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江苏省南京市江浦高级中学文昌校区 2024-2025 学年高二（下）3 月段
考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数 ( ) = ，则 ′( ) =( )
4
√ 2 1 √ 2 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
2.若向量 = (2,2,3)， = ( 1,2,1)， = (0,1,1)，则 ( + ) =( )
A. 5 B. 8 C. 10 D. 12
3.如图， 是四面体 的棱 的中点，点 在线段 上，点 在线段 上，且 =
1 3
， = ，用向量 ， ， 表示 ，则 =( )
2 4
1 1 1A. + +
4 4 4
1 1 1B. + +
3 3 3
1 1 1
C. + +
4 3 3
1 1 1
D. + +
3 4 4
4.已知 = (2, 1,3)， = ( 1,4, 2)， = (7,5, )，若{ , , }不能构成空间的一个基底，则实数 的值为( )
35 65
A. 0 B. C. 9 D.
7 7
5.若函数 ( ) = 3 + 2 + 无极值，则 的取值范围是( )
A. ( √ 3, √ 3) B. [ √ 3, √ 3] C. ( 3,3) D. [ 3,3]
6.在棱长为2的正方体 1 1 1 1中，点 ， 分别为棱 、 1的中点，则点 到直线 的距离为( )
2√ 5 21 √ 115 √ 105
A. B. C. D.
5 5 5 5
1, ≤ 0
7.已知函数 ( ) = {| |, > 0 ，若 ( ) = ( ) 至少有三个不同的零点，则实数 的取值范围是( )
1 1
A. (0, ) B. (0, ] C. (0, ) D. (0, ]


2

8.设1 < < 2，则 = ， = ( )2， = 2 的大小关系是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数的求导运算正确的是( )
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1
A. ( 3 + )′ = 3 2 + 1 B. [ln(2 + 1)]′ =
2 +1
( 1)
C. [sin(2 )]′ = 2 2 D. ( )′ =

1
10.若函数 ( ) = 2 9 在区间[ 1, + 1]上单调，则实数 的取值范围可以是( )
2
A. ≥ 4 B. ≤ 2 C. 1 < ≤ 2 D. 0 < ≤ 3
11.如图，在正方体 1 1 1 1中， 为棱 1的中点， 为正方形 1 1
内一动点(含边界)，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥 1 1 的体积为定值
B. 若 1 //平面 1 ，则动点 的轨迹是一条线段
C. 存在 点，使得 1 ⊥平面 1
D. 若直线 1 与平面 1 1所成角的正切值为2，那么点 的轨迹是以 1为圆心，半棱长为半径的圆弧
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( + 1,0,2 ), = (6, 1,2)，若 // ，则 + 的值是______．
13.若直线 的方向向量为 = (2, 3,√ 3)，向量 = (1,0,0)是平面 的一个法向量，则直线 与平面 所成角
的大小为______．
14.若过点(2, )有三条直线与函数 ( ) = ( 1)3 3 + 1的图象相切，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
9
已知函数 ( ) = 3 2 + 6 ．
2
(1)若 = 0，求 = ( )在(1, (1))处的切线方程；
(2)若方程 ( ) = 0有且仅有一个实数根，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = + 1( ∈ )．
(1)讨论函数 ( )的单调性与极值；
(2)若对任意 > 0， ( ) ≥ 2 恒成立，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
如图，已知 1 1 1 1是底面边长为2的正四棱柱， 1为 1 1与 1 1的交点， 为 与 的交点．
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(1)证明： 1 //平面 1 1；
√ 2
(2)若点 1到平面 1 1的距离为 ，求正四棱柱 1 1 1 2 1的高．
18.(本小题12分)
如图1，等腰直角△ 的斜边 = 4， 为 的中点，沿 上的高 折叠，使得二面角 为60°，
如图2， 为 的中点．
(1)证明： ⊥ ．
(2)求二面角 的余弦值．
(3)试问在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为√ 2？若存在，求出线段 的
10
长度；若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
如图， 是半圆 的直径， 为 中点， ⊥ ，| | = 2，直线 ⊥ ，点 为 上一动点(包括 ，
两点)， 与 关于直线 对称，记∠ = ， ⊥ ， 为垂足， ⊥ ， 为垂足．
(1)记 的长度为 1，线段 长度为 2，试将 = 1 + 2表示为 的函数，并判断其单调性；
(2)记扇形 的面积为 1，四边形 面积为 2，求 = 1 + 2的值域．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
6
12.【答案】
5

13.【答案】
6
14.【答案】( 5, 4)
9
15.【答案】解：(1)当 = 0时， ( ) = 3 2 +6 ，∴ ′( ) = 3 2 9 + 6，
2
∴切线的斜率为 ′(1) = 3 × 12 9 × 1 + 6 = 0
9 5
，又 (1) = 13 × 12 + 6 × 1 = ，
2 2
5 5
∴ = ( )在(1, (1))处的切线方程为 = 0 × ( 1)，即 = ．
2 2
(2) ( ) = 0 3 9若方程 有且仅有一个实数根，即 2 +6 = 0有一根，
2
9
即 ( ) = 3 2 + 6 , ( ) = 两个函数图像只有一个交点，
2
∵ ′( ) = 3 2 9 + 6，令 ′( ) > 0，可得3 2 9 +6 > 0，∴ > 2或 < 1，
∴ ( )在(2,+∞)和( ∞,1)上单调递增，
令 ′( ) < 0，可得3 2 9 + 6 < 0，∴ 1 < < 2，
∴ ( )在(1,2)上单调递减，
∴ ( ) 5的极大值为 (1) = ，极小值为 (2) = 2，如图所示：
2
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5
由图可知当 > 或 < 2时， ( )， = ( ) = 两个函数图像只有一个交点，
2
故方程 ( ) = 0有且仅有一个实数根，
5
实数 的取值范围为( ,+∞) ( ∞,2)．
2
16.【答案】解：(1) ∵ ( ) = + 1，∴对函数求导可得 ′( ) = ．
①当 ≤ 0时， ′( ) = > 0恒成立，
∴ ( )在 上单调递增，无极大值也无极小值；
②当 > 0， ∈ ( ∞, )时， ′( ) < 0， ∈ ( ,+∞)时， ′( ) > 0，
∴ ( )在( ∞, )上单调递减，在( ,+∞)单调递增．
∴函数 ( )有极小值为 ( ) = + 1 = + 1，无极大值．
(2)若对任意 > 0， ( ) ≥ 2 恒成立，
+ 2+ +1 + 2+ +1
则利用分离参数法可得 ≤ 恒成立，即 ≤ ( ) ( > 0)．
+ 2+ +1 ( 1)( + +1)
设 ( ) = ( > 0)，则对函数求导可得 ′( ) =
2
，
( 1)( + +1)
令 ′( ) = = 0，
2
解得 = 1，当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0，当 ∈ (1,+∞)时， ′( ) > 0，
∴ ( )在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，∴ ( ) ≥ (1)，
∴ ( ) = (1) = + 3，当 ≤ + 3时满足对任意 > 0， ( ) ≥
2 恒成立，
∴实数 的取值范围为( ∞, + 3]．
√ 6
17.【答案】证明见解析； ．
3
18.【答案】解：(1)证明：在图1的等腰直角△ 中， 为 的中点，则 ⊥ ，
所以在图2中，有 ⊥ ， ⊥ ，又 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，
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因为 ⊥平面 ，所以∠ 是二面角 的平面角，即∠ = 60°，
所以△ 为正三角形，因为 为 的中点，
所以 ⊥ ，由 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ；
(2)以 为原点，垂直于 的直线为 轴， ， 所在直线分别为 ， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
易知 (0,0,2)， (√ 3, 1,0)， (0,2,0)， (0,1,0)，
所以 = (√ 3, 1, 2)， = ( √ 3, 0,0)， = (0,0,2)，
设平面 的法向量为 1 = ( , , )，
1 = 0{ {√ 3 + 2 = 0则 ，即 ，令 = 1，则 = 2， = 1，
1 = 0 √ 3 = 0
所以平面 的一个法向量为 1 = (0,2,1)，
设平面 的法向量为 2 = ( , , )，
= 0
则{ 2 ，即{√ 3 + 2 = 0，令 = 1，则 = √ 3， = 0，
2 = 0 2 = 0
所以平面 的一个法向量为 2 = ( 1,√ 3, 0)，
设二面角 的平面角为 ，由图可知， 为锐角，
| 1 2 | 2√ 3 √ 15
所以 = |cos < 1 , 2 | >= = = ， | 1 || 2 | 2√ 5 5
所以二面角 的余弦值为√ 15；
5
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(3)假设在线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为√ 2，
10
由(2)可得， = (0, 1,2)， = (0,2, 2)，
设 = (0,2 , 2 )，则 = + = (0,2 1,2 2 )， ∈ [0,1]，
√ 2 |2(2 1)+2 2 |
依题意可得 =10 2 2，
√ 5×√ (2 1) +(2 2 )
1 5
解得： = 或 = (舍去)，
4 8
所以存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为√ 2，此时 √ 2| | = ．
10 2

19.【答案】解：(1)因∠ = ，则由题意知 ∈ [0, ]，
2

由题意可得，∠ = ，圆半径为1，所以 1 = ， 2 2
又 2 = | | = | | | | = 1 ，

所以 = 1 + 2 = + 1 , 0 < < ，则 ′ = 1 + < 0恒成立， 2 2

所以 = 1 + 2 = + 1 在 ∈ [0, ]上单调递减． 2 2
1
(2)由题意可得 21 = 2 × ( )× 1 = ， 2 2 2
因为 ⊥ ， ⊥ ，所以四边形 为矩形，
于是 2 = | | | | = (1 )，

所以 = 1 + 2 = + (1 )，其中 ∈ [0, ]， 2 2
求导得 ′ = (1 2 )，
1
令 ′ = 0得 = ，即 = ，
2 3
则可得如下表格：

0 (0, ) ( , )
3 3 3 2 2
′ 0 +

2 ↓ 极小值 ↑ 1
√ 3
由表可知当 = 时， = 极小值 = + ， = ， 3 6 4 2
√ 3
所以 的值域为[ + , ]．
6 4 2
第 8 页，共 8 页

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