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2024-2025学年河南省南阳市六校高二下学期3月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
2.有一散点图如图所示，在六组数据中去掉点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是( )
A. 样本数据的两变量正相关 B. 相关系数的绝对值更接近于
C. 去掉点后，回归直线的效果变弱 D. 变量与变量相关性变强
3.已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则( )
A. B. C. D.
4.在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量的值为已知，则( )
A. 的值小于，就有的把握认为“温度会影响庄稼生长”
B. 的值大于，就有的把握认为“温度会影响庄稼生长”
C. 的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小
D. 的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大
5.已知数列为等比数列，，，则( )
A. B. C. D.
6.某数列前项依次是，则数列中的值应为( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡年月日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息，若每月月底还银行相同金额的贷款，到年月底全部还清即用个月等额还款，则小胡每个月月底需要还款( )
A. 元 B. 元
C. 元 D. 元
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有( )
A. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线
B. 相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则
C. 由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数一定能确切地反映变量之间的相关关系
D. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大
10.设数列都是等比数列，则下列选项中一定是等比数列的有( )
A. B. C. D.
11.如图，有边长为的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形如此形成一个边长不断缩小的正方形系列，设原正方形的面积为，其后新的正方形面积依次为，则下列表述正确的是( )
A. 数列为等比数列
B.
C. 到第次构成新正方形时，当前所有正方形面积的和为
D. 如果把这一过程无限制地延续下去，则全部正方形面积相加“最终”即极限会达到
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列满足，其前项和为，则 ．
13.摄影胶片绕在盘上，空盘时直径为，满盘时直径为，已知胶片厚度是则满盘时，一盘胶片总长度大约是 以胶片外侧为半径计算，取，精确到
14.如图甲是第七届国际数学教育大会简称的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的已知，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，．
求数列的通项公式；
求．
16.本小题分
在年春晚秧节目中，宇树科技的“福兮”机器人采用人工智能驱动全身运动控制技术，能根据音乐旋律调整舞步，其最大关节扭矩高达牛顿米节目播出后引发公众对机器人技术的兴趣和热情，为了了解不同性别的学生对的关注情况，随机抽取了名学生，调查结果如下表：
关注 不关注 合计
男生
女生
合计
完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为学生对的关注与性别有关？
在这名学生中随机抽取一位，求在关注的情况下，该生为女生的概率．
附：，其中．
17.本小题分
在数列中，已知．
证明：是等比数列；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，．
求数列，的通项公式
当时，记，求数列的前项和．
19.本小题分
已知等比数列的首项为正实数，若，，也构成等比数列，且数列唯一确定．
求数列的通项公式；
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项，，，其中成等差数列成等比数列？若存在，求出这样的项，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，
所以
，
所以数列的通项公式为．
由可得，，
所以
．

16.完成列联表如下：
关注 不关注 合计
男生
女生
合计
则．
因为，所以有的把握认为学生对的关注与性别有关．
设事件：表示关注“关注”，事件表示“该生为女生”．
则，，
所以．
即在这名学生中随机抽取一位，在关注的情况下，该生为女生的概率为．

17.因为，
且，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
由知：．
所以
所以．

18.解：设，由题意可得
解得，或
当时，，；
当时，，；
当时，由知，，
，
，
，
，
．
19.设的公比为，由，，也构成等比数列，
得，解得
由得，故方程必有两个不同的实根，
而唯一，知方程必有一根为，代入得，
从而得，即，
所以数列的通项公式．
数列中不存在项，，成等比数列，理由如下：
由知，则，所以，
所以，
不妨设数列中存在项，，，其中成等差数列成等比数列，则，
所以，即，
又因为成等差数列，所以，
所以，化简得，
所以，又，所以，这与已知矛盾．
所以在数列中不存在项，，成等比数列．

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