资源简介

贵州师大附中 2024-2025 学年高一（下）3 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ∈ ，则“ < 2”是“log2( + 2) < 2”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知向量 ， ， ，满足 + 与 互为相反向量，| | = 2，| | = 1， = 1，则| | =( )
A. 2 B. 7 C. √ 2 D. √ 7
3.已知 = 0.20.5， = 0.20.6， = log 0.2，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
4.在△ 中，已知 2 + 2 = 2，且 = ，则△ 的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形
C. 有一个角为60°的直角三角形 D. 等边三角形
5.已知点 ， ， 在△ 所在平面内，满足 = = , | | = | | = | |，并且 +
+ = 0 ，则点 ， ， 依次是△ 的( )
A. 垂心，重心，外心 B. 内心，重心，外心 C. 垂心，外心，重心 D. 内心，外心，
重心
6.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，
从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形 的边长为4， 是正八边形
内的动点(含边界)，则 的取值范围为( )
第 1 页，共 7 页
A. [ 8√ 2, 16 + 8√ 2] B. [ 8,16]
C. [ 8√ 2, 24 + 8√ 2] D. [ 8,24]
1
7.在△ 中， = 1， = 2，∠ = 120°. 为 的中点， 为 上一点，且 = + ，则
3
| | =( )
√ 3 √ 7 √ 13 √ 21
A. B. C. D.
3 3 3 3
2 1
8.已知函数 ( ) = ， ∈ [ 10,10]， ( ) = + ， ∈ [ 10,10]. ( )与 ( )图象共有 个不同的交2 +1 2
点( 1, 1)，( 2, 2)， ，( , )，则 1 + 2+. . . + 1 + =( )
9 19
A. 9 B. C. 19 D.
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若{ 1 , 2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是( )
1
A. { 1 2 2 , 1 + 2 2} B. {2 1 + 2 , 1 + 2 2}
C. {3 1 + 2 2 , 6 1 + 4 2} D. { 1 2 2 , 1 + 3 2}
10.下列说法不正确的是( )
A. 若 ≠ 0 , ≠ 0 , // ，则 与 的方向相同或者相反

B. 若 ， 为非零向量，且 = ，则 与 共线
| | | |
C. 若 // ，则存在唯一的实数 使得 =
D. 若 1 , 2是两个单位向量，且| 1 2| = 1，则| 1 + 2 | = √ 2
11.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是( )
A. 若 + + > 0，则△ 一定为锐角三角形
B. 若 > 0，则△ 是锐角三角形
C. 若 > ，则 >
D. 若 = 60°， = 3， = 2√ 2，则△ 有两解
三、填空题：本题共 3 小题，共 20 分。
1
12.已知平面向量 ， ，| | = 3，向量 在向量 上的投影向量为 ，则 = ______．
6

13.若函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )的部分图像如图所示，则函数 = ( )的解析式为
2
______．
第 2 页，共 7 页
1
14.在正方形 中，边长为1. 为线段 的三等分点， = ， = + ，
2
则 + = ______；若 为线段 上的动点， 为 中点，则 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
64 1 1
(1)计算：( ) 3 + 535 514 5 ； 27 10
3
sin( + )cos( )
(2)已知 ( ) = 2 2 ，且 ( ) = 1，求 2 5 2 的值．
cos( )sin( )
2
16.(本小题12分)
已知平面向量 = (1, ), = (2 + 3, ), = ( 3,5), ∈ ．
(1)若 ⊥ ，求 的值；
(2)若 // ，求|2 |的值．
(3)若 与 的夹角是钝角，求 的取值范围．
17.(本小题12分)

养殖户承包一片靠岸水域，如图 ， 为直岸线， = 2 ， = 3 ，∠ = ，该承包水域的水
3
2
面边界是某圆的一段弧 ，过弧 上一点 按线段 和 修建养殖网箱，已知∠ = ．
3
(1)求岸线上点 与点 之间的直线距离；
(2)如果线段 上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段 上的网箱每千米可获得4万元的经济收益.
记∠ = ，设两段网箱获得的经济总收益为 万元，求 的取值范围．
第 3 页，共 7 页
18.(本小题12分)
已知 = (√ 3 , ), = ( , ), ( ) = ．
(1)求函数 ( )图象的对称轴方程；
(2)求函数 ( )单调递增区间；
1
(3)设△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ( ) = 且 = √ 3.求△ 面积的最大值．
2
19.(本小题12分)
如图，设 ， 是平面内相交成 角的两条数轴， 1， 2分别是与 轴、 轴同方向的单位向量．若向量 =
1 + 2，则把有序数对( , )叫做 在斜坐标系 中的坐标．
(1)若 = (1,2), = (2, )， // ，求 ；
(2)若 = 60°， = (1,2)， = ( 1,1)，求 在 上的投影向量斜坐标；
(3)若 = (1,1)， = (3,1)， = (2, 1)，| | ≤ √ 2，求cos2 < , >的最小值．
第 4 页，共 7 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
3
12.【答案】
2
1
13.【答案】 ( ) = 2 ( + )
2 4
4 5
14.【答案】
3 18
64 1 115.【答案】解：(1)( ) 3 + 535 514 5 27 10
4 1 35×10
= ( )3×( )3 +
3 5 14
3
= + 2
4
11
= ；
4
3
sin( + )cos( )
(2)已知 ( ) = 2 2 ，且 ( ) = 1，
cos( )sin( )
2
( )
则 = 1，
( cos ) cos
即 = 1，

则 = ， ∈ ，
4

即 2 5 2 = cos(2 ) 5 (2 ) = 0 5 × ( 1) = 5．
2 2
第 5 页，共 7 页
16.【答案】 1或3；
1或3√ 5；
5 5 3
( ∞, ) ∪ ( , )．
3 3 5
17.【答案】√ 7千米；
(2√ 7,4√ 7)．

18.【答案】 = + , ∈ ；
2 3

[ , + ], ∈ ；
6 3
3√ 3
．
4
19.【答案】解：(1) ∵ = (1,2), = (2, ), // ，
∴ = 1 + 2 2 , = 2 1 + 2，
1 2
∴ = ，即 = 4；
2
(2) ∵ = 60°, = (1,2), = ( 1,1)，
∴ = 1 + 2 2 , = 1 + 2，
1
∴ | 1 | = | 2 | = 1, 1 2 = ， 2
2 2 1 1
= ( 1 + 2 2) ( 1 + 2) = 1 + 2 2 1 2 = 1 + 2 = ， 2 2
2
| | = √ ( 1 + 2)2 = √
2
1 2 1 2 + 2 = 1，
1 1 1 1 1
∴ 在 上的投影向量为 × = ( 1 + 2) = | | | | 2 2 1
+
2 2
= ( , )，
2 2
1 1
即 在 上的投影向量斜坐标为( , )；
2 2
(3) ∵ = (2, 1),| | ≤ √ 2
2 2 2∴ = (2, 1) = 2 1 2 , (2 1 2) = 4 1 4 1 2 + 2 = 5 4 1 2 ≤ 2
3
∴ 1 2 ≥ 4
又 = (1,1) = 1 + 2 , = (3,1) = 3 1 + 2，
∴ = (3 1 + 2) ( 1 + 2) = 4 + 4 1 2 , | | = √ ( 2 21 + 2) = √ 2 + 2 1 2 , | | = √ (3 1 + 2) =
√ 10 + 6 1 2，
2 (4+4
2
) 4+4
∴ cos , = ( )2 = 1 2 = 1 2．
| || | (2+2 1 2 )(10+6 1 2 ) 5+3 1 2
第 6 页，共 7 页
3 2 4+4 令 = 1 2，则 ≥ , cos , = ， 4 5+3
4+4 4 8 3
又 = = ，在 , +∞)上单调递增，
5+3 3 3(5+3 ) 4
2 4+4 28 28∴ cos , = ≥ ，即cos2 , 的最小值为 ．
5+3 29 29
第 7 页，共 7 页

展开更多......

收起↑