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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练高频考点突破
圆的切线的证明及圆中阴影部分面积的计算
1．如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若，⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
2．如图，已知AB为⊙O的直径，DC平分∠ADB，交⊙O于点C，交AB于点F，∠CAD＝75°．延长AB至点E，使BE＝BD，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
3．如图，AB，BC分别与⊙O相切于E，F两点，点G是圆上一点，直线CD过点G，且CD∥AB，CD交BC于C点，且BE+CG＝BC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若OB＝6，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积（保留根号和π）．
4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且D为弧BC中点，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠DAB＝30°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．
5．如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，C是劣弧的中点，过点C作AD的垂线，分别交AD，AB的延长线于E，F两点．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若，求图中阴影部分面积和△AEF面积的比．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．
7．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交BC于点E，且DE＝DC，BE＝4，OE＝2．
（1）∠AOC＝ 　 　 °；
（2）求证：直线CD是⊙O的切线．
（3）求图中阴影部分的面积．
8．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）
9．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D．
（1）过点D作DE∥AB，求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AC＝6，BC＝8，求阴影部分的面积．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且AE平分∠CAB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，G，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）当DB＝BF＝5时，求阴影部分的面积．
12．如图，已知A，B，C为⊙O上的三点，AE为⊙O的直径，AB，AC为弦，AC平分∠BAE，D是AE延长线上一点，连结CD，CE，使得∠DCE＝∠CAE．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若∠BAC＝30°，⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC．
（1）证明：AD是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，∠B＝30°，求阴影部分的面积．
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是AC延长线上一点，过点D作DE⊥AB，DE分别交AB，CB的延长线于点E，F，若点E恰是DF的中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝1，CD，求图中阴影部分的面积．
参考答案
1．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵CD平分∠OCB，
∴∠OCD＝∠BCD，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠BCD＝∠ODC，
∴OD∥BC，
∵DF⊥BC，
∴OD⊥DF，
又∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为3，
∴AB＝6，∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠A，
∴AD＝2BD，
由勾股定理得：AD2+BD2＝AB2，
即（2BD）2+BD2＝62，
∴BD，
∴AD＝2BD，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∵∠ADB＝90°，OD⊥DF，
∴∠ODA+∠ODB＝90°，∠ODB+∠BDE＝90°，
∴∠ODA＝∠BDE，
∴∠A＝∠BDE，
又∵∠ADB＝∠DEB＝90°，
∴△ADB∽△DEB，
∴AD：DE＝BD：BE＝AB：BD，
即，
∴DE，BE，
∵OD∥BC，
∴△BEF∽△ODF，
∴BE：OD＝EF：DF，
即，
∴EF，
∴DF＝EF+DF4，
∴S阴影DF BE．
2．【解答】（1）证明：DC平分∠ADB，交⊙O于点C，交AB于点F，∠CAD＝75°．延长AB至点E，使BE＝BD，连接OD，
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴，
∵，
∴∠ABC＝∠ADC＝45°，
∴∠CAB＝45°，
∵∠CAD＝75°，
∴∠BAD＝∠CAD﹣∠DAB＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∵OB＝OD，
∴OB＝BD，∠ODB＝60°，
又∵BE＝BD，∠ABD＝∠E+∠BDE，
∴，
∴∠ODE＝∠ODB+∠BDE＝60°+30°＝90°，即∠OBE＝90°，
又∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵Rt△ACB中，∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴，则OB＝4，
由（1）可得△OBD是等边三角形，
∴∠OBD＝60°
过点D作DG⊥OB于点G，
∴，
∴，
∴．
3．【解答】（1）证明：连接OE，OF，OG，OC，
∵AB，BC是⊙O的切线，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴BE＝BF，
∵BE+CG＝BC，
∴BE+CG＝BE+CF，
∴CG＝CF．
在△OFC和△OGC中，
，
∵△OFC≌△OGC（SSS），
∴∠OGC＝∠OFC＝90°，
∴OG⊥CD，
∵OG是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°．
∵∠BCD＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝120°，
∴∠EBO＝60°．
∴，
∴，
∴，
．
4．【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∵D为弧BC中点，
∴，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥OD，
∴∠E＝∠ODF＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠DAB＝30°，
∴∠DOF＝2∠DAB＝60°，
在Rt△ODF中，DO＝2，
∴DF＝OD tan60°＝2，
∴阴影部分的面积＝△ODF的面积﹣扇形BOD的面积
OD DF
2×2π
＝2π，
∴阴影部分的面积为2π．
5．【解答】（1）证明：∵C是劣弧的中点，
∴，
∴∠CAD＝∠CAB，
∵OA＝OC，
∴CAB＝∠ACO，
∴∠CAE＝∠ACO，
∴OC∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OC⊥EF，
∵OC是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵C是劣弧的中点，
∴，
∴CD＝BC，
∵，
∴DE，
∴∠DCE＝30°，
∴∠CDE＝60°，
∴∠ABC＝∠CDE＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠F＝30°，
∴∠EAF＝60°，
∴∠DAC＝∠DCA＝30°，
∴，
∴AD＝CD，图中阴影部分面积＝△CDE的面积，
∵，
∴AD＝CD＝BC，
∴DE，
∵∠CAO＝∠ACD＝30°，
∴CD∥AF，
∴△CDE∽△FAE，
∴（）2，
∴图中阴影部分面积和△AEF面积的比为1：9．
6．【解答】（1）证明：如图1，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AB∥CF，
∴∠ABC＝∠FCB，
∴∠ACB＝∠FCB，
在△DCB和△FCB中，
，
∴△DCB≌△FCB（SAS），
∴∠F＝∠CDB＝90°，
∵AB∥CF，
∴∠ABF+∠F＝180°，
∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF，
∵AB为直径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接BD、OE交于点M，连接AE，
∵AB是直径，
∴AE⊥BC，AD⊥BD，
∵∠BAC＝45°，AD＝4，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AD＝4，AB4，
∴OA＝OB＝2，
∴OE是△ADB的中位线，
∴OE∥AD，
∴∠BOE＝∠BAC＝45°，OE⊥BD，，
∴BMBD4＝2，
∴S阴影部分＝S扇形BOE﹣S△BOE
2
．
7．【解答】（1）解：∵OD⊥AB交BC于点E，
∴∠BOE＝90°，
∵BE＝4，OE＝2，
∴sinB，
∴∠B＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝60°．
（2）证明：∵∠BOE＝90°，∠B＝30°，
∴∠CED＝∠OEB＝90°﹣∠B＝60°，
∵DE＝DC，
∴∠DCB＝∠CED＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B＝30°，
∴∠OCD＝∠DCB+∠OCB＝90°，
∵OC是⊙O的直径，且CD⊥OC，
∴直线CD是⊙O的切线．
（3）解：设OD交⊙O于点F，
∵∠OCD＝∠BOE＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠COD＝180°﹣∠BOE﹣∠AOC＝30°，
∴OD＝2CD，
∵OCCD，且OC＝OB2，
∴CD＝2，
∴CD＝2，
∴S阴影＝S△COD﹣S扇形COF222，
∴阴影部分的面积是2．
8．【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵AO＝DO，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥OD，
∵∠ACD＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC与⊙O相切；
（2）解：连接OE，ED，OE与AD交于点M．
∵∠BAC＝60°，OE＝OA，
∴△OAE为等边三角形，
∴∠AOE＝60°，AE＝AO＝OE，
∴∠ADE＝30°，
又∵∠OAD∠BAC＝30°，
∴∠ADE＝∠OAD，
∴ED∥AO，
由（1）得：AC∥OD，
∴四边形OAED是平行四边形，
∵AE＝AO，
∴平行四边形OAED是菱形，
∴OE⊥AD，且AM＝DM，EM＝OM，
∴S△AEDS△AOD，
∴阴影部分的面积＝S扇形ODEπ．
9．【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴，
∴，
又∵DE∥AB，
∴∠ODE＝∠BOD＝90°，
∴DE⊥OD，
又∵OD是半径，
∴DE为⊙O的切线．
（2）解：由题意可得：，
∴，
∵∠AOD＝90°，
．
10．【解答】（1）证明：连接OE、OD，如图：
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠OAD＝∠B＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠DOE＝∠EOF∠DOF＝45°，
∴∠OEB＝180°﹣∠EOF﹣∠B＝90°
∴半径OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线，
（2）解：由（1）知：OE⊥BC，∠B＝45°，
∴△OEB是等腰三角形，
设BE＝OE＝2，
∴S阴影＝S△OEB﹣S扇形OEF2×22．
11．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：∵BD＝BF＝5，
∴∠BDF＝∠BFD，
∵OD⊥EF，
∴∠ODF＝90°，
∴∠ODB+∠BDF＝90°＝∠DOB+∠F，
∴∠ODB＝∠BOD，
∵∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠OBD＝∠BOD＝60°，
∴OB＝OD＝5，∠F＝∠BDF＝30°，
∴OF＝10，
∴DF5，
∴S阴影＝S△ODF﹣S扇形OBD
5×5
．
12．【解答】（1）证明：∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵OE＝OC，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵∠DCE＝∠CAE，
∴∠OCD＝∠OCE+∠DCE＝∠OEC+∠CAE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
∴CD为⊙O的切线．
（2）解：∵AC平分∠BAE，∠BAC＝30°，
∴∠EAC＝∠BAC＝30°，
∴∠EOC＝2∠EAC＝2×30°＝60°，
∵∠OCD＝90°，OC＝3，
∴CD＝OC tan60°＝33，
∴S阴影＝S△COD﹣S扇形COE3×3，
∴阴影部分的面积是．
13．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠ABC+∠BAC＝90°．
又∵∠CAD＝∠ABC，
∴∠CAD+∠BAC＝90°．
即∠DAB＝90°，
∴DA⊥AB，
∵OA是半径，
∴直线AD与⊙O相切．
（2）解：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
又∵AC＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝2AC＝12，
∴BC6，
∴18，
∴，
∴阴影部分的面积＝S扇形BCO﹣S△BCO12π﹣9．
14．【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DCF＝180°﹣∠ACB＝90°
∵点E是DF的中点，
∴CE＝DEDF，
∴∠DCE＝∠D，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠A+∠D＝90°，
∴∠OCA+∠DCE＝90°，
∴∠OCE＝180°﹣（∠OCA+∠DCE）＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
由（1）知：∠DCF＝90°，
∵BC＝1，CD，
∴tan∠CDB，
∴∠CDB＝30°，
∴∠CBD＝90°﹣∠CDB＝60°，
∵DE⊥AB，E是DF的中点，
∴BD＝BF，
∴∠BDF＝∠F∠CBD＝30°，
∴∠ADE＝∠CDB+∠BDF＝60°，
∵CE＝DE，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠AED＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ADE＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OCB是等边三角形，
∴OC＝OB＝BC＝1，
∴S扇形COB，
∵S△OCECE OC1，
∴阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形COB，
∴阴影部分的面积为．
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