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第六章 计数原理章末复习
知识点一 两个计数原理
（一）分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
（二）分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
（三） 两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题
不同点 针对的是“分类”问题
不同点 各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事 各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事
（四）两个计数原理的解题思路：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步．
①分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
②分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
知识点二 排列
（一）排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
排列数
（1）定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
（2）排列数公式的两种形式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.
（3）．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.
知识点三 组合
（一）组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
（二）组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
（三）排列与组合的关系
相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系 组合数C与排列数A间存在的关系A＝C
（四） 组合数公式
①C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1
②C＝C
③C＝C＋C
知识点四 二项式定理
（一）二项式定理展开式：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
（二）二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.
（三）二项式系数的性质
对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性与最大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的； 当k>时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值
各二项式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
考点一 排列组合
【例1】（24-25高二上·山东东营·期末）（多选）将2个男生和5个女生排成一排，下列表述正确的有（ ）
A．男生不在头尾的不同排法有2400种
B．男生不在头尾且不相邻的不同排法有600种
C．假设这7个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法有20种
D．2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有24000种
【例2】（24-25高二上·河南·期中）（多选）用、、、、这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ）
A．可以组成个三位数
B．在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为
C．在组成的三位数中，比大的个数为
D．在组成的三位数中，百位上的数字最小的个数为
【例3】（24-25高二上·四川眉山·期中）（多选）现有个编号为的盒子和个编号为的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A．没有空盒子的方法共有种
B．有空盒子的方法共有种
C．恰有个盒子不放球的方法共有种
D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种
【例4】（24-25 吉林白城·阶段练习）（多选）现安排甲 乙 丙 丁 戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（ ）
A．不同安排方案的种数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
C．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为
考点二 二项式定理
【例5】（24-25高二上·江西南昌·期末）（多选）关于 的展开式，下列说法中正确的是（ ）
A．各项系数之和为1 B．第二项与第四项的二项式系数相等
C．常数项为60 D．有理项共有3项
【例6】（2025·广东）（多选）已知在的展开式中，设前项的系数分别为，，，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．展开式的中间项为
C．展开式中有项有理项 D．展开式中系数最大项为第项和第项
【例7】（24-25高二上·辽宁·期末）（多选）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．展开式中所有项的二项式系数的和为
【例8】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）（多选）已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．被8整除的余数为1 D．
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第六章 计数原理章末复习
知识点一 两个计数原理
（一）分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
（二）分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
（三） 两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题
不同点 针对的是“分类”问题
不同点 各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事 各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事
（四）两个计数原理的解题思路：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步．
①分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
②分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
知识点二 排列
（一）排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
排列数
（1）定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
（2）排列数公式的两种形式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.
（3）．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.
知识点三 组合
（一）组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
（二）组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
（三）排列与组合的关系
相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系 组合数C与排列数A间存在的关系A＝C
（四） 组合数公式
①C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1
②C＝C
③C＝C＋C
知识点四 二项式定理
（一）二项式定理展开式：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
（二）二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.
（三）二项式系数的性质
对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性与最大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的； 当k>时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值
各二项式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
考点一 排列组合
【例1】（24-25高二上·山东东营·期末）（多选）将2个男生和5个女生排成一排，下列表述正确的有（ ）
A．男生不在头尾的不同排法有2400种
B．男生不在头尾且不相邻的不同排法有600种
C．假设这7个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法有20种
D．2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有24000种
【答案】AC
【解析】对于A：男生不在头尾，则头尾为女生，剩下5人全排列，
所以不同排法有种，故A正确；
对于B：若男生不在头尾且相邻的不同排法有种，
所以男生不在头尾且不相邻的不同排法有种，故B错误；
对于C：因为高度要求已经固定，现只需选人即可，
则左边从剩余6人选择3人即可，所以不同的排法有种，故C正确；
对于D：若甲在头尾，不同排法有种；
若甲不在头尾，不同排法有种；
所以2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有种，故D错误；
故选：AC.
【例2】（24-25高二上·河南·期中）（多选）用、、、、这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ）
A．可以组成个三位数
B．在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为
C．在组成的三位数中，比大的个数为
D．在组成的三位数中，百位上的数字最小的个数为
【答案】ABD
【解析】用、、、、这五个数字组成无重复数字的三位数
对于A选项，可以组成个三位数，A对；
对于B选项，因为，
所以，在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为个，B对；
对于C选项，由题意可知，百位数字为或，
所以，在组成的三位数中，比大的个数为个，C错；
对于D选项，在组成的三位数中，百位上的数字最小，
即从五个数字中任意抽个数，最小的放在百位上，
所以，百位上的数字最小的个数为个，D对.
故选：ABD.
【例3】（24-25高二上·四川眉山·期中）（多选）现有个编号为的盒子和个编号为的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A．没有空盒子的方法共有种
B．有空盒子的方法共有种
C．恰有个盒子不放球的方法共有种
D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种
【答案】AC
【解析】对于选项A，把4个小球全部放进盒子中，没有空盒子，相当于4个小球在4个盒子上进行全排列，故共有种方法，所以选项A正确，
对于选项B，有空盒子，因为有4个球，每个球各有4种放法，故共有种方法，所以选项B错误；
对于选项C，恰有1个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球，而球共4个，则必有一个盒子放了2个球，
先将四盒中选一个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起，
再对三个盒子全排共有种方法，故C正确；
对于选项D，恰有一个小球放入自己编号的盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有种，
另外三球三盒不能对应共2种，则共有种方法，故D错误.
故选：AC.
【例4】（24-25 吉林白城·阶段练习）（多选）现安排甲 乙 丙 丁 戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（ ）
A．不同安排方案的种数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
C．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为
【答案】BD
【解析】对A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为，故A错误；
对B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，
则不同安排方案的种数为，故B正确；
对C，先将5人分为3组，有种分组方法，
将分好的三组安排翻译 导游 礼仪三项工作，有种情况，
则不同安排方案的种数是，故C错误；
对D，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组，
安排翻译 导游 礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为；
第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作，
再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作，
则不同安排方案的种数为.所以不同安排方案的种数是，故D正确.
故选：BD.
考点二 二项式定理
【例5】（24-25高二上·江西南昌·期末）（多选）关于 的展开式，下列说法中正确的是（ ）
A．各项系数之和为1 B．第二项与第四项的二项式系数相等
C．常数项为60 D．有理项共有3项
【答案】AC
【解析】对于A，令时，则展开式中各项系数之和为1，故A正确；
对于B，第二项二项式系数，第四项的二项式系数,
第二项与第四项的二项式系数不相等，故B错误；
对于C，展开式的通项为，
令，∴，展开式中的常数项为，故C正确；
对于D，展开式的通项为，
当时，，所以展开式的有理项共有4项，故D错误.
故选：AC.
【例6】（2025·广东）（多选）已知在的展开式中，设前项的系数分别为，，，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．展开式的中间项为
C．展开式中有项有理项 D．展开式中系数最大项为第项和第项
【答案】BD
【解析】展开式的通项为其中且，
由于前项的系数为，，，且，
，整理可得，
解得或（舍去），故A错误；
所以展开式的通项为其中且
则展开式的中间项为，故B正确；
令，且，所以或或，
则当，，时为有理项，共项，故C错误；
由，解得，
故展开式中系数最大项为第项和第项，故D正确．
故选：BD．
【例7】（24-25高二上·辽宁·期末）（多选）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．展开式中所有项的二项式系数的和为
【答案】ABD
【解析】对于A，令，可得，A正确．
对于B，展开式中的第二项为，所以，B正确．
对于C，令，可得，则，C错误．
对于D，展开式中所有项的二项式系数的和为，D正确．
故选：ABD
【例8】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）（多选）已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．被8整除的余数为1 D．
【答案】BCD
【解析】由已知有，故，．
所以．
对于A，取得，取得，
所以，A错误；
对于B，取得，又，
所以，B正确；
对于C，，
则后一项即为余数1，C正确；
对于D，
由
有．
在中
取得，
所以，D正确.
故选：BCD．
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