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云南省文山州文山一中 2024-2025 学年高一（下）月考数学试卷（3 月
份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 ， 不共线，且向量 + 与 + (2 1) 的方向相反，则实数 的值为( )
1 1 1
A. 1 B. C. 1或 D. 1或
2 2 2
2.已知向量 = (3,4)， = ( 2, )， = (2, 1)，若( ) ⊥ ，则 =( )
13
A. 6 B. 2 C. 6 D.
2
3.在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ， = 2 ，则 =( )
3 1 1 3 1 3 3
A. + B. + C. + D.
1
+
4 4 4 4 4 4 4 4
4.定义 = | |2 .若向量 = (2, √ 5)，向量 为单位向量，则 的取值范围是( )
A. [0,6] B. [6,12] C. [0,6) D. ( 1,5)
2 , 0
5.设函数 ( ) = { ，则满足 ( + 1) < (2 )的 的取值范围是( )
1, > 0
A. ( ∞, 1] B. (0, +∞) C. ( 1,0) D. ( ∞, 0)
6.已知 是边长为2的正三角形 边 上的动点，则 ( + )的值( )
A. 是定值6 B. 最大值为8 C. 最小值为2 D. 与 点位置有关
2 + 1, < 0
7.已知函数 ( ) = { 2 在 上单调递增，则 的取值范围是( ) , ≥ 0
A. [ 1,1] B. [ 1,0) C. (0,1] D. (0, +∞)

8.在△ 中，已知 = ，则△ 的形状为( )
2+ 2
2 2
+ 2 2
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = ( + 1, 1)， = (1 , 2)，则下列说法正确的是( )
A. 若 // ，则 = 3
B. 存在 ∈ ，使得 ⊥
C. | + | = √ 5
D. 当 = 1时， 在 上的投影向量的坐标为(0, 1)
10.在三角形 中，根据下列条件解三角形，其中只有一解的是( )
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A. = 2， = 45°， = 80° B. = 7， = 6， = 60°
C. = 7， = 8， = 45° D. = 4， = 2√ 3， = 60°
11.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， = 8， < 4， = 7，且满足(2 ) = ，
则下列结论正确的是( )
A. = 60° B. △ 的面积为6√ 3
C. = 2 D. △ 为锐角三角形
三、填空题：本题共 4 小题，共 32 分。
1
12.已知向量 ， 满足| | = 2，向量 在 上的投影向量为 ，则 = ______．
2
13.在平行四边形 中，点 为 的中点，点 在 上， ， ， 三点共线，若 = ，则 = ______．
14.如图，要计算某湖泊岸边两景点 与 的距离，由于受地形的限制，
需要在岸上选取 和 两点，现测得 = 5 ， = 7 ，∠ = 60°，
∠ = 15°，∠ = 120°，则两景点 与 的距离为 ．
3 3
15.已知向量 = (cos , sin )， = (cos , sin )，且 ∈ [0, ]，
2 2 2 2 2
(1)求 及| + |；
3
(2)若 ( ) = 2 | + |的最小值是 ，求实数 的值．
2
四、解答题：本题共 4 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
设 , 是不共线的两个非零向量。
(1)若 = 2 , = 3 + , = 3 ，求证： , , 三点共线；
(2)若8 + 与 + 2 共线，求实数 的值；
17.(本小题15分)
√ 3
设 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，若 = ．
3
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(1)求角 ；
(2)若 = 2，△ 的周长的为6，求△ 的面积．
18.(本小题15分)

已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )的部分图象如图所示．
2
(Ⅰ)求函数 ( )的函数解析式
(Ⅱ)在△ 中，角 为三角形内角且 ( ) = 1， 在边 上， 是∠ 的角平分线， = 1， = 3，
求 的长度．
19.(本小题17分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且( + )( + ) = + 3 ．
(Ⅰ)求角 的大小；
(Ⅱ)若 = √ 6，且△ 的面积为√ 3，求△ 的周长．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】2
8√ 6
14.【答案】
3
3 3
15.【答案】解：(1) = cos sin = 2 ，
2 2 2 2
2 2
∵ | + |2 = + + 2 = 2 + 2 2 = 4 2 ，且 ∈ [0, ]，1 ≥ ≥ 0，
2
∴ | + | = 2
(2) ( ) = 2 | + | = 2 4 = 2( )2 1 2 2，
①当 < 0时，当且仅当 = 0时， ( ) = 1，与已知矛盾．
3 1
②当0 ≤ ≤ 1时，当且仅当 = 时， ( ) 2 = 1 2 = ，解得 = 2 2
3 5
③当 > 1时，当且仅当 = 1时， ( ) = 1 4 = ，解得 = ，与 > 1矛盾 2 8
1
综上所述， = ．
2
16.【答案】(1)证明：∵ = 2 ， = 3 + ， = 3 ，
∴ = = (3 + ) (2 ) = + 2 ，
= = ( 3 ) (3 + ) = 2( + 2 ) = 2 ，
∴ 、 、 三点共线；
(2)解：∵ 8 + 与 + 2 共线，∴存在实数 ，使得
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(8 + ) = ( + 2 ) (8 ) + ( 2 ) = 0，
∵ 与 不共线，
8 = 0
∴ { ，
2 = 0
8 = 2 2 = ±2，
∴ = 2 = ±4．
√ 3 √ 3
17.【答案】解：(1)由 = ，及正弦定理可得 = ．
3 3
由 = sin( + ) = + 带入上式，
√ 3
整理得 = ．
3
因为 > 0，
所以 = √ 3．
因为 ∈ (0, )，

所以角 = ．
3
(2) ∵△ 的周长为6，
得 + = 4，
由 2 = 2 + 2 2 .可得4 = 2 + 2 ，
即( + )2 3 = 4．
解得 = 4，
1
∴ = √ 3．
2
所以△ 的面积为√ 3．
1 2 5
18.【答案】解：(Ⅰ)根据函数 ( )的图象，可得 = 2， × = ，
4 12 6
∴ = 2．

再结合五点法作图可得，2 × + = ，
6 2

∴ = ， ( ) = 2 (2 + ).
6 6

(Ⅱ)在△ 中，角 为三角形内角且 ( ) = 2 (2 + ) = 1，
6
5
由 为三角形内角得2 + = ，即 = ，
6 6 3
∵ 是∠ 的角平分线， = 1， = 3，
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∴ ∠ = ∠ = ，
6
1 1+9 2
由余弦定理得cos∠ = = ，
2 2×1×3
解得 = √ 7，
1+7 9 √ 7
由余弦定理得 = = ，
2√ 7 14
3√ 21
故 = ，
14
1 √ 3 2√ 7
∵ sin∠ = sin( + ) = + = ，
6 2 2 7
1
△ 中，由正弦定理得 = ，
2√ 7 3√ 21
7 14
3√ 3
∴ = ．
4
19.【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理及( + )( + ) = + 3 ，知( + )( + ) = 2 + 3 ，
即 2 + 2 2 = ，
2
+ 2 2 1
由余弦定理得， = = = ，
2 2 2

因为 ∈ (0, )，所以 = ．
3
(Ⅱ)因为△ 的面积为√ 3，
1 1
所以 △ = = = √ 3，所以 = 4， 2 2 3
由(Ⅰ)知， 2 + 2 2 = ，
因为 = √ 6，所以 2 + 2 6 = = 4，所以 2 + 2 = 10，
所以( + )2 = 2 + 2 + 2 = 10 + 2 × 4 = 18，
所以 + = 3√ 2，
所以△ 的周长为 + + = √ 6 + 3√ 2．
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