两人从剩余4部中各选1部，有种方案，
若两人所选影片中，不是《抓娃娃》相同，相同的影片为4部中1部，有种选择，
再给乙从剩余3部中选择一部，有种选择，故共有种方案，
综上，共有种方案.
故选：A.
3．（24-25高二上·广西·期末）甲，乙，丙3名学生约定：利用假期观看A，B，C，D，E这5部新上映的电影，待返校后互相分享精彩内容.返校后，已知5部电影都有人观看，且每部电影只有一个人观看，则所有观看电影的情况种数为（ ）
A．150 B．243 C．183 D．393
【答案】B
【解析】分三类，第一类：1个人观看5部电影有3种情况；
第二类：2个人观看5部电影有种情况；
第三类：3个人观看5部电影有种情况；
所以共有：种情况.
故选：B.
4．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ）
A．24种 B．30种 C．36种 D．42种
【答案】B
【解析】由题意甲、乙不能安排在同一足球场中，故甲、乙各自参加一个足球场的服务时，共有种分配方案，
当甲或乙有一人和丙丁中的一人一起参加一个足球场的服务时，有种分配方案，
故不同的分配方案共有种，
故选：B
5．（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．72 B．96 C．114 D．124
【答案】C
【解析】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有种.
将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有种.
故不同的安排方法共有种.
故答案为：C.
6．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等8名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（ ）
A．82 B．100 C．124 D．164
【答案】C
【解析】若小王在甲号路口，小李在乙号路口，则剩余6个人分到两个路口，
两个路口为人分布，共有种方案，
两个路口为人分布，共有种方案，
两个路口为人分布，共有种方案，
此时共有种方案；
同理若小王在甲号路口，小李在乙号路口，也共有种方案．
所以一共有种不同的安排方案种数．
故选：C．
7．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）据典籍《周礼 春官》记载，“宫 商 角 徵 羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（ ）
A．50 B．64 C．66 D．78
【答案】A
【解析】①若“宫”为首音阶，“商”“角”可取音阶，
排成的音序有种；
②若“宫”为第2音阶，“商”“角”可取音阶，
排成的音序有种；
③若“宫”为第3音阶，“商”“角”可取14，15，24，25音阶，
排成的音序有种；
④若“宫”为第4音阶，“商”“角”可取13，15，25，35音阶，
排成的音序有种.
由分类加法计数原理可知，一共有种排法.
故选：A.
8．（24-25高二下·全国·课后作业）从，，，，，，这个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【解析】第一步，从，，，，，，这个数中任选个共有种方法，
第二步，选出的个数中，最小的为，从剩下的4个数中选出个分给，由题意可知，选出后就确定了，共有种方法，故满足条件的“五位凹数”个，故选：A
多选题
9．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
【答案】CD
【解析】对于A，若，则或，故A错误；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：CD.
10．（2023春·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习） 在某城市中，两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发到地，则下列结论正确的是（ ）

A．不同的路径共有31条
B．不同的路径共有41条
C．若甲途经地，则不同的路径共有18条
D．若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有8条
【答案】AC
【解析】由图可知，从地出发到地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右，
且前3步中至少有1步向上，则不同的路径共有条，故A正确、B错误；
若甲途经地，则不同的路径共有条，故C正确；
若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有，故D错误；
故选：AC.
11（2024福建 ） 新高考按照“”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考：“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可结合自身特长兴趣在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至多选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
【答案】ABC
【解析】对选项A：若任意选科，选法总数为，正确；
对选项B：若化学必选，选法总数为，正确；
对选项C：若政治和地理至多选一门，选政治或地理有种方法，政治地理都不选有种方法，故共有选法总数为，正确；
对选项D：若物理必选，化学、生物选一门有种，化学、生物都选有1种方法，故共有选法总数为，D错误.故选：ABC
填空题
12．（24-25 上海·随堂练习）给出下列问题：
①有10个车站，共需要准备多少种车票？
②有10个车站，共有多少种不同的票价？
③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？
④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？
⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？
以上问题中，属于组合问题的是 ．（填写问题序号）
【答案】②④
【解析】对于①，相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；
对于②，相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；
对于③，相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；
对于④，相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；
对于⑤，相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；
所以以上问题中，属于组合问题的是②④．
故答案为：②④
13．（23-24高二下·全国·课后作业）将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为 .
【答案】35
【解析】先把8个相同的小球排成一行，然后在8个小球之间的7个空隙中任选4个空隙各插入一块隔板，
每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，
故每个盒子都不空的方法数共有种.
故答案为：35.
14．（2024·上海闵行 ）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有 种.
【答案】4050
【解析】先考虑两对混双的组合有种不同的方法，
余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，故共有.故答案为：4050
解答题
15．（2023春·浙江·高二杭州市萧山区第五高级中学校联考期中）盒子中有个不同的白球和个不同的黑球.
(1)若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？
(2)随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，共有多少种不同的摸球结果？
(3)将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）解：将个不同的白球和个不同的黑球排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，
只需先将个不同的黑球进行排序，然后将个不同的白球插入黑球在中间所形成的空位中，
由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.
（2）解：随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，
则黑球得个数可以是或或，
由分类加法计数原理可知，不同的摸球结果种数为种.
（3）解：先将这个小球分为组，则这三组小球的个数分别为、、或、、，
再将这三组小球分配给三个盒子，
由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种.
16．（2024安徽·阶段练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90.
【解析】（1）先从6本书中选1本，有种分配方法；
再从剩余5本书中选择2本，有种分配方法
剩余的就是2本书，有种分配方法
所以总共有种分配方法．
（2）由（1）可知分组后共有60种方法，分别分给甲乙丙后的方法有
种．
（3）从6本书中选择2本书，有种分配方法；
再从剩余4本书中选择2本书，有种分配方法；
剩余的就是2本书，有种分配方法;
所以有种分配方法．
但是，该过程有重复．假如6本书分别为A、B、C、D、E、F，若三个步骤分别选出的是．则所有情况为，，，，，．
所以分配方式共有种
（4）由（3）可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配方法为
种
（5）从6本书中选4本书的方法有种
从剩余2本书中选1本书有种
因为在最后两本书选择中发生重复了
所以总共有种
（6）由（5）可知，将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可，即
种．
17．（2023春·高二课时练习）4个人抽签，四个签上事先写上了各自的名字，求下面事件的概率：
(1)四个人都抽到写有自己名字的签；
(2)恰有一个人抽到写有自己名字的签；
(3)恰有两个人抽到写有自己名字的签；
(4)恰有三个人抽到写有自己名字的签；
(5)没有人抽到写有自己名字的签．
【答案】(1)(2)(3)(4)0(5)
【解析】（1）4个人抽4个签总共有种情况，四个人都抽到写有自己名字的签占1 种情况，所以四个人都抽到写有自己名字的签的概率为
（2）恰有一个人抽到写有自己名字的签有种情况，所以恰有一个人抽到写有自己名字的签的概率为
（3）恰有两个人抽到写有自己名字的签有种情况，恰有两个人抽到写有自己名字的签的概率为
（4）如果有三个人抽到写有自己名字的签，则第四个人一定抽到写有自己名字的签，所以恰有三个人抽到写有自己名字的签为不可能事件，概率为0
（5）由（1）（2）（3）（4）的结论可知，没有人抽到写有自己名字的签的概率为.
18．（2023·高二课时练习）将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．
(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；
(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；
(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；
(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．
【答案】(1)24(2)1(3)144(4)12
【解析】（1）四个小球不同，每个盒子各放一个，属于全排列问题，则不同的放法有种；
（2）四个小球相同，每个盒子各放一个，每个小球放入任何一个盒子，都为同1种情况，故不同的放法有1种；
（3）四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，
先将四个不同的小球分为3组，有种情况，选出一个空盒，有种情况，
再将分好的3组小球，与对应的3个盒子进行全排列，共有种选择，
综上：四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，选择方法有种；
（4）四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，
先将四个不同的小球分为3组，则只有1种分法，即2，1，1，
选出一个空盒，有种情况，
将分好的3组小球，放入3个盒子中，选出放入2个小球的盒子，有种情况，
综上：四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，一共有种选择.
19．（2023春·天津河西·高二统考期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加、、三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目．
(1)共有多少种不同的报名方法？
(2)甲必须报项目，乙必须报项目，那么有多少种不同的报名方法？
(3)甲、乙报同一项目，丙不报项目，那么有多少种不同的报名方法？
(4)每个项目都有人报名，那么有多少种不同的报名方法？
(5)甲不报项目，且、项目报名的人数相同，那么有多少种不同的报名方法？
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【解析】（1）解：每个同学都有种选择，则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为.
（2）解：甲必须报项目，乙必须报项目，则丙、丁各有种选择，
所以，不同的报名方法种数为.
（3）解：甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为，
丙不报项目，则丙有种选择，所以，丁有种选择，
由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为.
（4）解：将甲、乙、丙、丁四名同学分为三组，每组人数分别为、、，
然后再将这三组同学分配给、、三个智力竞赛项目，
所以，不同的报名方法种数为.
（5）解：分两种情况讨论：
①项目没人报，且、项目的报名人数均为，此时不同的报名方法种数为种；
②项目有人报，且甲不报项目，、项目报名的人数相同，
则、项目报名的人数均为，
则甲报项目或项目，则报名项目的有人，剩余个项目只有一人报名，
由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为.
综上所述，不同的报名方法种数为.
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