资源简介

上海市普陀区晋元高级中学 2024-2025 学年高一（下）月考数学试卷（3
月份）
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.设 ∈ ，则“ = ，是“ = ”的( )
6 2
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.若满足 < 0， < 0，则 在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.某人驾驶一艘小游艇位于湖面 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21°方向，且塔顶的仰角为18°，
此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达 处，此时测得塔底位于北偏西39°方向，则该塔的高度约为( )
A. 265米 B. 279米 C. 292米 D. 306米
1
4.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( + 1) = 2 ( )，当 ∈ (0,1]时， ( ) = .若对任意 ∈ ( ∞, ]，
4
√ 3
都有 ( ) ≥ ，则 的取值范围是( )
2
9 7 5 8
A. ( ∞, ] B. ( ∞, ] C. ( ∞, ] D. ( ∞, ]
4 3 2 3
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.已知 的顶点位于坐标原点，始边与 轴正半轴重合，若 = 3，则 是第______象限角．
6.已知扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形的圆心角是______弧度．
7.函数 ( ) = sin22 的最小正周期是 ．
1
8.函数 = √ 的定义域是______．
2
9.已知函数 = sin( + )是偶函数，若 < < 2 ，则 = ______．

10.函数 = 2 (2 + )( ∈ [ , 0])的单调递减区间是______．
6
11.设 的内角 , , 所对边的长分别为 , , .若 + = 2 ，3sin = 5sin ,则角 =_____．
12.函数 ( ) = sin( + 2 ) 2 ( + )的最大值为______．
5
13.已知 > 0，0 < < ，直线 = 和 = 是函数 ( ) = sin( + )图象的两条相邻的对称轴，则
4 4
=______．
14.已知函数 ( ) = + ( > 0)， ∈ ，若函数 ( )在区间( , )内单调递增，且函数 = ( )
的图象关于直线 = 对称，则 的值为______．
第 1 页，共 6 页
15.已知 ( ) = ( + )，若函数 = ( )的图象如图所示，则
(1) + (2) + (3) + + (2020) = ______．

16.对于△ ，若存在△ 1 1 1，满足 = = = 1，则称△ 为“ 类三角形”，则“ 类 1 1 1
三角形”一定满足有一个内角为定值，为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
3 +4
已知 = 2，求下列各式的值：
cos +2
(1)1 cos2 ；
3
sin( + )cos( )tan2 ( )
(2) 2 ．
sin(2 )cos( + )
2
18.(本小题12分)

某同学用“五点法”画函数 ( ) = ( + )( > 0, | | < )在某一个周期内的图象时，列表并填入了
2
部分数据，如表：
3
+ 0 2 2 2
5
3 6
( + ) 0 5 5 0
(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数 ( )的解析式；
(2)将 = ( )图象上所有点向左平行移动 ( > 0)个单位长度，得到 = ( )的图象．若 = ( )图象的
5
一个对称中心为( , 0)，求 的最小值．
12
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = √ 3sin2 + ．
(1)求 ( )的单调递增区间；
√ 3 √ 3
(2)若对任意 ∈ [ , ]都有| ( ) | ≤ ，求实数 的取值范围．
3 2 2
20.(本小题12分)
为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一
第 2 页，共 6 页
处要架空线入地的矩形地块 ， = 30 ， = 15 .为保护 处的一棵古树，有关部门划定了以 为
圆心、 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为 边上的点 ，出线口为 边上
的点 ，施工要求 与封闭区边界相切， 右侧的四边形地块 将作为绿地保护生态区．(计算长度精
确到0.1 ，计算面积精确到0.01 2)
(1)若∠ = 20°，求 的长；
(2)当入线口 在 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？
21.(本小题12分)
已知函数 ( )的图象是由函数 ( ) = 的图象经如下变换得到：先将 ( )图象上所有点的纵坐标伸长到

原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移 个单位长度．
2
(1)求函数 ( )的解析式，并求其图象的对称轴方程；
(2)已知关于 的方程 ( ) + ( ) = 在[0,2 )内有两个不同的解 ，
( )求实数 的取值范围；
2 2
( )证明：cos( ) = 1．
5
第 3 页，共 6 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】二
1
6.【答案】
4

7.【答案】
2
5
8.【答案】{ | + 2 ≤ ≤ + 2 , ∈ }.
6 6
3
9.【答案】
2
5
10.【答案】[ , ]
6 3
2
11.【答案】
3
12.【答案】1

13.【答案】
4
√
14.【答案】
2
15.【答案】1 + √ 2
3
16.【答案】
4
17.【答案】解：由已知， ≠ 0，
3 +4
则 = 2，即3 + 4 = 2 + 4 ，解得 = 2，
1+2
2 +cos
2 +1 2+1 2
(1)1 cos = 1 2 = 1 = 1 = ； sin +cos2 tan2 +1 4+1 5
sin23
sin( + )cos( )tan2 ( ) 2 ( )cos
(2) 2 = cos = = 2．
sin(2 )cos( + ) ( )
2

18.【答案】解：(1)根据表中已知数据，解得 = 5， = 2， = .数据补全如下表：
6
第 4 页，共 6 页
3
+ 0 2 2 2
7 5 13

12 3 12 6 12
( + ) 0 5 0 5 0

且函数表达式为 ( ) = 5 (2 ).
6

(2)由(1)知 ( ) = 5 (2 )，得 ( ) = 5 (2 + 2 ).
6 6
因为 = 的对称中心为( , 0)， ∈ ．

令2 + 2 = ，解得 = + ， ∈ ．
6 2 12
5 5
由于函数 = ( )的图象关于点( , 0)成中心对称，令 + = ，
12 2 12 12

解得 = ， ∈ .由 > 0可知，当 = 1时， 取得最小值 ．
2 3 6
1 2 1 1 √ 3 √ 3 √ 3
19.【答案】解：(1)由 ( ) = √ 3 × + 2 = 2 2 + = sin(2 ) + ，
2 2 2 2 2 3 2
5
令 + 2 ≤ 2 ≤ + 2 , ∈ ，则 + ≤ ≤ + , ∈ ，
2 3 2 12 12
5
所以 ( )的单调递增区间为[ + , + ], ∈ ．
12 12
√ 3 √ 3 √ 3 √ 3 √ 3 √ 3 √ 3
(2)由| ( ) | ≤ ，则 ≤ ( ) ≤ ，故 ≤ sin(2 ) ≤ ，
2 2 2 2 2 2 3 2

又 ∈ [ , ]，则2 ∈ [2 , ]，所以 ≤ 2 < ，即0 ≤ < ，
3 3 3 3 3 3 3 3

故 的取值范围为[0, ).
3
20.【答案】解：(1)作 ⊥ ，垂足为 ，
则 = + = 15 20° + 15 50° ≈ 23.3 ；
(2)设∠ = ，则 = 15 ， = 15 (90° 2 )，
15 15 1+tan2
△ = (30 + 15 2 ) = (30 + 15 × ) =2 2 2
225 1 225√ 3
(3 + ) ≥ ，
4 tan 3
1
当且仅当 ，即 √ 3 225√ 33 = tan = 时取等号，此时 = 15 = 5√ 3，最大面积为450 ≈tan 3 2
255.14 2．
21.【答案】解：(1)将 ( ) = 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到 = 2 的
图象，
第 5 页，共 6 页

再将 = 2 的图象向右平移 个单位长度后得到 = 2 ( )的图象，
2 2
故 ( ) = 2 ，

从而函数 ( ) = 2 图象的对称轴方程为 = + ( ∈ )．
2
(2)( ) ( ) + ( ) = 2 +
2 1
= √ 5( + ) = √ 5sin( + )
√ 5 √ 5
1 2
(其中 = ， = )，
√ 5 √ 5

依题意，sin( + ) = 在区间[0,2 )内有两个不同的解 ， ，
√ 5

当且仅当| | < 1，故实数 的取值范围是( √ 5, √ 5).
√ 5
( )因为 ， 是方程√ 5sin( + ) = 在区间[0,2 )内的两个不同的解，

所以sin( + ) = ，sin( + ) = ．
√ 5 √ 5

当1 ≤ < √ 5时， + = 2( )，即 = 2( + )；
2
3
当 √ 5 < < 1时， + = 2( )，即 = 3 2( + )；
2
所以cos( ) = 2( + )
2 2
= 2 2( + ) 1 = 2( )2 1 = 1．
√ 5 5
第 6 页，共 6 页

展开更多......

收起↑