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第七章相交线与平行线期中复习压轴题练习人教版2024—2025学年七年级下册
1．已知点A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（﹣4，﹣6），过点C作x轴的平行线m，交y轴于点D，一动点P从C点出发，在直线m上以1个单位长度/秒的速度向右运动．
（1）如图，当点P在第四象限时，连接OP，作射线OE平分∠AOP，过点O作OF⊥OE．
①填空：若∠OPD＝60°，则∠POF＝　 　；
②设，求a的值．
（2）若与此同时，直线m以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动，设运动时间为t秒，点P的坐标为（x，y）．
①在坐标轴上是否存在满足条件的点P，使得S△ABP＝6．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②求x和y的关系式．
2．已知直线AB∥CD，E为平面内一点，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ．
（1）如图1，若点E在直线AB，CD之间，试探究∠BPE，∠DQE，∠PEQ之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，若点E在直线AB，CD之间，PF平分∠APE，QF平分∠CQE，当∠PEQ＝100°时，求∠PFQ的度数．
（3）如图3，若点E在直线AB的上方，QF平分∠CQE，PH平分∠APE，PH的反向延长线交QF于点F，当∠PEQ＝50°时，求∠PFQ的度数．
3．已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠BEF和∠DFE的角平分线交于点P，且∠BEP+∠DFP＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数；
（3）如图3，若∠BEP＝60°，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时开始旋转，当射线EP1∥FP2时，求满足条件的t的值为多少．
4．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点，∠HAB+∠BCG＝∠ABC．
（1）求证：AD∥CE；
（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F．若α+β＝40°，求∠B+∠F的度数；
（3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝50°，则∠NBM＝　 　（直接写出结果）
5．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a）、C（b，0）满足+|b﹣2|＝0．
（1）点C的坐标为 　 　；点A的坐标为 　 　；
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发向左以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度向上移动，AC的中点D的坐标是（1，2）．
①设运动时间为t（t＞0）秒，问：当t＝　　时，S△ODQ＝2S△ODP；
②在满足①的前提下，当点P位于CO的延长线上，此时在第二象限内是否存在点M（m，6），使得S△ODM＝3S△ODQ，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，连接OG，使得∠AOG＝∠AOF，点E是线段OA上一动点，连接CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，是否有这样的实数k使得∠OHC+∠ACE＝k∠OEC总成立，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．
6．玩转三角板．在一副三角板ABC与DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，∠EDF＝∠EFD＝45°．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线PQ，MN之间（点C落在直线PQ上，边DF与直线MN重合，点C，E，A，D在同一条直线上，固定三角板DEF）．
（1）如图1，∠BCP的度数为　　；
（2）如图2，将三角板ABC绕点C逆时针方向旋转，边AC与三角板DEF的边EF相交于点O，试问：∠COF﹣∠ACP的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由；
（3）在图1的基础上，将三角板ABC绕点C逆时针方向旋转，至边AC与直线PQ首次重合时停止运动．设∠ACD的度数为α°，试探究：在旋转的过程中，当α为何值时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的一条边平行？求出符合条件的α的值．
7．如图1，直线AB与CD相交于F，钝角∠CDE＝α，∠BFC+α＝180°．
（1）求证：AB∥DE；
（2）若G为直线AB（不与点F重合）上一点，∠FDG与∠DGB的角平分线所在直线交于点P．
①如图2，若α＝120°，点G在F点右边，求∠DPG的度数；
②直接写出∠DPG的度数 　______（结果用含α的式子表示）．
8．如图，AB∥CD．
（1）如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由；
（2）已知∠A＝16°．
①如图2，若∠F＝100°，求∠C+∠E的度数；
②如图3，若∠AEF和∠DCF的平分线交于点G，请直接写出∠EGC与∠F的数量关系．
9．在平面直角坐标系中，B（b，0），C（0，c），且．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）如图1．将△OBC平移至△ADE，点O对应点为A（m，4），若△ABC的面积为11，求点E的坐标；
（3）如图2，在（2）中，若AD，ED分别与y轴交于点H，F．点P是y轴上的一个动点．
①当点P在线段OF（不含端点）上运动时，证明：∠ADP+∠PBO＝∠EDP+∠PBC；
②当点P在y轴上线段OF之外运动时，请直接写出∠ADP，∠PBO，∠EDP，∠PBC之间的等量关系．
10．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）点A的坐标是 　 　，点B的坐标是 　 　，点C的坐标是 　 　；
（2）如图（1）当P，Q分别在线段AO、OC上时，连接PB、QB，使S三角形PAB＝4S三角形QBC，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请求出∠OPQ和∠PQB的数量关系．
11．如图1，∠ACB＝90°，MA∥BN．
（1）①如果∠MAC＝30°，求∠CBN的度数；
②设∠MAC＝α，∠CBN＝β，直接写出α、β之间的数量关系：　 　；
（2）如图2，∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数；
（3）在（2）的条件下，若∠MAC＝40°，点E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F，连接EP．已知∠FEP＝10°，求∠BPE的度数．
12．如图，已知AB∥CD，点P为平面内一点，过点P作射线PM、PN，PM与AB相交于点F，PN与CD相交于点E．
（1）如图1，当点P在直线AB、CD之间区域内时，若∠AFM＝65°，∠PED＝30°，求∠MPN的度数；
（2）分别在∠AFM、∠CEP的内部作射线FG、EG交于点G，使得＝．且n为整数）．
①如图2，当点P在直线AB、CD之间区域内时，EG与AB交于点H，若n＝3，∠G＝50°，求∠P的度数；
②如图3，当点P在直线AB上方时，请直接写出∠P与∠G的数量关系（用含n的式子表示）．
13．（1）已知AB∥CD．
①如图1，求证：∠D＝∠E+∠B；
②如图2，F为AB，CD之间一点，连接EF，DF，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，∠D＝30°，求∠B，∠G之间的数量关系；
（2）如图3，若AB与CD交于点H，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，∠B﹣∠BHD＝20°，∠D＝30°，则∠G＝　 　°．
14．【探索发现】
（1）老师在数学课上留下一道思考题：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP，试说明∠APC＝∠BAP+∠PCD；
【解决问题】
（2）已知直线AB∥CD，连接AD，BC，∠ABC＝50°，∠ADC＝30°，
①如图2，AE，CE分别平分∠BAD，∠BCD，求∠AEC的度数；
②如图3，延长线段AB至点A′，过点A′作A′D′∥AD交CD的延长线于点D′，A′F，CF分别平分∠BA′D′，∠BCD，请直接写出∠A′FC的度数．
15．（1）如图1，已知AB∥CD，∠ABF＝∠DCE，求证：∠BFE＝∠FEC；
（2）如图2，已知AB∥CD，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，求证：∠AFC＝∠AEC．
参考答案
1．【解答】解：（1）①∵直线m∥x轴，∠OPD＝60°，
∴∠AOP+∠OPD＝180°，
∴∠AOP＝180°﹣60°＝120°，
∵OE平分∠AOP，
∴∠EOP＝∠AOP＝60°，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴∠POF＝90°﹣∠EOP＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°；
②∵∠AOP＝∠AOD+∠DOP＝90°+∠DOP，OE平分∠AOP，
∴∠EOP＝∠AOP＝（90°+∠DOP）＝45°+∠DOP，
∴∠DOE＝∠EOP﹣∠DOP＝45°+∠DOP﹣∠DOP＝45°﹣∠DOP，
∵∠OPD＝90°﹣∠DOP，
∴＝＝2，
即a的值为2；
（2）①在坐标轴上存在满足条件的点P，理由如下：
由题意可知，经过t秒后，点P的坐标为（﹣4+t，﹣6+2t），
a、若点P在x轴上，则﹣6+2t＝0，
解得：t＝3，
∴p（﹣1，0），
∴AP＝1，OB＝4
∴S△ABP＝AP OB＝×1×4＝2≠6，不合题意；
b、若点P在y轴上，则﹣4+t＝0，
解得：t＝4，
∴P（0，2），
∴BP＝6，OA＝2，
∴S△ABP＝BP OA＝×6×2＝6，符合题意；
综上所述，在坐标轴上存在满足条件的点P，使得S△ABP＝6，点P的坐标为（0，2）；
②由①可知，x＝﹣4+t，y＝﹣6+2t，
∴t＝x+4，
把t＝x+4代入y＝﹣6+2t得：y＝﹣6+2（x+4）＝2x+2，
即x和y的关系式为y＝2x+2．
2．【解答】解：（1）图1，过点E，作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EM，
∴∠BPE＝∠PEM，∠DQE＝∠QEM，
∴∠BPE+∠DQE＝∠PEM+∠QEM＝∠PEQ，
即∠BPE+∠DQE＝∠PEQ；
（2）图2，过点E作EM∥AB，过F点作FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EM∥FN，
∴∠APE+∠PEM＝180°，∠CQE+∠QEM＝180°，
∴∠APE+∠PEM+∠CQE+∠QEM＝360°，
∴∠APE+∠CQE+∠PEQ＝360°，
∵∠PEQ＝100°，
∴∠APE+∠CQE＝260°，
∵PF平分∠APE，QF平分∠CQE，
∴∠APE＝2∠APF，∠CQE＝2∠CQF，
∴∠APF+∠CQF＝130°，
∵AB∥CD∥FN，
∴∠PFN＝∠APF，∠QFN＝∠CQF，
∴∠PFN+∠QFN＝∠APF+∠CQF＝130°，
∴∠PFQ＝130°；
（3）图3，过过点E作EM∥AB，过F点作FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EM∥FN，
∴∠MEQ＝∠EQD，∠MEP＝∠EPB，
∴∠MEQ﹣∠MEP＝∠EQD﹣∠EPB，
即∠PEQ＝∠EQD﹣∠EPB，
∵∠PEQ＝50°，
∴∠EQD﹣∠EPB＝50°，
∵∠EQD＝180°﹣∠EQC，∠EPB＝180°﹣∠EPA，
∴∠EPA﹣∠EQC＝50°，
∵QF平分∠CQE，PH平分∠APE，
∴∠EPA＝2∠APH，∠EQC＝2∠FQC，
∴2∠APH﹣2∠FQC＝50°，
∴∠APH﹣∠FQC＝25°，
∴180°﹣∠APF﹣∠FQC＝25°，
∴∠APF+∠FQC＝155°，
∵AB∥CD∥FN，
∴∠PFN＝∠APF，∠QFN＝∠CQF，
∴∠PFN+∠QFN＝∠APF+∠CQF＝155°，
∴∠PFQ＝155°．
3．【解答】解：（1）∵∠BEF和∠DFE的角平分线交于点P，
∴∠EBF＝2∠BEP，∠DFE＝2∠DFP，
∴∠EBF+∠DFE＝2（∠BEP+∠DFP）＝2×90°＝180°，
∴AB∥CD．
（2）∵∠BEP+∠DFP＝90°，又AB∥CD．
∴∠P＝180﹣（∠PEF+∠PFE）＝180°﹣（∠BEP+∠DFP）＝90°，
由外角性质得：∠Q＝∠MFQ﹣∠MEQ
＝∠MFP﹣∠MEP
＝（∠MFP﹣∠MEP）
＝，
∵∠P＝90°，
∴∠Q＝＝45°．
（3）当FP2在EF右侧时，EP1∥FP2时，∠P1EF+∠EFP2＝180°，
根据题意可知：∠P1EF＝15t+60°，∠EFP2＝3t+30°，
∴15t+60°+3t+30°＝180，
解得t＝5．
当FP2在EF左侧时，EP1∥FP2时，∠P1EF+∠EFP2＝180°，
根据题意可知：∠P1EF＝15t﹣60°，∠EFP2＝3t﹣30°，
∴15t﹣60°+3t﹣30°＝180°，
解得t＝15，t＝30
综上分析，t＝5或t＝15或30时，EP1∥FP2．
4．【解答】（1）证明：过点B作BP∥AD，
∴∠ABP＝∠HAB，
∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP，∠ABC＝∠HAB+∠BCG，
∴∠CBP＝∠BCG，
∴BP∥CE，
∴AD∥CE．
（2）∵AF平分∠HAB，
∴∠HAF＝∠FAB＝β，
∴∠HAB＝2∠FAB＝2β，
∵∠BCF＝∠BCG＝α，
∴∠FCG＝2∠FCB＝2α，
由（1）可知∠B＝∠HAB+∠BCG，
∴∠F＝∠HAF+∠FCG，
∵α+β＝40°，
∴∠B+∠F＝∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG
＝2β+α+β+2α
＝3α+3β
＝3（α+β）
＝120°．
答：∠B+∠F的度数为120°．
（3）∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，
∴∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC，
∵BM∥CR，
∴∠BCR＝∠MBC，
∴∠BCG＝2∠MBC，
∴∠HAB+∠BCG＝∠ABC，
∵∠BAH＝50°，
∴∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG
＝2∠NBC﹣2∠MBC
＝2（∠NBC﹣∠MBC）
＝2∠NBM，
∴∠NBM＝＝25°．
故答案为：25°．
5．【解答】解：（1）∵+|b﹣2|＝0，
又∵，|b﹣2|≥0，
∴a＝4，b＝2，
∴C（2，0），A（0，4），
故答案为：（2，0），（0，4）；
（2）①当点P在线段OC上时，
由题意：，
解得 ，
当点P在CO的延长线上时，
由题意：，
解得t＝4，
故答案为： 或4s；
②存在，理由如下：
如图此时，P（﹣2，0），Q（0，8），
∵S△ODM＝3S△ODQ，
∴×，
整理得：m＝﹣9，
∴M（﹣9，6）；
（3）存在，k＝2，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于W，
∵∠2+∠3＝90°，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO＝180°，
∴OG∥AC，
∴∠1＝∠CAO，
∴∠OEC＝∠CAO+∠4＝∠1+∠4，
则∠4＝∠WHC，WH∥OG，
∴∠WHO＝∠GOF＝∠1+∠2，
∴∠OHC＝∠OHW+∠WHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，
∴∠OHC+∠ACE＝∠1+∠2+∠4+∠4＝∠1+∠1+∠4+∠4＝2（∠1+∠4）＝2∠OEC，
即k＝2．
6．【解答】解：（1）∵△ABCD和△DEF为一副三角板，
∴∠EDF＝45°，∠ACB＝30°，
∵PQ∥MN，
∴∠DCP＝∠EDF＝45°，
∴∠BCP＝∠DCP﹣∠ACB＝15°，
故答案为：15°；
（2）∠COF﹣∠ACP为定值，∠COF﹣∠ACP＝45°．
理由如下：
过点O作OG∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴OG∥PQ∥MN，
∴∠ACP＝∠COG，∠GOF＝∠EFD，
∴∠COF﹣∠ACP＝（∠COG+∠GOF）﹣∠ACP ＝（∠ACP+∠EFD）﹣∠ACP＝∠EFD＝45°，
∴∠COF﹣∠ACP为定值，定值是45°；
（3）①当AB∥EF时，
点C，B，E，D在同一条直线上，
∴∠ACD＝∠ACB＝30°，
∴α＝30；
②当AB∥DF时，
∵AB∥DF即AB∥MN，
又∵PQ∥MN，
∴AB∥PQ∥MN，
∴∠DCQ＝180°﹣∠CDF＝180°﹣45°＝135°，
∠ACQ＝∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝∠DCQ﹣∠ACQ＝135°﹣60°＝75°，
∴α＝75；
③当AB∥DE时，
∴∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD+∠ACB＝90°+30°＝120°，
∴α＝120；
综上，在旋转的过程中，当α＝30或75或120时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的一条边平行．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
7．【解答】（1）证明：∠CDE＝α，∠BFC+α＝180°，
∴∠BFC+∠CDE＝180°，
又∵∠BFC＝∠AFD，
∴∠AFD+∠CDE＝180°，
∴AB∥DE．
（2）解：①设DP与AB交于点T，
设∠CDP＝β
∵DP为∠FDG的平分线，
∴∠PDG＝∠CDP＝β，
∴∠CDG＝∠PDG+∠CDP＝2β，
∴∠EDP＝∠CDE+∠CDP＝α+β，∠GDE＝∠CDG+∠CDE＝α+2β，
由（1）知：AB∥DE，
∴∠EDP+∠DTA＝180°，∠BGD＝∠GDE＝α+2β，
即：α+β+∠DTA＝180°，
∴∠DTA＝180°﹣α﹣β，
∴∠PTG＝∠DTA＝180°﹣α﹣β，
又GH为∠DGB的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵α＝120°，
∴．
②由①可知：．
同理可得，180﹣0.5α
故答案为：或180﹣0.5α．
8．【解答】解：（1）∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系是：∠AEC+∠C﹣∠A＝180°．
理由如下：
过点E作EM∥AB
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥CD，
∴∠AEM＝∠A，∠MEC+∠C＝180°，
∴∠AEM+∠MEC+∠C＝∠A+180°，
即：∠AEC+∠C﹣∠A＝180°，
（2）过点F作FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥FN∥CD，
∴∠C+∠NFC＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠NFC，
由（1）得：∠E+∠EFN﹣∠A＝180°，
∴∠E＝180°﹣∠EFN+∠A，
∴∠C+∠E＝180°﹣∠NFC+（180°﹣∠EFN+∠A），
即：∠C+∠E＝360°﹣（∠NFC+∠EFN）+∠A＝360°﹣∠EFC+∠A，
∵∠EFC＝100°，∠A＝16°，
∴∠C+∠E＝360°﹣100°+16°＝276°，
（3）∠EGC与∠F的数量关系是：．
理由如下：
∵EG为∠AEF的平分线，CG为∠DCF的平分线，
∴∠AEF＝2∠GEF，∠DCF＝2∠GCF，
根据四边形的内角和等于360°得：∠GEF+∠GCF+∠EGC+∠F＝360°，
由（2）得：∠AEF+∠DCF＝360°﹣∠F+∠A，
即：2∠GEF+2∠GCF＝360°﹣∠F+∠A，
∴∠GEF+∠GCF＝180°﹣∠F+∠A，
∴，
整理得，
∵∠A＝16°，
∴．
9．【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴2b﹣6＝0，3c+6＝0，
∴b＝3，c＝﹣2，
∴B（3，0），C（0，﹣2）；
（2）如图，过点B作BM⊥AD交AD的延长线于M，过点C作CN⊥BM交BM的延长线于N，
∵B（3，0），C（0，﹣2），
∴OB＝3，OC＝2，
∵将△OBC平移至△ADE，点O对应点为A（m，4），
∴AD＝OB＝3，AD∥OB，
∴D（m+3，4），
∵过点B作BM⊥AD交AD的延长线于M，过点C作CN⊥BM交BM的延长线于N，
∴M（3，4），N（3，﹣2），AM∥CN，
∴四边形ACNM是梯形，
∴CN＝3，MN＝6，BM＝4，AM＝3﹣m，BN＝2，
∵S△ABC＝S梯形ACNM﹣S△ABM﹣S△BCN，
∴，
解得：m＝﹣2，
∴A（﹣2，4），
∵将△OBC平移至△ADE，点O对应点为A（﹣2，4），
∴△OBC的平移方式为：向左平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，
∵C（0，﹣2），
∴E（﹣2，2）；
（3）证明：由平移的性质可得：∠ADE＝∠OBC，
∵∠ADP＝∠ADE+∠EDP，∠PBC＝∠PBO+∠OBC，
∴∠ADP+∠PBO
＝∠ADE+∠EDP+∠PBO
＝∠OBC+∠EDP+∠PBO
＝∠EDP+∠PBC；
当点P在H点以上的y轴上时，如图，
由平移的性质可得：∠ADE＝∠OBC，
∵∠ADE＝∠EDP﹣∠ADP，∠OBC＝∠PBC﹣∠PBO，
∴∠EDP﹣∠ADP＝∠PBC﹣∠PBO，
即∠PBO﹣∠ADP＝∠PBC﹣∠EDP；
当点P在线段HF上时，如图，
由平移的性质可得：∠ADE＝∠OBC，
∵∠ADE＝∠EDP+∠ADP，∠OBC＝∠PBC﹣∠PBO，
∴∠EDP+∠ADP＝∠PBC﹣∠PBO
即∠ADP+∠PBO＝∠PBC﹣∠EDP；
当点P在线段OC上时，如图，
由平移的性质可得：∠ADE＝∠OBC，
∵∠ADE＝∠ADP﹣∠EDP，∠OBC＝∠PBC+∠PBO，
∴∠ADP﹣∠EDP＝∠PBC+∠PBO，
即∠EDP+∠PBC＝∠ADP﹣∠PBO；
当点P在C点以下的y轴上时，如图，
由平移的性质可得：∠ADE＝∠OBC，
∵∠ADE＝∠ADP﹣∠EDP，∠OBC＝∠PBO﹣∠PBC，
∴∠ADP﹣∠EDP＝∠PBO﹣∠PBC，
即∠ADP﹣∠PBO＝∠EDP﹣∠PBC；
总上所述：当点P在H点以上的y轴上时，∠PBO﹣∠ADP＝∠PBC﹣∠EDP；当点P在线段HF上时，∠ADP+∠PBO＝∠PBC﹣∠EDP；当点P在线段OC上时，∠EDP+∠PBC＝∠ADP﹣∠PBO；当点P在C点以下的y轴上时，∠ADP﹣∠PBO＝∠EDP﹣∠PBC．
10．【解答】解：（1）∵，
∴a+8＝0，c+4＝0，
解得：a＝﹣8，c＝﹣4，
∴A（﹣8，0），B（﹣4，﹣4），C（0，﹣4），
故答案为：（﹣8，0），（﹣4，﹣4），（0，﹣4）；
（2）过B点作BE⊥AO于E，如图1，设时间经过t秒，S△PAB＝4S△QBC，
则AP＝2t，OQ＝t，BE＝4，BC＝4，CQ＝4﹣t，
∴，，
∵S△APB＝4S△BCQ，
∴4t＝4（8﹣2t），解得，，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
（3）∠PQB＝∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ＝150°．理由如下：
∵B（﹣4，﹣4），C（0，﹣4），
∴BC∥AO，
①当点Q在点C的上方时，过Q点作QH∥AO，如图2所示，
∴∠OPQ＝∠PQH，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠OPQ+∠CBQ＝∠PQH+∠BQH，
∴∠PQB＝∠OPQ+∠CBQ，即∠PQB＝∠OPQ+30°；
②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO，如图3所示，
∴∠OPQ＝∠PQJ，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠HQB+∠BQP+∠PQJ＝180°，
∴30°+∠BQP+∠OPQ＝180°，即∠BQP+∠OPQ＝150°，
综上所述，∠PQB＝∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ＝150°．
11．【解答】解：（1）①过点C作CD∥AM，
∵MA∥BN，
∴MA∥CD∥BN，
∴∠ACD＝∠A＝30°，∠DCB+∠B＝180°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝90° ∠ACD＝90° 30°＝60°，
∴∠B＝180° ∠DCB＝180° 60°＝120°；
②过点C作CD∥AM，
∵MA∥BN，
∴MA∥CD∥BN，
∴∠ACD＝∠A＝α，∠DCB＝180° ∠B＝180° β，
又∵∠ACB＝90°，
∴α+180° β＝90°，
∴β＝α+90°，
故答案为：β＝α+90°；
（2）不发生变化，135°，理由为：
由②可得∠MAC＝α，∠CBN＝β＝90°+α，
∵∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，
∴∠MAP＝∠MAC＝α，∠NBP＝∠NBC＝（90°+α）＝45°+α，
过点P作PE∥MA，则MA∥PE∥BN，
∴∠EPA＝∠MAP＝α，∠EPB＝180° ∠NBP＝180° （45°+α）＝135° α，
∴∠APB＝∠EPA+∠EPB＝α+135° α＝135°；
（3）由（2）得∠MAP＝∠MAC＝20°，∠CBN＝90°+40°＝130°，∠APB＝135°，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝180° ∠CBE＝180° 130°＝50°，
过点P作PG∥AM，
∵MA∥BN，
∴MA∥CD∥BN，
∴∠APG＝∠MAF＝20°，∠GPN＝∠PEB，
∴∠APN＝∠APG+∠GPN＝20°+∠PEB，
当点F在点P的左侧时，如图，
则∠PEB＝∠FEB+∠FEP＝50°+10°＝60°，
∴∠APN＝20°+∠PEB＝20°+60°＝80°，
∴∠BPE＝∠APB ∠APE＝135° 80°＝55°，
当点F在点P的右侧时，如图，
则∠PEB＝∠FEB+∠FEP＝50° 10°＝40°，
∴∠APN＝20°+∠PEB＝20°+40°＝60°，
∴∠BPE＝∠APB ∠APE＝135° 60°＝75°．
12．【解答】解：（1）过点P作PQ∥AB，如图1所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠MPQ＝∠AFM，∠NPQ＝∠PED，
∴∠MPQ+∠NPQ＝∠AFM+∠PED，
即∠MPN＝∠AFM+∠PED，
∵∠AFM＝65°，∠PED＝30°，
∴∠MPN＝∠AFM+∠PED＝65°+30°＝95°；
（2）①过点G作GH∥AB，如图2所示：
当n＝3时，∠MFG＝∠AFM，∠PEG＝∠PEC
∴∠AFM＝3∠MFG，∠PEC＝3∠PEG，
设∠MFG＝α，∠PEG＝β，
∴∠AFM＝3α，∠PEC＝3β，
∴∠AFG＝∠AFM﹣∠MFG＝2α，∠CEG＝∠PEC﹣∠PEG＝2β，
∴∠PED＝180°﹣∠PEC＝180°﹣3β，
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGF＝∠AFG＝2α，∠HGE＝∠CEG＝2β，
由（1）可知：∠MPN＝∠AFM+∠PED＝3α+180°﹣3β＝180°﹣3（β﹣α），
∴∠FGE＝∠HGE﹣∠HGF＝2（β﹣α），
∵∠FGE＝50°，
∴2（β﹣α）＝50°，
∴β﹣α＝25°，
∴∠MPN＝180°﹣3（β﹣α）＝105°；
②∠MPN与∠G的数量关系是：∠MPN+∠G＝180°，理由如下：
延长GF到T，过点P作PR∥AB，如图3所示：
∵∠MFG＝∠AFM，∠PEG＝∠PEC，
∴∠AFM＝n∠MFG，∠PEC＝n∠PEG，
设∠MFG＝α，∠PEG＝β，
∴∠AFM＝nα，∠PEC＝nβ，
∴∠AFG＝∠AFM﹣∠MFG＝（n﹣1）α，∠CEG＝∠PEC﹣∠PEG＝（n﹣1）β，
∴∠PFT＝∠AFG＝（n﹣1）α，∠PED＝180°﹣∠PEC＝180°﹣nβ，
∵PR∥AB，AB∥CD，
∴PR∥AB∥CD，
∴∠RPE＝∠PED＝180°﹣nβ，∠RPM＝∠AFM＝nα，
由（1）可知：∠G＝∠PFT+∠CEG＝（n﹣1）α+（n﹣1）β＝（n﹣1）（α+β），
∴α+β＝∠G，
∴∠MPN＝∠RPE﹣∠RPM＝180°﹣nβ﹣nα＝180°﹣n（α+β），
∴∠MPN＝180°﹣n ∠G，
∴∠MPN+∠G＝180°．
13．【解答】解：（1）①如图，设AB与ED交于点M，
∵AB∥CD，
∴∠EMA＝∠D，
∴∠EMA＝∠E+∠B，
∴∠D＝∠E+∠B；
②如图，过点F作PQ∥CD，
∵AB∥CD，PQ∥CD，
∴AB∥PQ，∠QFD＝∠D＝30°，
∴∠ENA＝∠NFP，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，
∴，，
∵∠ENA＝∠NEB+∠B＝∠GEF+∠GEB+∠B＝2∠GEF+∠B，∠NFP＝180°﹣∠NFQ＝180°﹣（∠GFE+∠GFD﹣∠QFD）＝210°﹣2∠GFE，
∴2∠GEF+∠B＝210°﹣2∠GFE，
∴，
又∵∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，
∴，
∴，
即；
（2）如图，延长DF交AB于点M，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，
∴，，
∵∠EOM是△EOB、△OMF的外角，∠OMF是△MHD的外角，
∴∠EOM＝∠OEB+∠B＝∠1+∠2+∠B＝2∠1+∠B，∠EOM＝∠OMF+∠OFM＝∠OMF+180°﹣∠OFD＝∠OMF+180°﹣2∠3，∠OMF＝∠BHD+∠D，
∴2∠1+∠B＝∠OMF+180°﹣2∠3＝∠BHD+∠D+180°﹣2∠3，
∴2∠1+2∠3＝∠BHD+∠D+180°﹣∠B，
∵∠B﹣∠BHD＝20°，∠D＝30°，
∴2∠1+2∠3＝∠BHD+∠D+180°﹣∠B＝180°+30°﹣20°＝190°，
∴∠1+∠3＝95°，
∴∠G＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣95°＝85°，
故答案为：85．
14．【解答】（1）证明：如图，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥CD，∠BAP＝∠QPA，
∴∠PCD＝∠QPC，
∵∠APC＝∠QPA+∠QPC，
∴∠APC＝∠BAP+∠PCD；
（2）解：①如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠DCE＝∠FEC，
∵∠ABC＝50°，∠ADC＝30°，
∴∠ABC＝∠BCD＝50°，∠ADC＝∠BAD＝30°，
∵AE，CE分别平分∠BAD，∠BCD，
∴，，
∴∠AEF＝∠BAE＝15°，∠FEC＝∠DCE＝25°，
∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝15°+25°＝40°；
②∠A′FC的度数为130°．
如图，过点F作FH∥AB，则FH∥AB∥CD，
∵∠ABC＝50°，∠ADC＝30°，
∴∠ABC＝∠BCD＝50°，∠ADC＝∠BAD＝30°，
∵A′D′∥AD，
∴∠AA'D'＝180°﹣30°＝150°，
∵A′F，CF分别平分∠BA'D'，∠BCD，
∴∠AA'F＝75°，∠FCD＝25°，
∵FH∥AB∥CD，
∴∠A'FH＝180°﹣75°＝105°，∠HFC＝∠FCD＝25°，
∴∠A'FC＝105°+25°＝130°．
15.【解答】证明：（1）如图1，延长BF、DC相交于G，
∵AB//CD，
∴∠ABF＝∠G．
∵∠ABF＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠G．
∴BG//CE．
∴∠BFE＝∠FEC；
（2）如图2：连接AC，
设∠EAF＝x，∠ECF＝y，∠EAB＝4x，∠ECD＝4y，
∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°．
∴∠CAE+4x+∠ACE+4y＝180°．
∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（4x+4y），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（3x+3y）．
∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）
＝180°﹣[80°﹣（4x+4y）]
＝4x+4y
＝4（x+y）．
∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）
＝180°﹣[180°﹣（3x+3y））]
＝3x+3y
＝3（x+y），
∴．
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