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沪科版七年级下册期中摸底检测卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．与的关系是（　　）
A．相等 B．互为相反数
C．前式是后式的倍 D．前式是后式的a倍
4．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
5．网络正朝着网络多元化、宽带化、综合化、智能化的方向发展，2019 年被称为中国的元年，如果运用技术，下载一个的短视频大约只需要秒，将数字用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
6．若关于的一元一次不等式，则的值（　　）
A． B．1或 C．或 D．
7． 设a，b是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：
①，②，③，④.
其中推断正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③
8． 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（　　）
A．512 B．128 C．64 D．32
9．若a、b均为正整数，且 ，则a+b的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．下列说法错误的是（　　）
A．2的平方根是
B．的立方根是
C．10是100的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 计算：　 　．
12．已知实数a，b满足，，则的值为　 　．
13．已知则　 　.
14．计算：﹣3a （4b）＝　 　．
15．已知，则的值为　 　.
16． 的平方根是　 　．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知，，求：
（1） 的值；
（2） 的值
18．已知一个正数x的两个平方根分别是和.
（1）求a和x的值．
（2）求的立方根．
19．
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
20．
（1）计算：；
（2）已知，求x的值．
21．求值：
（1）求x的值：．
（2）已知2（x﹣1）3+54＝0，求x的值．
22．每年的4月22日是世界地球日．某校为响应“携手为保护地球投资”的号召计划购入两种规格的分类垃圾桶，用于垃圾分类．若购买A种垃圾桶30个和B种垃圾桶20个共需1020元；若购买A种垃圾桶50个和B种垃圾桶40个共需1860元．
（1）两种垃圾桶的单价分别是多少元？
（2）若该校最多有4360元用于购买这两种规格的垃圾桶共200个，则B种垃圾桶最多可以买　 　个．
23．小明同学用4张长为x，宽为y的长方形，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠、没有空隙）.
（1）通过计算小正方形的面积，写出，，三者的等量关系；
（2）利用（1）中的结论，试求：当，，求图中小正方形的边长.
24．为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分.
（1）列二元一次方程组解决下列问题：
若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为81分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定多赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
25．在实数范围内定义一种新运算“★”其运算规则为，.
（1）若，则　 　．
（2）求不等式的负整数解．
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沪科版七年级下册期中摸底检测卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、x2+x+1不能分解因式，故此选项不符合题意；
B、x2+2x-1不能在有理数范围内分解因式，故此选项不符合题意；
C、x2-1只能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
D、81+18x+x2=92+2×9x+x2=（9-x）2，能用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】一个三项式满足：①有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，②剩下的第三项是两完全平方项底数乘积的2倍，符号可正可负，那么这个三项式就能使用完全平方公式分解因式，据此一一判断得出答案.
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．，故本选项不合题意；
C．，故本选项符合题意；
D： ，故本选项不合题意．
故答案为：C．
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘法运算法则，同底数幂的乘除法法则逐一判断即可．
3．与的关系是（　　）
A．相等 B．互为相反数
C．前式是后式的倍 D．前式是后式的a倍
【答案】B
【解析】【解答】解：，，而，因此这两个数互为相反数.
故答案为：B.
【分析】对两个代数式分别去括号，对比发现相加和为0，则表明互为相反数.
4．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，即，而解集为 ，
∴m＜0，且，即m=5n，且n＜0.
∴ 转化为6nx＞-4n.
∵n＜0，
∴6x＜-4，即.
故答案为：C.
【分析】解题的关键在于利用条件知道m，n的数量关系，以及m，n的符号.
5．网络正朝着网络多元化、宽带化、综合化、智能化的方向发展，2019 年被称为中国的元年，如果运用技术，下载一个的短视频大约只需要秒，将数字用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：小数点移动到第1个不为0的数字4后，共移动了5位，则结果为4.8×10-5.
故答案为：A.
【分析】科学记数法形式： a×10n （）.原数为大于0小于1的小数，故a为4.8，n为负数，又因小数点移动了5为，则为-5.
6．若关于的一元一次不等式，则的值（　　）
A． B．1或 C．或 D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 由条件可知，解得.
故答案为：C.
【分析】 是关于x的一元一次不等式，则必须满足次数为1.
7． 设a，b是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：
①，②，③，④.
其中推断正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③
【答案】D
【解析】【解答】解：① a*b=(a-b)2=(b-a)2=b*a，故①符合题意；
②(a*b)2=(a2-2ab+b2)2≠(a2-b2)2，故②不符合题意；
③a*(b-c)=(a-b+c)2，(b-c)*a=(b-c-a)2=(a-b+c)2，故③符合题意；
④a*(b+c)=(a-b-c)2=(a-b)2-2(a-b)c+c2=a2+b2+c2-2ab-2ac-2bc，
a*b+a*c=(a-b)2+(a-c)2=2a2+b2+c2-2ab-2ac，
故④不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据新运算计算，根据完全平方差公式计算各式，即可求得.
8． 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（　　）
A．512 B．128 C．64 D．32
【答案】B
【解析】【解答】解：(29+29+53)÷3=37，即最后三只袋中球的个数相同，
∴ 甲袋：29-2x+2x+2y=37，
丙袋：53+2y-2x-2y=37，
∴ 2y=8，2x=16，
∴ 2x+y=2x·2y=8×16=128.
故答案为：B.
【分析】先计算出最后袋中球的个数，再据此得到2y=8，2x=16，最后计算2x+y的值即可.
9．若a、b均为正整数，且 ，则a+b的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：a、b均为正整数，且 ，
∴a的最小值是3，
b的最小值是：1，
则a+b的最小值4．
故选B．
【分析】本题需先根据已知条件分别求出a、b的最小值，即可求出a+b的最小值．
10．下列说法错误的是（　　）
A．2的平方根是
B．的立方根是
C．10是100的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
【答案】A
【解析】【解答】A：2的平方根是，算术平方根是，说法错误
B：的立方根是，正确
C：10是100的一个平方根，正确
D：算术平方根是本身的数只有0和1，正确
故选：A
【分析】一个正数的平方根是2个，一正一负。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 计算：　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据单项式乘单项式法则计算，即系数-2与系数1相乘，字母与字母相乘，最后将结果相乘即可.
12．已知实数a，b满足，，则的值为　 　．
【答案】497
【解析】【解答】解：，，
，
．
故答案为：497．
【分析】展开代入可得，然后把变为，再整体代入计算解题．
13．已知则　 　.
【答案】2
【解析】【解答】解：，
∴2m+3=7，
解得：m=2，
故答案为：2.
【分析】利用同底数幂的乘方及幂的乘方的计算方法可得，即可得到2m+3=7，最后求出m的值即可.
14．计算：﹣3a （4b）＝　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【点睛】根据单项式乘单项式的运算法则解题即可．
15．已知，则的值为　 　.
【答案】9
【解析】【解答】解：由已知得m+2n=2，同时3m ·9n=3m ·32n=3m+2n=32=9
故答案为：9.
【分析】将9n化为以3为底的幂，即可运用同底数幂运算的规则进行计算.
16． 的平方根是　 　．
【答案】±
【解析】【解答】解： = 的平方根是：± ．
故答案为：± ．
【分析】首先化简二次根式，进而利用平方根的定义得出答案．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知，，求：
（1） 的值；
（2） 的值
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： ，
∵ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）由于10m-n=10m÷10n，代入计算可得 ，继而得解；
（2）将原式化为 ，由（1）知m-n=2，将其代入计算即可.
18．已知一个正数x的两个平方根分别是和.
（1）求a和x的值．
（2）求的立方根．
【答案】（1）解：根据题意得：
解得
∴
∴
（2）解：∵
∴
【解析】【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得3a+2+a+14=0，求出a的值，然后求出3a+2的值，进而可得正数x的值；
（2）根据x的值求出x-36的值，然后利用立方根的概念进行计算.
19．
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）解：∵ ，
∴
=24；
（2）解：∵
∴
∴
即
∴
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘除法法则可得32m-3n+1=(3m)2÷(3n)3×3，然后将已知条件代入进行计算；
（2）给已知条件两边同时除以x可得x-=-1，给两边同时平方可得x2+-2=1，据此不难得到x2+的值.
20．
（1）计算：；
（2）已知，求x的值．
【答案】（1）解：
（2）解：，
或
解得：或
【解析】【分析】（1）先利用绝对值的性质化简，再利用二次根式的混合运算求解即可；
（2）利用直接开平方法求解即可。
21．求值：
（1）求x的值：．
（2）已知2（x﹣1）3+54＝0，求x的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用平方根的计算方法求解即可；
（2）利用立方根的计算方法求解即可。
22．每年的4月22日是世界地球日．某校为响应“携手为保护地球投资”的号召计划购入两种规格的分类垃圾桶，用于垃圾分类．若购买A种垃圾桶30个和B种垃圾桶20个共需1020元；若购买A种垃圾桶50个和B种垃圾桶40个共需1860元．
（1）两种垃圾桶的单价分别是多少元？
（2）若该校最多有4360元用于购买这两种规格的垃圾桶共200个，则B种垃圾桶最多可以买　 　个．
【答案】（1）解：设A种垃圾桶的单价是x元，B种垃圾桶的单价是y元，依题意得
，
解得．
答：A种垃圾桶的单价18元，B种垃圾桶的单价是24元．
（2）126
【解析】【解答】解：（2）设B种垃圾桶可以买m个，则A种垃圾桶可以买（200 m）个，依题意得
24m＋18（200 m）≤4360，
解得：m≤，
∵m为整数，
∴B种垃圾桶最多可以买126个．
故答案为：126
【分析】（1）设A种垃圾桶的单价是x元，B种垃圾桶的单价是y元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设B种垃圾桶可以买m个，则A种垃圾桶可以买（200 m）个，根据题意列出不等式24m＋18（200 m）≤4360求解即可。
23．小明同学用4张长为x，宽为y的长方形，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠、没有空隙）.
（1）通过计算小正方形的面积，写出，，三者的等量关系；
（2）利用（1）中的结论，试求：当，，求图中小正方形的边长.
【答案】（1）解：大正方形的面积为（x+y）2，
四周四个小长方形的面积为4xy，
中间小正方形的面积为（x-y）2，
（2）解：由图可知小正方形的边长为，
由（1）知，，，
∴，
∵，
∴.
【解析】【分析】（1）由题意可得：大正方形的面积为(x+y)2，四周四个小长方形的面积为4xy，中间小正方形的面积为(x-y)2，然后根据面积间的和差关系可得三者之间的关系；
（2）由图可知小正方形的边长为x-y，由（1）知(x+y)2-4xy=(x-y)2，将x+y=6、xy=5代入进行计算可得x-y的值.
24．为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分.
（1）列二元一次方程组解决下列问题：
若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为81分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定多赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
【答案】（1）解：设该参赛同学一共答对了道题，答错了道题，由题意得：
，解得：；
答：该参赛同学一共答对了21道题.
（2）解：设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了道题，
依题意得：，
解得：.
答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“学党史小达人”.
【解析】【分析】（1）设该参赛同学一共答对了x道题，答错了y道题，根据一共有25道题可得x+y+1=25，根据最后他的总得分为81分可得4x-y=81，联立求解即可；
（2）设参赛者需答对a道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了（25-a）道题，根据答对的分数-答错的分数≥92列出关于a的不等式，求解即可.
25．在实数范围内定义一种新运算“★”其运算规则为，.
（1）若，则　 　．
（2）求不等式的负整数解．
【答案】（1）8
（2）解：由题意得：
整理得：
去括号得：
解得：
∴原不等式的负整数解是
【解析】【解答】（1）解：
整理得：
去括号得：
解得：
故答案为：8
【分析】（1）根据新运算的运算规则计算可得方程，解之即可；
（2）根据新运算的运算规则计算可得不等式，解之求出解集，再求出负整数解。
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