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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练高频考点突破
圆的切线的证明及圆中锐角三角函数综合
1．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O经过A、C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求⊙O的半径．
2．如图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，点F是上一点，，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD＝∠CDA．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BE＝4，AD＝2，求⊙O的半径长．
3．如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连结DB交AC于点G．
（1）求证：AF＝DF；
（2）延长GD至点M，使DM＝DG，连结AM．
①求证：AM是⊙O的切线；
②若DG＝6，DF＝5，求⊙O的半径．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交BA的延长线于点E，连接BD．若∠EAD+∠BDF＝180°．
（1）求证：EF为⊙O的切线．
（2）若BE＝10，sin∠BDC，求⊙O的半径．
5．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD＝∠FAD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若PA＝4，PD＝2，求⊙O的半径和DE的长．
6．如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CD＝12，tan∠ABC，求⊙O的半径．
8．如图，已知⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，与AC相交于A、E两点，且与边BC相切于点D，连结DE．
（1）若BA＝BD，求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝2，求⊙O的半径．
9．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点D，E，点F在BC上，∠CDF＝∠ABD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若，tan∠CDF，BC，求⊙O的半径．
10．如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，sin∠AFD，
①求⊙O的半径；
②求线段DE的长．
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE∠ABC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，sin∠BEC，求⊙O的半径．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，∠ADO＝∠BOC，AC与OD相交于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠OAC，AD，求⊙O的半径．
13．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF∠BAC．
（1）求证：BF为⊙O的切线；
（2）若AE＝4，OF，求⊙O的半径．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．
15．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延长线于点P．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．
参考答案
1．【解答】（1）证明：连接OD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∴∠COD＝2∠CAB＝90°，
∵DE∥CF，
∴∠COD+∠EDO＝180°，
∴∠EDO＝90°
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，
∵△ACB为等腰直角三角形，AC＝4，
∴CH＝AH2，
∵tan∠CFD2，
∴FH，
在Rt△CFH中，由勾股定理得CF2＝CH2+FH2，
∴，
∵tan∠CFD2，
∴OD．
故⊙O的半径为．
2．【解答】（1）证明：∵，
∴∠ABF＝∠BAE，
∵∠CAD+∠BAE+∠CDA+∠ABF＝180°，且∠CAD＝∠CDA，
∴∠CAD+∠BAE+∠CAD+∠BAE＝180°，
∴∠OAD＝∠CAD+∠BAE＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：连接AF，
∵，BE＝4，AD＝2，
∴AF＝BE＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFD＝∠AFB＝90°，
∴DF2，
∵∠BAD＝∠AFD＝90°，
∴tanD2，
∴ADAB，
∴OAAB＝AD＝2，
∴⊙O的半径长为2．
3．【解答】（1）证明：连接AD，设OD交AC于点I，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵点D是的中点，
∴OD⊥AC于点I，
∵DN⊥AB于点E，
∴∠OED＝∠OIA＝90°，
∴∠ODF＝∠OAF＝90°﹣∠AOD，
∴∠ODA﹣∠ODF＝∠OAD﹣∠OAF，
∴∠FDA＝∠FAD，
∴AF＝DF．
（2）①证明：∵AB是⊙O的直径，DM＝DG，
∴∠ADB＝90°，
∴AD垂直平分GM，
∴AM＝AG，
∴∠MAD＝∠CAD，
∵，
∴∠B＝∠CAD，
∴∠MAD＝∠B，
∴∠OAM＝∠BAD+∠MAD＝∠BAD+∠B＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AM⊥OA，
∴AM是⊙O的切线．
②解：∵∠FDG+∠FDA＝90°，∠FGD+∠FAD＝90°，且∠FDA＝∠FAD，
∴∠FDG＝∠FGD，
∴GF＝DF＝AF＝5，
∴AG＝2AF＝10，
∵DG＝6，
∴AD8，
∵∠AID＝∠ADG＝90°，
∴cos∠DAG，
∴AI，
∴DI，
∵∠OIA＝90°，OI＝ODOA，
∴OI2+AI2＝OA2，
∴（OA）2+（）2＝OA2，
解得OA，
∴⊙O的半径长为．
4．【解答】（1）证明：连接OD，如图：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DF⊥BC，
∴∠F＝90°，
∵∠EAD+∠BDF＝180°．
∴∠BDF＝∠BAD，
∴∠ABD＝∠DBF，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠DBF，
∴OD∥BF，
∵BF⊥EF，
∴OD⊥EF，
∵OD是半径，
∴EF为⊙O的切线．
（2）解：连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DF⊥BC，
∴AC∥EF，
∴∠E＝∠BAC＝∠BDC，
设半径为r，则OE＝10﹣r，
在Rt△EOD中，
sinE＝sin∠BDC，即，
解得r＝4，
经检验，r＝4是原方程的解，
∴⊙O的半径为4．
5．【解答】（1）证明：连接OA，如图：
∵AB⊥CD，
∴∠AFD＝90°，
∴∠FAD+∠ADF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADF，
∴∠FAD+∠OAD＝90°，
∵∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD+∠OAD＝90°，即∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∵OA是⊙O半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，AO，如图：
∵CD为⊙O直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠C+∠ADC＝90°，
∵∠FAD+∠ADC＝90°，
∴∠C＝∠FAD，
∵∠EAD＝∠FAD，
∴∠C＝∠EAD，
∵∠P＝∠P，
∴△ADP∽△CAP，
∴，
∵PA＝4，PD＝2，
∴，
解得CP＝8，
∴CD＝CP﹣PD＝8﹣2＝6，
∴⊙O的半径为3；
∴OA＝3＝OD，
∴OP＝OD+PD＝5，
∵∠OAP＝90°＝∠DEP，∠P＝∠P，
∴△OAP∽△DEP，
∴，即，
∴DE，
∴⊙O的半径为3，DE的长为．
6．【解答】（1）证明：连接OC，
∵点C为的中点，
∴，
∴∠EAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴AE∥OC，
∴∠ADC＝∠OCF，
∵CD⊥AE，
∴∠ADC＝90°，
∴∠OCF＝90°，
即OC⊥DF，
又OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接CE，BC，
由（1）知CD是⊙O的切线，
∴CD2＝DE AD，
∵DE＝1，DC＝2，
∴AD＝4，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
在Rt△DCE中，由勾股定理得，
∵点C是的中点，
∴，
∴EC＝BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
由勾股定理得，
∴⊙O的半径长是2.5．
7．【解答】（1）证明：连接OE，∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ODE，
∴∠OED＝∠CDE，
∴OE∥CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AEO＝90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过D作DF⊥AB，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CD＝DF，
∵CD＝12，tan∠ABC，
∴BF16，
∴BD20，
∴BC＝CD+BD＝32，
∴AC＝BC tan∠ABC＝24，
∴12，
∵OE∥CD，
∴△AEO∽△ACD，
∴，
∴，
解得EO＝15﹣3，
∴⊙O的半径为15﹣3．
8．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵⊙O的圆心O在AC上，且与边BC相切于点D，
∴BC⊥OD，
∴∠ODB＝90°，
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠ODA+∠BDA＝∠ODB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AB⊥OA，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CAD+∠OED＝90°，
∵∠CDE+∠ODE＝∠ODC＝90°，
∴∠CDE＝∠CAD，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴，
∴CE CA＝CD2，
∵CD＝4，CE＝2，OE＝OA，
∴2（2+2OE）＝42，
解得OE＝3，
∴⊙O的半径长为3．
9．【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDF+∠CDF＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠CDF＝∠ABD，
∴∠ODB＝∠CDF，
∴∠ODB+∠BDF＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O 的切线；
（2）解：如图，连接AE，
∵，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AB是⊙O 的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝∠AEC，
∵AE＝AE，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB＝AC，
∵tan∠CDF，∠CDF＝∠ABD，
∴tan∠ABD，
在Rt△ABD中，，
设AD＝4x，则BD＝3x，
∴AB5x，
∴AC＝5x，
∴CD＝x，
在Rt△BDC中，BD2+CD2＝BC2，
∴（3x）2+x2＝（）2，
∴x＝1，
∴5x＝5，
∴AB＝5，
∴OA，
∴⊙O的半径为．
10．【解答】（1）证明：连接OC，
∵AD⊥DF，
∴∠D＝90°，
∵点C是的中点，
∴，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠OCF＝∠D＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：①过点O作OG⊥AE，垂足为G，
∴AG＝EGAE＝1，
∵OG⊥AD，
∴∠AGO＝∠DGO＝90°，
∵∠D＝∠AGO＝90°，
∴OG∥DF，
∴∠AFD＝∠AOG，
∵sin∠AFD，
∴sin∠AOG＝sin∠AFD，
在Rt△AGO中，AO3，
∴⊙O的半径为3；
②∵∠OCF＝90°，
∴∠OCD＝180°﹣∠OCF＝90°，
∵∠OGE＝∠D＝90°，
∴四边形OGDC是矩形，
∴OC＝DG＝3，
∵GE＝1，
∴DE＝DG﹣GE＝3﹣1＝2，
∴线段DE的长为2．
11．【解答】（1）证明：连接OE，
∵∠BCE∠ABC，∠BCE∠BOE，
∴∠ABC＝∠BOE，
∴OE∥BC，
∴∠OED＝∠BCD，
∵EF∥AC，
∴∠FEC＝∠ACE，
∴∠OED+∠FEC＝∠BCD+∠ACE，
即∠FEO＝∠ACB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠FEO＝90°，
∴FE⊥EO，
∵EO是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵EF∥AC，
∴△FEO∽△ACB，
∴，
∵BF＝2，sin∠BEC，
设⊙O的半径为r，
∴FO＝2+r，AB＝2r，BCr，
∴，
解得：r＝3，
检验得：r＝3是原分式方程的解，
∴⊙O的半径为3．
12．【解答】（1）证明：∵OD⊥OC，
∴∠COD＝90°，
∴∠BOC+∠AOD＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠ADO＝∠BOC，
∴∠ADO+∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝180°﹣90°＝90°，
即OA⊥AD，
∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴tan∠OACtan∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°＝∠OAD，即∠OCB+∠OCA＝90°＝∠OAC+∠DAE，
∴∠DAE＝∠OCB，
又∵∠ADO＝∠BOC，
∴∠DEA＝∠B，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE，
设半径为r，则OEr，ODr，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
AD2+OA2＝OD2，
即（）2+r2＝（r）2，
解得r＝2或r＝0（舍去），
即半径为2．
13．【解答】（1）证明：如图，连接AD，
AB是圆的直径，则∠ADB＝90°，
D为的中点，则∠BAD＝∠CAD∠BAC，
∵，
∴∠CBF＝∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABF＝∠ABD+∠CBF＝90°，
∴AB⊥BF，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BE，
AB是圆的直径，则∠AEB＝90°，
∵∠BOD＝2∠BAD，∠BAC＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC，
又∵∠ABF＝∠AEB＝90°，
∴△OBF∽△AEB，
∴OB：AE＝OF：AB，
∴OB：4：2OB，OB2＝9，
OB＞0，则OB＝3，
∴⊙O的半径为3．
14．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠OBC，
∵CE⊥AD，
∴∠E＝∠CDE+∠ECD＝90°，
∵∠ECD＝∠BCF，
∴∠OCB+∠BCF＝90°，
∴∠OCE＝90°，即OC⊥EF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：如图2，过点O作OG⊥AE于G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°，
∵∠E＝∠OCE＝90°，
∴四边形OGEC是矩形，
∴OC＝EG，OG＝EC，
设⊙O的半径为x，
Rt△CDE中，CD＝3，DE＝1，
∴EC2，
∴OG＝2，GD＝x﹣1，OD＝x，
由勾股定理得：OD2＝OG2+DG2，
∴x2＝（2）2+（x﹣1）2，
解得：x＝4.5，
∴⊙O的半径是4.5．
15．【解答】解：（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又D为BC中点，O为AB中点，
故OD，OD∥AC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°．
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE，
又∵∠OEB＝∠P+∠EBP，∠OBE＝∠OBD+∠EBC，
∴∠P+∠EBP＝∠OBD+∠EBC，
又∠EBP＝∠EBC，
∴∠P＝∠OBD．
∵∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠BOD+∠P＝90°，
∴∠OBP＝90°．
又OB为半径，
故PB是⊙O的切线．
（2）∵AC＝2，
由（1）得OD1，
又PD＝6，
∴PO＝PD+OD＝6+1＝7．
∵∠P＝∠P，∠BDP＝∠OBP＝90°，
∴△BDP∽△OBP．
∴，即BP2＝OP DP＝7×6＝42，
∴BP．
∴OB．
故⊙O的半径为．
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