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6.3 二项式定理
考点一 二项式展开式
【例1】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）计算二项式：
(1)化简：；
(2)写出的展开式并化简.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
所以.
（2）因为的展开式的通项为，
所以.
【一隅三反】
1．（24-25湖南）写出的二项展开式 .
【答案】
【解析】因为的展开式的通项为，
所以.
故答案为：
2．（24-25北京）的二项展开式是 ．
【答案】
【解析】
．
故答案为：．
3．（23-24广东）化简多项式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作，故该多项式为的展开式，
化简．故选：D.
4．（24-25上海）计算 ．
【答案】
【解析】
.
故答案为：.
考点二 二项式指定项的（二项式）系数
【例2-1】（23-24高二下·广西·期中）二项式的展开式中第项的二项式系数为（ ）
A． B．15 C． D．20
【答案】D
【解析】二项式展开式的通项为（且），
所以二项式的展开式中第项的二项式系数为．
故选：D．
【例2-2】（24-25福建）在二项式的展开式中，求：
(1)第4项；
(2)常数项；
(3)有理项．
【答案】(1)
(2)
(3)，，，，
【解析】（1）的展开式的通项为．
令，则．
（2）由（1）中二项式展开式的通项，令，解得，所以常数项为
（3）由（1）中二项式展开式的通项，当时，是有理项，
分别为，，，，．
【例2-3】（1）（23-24重庆沙坪坝 ）展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
（2）（2023·四川泸州 ）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】（1）B （2）C
【解析】（1）的展开式通项为，
∴令，解得，
∴的展开式的常数项为，∴∴故选：B.
（2）二项式的展开式的通项为，
令，即，由于，故必为的倍数，即的可能取值为.故选：C
【一隅三反】
1．（23-24高二下·四川自贡·期中）在的展开式中，含的项的二项式系数为 .
【答案】1
【解析】由，，
当，含的项为，其二项式系数为.
故答案为：1
2．（24-25 北京通州·期末）在二项式的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的通项公式为，常数项时，则，
所以常数项为，故选：D.
3．（2023·西藏拉萨 ）二项式的展开式中的第3项为（ ）
A．160 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，故C项正确.
故选：C．
4．（23-24高二下·河南信阳·期末）（多选）展开式的有理项为（ ）
A．第1项 B．第2项 C．第5项 D．第8项
【答案】BCD
【解析】展开式通项，
由，得，所以展开式的有理项为第项.
故选：BCD.
5．（2024·河南 ）已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有（ ）
A．6项 B．5项 C．4项 D．3项
【答案】D
【解析】展开式的第7项为，
由题意，得，，（），所以，，
则展开式的通项为，，
令，则，所以展开式中的有理项共有3项.
故选：D.
考点三 二项式系数性质
【例3】（24-25高二上·湖南长沙·期末）若展开式中只有第项的二项式系数最大，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为展开式中只有第项的二项式系数最大，则其展开式中共项，
所以，，解得.故选：D.
【一隅三反】
1．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】在二项式的展开式中，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大；
当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大.
因为在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，
所以为偶数，且中间项为第项，即，解得.
因二项式展开式的项数为，则展开式的项数是项.
故选：A.
2．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】展开式的通项公式为，
所以，前三项的系数分别为、、且成等差数列，
所以，，即，整理可得，
由题意可知，且，解得，
故解得，二项式系数的最大值为．
故选：.
3．（23-24安徽·阶段练习）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ）
A． B． C． D．7
【答案】C
【解析】在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，
它的展开式共计有9项，，
故二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得在的展开式中的系数为，
故选：C．
考点四 各项系数和
【例4-1】（24-25高二上·河南驻马店·期末）（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对A：令得，A选项错误；
对B：，B选项正确；
对C：令得，又，
所以，C选项错误；
对D：令得，
又，所以，D选项正确；
故选：BD.
【例4-2】（2024高二·全国·专题练习）已知，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】设，原式为,
令，,A正确；
令，则，
同乘得，
，，故B错误
令，则，故C错误
两边同时求导得：，
再令，,故D正确.
故选：AD.
【例4-3】（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A:令，则，
令，则，所以，A,D选项正确；
对于B:令，则，B选项正确；
对于C:令，则，C选项错误；
故选：ABD.
【一隅三反】
1．（23-24高二下·广东珠海·阶段练习）（多选）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由，则，因此A正确；
取，则，即，因此B不正确；
取，则，即①，因此C正确；
取，则，即②，
①②得，因此D不正确；
故选：AC.
2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）（多选）若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A：令，则，故A错误；
对于B：令，则，故B正确；
对于C：令，则，故C正确；
对于D，由，
两边同时求导得，
令，则，故D错误.
故选：BC.
3．（23-24高二下·辽宁鞍山·阶段练习）（多选）已知，下列命题中，正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为
B．展开式中所有奇次项系数的和为
C．展开式中所有偶次项系数的和为
D．
【答案】ACD
【解析】对A，根据二项式系数的和即可判断A正确；
对B，令，可得，
令，可得，
两式相减得展开式中所有奇次项系数的和为，故B错误；
对C，两式相加得展开式中所有偶次项系数的和为，故C正确；
对D，令可求得，
再令，可得，代入得，故D正确.
故选：ACD
4．（23-24高二下·河南信阳·期中）（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】，
令时，解得，故A正确；
令，解得，故，故B正确；
根据二项式的展开式的通项，，
当时，，故C错误；
令，解得，故，
故，D正确；
故选：ABD．
5．（2024·河南驻马店）（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】依题意得，所以945，故A项正确；
令，得，令，得，所以，故B项错误；
令，得①，
又②，
由①+②可得，故C项正确；
同理，由②-①得，故D项错误.
故选：AC.
考点五 系数最值
【例5-1】（24-25 云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为
【答案】第5项
【解析】由的展开式中第2项与第8项的系数相等，由的展开式的二项式系数和项的系数相等，
所以，所以，则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项，
【例5-2】（2024·浙江杭州 ）在二项式的展开式中，系数最大的一项为 .
【答案】
【解析】由题设，二项式的展开式通项为，，
易知时对应项系数为正，时对应项系数为负，
又，，，
所以系数最大的一项为.
故答案为：.
【例5-3】（22-23 江苏连云港·阶段练习）的展开式中，二项式系数最大且系数较大的项的系数为
【答案】40
【解析】第5项由题意可得二项式系数最大的项为第3项和第4项，
则展开式中第3项为，系数为40，展开式中第4项为，系数为，
所以二项式系数最大且系数较大的项的系数为40.
【一隅三反】
1．（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，各项系数的最大值是 ．
【答案】7
【解析】的展开式的通项为，且．
设展开式中第项的系数最大，则即，
又，所以或6，
故展开式中系数最大的项是第6项或第7项，且该项系数为.
故答案为：7
2．（24-25 上海·阶段练习）在的展开式中系数最大的项是第 项．
【答案】
【解析】的展开式的通项为，
则展开式的系数为，故为偶数时系数为正数，
由组合数，可知当，即时，取到最大值，也符合为偶数，
故展开式中系数最大的项是第项.
故答案为：.
3．（24-25 上海·期中）在的二项展开式中，系数最小的项为 .
【答案】
【解析】根据二项展开公式可得，
，
所以系数最小的项为
故答案为：.
考点六 二项式定理的应用---整除与小数
【例6-1】被8整除的余数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．5
【答案】C
【解析】由
，
所以被8除所得的余数是7.
故选：C.
【例6-2】最接近下列哪个数字（ ）
A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23
【答案】C
【解析】由题意得，
由二项式定理得，
而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可，
所以我们得到，
则其与1.22更接近，故C正确.
故选：C
【一隅三反】
1．被6除的余数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为，
且984可以被6整除，所以余数为1.
故选：A.
2.被8除所得的余数为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．5
【答案】A
【解析】
，
因为能被8整除，
所以被8除所得的余数为1．
故选：A.
3．的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【答案】C
【解析】.
故选：C
考点七 多项式中指定项系数
【例7-1】（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）在的展开式中，x的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x，
另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则的展开式中，含x的项为：
，
所以x的系数为．
故选：A
【例7-2】（2024河南商丘 ）的展开式的常数项为（ ）
A．6 B．10 C．15 D．16
【答案】D
【解析】由题意得的展开式的通项为，
令，则，
所以的展开式的常数项为.
故选：D.
【例7-3】（2024重庆沙坪坝 ）的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，展开式通项为
，
令，当时，为常数项即.
故选:A.
【一隅三反】
1．（23-24高二下·江苏镇江·期末）在展开式中，含项的系数是
【答案】120
【解析】因为展开式的通项为（且），
所以的展开式中，
含项的系数是
，
2．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）展开式中含项的系数是 .
【答案】240
【解析】因为 ，
的展开式通项为 ，
的展开式通项为 ，其中 ，
所以 的展开式通项为 ，
由 ，可得 或 ，
因此，展开式中含 x 项的系数为 .
故答案为：
3．（2024江苏泰州 ）在的展开式中，的系数为
【答案】-21
【解析】含的项是由的6个括号中的5个括号取x，1个括号取常数，所以展开式含的项的系数为：.
故选：A.
4．（2025·江西南昌 ）在的展开式中，含项的系数为
【答案】-10
【解析】是6个相乘，需要依次从每个的三项（1，，）中选出一项后相乘，就可得到展开式中的一项.
得到项的方法有两类：
第一类是，6个的1个里选出，1个里选出，其余里选出，相乘得，这类方法，共可得到个，合并同类项后即得到；
第二类是，6个的3个里选出，其余里选出，相乘得，这类方法，共可得到个，合并同类项后即得到.
再将上述两项合并，得，因此项的系数为.
故选：B.
5．（2024·安徽 ）展开式的常数项为 .
【答案】
【解析】，故展开式中的常数项为.
6．（2025·江西新余）的展开式中的系数为36，则的值为 .
【答案】
【解析】因为的二项展开式为，
令，可得；
令，可得；
可得，所以，解得：，故答案为：
考点八 杨辉三角
【例8-1】（2024湖北）如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（ ）
A．66 B．120 C．165 D．220
【答案】D
【解析】由题意可知：前10项分别为，
则
，
所以前10项的和为220.
故选：D．
【例8-2】（2024湖南）如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和为（ ）
A．350 B．295 C．285 D．230
【答案】C
【解析】记此数列的前20项的和为，则.
故选：C.
【一隅三反】
1．（23-24山东）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，若“杨辉三角”中第行的各数之和比上一行各数之和大64，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】易知第一行的各数和为，第二行为，第三行为，
第四行为，第五行为，归纳得第行的各数之和为，
第行的各数之和为，而第行的各数之和比上一行各数之和大64，
故有，解得，故B正确.
故选：B
2．（24-25海南）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284
D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
【答案】ABD
【解析】A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，故A正确；
B.因为,令得，故B正确；
C. 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为
，故C错误；
D. 在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字，
即，
因为
对应相乘可得的系数为
而二项式展开式的通项公式，，
当时，，则的系数为,
所以，故D正确.
故选：ABD
3．（2024陕西）（多选）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（ ）
A．
B．第8行所有数字之和为256
C．
D．记第20，21行数字的最大值分别为，则
【答案】BC
【解析】对于A，，
所以，故A错误；
对于B，由二项式系数的性质知，第行各数的和为，
所以第8行所有数字之和为，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，
所以，故D错误.
故选：BC.
4．（2024甘肃）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）．
第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第n行 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 第n行
A．在第10行中第5个数最大
B．
C．第8行中第4个数与第5个数之比为
D．在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为
【答案】BC
【解析】对于A：第10行是二项式的展开式的系数，
所以第10行中第个数最大，故A错误；
对于B：
，故B正确；
对于C：第8行是二项式的展开式的系数，又展开式的通项为，
所以第4个数为，第5个数为，
所以第4个数与第5个数之比为，故C正确；
对于D：第n行是二项式的展开式的系数，故第n行的所有数字之和为，故D错误．
故选：BC．
5．（2025云南）观察杨辉三角（如图所示）的相邻两行，发现三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即．已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)请利用上述杨辉三角的性质求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）数列中，由，得，因此数列是常数列，
而，则，解得，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，而，
即当时，，令数列的前项和为，
则
，显然当时，满足上式，
所以数列的前项和.
单选题
1．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中含的项的二项式系数为（ ）
A．15 B．20 C． D．1215
【答案】A
【解析】的展开式的通项为，
令，则的展开式中含的二项式系数为．
故选：A.
2．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．480 B．240 C．120 D．15
【答案】B
【解析】因为的通项公式为，
令得，所以常数项为.
故选：B
3．（23-24 ·内蒙古赤峰·期中）在二项式的展开式中的指数为整数的项的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】二项式展开为，.
当时，的指数为整数，共有四项.
故选：D.
4．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．9
【答案】C
【解析】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，
则二项式的展开式共项，即，解得.
故选：C.
5．（24-25 山东威海·阶段练习）的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．240 B． C．560 D．360
【答案】B
【解析】因为展开式的通项为，
当，即时，展开式中会出现，此时，
对于，通项为，要想得到，则需，
此时，即含的项的系数为，
故选：B.
6．（24-25高二上·山东东营·期末）已知，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【解析】令，得；令，得，则，故选：B
7．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最大的项为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】C
【解析】的展开式通项为：，
设第项的系数最大，则，解得：，
又，或，
的展开式系数最大的项为和，即和.
故选：C.
8．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（ ）
A．第1项和第3项 B．第2项和第4项
C．第3项和第1项 D．第4项和第2项
【答案】B
【解析】的展开式的通项为，
当取奇数时，系数为负值，
当时，，当时，，当时，，
所以第2项的系数最小；
因为的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大.
故选：B.
多选题
9．（23-24 ·河北石家庄 ）在的展开式中，有理项恰有两项，则的可能取值为（ ）
A．7 B．9 C．12 D．13
【答案】BD
【解析】展开式各项表达式为
当时，，
所以为6的倍数，所以，6，即可取6，8，10；
当时，
所以为3的奇数倍，所以，9，即可取9，11，13.
即取值集合为.
故选：BD.
10．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，，
令，可得，故A正确；
对于B，，可得，故B错误；
对于C，令，可得，故C正确；
对于D，上述两式相加，
故，故D错误，
故选：AC.
11．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知，则（ ）
A． B．
C． D．这8个数中最大值为35
【答案】ACD
【解析】由，
则结合已知，，故A正确；
令，则，
令，则，①
则，故B错误；
令，则，②
则由①②得，故C正确；
因为分别是二项式系数，
则最大值为，即，故D正确.
故选：ACD.
填空题
12．（23-24高二下·湖南湘潭 ）在的展开式中常数项等于 .
【答案】16
【解析】因为展开式的通项为，，
的展开式中常数项由两项构成，
即与，
所以的展开式中常数项为.
故答案为：16.
13．被15除所得余数为 ．
【答案】1
【解析】，
而是15的倍数，
所以被15除所得余数为1.
故答案为：1
14．（23-24 贵州贵阳·阶段练习）的展开式中常数项为 .
【答案】
【解析】中的常数项为,
故答案为:88
解答题
15．（23-24高二下·山西大同·阶段练习）（1）求的展开式；
（2）化简：．
（3）求的展开式；
（4）化简．
【答案】答案见解析
【解析】（1）．
（2）原式．
（3）
.
（4）原式
.
16．（2023·广东梅州）在二项式的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有偶数项系数之和；
(4)系数绝对值之和.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）设
二项式系数之和为
（2）设，
则各项系数之和为，
令得
（3）由（2）知令可得:
将两式相减,可得:，
故所有偶数项系数之和为.
（4）方法一:
令则
方法二:即为 展开式中各项系数和，
令得
故系数绝对值之和为.
17．（2024湖北）（1）求的展开式中的常数项；
（2）若的展开式中的系数为，求a的值；
（3）求的展开式中的常数项；
（4）若的展开式中各项系数之和为128，求展开式中的系数．
【答案】答案见详解
【解析】（1）设的展开式通项为： ，
则，
当时，；
故的展开式中的常数项为672；
（2）设的展开式通项为： ，
则，
当时，结合题意知此时；
故a的值为2；
（3）设的展开式通项分别为： ，
则，
当时，，
当时，，
当时，
故的展开式中的常数项为；
（4）令，则由题意可知，
设的展开式通项为，则，
当时，，故展开式中的系数为21.
18．（2023-2024·四川攀枝花）从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．
已知（），且的二项展开式中，____．
(1)求的值；
(2)①求二项展开式的中间项；
②求的值．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)①；②．
【解析】（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是，
则有，
化简可得，求得或（舍去）．
若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，
则有，
化简可得，求得或（舍去）．
（2）由（1）可得，
①的二项展开式的中间项为．
②二项式展开式的通项公式为，
所以、、、、为正数，、、、为负数．
在中，令．
再令，可得，
∴．
19．（2024湖北）在杨辉三角中，除每行的两端数字外，每个数字都等于它左上角和右上角两个数字之和，杨辉三角开头几行如图所示.
（1）利用杨辉三角展开
（2）在杨辉三角中，哪一行会出现相邻的三个数字的比是？
【答案】
（1）
（2）第62行会出现相邻的三个数字的比是
【解析】（1）解：根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它左上角和右上角两个数字的和”，可写出第6行的二项式系数为1，6，15，20，15，6，1，
所以.
令，，得.
（2）解：设在第n行出现的三个相邻的数的比是，并设这三个数分别是，，，则有
所以
所以即所以
即在第62行会出现相邻的三个数字的比是.
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6.3 二项式定理
考点一 二项式展开式
【例1】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）计算二项式：
(1)化简：；
(2)写出的展开式并化简.
【一隅三反】
1．（24-25湖南）写出的二项展开式 .
2．（24-25北京）的二项展开式是 ．
3．（23-24广东）化简多项式的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25上海）计算 ．
考点二 二项式指定项的（二项式）系数
【例2-1】（23-24高二下·广西·期中）二项式的展开式中第项的二项式系数为（ ）
A． B．15 C． D．20
【例2-2】（24-25福建）在二项式的展开式中，求：
(1)第4项；
(2)常数项；
(3)有理项．
【例2-3】（1）（23-24重庆沙坪坝 ）展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
（2）（2023·四川泸州 ）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【一隅三反】
1．（23-24高二下·四川自贡·期中）在的展开式中，含的项的二项式系数为 .
2．（24-25 北京通州·期末）在二项式的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·西藏拉萨 ）二项式的展开式中的第3项为（ ）
A．160 B． C． D．
4．（23-24高二下·河南信阳·期末）（多选）展开式的有理项为（ ）
A．第1项 B．第2项 C．第5项 D．第8项
5．（2024·河南 ）已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有（ ）
A．6项 B．5项 C．4项 D．3项
考点三 二项式系数性质
【例3】（24-25高二上·湖南长沙·期末）若展开式中只有第项的二项式系数最大，则（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24安徽·阶段练习）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ）
A． B． C． D．7
考点四 各项系数和
【例4-1】（24-25高二上·河南驻马店·期末）（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【例4-2】（2024高二·全国·专题练习）已知，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【例4-3】（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（23-24高二下·广东珠海·阶段练习）（多选）若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）（多选）若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二下·辽宁鞍山·阶段练习）（多选）已知，下列命题中，正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为
B．展开式中所有奇次项系数的和为
C．展开式中所有偶次项系数的和为
D．
4．（23-24高二下·河南信阳·期中）（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·河南驻马店）（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
考点五 系数最值
【例5-1】（24-25 云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为
【例5-2】（2024·浙江杭州 ）在二项式的展开式中，系数最大的一项为 .
【例5-3】（22-23 江苏连云港·阶段练习）的展开式中，二项式系数最大且系数较大的项的系数为
【一隅三反】
1．（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，各项系数的最大值是 ．
2．（24-25 上海·阶段练习）在的展开式中系数最大的项是第 项．
3．（24-25 上海·期中）在的二项展开式中，系数最小的项为 .
考点六 二项式定理的应用---整除与小数
【例6-1】被8整除的余数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．5
【例6-2】最接近下列哪个数字（ ）
A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23
【一隅三反】
1．被6除的余数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.被8除所得的余数为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．5
3．的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
考点七 多项式中指定项系数
【例7-1】（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）在的展开式中，x的系数为（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】（2024河南商丘 ）的展开式的常数项为（ ）
A．6 B．10 C．15 D．16
【例7-3】（2024重庆沙坪坝 ）的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（23-24高二下·江苏镇江·期末）在展开式中，含项的系数是
2．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）展开式中含项的系数是 .
3．（2024江苏泰州 ）在的展开式中，的系数为
4．（2025·江西南昌 ）在的展开式中，含项的系数为
5．（2024·安徽 ）展开式的常数项为 .
6．（2025·江西新余）的展开式中的系数为36，则的值为 .
考点八 杨辉三角
【例8-1】（2024湖北）如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（ ）
A．66 B．120 C．165 D．220
【例8-2】（2024湖南）如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和为（ ）
A．350 B．295 C．285 D．230
【一隅三反】
1．（23-24山东）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，若“杨辉三角”中第行的各数之和比上一行各数之和大64，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（24-25海南）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284
D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
3．（2024陕西）（多选）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（ ）
A．
B．第8行所有数字之和为256
C．
D．记第20，21行数字的最大值分别为，则
4．（2024甘肃）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）．
第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第n行 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 第n行
A．在第10行中第5个数最大
B．
C．第8行中第4个数与第5个数之比为
D．在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为
5．（2025云南）观察杨辉三角（如图所示）的相邻两行，发现三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即．已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)请利用上述杨辉三角的性质求数列的前项和．
单选题
1．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中含的项的二项式系数为（ ）
A．15 B．20 C． D．1215
2．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．480 B．240 C．120 D．15
3．（23-24 ·内蒙古赤峰·期中）在二项式的展开式中的指数为整数的项的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．9
5．（24-25 山东威海·阶段练习）的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．240 B． C．560 D．360
6．（24-25高二上·山东东营·期末）已知，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
7．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最大的项为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
8．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（ ）
A．第1项和第3项 B．第2项和第4项
C．第3项和第1项 D．第4项和第2项
多选题
9．（23-24 ·河北石家庄 ）在的展开式中，有理项恰有两项，则的可能取值为（ ）
A．7 B．9 C．12 D．13
10．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）若，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知，则（ ）
A． B．
C． D．这8个数中最大值为35
填空题
12．（23-24高二下·湖南湘潭 ）在的展开式中常数项等于 .
13．被15除所得余数为 ．
14．（23-24 贵州贵阳·阶段练习）的展开式中常数项为 .
解答题
15．（23-24高二下·山西大同·阶段练习）（1）求的展开式；
（2）化简：．
（3）求的展开式；
（4）化简．
16．（2023·广东梅州）在二项式的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有偶数项系数之和；
(4)系数绝对值之和.
17．（2024湖北）（1）求的展开式中的常数项；
（2）若的展开式中的系数为，求a的值；
（3）求的展开式中的常数项；
（4）若的展开式中各项系数之和为128，求展开式中的系数．
18．（2023-2024·四川攀枝花）从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．
已知（），且的二项展开式中，____．
(1)求的值；
(2)①求二项展开式的中间项；
②求的值．
19．（2024湖北）在杨辉三角中，除每行的两端数字外，每个数字都等于它左上角和右上角两个数字之和，杨辉三角开头几行如图所示.
（1）利用杨辉三角展开
（2）在杨辉三角中，哪一行会出现相邻的三个数字的比是？
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