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山东省淄博七中 2024-2025 学年高一（下）3 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 5
1.已知cos( + ) = ，则cos( )的值为( )
6 3 6
1 1 2√ 2 2√ 2
A. B. C. D.
3 3 3 3

2.已知向量 , 的夹角为 ，且| | = 2| | = 2，若( ) ⊥ ( + )，则 =( )
3
2 1 2 3
A. B. C. D.
5 2 3 4
3.下列命题中：
① // 存在唯一的实数 ∈ ，使得 = ；
② 为单位向量，且 // ，则 = ±| | ；
③| | = | |3；
④ 与 共线， 与 共线，则 与 共线；
⑤若 = 且 ≠ 0 ,则 =
其中正确命题的序号是( )
A. ①⑤ B. ②③④ C. ②③ D. ①④⑤
1 24.已知在△ 中， = ， 是 上的一点．若 = + ，则实数 的值为( )
3 11
9 5 3 2
A. B. C. D.
11 11 11 11

5.已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )的部分图象如图所示，
2

将函数 ( )图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到函数 ( )的图象，则 ( )
6
的解析式为( )

A. ( ) = cos(2 )
3

B. ( ) = 2 (2 )
6

C. ( ) = 2 (4 + )
3

D. ( ) = 2 (4 + )
6
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3
6.已知 = 2，则 =( )
sin +cos
2 2 7 7
A. B. C. D.
15 15 9 9
7.已知向量 与 是非零向量，且满足 在 上的投影向量为 2 , | | = 2| |，则 与 的夹角为( )
A. 120° B. 150° C. 60° D. 90°
8.已知 为坐标原点，向量 , , ，满足| | = | | = | | = 1，( ) ( ) = 0，若
| | = 4，则| + + |的取值范围是( )
A. [11,13] B. [8,11] C. [8,13] D. [5,11]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.计算下列各式的值，其结果为1的有( )
1 √ 3
A. 4 15° 75° B.
10 10°
C. (1 + 18°)(1 + 27°) D. 4 18° 36°

10.已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0)的两个相邻零点间的距离为 ，将函数 ( )的图象向左平移 个单
6 6
位长度得到函数 ( )的图象，则下列说法正确的是( )
2
A. 函数 ( )的图象关于直线 = 对称
3

B. ( ) = 2 ( + )
3

C. 函数 ( )在区间[0, ]上单调递增
3
D. 函数 ( )在区间[ , 2 ]内的零点个数为3
11.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是( )
1
A. 若( + ) = 0，且 = ，则△ 为等边三角形
| | | | | | | | 2
2 1 1
B. 若点 是边 上的点，且 = + ，则△ 的面积是△ 面积的
3 3 3
C. 若△ 平面内有一点 满足： + + = 0 ，| | = | | = | |，则△ 为等边三角形
D. 若 + + > 0，则△ 为锐角三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 ， 满足| | = 5，| | = 6， = 6，则cos < ， + >= ______．
13.平行四边形 中，| | = 6，| | = 4，若点 ， 满足： = 3 ， = 2 ，则 = ．
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2
14.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0)，若 ( ) = ( )，且 ( )在区间( , )上有最小值无最大值，则 =
3 6 3 6 3
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
3 3
sin( + ) cos( ) tan2( ) 3 √ 2
已知函数 ( ) = 2 2 .已知0 ≤ ≤ ， ≤ ≤ ， ( ) = 2，cos( + ) = ．
sin( + ) cos( ) 2 2 10
2
(1)求 的值；
(2)求 2 的值；
(3)求角 的值．
16.(本小题15分)
1
已知 ( ) = √ 3 cos2 ( > 0, ∈ )，且 ( )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ．
2 2
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)求函数 ( )的单调递减区间；
5
(3)若方程 ( ) = 0在 ∈ [0, ]有两个根，求 的取值范围．
6
17.(本小题15分)

已知单位向量 1， 2，夹角为 ，向量 = 1 , = + ，且 与 的夹角为 ． 2 1 2 4
(1)求 及|2 + |；
(2)求 在 上的投影向量；
(3) + 与 + 2 所成的角是锐角，求实数 的取值范围．
18.(本小题17分)
某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度 (米)随着时间 (0 ≤ ≤ 24，单位：小
时)呈周期性变化，每天各时刻 的浪高数据的平均值如表：
/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0
(1)从 = + ， = ( + ) + ， = cos( + )中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型
的解析式；
(2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
19.(本小题17分)
已知定义域为 的函数 ( )满足：对于任意的 ∈ ，都有 ( + ) = ( ) + ( )，则称函数 ( )具有性质 ．
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(1)若一次函数 ( )具有性质 ，且 (2) = 1，求 ( )的解析式；
(2)若函数 ( ) = cos( + )(其中 ∈ (1,3)， ∈ (0, ))具有性质 ，求 ( )的单调递增区间；
(3)对于(1)(2)中的函数 ( )， ( )，求函数 ( ) = ( ) ( ) + 1在区间[ 2 , 4 ]上的所有零点之和．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
19
12.【答案】
35
13.【答案】9
10 34
14.【答案】 或
3 3
2√ 5
15.【答案】 = ；
5
4
；
5
3
．
4

16.【答案】 ( ) = sin(2 ) 1；
6
5
[ + , + ]( ∈ )；
3 6
3
[ , 0)．
2
17.【答案】 = 1, |2 + | = √ 10；
1 1
1 + ； 2 2 2
3
( , 2) ∪ (2, +∞)．
5
18.【答案】解：(1)由数据知，数据不具有线性关系，且最小值为0.6，最大值为1.4，
因此选择 = ( + ) + 较合适，
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令 > 0， > 0，| | < ，
+ = 1.4 2
则{ ，解得 = ， = 1，
+ = 0.6 5
2
由题意 = 12，可得 = = ，
6
2
将(0,1)代入得1 = + 1，
5
解得 = 0，
又| | < ，解得 = 0，
2
故所求拟合模型的解析式为 = sin + 1(0 ≤ ≤ 24)；
5 6
2
(2)由题意可得 = sin + 1 ≥ 0.8，
5 6
1
所以sin ≥ ，
6 2
7
解得 + 2 ≤ ≤ + 2 , ∈ ，
6 6 6
解得12 1 ≤ ≤ 12 + 7( ∈ )，
又 ∈ [0,24]，
可得0 ≤ ≤ 7或11 ≤ ≤ 19或23 ≤ ≤ 24，
所以应安排在11时到19时训练较恰当．
19.【答案】解：(1)设 ( ) = + ( ≠ 0)，则 ( + ) = ( + ) + ， ( ) + ( ) = + + + =
( + ) + 2
由 ( + ) = ( ) + ( )，得 = 0，
1
又∵ (2) = 1，∴ = ，
2
1
∴ ( ) = ；
2
(2)由 ( + ) = ( ) + ( )，得 (0 + ) = (0) + ( )，∴ (0) = 0，

∴ = 0，又∵ ∈ (0, )，∴ = ，
2

∴ ( ) = cos( + ) = ，
2
由 ( + ) = ( ) + ( )，得 ( + ) = ( ) + ( )，
即 (2 ) = 2 ( )，
∴ 2 = 2 ，∴ = ，∴ = 0，或 = 1，
又∵ ∈ (1,3)，∴ ∈ ( , 3 )，∴ = 2 ， = 2，∴ ( ) = 2 ，
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3 3
令2 + ≤ 2 ≤ 2 + ，得 + ≤ ≤ + ( ∈ )，
2 2 4 4
3
故 ( )的单调递增区间为[ + , + ]( ∈ )；
4 4
2
(3)令 ( ) = 0，得 2 = ，

2
问题转化为曲线 1 = 和 2 = 2 ( ∈ [ 2 , 4 ])所有交点的横坐标之和，
2
曲线 1 = 和 2 = 2 ( ∈ [ 2 , 4 ])均关于( , 0)成中心对称．．
2 8 5 2 8 9
5 = > sin = 1 2 ，9 = < sin = 1， 5 2
4 4
2 2
= > 4 = 0，
4 3
2
1 = 在 ∈ ( , 4 ]上单调递减，
画出它们的图象如图所示．
2
由图象可知曲线 1 = 和 2 = 2 ( ∈ [ 2 , 4 ])共有8个交点，
设其交点的横坐标从小到大依次为 1， 2， 8，
则 1 + 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5 = 2 ，
故函数 ( ) = ( ) ( ) + 1在区间[ 2 , 4 ]上的所有零点之和为4 × 2 = 8 ．
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