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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练高频考点突破圆的切线的证明
1．如图，在Rt△ABC中，E为斜边AB上的一点，经过点E的⊙O与AC交于点D，连接DO，DE．若ED∥BC，∠CDO＝∠B．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若OD＝BE＝5，DE＝6，求AC的长．
2．如图，BE是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，延长BE至点C，连接AC，∠EAC＝∠ABC．
（1）求证：CA是⊙O的切线；
（2），BC＝10，求⊙O的半径．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC边上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，在BC边上取一点F，连接FD，使得DF＝BF．
（1）求证：DF为半圆O的切线；
（2）若AC＝6，BC＝4，CF＝1，求半圆O的半径长．
4．如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相交于点E，∠DAB的平分线交⊙O于点C，∠ADC＝90°，连DO、AC相交于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，求cos∠DAB的值．
5．△ABC中，AB＝BC，点D为AC中点，过点D作DE⊥BC于点E，点O在ED的延长线上，以O为圆心，OD为半径的圆经过点A．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAC＝0.6，DE＝1，求BC的长．
6．如图，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，PA＝PC＝AB，连接PO交AC于点D．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，求AB的长．
7．如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．
（1）求证：直线BE是⊙O的切线；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
8．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AD及BE的长．
9．如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若，BP＝4，求CD的长．
10．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝3，DE＝4，求⊙O的半径的长．
11．如图，AB是⊙O的直径，PB⊥AB，过点B作BC⊥OP交⊙O于点C，垂足为D，连接PC并延长与BA的延长线交于点M．
（1）求证：PM是⊙O的切线；
（2）若OD＝2，OP＝18，求的值．
12．如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，过点A的切线与弦BD的延长线交于点C，过点D的直线交线段AC于点E，且DE＝CE．
（1）求证：直线DE与⊙O相切；
（2）已知⊙O的半径是4，∠B＝30°，求阴影部分的面积．
13．如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，AC＝8，求DC与PC的值．
14．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，AB＝20，CD＝12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD＝2∠B．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求EF的长．
15．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在BA的延长线上，∠DCA＝∠CBA．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）点G是半径OB上的点，过点G作OB的垂线与BC交于点F，与DC的延长线交于点E，若sinD，DA＝FG＝2，求CE的长．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝BC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AD，AE＝1，求的长．
参考答案
1．【解答】（1）证明：∵ED∥BC，∠C＝90°，
∴∠AED＝∠B，∠CDE＝90°，
又∵∠CDO＝∠B，
∴∠AED＝∠CDO，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∴∠AED+∠OED＝∠CDO+∠ODE＝90°，即∠AEO＝90°，
又∵OE是半径；
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：由（1）知∠GDE＝90°，OD＝BE＝5，DE＝6，如图，延长DC交⊙O于点G，连接OG，
∴EG是直径，即O、E、G三点共线，
∴EG＝2OD＝2×5＝10，
在直角三角形DEG中，DE＝6，
由勾股定理得：8，
∴，
又∵∠AEG＝90°，
∴，
∴，
∵OD＝OG，
∴∠G＝∠CDO，
又∵∠CDO＝∠B，
∴∠G＝∠B，
∴，
在Rt△ABC中，．
2．【解答】（1）证明：连接OA，
∵OA＝OB，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝∠2+∠OAE＝90°，
∴∠3+∠OAE＝90°，
∴∠OAC＝90°，即OA⊥AC，
∵OA是半径，
∴CA是⊙O的切线；
（2）解：如图：
由题意可得：∠1＝∠D，
∵∠BAE＝90°，
∴，
∵∠1＝∠3，∠C＝∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴，
∴，
∴AC＝6，，
∴，
∴．
3．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠A，
∵DF＝BF，
∴∠FDB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠ODA+∠FDB＝∠A+∠B＝90°，
∴∠ODF＝180°﹣（∠ODA+∠FDB）＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD，
∴DF是半圆O的切线．
（2）解：连接OF，设半圆O的半径长为r，
∵AC＝6，BC＝4，CF＝1，
∴DF＝BF＝BC﹣CF＝4﹣1＝3，OC＝AC﹣OA＝6﹣r，
∵∠ODF＝∠C＝90°，
∴OD2+DF2＝OC2+CF2＝OF2，
∴r2+32＝（6﹣r）2+12，解得r，
∴半圆O的半径长是．
4．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∴∠ADC+∠OCD＝180°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴半径OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过O作OH⊥AD于H，
由（1）知：OC∥AD，
∴△OCF∽△DAF，
∴OC：AD＝CF：AF＝3：4，
∴令OC＝3x，AD＝4x，
∴OA＝OC＝3x，
∵∠ADC＝∠OCD＝∠OHD＝90°，
∴四边形DCOH是矩形，
∴DH＝OC＝3x，
∴AH＝AD﹣DH＝x，
∴cos∠DAB．
5．【解答】（1）证明：连接OA，如图，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠C+∠CDE＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠ODA＝∠CDE，
∴∠OAD+∠BAC＝∠C+∠CDE＝90°，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，如图，
∵AB＝BC，点D为AC中点，
∴BD⊥AC，
∴∠CDE+∠BDE＝∠CDE+∠C＝90°，
∴∠BDE＝∠C＝∠BAC，
∵sin∠BAC＝0.6，
∴sin∠BDE，
∴BE＝0.6BD，
∵BD2﹣BE2＝DE2，DE＝1，
∴BD2﹣（0.6BD）2＝1，
∴BD，
∴BC．
6．【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥OA．
∴∠PAO＝90°．
∵OC＝OA，PC＝PA，OP＝OP．
∴△POC≌△POA（SSS）．
∴∠PCO＝∠PAO＝90°．
∴PC⊥OC．
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵∠PDA＝∠ACB＝90°，∠APD＝∠BAC．
又∵PA＝AB，
∴△PAD≌△ABC（AAS）．
∴AD＝BC＝2，AC＝2AD＝4．
∴．
7．【解答】（1）证明：∵CD与⊙O相切于点D，
∴CD⊥OD，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵OE∥AD交CD于点E，
∴∠BOE＝∠OAD，∠DOE＝∠ODA，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵OB＝OD，OE＝OE，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∵OB是⊙O的半径，且BE⊥OB，
∴直线BE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ODC＝90°，
∴CD2+OD2＝OC2，
∵CA＝2，CD＝4，OD＝OA，
∴42+OA2＝（2+OA）2，
∴OB＝OD＝OA＝3，
∴BC＝CA+OA+OB＝2+3+3＝8，
∵DE与⊙O相切于点D，BE与⊙O相切于点B，
∴DE＝BE，
∵∠B＝90°，
∴BC2+BE2＝CE2，
∴82+DE2＝（4+DE）2，
解得DE＝6，
∴DE的长是6．
8．【解答】（1）证明：连接OD，
由角平分线定义可知∠ACD＝∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵AB为⊙O的直径，
∴，
∴OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
由条件可知∠ACD＝∠BCD，
∴，
∴，
∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD＝∠ACD，
又四边形ACBD内接于⊙O，
∴∠CAD＝∠DBE，
∴△BDE∽△ACD，
∴，
∴，
∴，
∴，．
9．【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠OAE＝∠DAE，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠DAE＝∠OEA，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AC，
∴OE⊥PD，
∵OE是⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线；
（2）解：∵，BP＝4，OB＝OE，
∴，
∴OE＝2，
∴AB＝2OE＝4，
∴AP＝AB+BP＝8，
在Rt△APD中，sin∠P，
∴ADAP，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠AEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝AE，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB＝AC＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝4，
∴CD的长为．
10．【解答】（1）证明：连接OC，
∵点C为弧BF的中点，
∴弧BC＝弧CF．
∴∠BAC＝∠FAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC．
∴∠OCA＝∠FAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：由勾股定理得AD5，
∵∠OCD＝∠AEC＝90°，
∠D＝∠D，
∴△OCD∽△AED，
∴，
即，
解得r，
∴⊙O的半径长为．
11．【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OB，BC⊥OP，
∴∠COP＝∠BOP，
∵OP＝OP，
∴△PBO≌△PCO（SAS），
∴∠OCP＝∠OBP，
∵PB⊥AB，
∴∠ABP＝90°，
∴∠OCP＝90°，
∴PM是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，
∵∠OCP＝∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝∠CPO，
∴△OCD∽△OPC，
∴，
∴OC2＝OD OP，
∵OD＝2，OP＝18，
∴OC＝6，PD＝OP﹣OD＝16，
∴，
∴，
∴4，
∵∠ACM+∠ACO＝∠OCD+∠ACO＝90°，
∴∠ACM＝∠OCD，
∴∠ACM＝∠CPO，
∴AC∥OP，
∴△ACM∽△OPM，
∴，
∴．
12．【解答】（1）证明：连接OD、AD，则OD＝OA，
∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，
∴∠ADB＝90°，AC⊥AB，
∴∠ADC＝∠BAC＝90°，
∴∠EDA＝∠EDC＝90°，∠EAD+∠C＝90°，
∵DE＝CE，
∴∠EDC＝∠C，
∴∠EDA＝∠EAD，
∵∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODE＝∠ODA+∠EDA＝∠OAD+∠EAD＝∠BAC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE与⊙O相切．
（2）解：∵∠EDC＝∠C，∠EDA＝∠EAD，
∴CE＝AE＝DEAC，
∵⊙O的半径是4，∠B＝30°，
∴OD＝OA＝OBAB＝4，AB＝8，∠AOD＝2∠B＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OD＝4，∠BAD＝60°，
∴BD4，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∴AC＝2CD，
∵ADCD＝4，
∴CD，
∵S△ABD4×48，S△ACD4，
∴S△AODS△ABD＝4，S△AEDS△ACD，
∵S扇形AOD，
∴S阴影＝S△AOD+S△AED﹣S扇形AOD＝4，
∴阴影部分的面积为．
13．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PD，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝6，AC＝8，
∴，
∵BD＝CD，
∴，
∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD．
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△ABD∽△DCP，
∴，即，
∴．
14．【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO，
∴∠AOC＝∠B+∠BCO＝2∠B，
∵AB⊥CD，
∴∠CEO＝90°，
∴∠COE+∠OCE＝90°，
∵∠FCD＝2∠B，
∴∠FCD＝∠COE，
∴∠FCD+∠OCE＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，
∴CECD＝6，
∵AB＝20，
∴OC＝10，
∴OE8，
∵∠OCF＝∠OEC＝90°，∠COE＝∠FOC，
∴△OCE∽△OFC，
∴，
∴，
∴OF，
∴EF＝OF﹣OE8．
15．【解答】解：（1）证明：连接OC
∵OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠DCA＝∠OBC，
∴∠DCA＝∠OCB，
而AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DCA+∠OCA＝∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴DC是⊙O的切线，
（2）设OC＝OA＝r，
∵，
∴，
∴r＝8，
∴OC＝OA＝8，
在 Rt△OCD 中，，
∵∠DCA+∠ECF＝∠BFG+∠CBA＝90°，
∴∠ECF＝∠BFG，
又∵∠BFG＝∠EFC，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EC＝EF，设EC＝EF＝x，
∵∠D＝∠D，∠DCO＝∠DGE，
∴△DOC∽△DEG，
∴，则 ，
解得：x＝14，
经检验x＝14是所列方程的解，
∴CE＝14．
16．【解答】（1）证明：连接OD，
在△OBD和△OBC中，
，
∴△OBD≌△OBC（SSS），
∴∠ODB＝∠OCD＝90°，
∴OD⊥AB，
∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为R，
在Rt△OAD中，AD，AE＝1，AO＝AE+OE＝1+R，OD＝R，AD2+OD2＝AO2，
∴（）2+R2＝（1+R）2，
解得R＝1，
∴OD＝1，
∴tan∠AOD，
∴∠AOD＝60°，
∴∠COD＝120°，
由（1）知△OBD≌△OBC，
∴∠BOD＝∠BOC∠COD＝60°，
∴的长．
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