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陕西省西安市铁一中学 2024-2025 学年高二（下）月考数学试卷（一）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是( )
A. 两条直线确定一个平面 B. 三点确定一个平面
C. 不共线三点确定一个平面 D. 两条平行直线确定一个平面

2.已知复数 和 ，则下列说法正确的是( )

A. + 一定是实数 B. 一定是虚数

C. 若 + = 0，则 是纯虚数 D. 若 = 0，则 是纯虚数
(2+ ) (2)
3.已知直线 ： = + 1，且与曲线 = ( )切于点 (2,3)，则 → 0 的值为( )

A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
4.下列命题不正确的是( )
1
A. 设 为实数，若直线 ⊥平面 ，且 的方向向量为( , 2,4)， 的法向量为( , 1,2)，则 = 1
2
B. 已知空间向量 = (1,2,0)， = (0, 1,1)， = (2,3, )，若 ， ， 共面，则 = 1
C. 已知两点 (1, 3)， ( 2,1)，若沿 轴将坐标平面折成直二面角，则折叠后 、 两点间的距离为√ 21
1 1 1
D. 在空间四边形 中，设 = ， = ， = ， ， 分别为 ， 的中点，则 = + +
2 2 2

5.已知在各项均为正数的等差数列中，有连续四项依次为 ， ，4 ， ，则 等于( )

5 11 1
A. B. C. D. 4
11 5 4
6.抛掷一枚骰子一次，观察向上一面的点数，将结果记作 ( ∈ {1,2,3,4,5,6})，若事件 = {2,4,6}，事件 =
{4,5,6}，事件 满足 ( ) = ( ) ( ) ( )，则事件 前个数为( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
2 2
7.设 1， 2分别是双曲线 ： 2 2 = 1( , > 0)的左右焦点，过双曲线 上一点 作切线 交 轴于点 ，
若∠ 2 = 30°，∠ 2 = 45°，则该双曲线的离心率是( )
3 √ 5 √ 6
A. B. 2 C. D.
2 2 2
1
8.设等比数列{ }的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足条件 1 > 1， 2019 > 1，
2019
2020 < 2020 1
0，则下列结论中不正确的是( )
A. 2019 < 2020 B. 2019 2021 1 < 0
C. 2020是数列{ }中的最大值 D. 若 > 1，则 最大为4038
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( )是 上的可导函数， ( )的导函数 ′( )的图象如图，则下列
结论不正确的是( )
A. ， 分别是极大值点和极小值点
B. ， 分别是极大值点和极小值点
C. ( )在区间( , )上是增函数
D. ( )在区间( , )上是减函数
10.已知函数 ( ) = ( )2( ≠ 0)，则( )
A. 若 = = 1，则函数 ( ) = ( ) 2有且仅有1个零点
B. 若 ( )在 = 2处取得极值，则 = 2
C. 若 ( )无极值，则 = 0
D. 若 ( )的极小值小于0，则 > 0
11.已知数列{ }，其前 项和为 ，若存在常数 > 0，对任意的 ∈
，恒有| +1 | + | 1| +
+ | 2 1| ≤ ，则称{ }为 数列.则下列说法正确的是( )
A. 若{ }是以1为首项， (| | < 1)为公比的等比数列，则{ }为 数列
B. 若{ }为 数列，则{ }也为 数列
C. 若{ }为 数列，则{ }也为 数列
D. 若{ }，{ }均为 数列，则{ }也为 数列
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.已知等比数列的前 项和为 = ( )
+ ，则 的值为______．
2
13.在△ 中， = 4， = 2，则∠ 的一个取值可以为______．
14.已知 ， ， ∈ (0,1)，且 5 = 5， 4 = 4， 3 = 3，则 ， ， 的大小
关系是______(用“<”号连接)．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{ }满足 1 = 3， +1 = 3 2 + 1．
(1)求证：{ }为等比数列；
1
(2)数列{ }的前 项和为 ，求数列{
+1
}的前 项和 +1
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16.(本小题15分)

已知函数 ( ) = ( ∈ )．

(1)讨论 ( )的单调区间；
1
(2)求 ( )在[ , ]上的最大值 ( )．

17.(本小题15分)
1
梯形 中， // ， 为 上的一点且有 ⊥ ， = = 1， = ，将△ 沿 翻折到
2
△ 使得二面角 的平面角为 ，连接 ， ， 为棱 的中点．
(1)求证： //面 ；
2
(2)当 = ， = √ 7时，求直线 与平面 所成角的正弦值．
3
18.(本小题17分)
2
已知函数 ( ) = + [ ( + 1)ln( + 1)]在( 1,+∞)单调递增．
2
(1)求 的值；
(2)解不等式2 ′( ) 2 < 0( ′( )为函数的 ( )导函数)；
2 1 2 (3)证明：∑ =1 2 < 0( ∈
)．
√ +1
19.(本小题17分)
2 2
已知椭圆 的标准方程为： 2 + 2 = 1( > > 0)，在这个椭圆上取2 ( ≥ 3, ∈ )个点，这些点的坐标分
2 2 2 2
别为 = ( , )， = ( , )，连接 ， = 0，1，…， 1．
1
(1)若直线 0 0的斜率为 ，求椭圆 的离心率； 2
(2)证明△ 的面积为定值，并求多边形 0 1 … 1 0的面积(用 表示)；
2 2 2 2
(3)若 ( √ , 0)， (√ , 0)，线段 的中点为 ，证明：∠ = ∠ ．
2 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 1

13.【答案】 (答案不唯一)
4
14.【答案】 < <
15.【答案】证明：(1) ∵ +1 = 3 2 + 1，
∴ +1 ( + 1) = 3( )，
又 1 = 3，
∴ 1 1 = 2，
∴数列{ }是以2为首项，3为公比的等比数列；
解：(2)由(1)知， = 2 3
1， +1 1 = 2 3
，
1 3
则 +1 = 2 × = 3 1， 1 3 +1 = 3 1，
+1
故 +1
1 2×3 (3 1) (3 1) 1 1
= +1 = +1 = ， +1 (3 1)(3 1) (3 1)(3 1) 3 1 3 +1 1

故数列{ +1
1 1 1 1 1 1 1
}的前 项和 = + + +
2 2 3 +1 +1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
1 1
= +1 ． 2 3 1
16.【答案】解： ( )的定义域是(0,+∞)，

(1) ∵ ( ) = ，∴ ′( ) =
2
，
① > 0时，令 ′( ) > 0，解得： < ，
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令 ′( ) < 0，解得： > ，
故 ( )在(0, )递增，在( , +∞)递减，
② ≤ 0时， ′( ) < 0， ( )在(0,+∞)递减；
综上： > 0时， ( )在(0, )递增，在( ,+∞)递减，
≤ 0时， ( )在(0,+∞)递减；
1 1
(2)由(1) ≤ 时， ( )在[ , ]单调递减，

1
( ) = ( ) = ( ) = 2 ，
1 1
< < 时， ( )在[ , )递增，在( , ]递减，

( ) = ( ) = ( ) = ，
1
≥ 时， ( )在[ , ]上单调递增，


( ) = ( ) = ( ) = ，
1
综上： ≤ 时， ( ) = 2 ，

1
< < 时， ( ) = ，


≥ 时， ( ) = ．

17.【答案】解：(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，
1
因为 // ， = ，
2
1
在△ 中， // ， = ，
2
所以 // ， = ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2) ⊥ ，则 ⊥ 且 ⊥ ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
平面 ⊥平面 ，
在平面 内，过点 作 ⊥ 交 于点 ，
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因为平面 ∩平面 = ，
所以 ⊥平面 ，
以{ , , }为正交基底建立如图坐标系，
1 √ 3 3 √ 3
(0, , )， (0,2,0)， (0, , )， (1,0,0)， (1,1,0)，
2 2 4 4
3 √ 3 = (1, , )，
3 √ 3
= (0,1,0)， = ( 1, , )，
2 2 4 4
设 = ( , , )为平面 的法向量，
= 0
则{ = 0 { √ 3 = (√ 3, 0,4)，
= 0 + = 04
√ 3 √ 57
则|cos , | = | | = 14，
2×√ 19 38
所以 √ 57 = ．
38
18.【答案】 = 1； (0,+∞)； 证明见解析．
1
19.【答案】解：(1) 0( , 0)， 0(0, )，所以直线 0 0的斜率为 ，所以 = ， 2
√ 2 2 1 √ 3
所以椭圆 的离心率 = = √ 1 ( )2 = √ 1 = ．
4 2
2 2
2 2
(2)证明：直线 的方程为 =

2 2
( )，
+

2 2 2 2
化简得 (cos sin ) + (cos + sin ) = 0，


所以原点 到直线 的距离 = ，
√ 2 4 4 (1 sin )+ 2(1+sin )

2 4 4 而| | = √ (1 sin ) + 2(1 + sin )，
1 1
所以 = | | × = ， 2 2
1 2 2( +1) 2( +1) 2
同理可得 = | × ( ) × | +1 2
1 2( +1) 2 1 2
= | [ ]| = ，
2 2
2
所以多边形 0 1…… 1 0的面积为 ． 2
2 2 2 2
(cos sin ) (cos +sin )
(3)证明：设 ( , )，所以 = ， = 0 0 0 ， 2 0 2
2 0 2 2
2 2
所以( ) + ( 0)2
0 = 2，即 01 + 1 2 = 1， 2
2 2
所以 的轨迹方程为一个椭圆， ， 是该椭圆的焦点，
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2
2 √ 2 √ 2
设 0 = √ ， 0 = ， 0 = ， 2 2 2
0 0 0 点 ， 的坐标可化为 ( 0 + , 0 0)， (
0 0 0
0 , 0 + 0)， 0 0 0 0
所以 = (
0 0 , 0 )， 0 = (
0 0 , 0 )，
0 0 0
0
0
又因为 = ( 0 , )， 0 0 = ( 0 0, 0)，
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
| | + ( 0+ )
所以cos∠ =
= 0 0 0 = 0 0 = 0 ，
| ||

| 2 ( + 0 02 )| | | √ ( + 0 |0 0) + 0| |
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
| | + ( ) 0
cos∠ =
= 0 0 0 = 0 0 = 0 ，
| ||

| 2 0 0 √ ( ) + 2| ( )|
| |
0 0 0 |
0
| 0
0
因为| | = | |，所以∠ = ∠ ，
所以∠ = ∠ ．
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