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2024-2025学年江西省南昌县莲塘一中高二（下）3月质检
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，则是它的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
2.已知是无穷数列，，则“对任意的，，都有”是“是等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了( )
A. 项 B. 项 C. 项 D. 项
5.数列中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡年月日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息若每月月底还银行相同金额的贷款，到年月底全部还清即用个月等额还款，则小胡每个月月底需要还款( )
A. 元 B. 元
C. 元 D. 元
7.已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是( )
A. B. C. D.
8.设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，记，则数列的前项之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 是等差数列，，，的第项
B. 在等差数列中，公差，则数列单调递增
C. 存在实数，，使，，，，成等比数列
D. 若等比数列的前项和为，则，，成等比数列
10.已知数列是等差数列，为数列的前项和，则下列说法中正确的是( )
A. 若，数列的前项和或前项和最大，则等差数列的公差
B. 若，，则使成立的最大的为
C. 若，，则
D. 若，，则
11.如图，在平面直角坐标系中，点，，，，均在轴正半轴上，点，，，，均在轴正半轴上已知，，，，，，，四边形，，，，均为长方形当时，记为第个倒“”形，则( )
A. 第个倒““形的面积为
B. 长方形的面积为
C. 点，，，，均在曲线
D. 不能被整除
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知各项为正数的数列是等比数列，且其前项和为若，，则公比 ______．
13.已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是 ．
14.已知数列满足，且，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的公差为，是等比数列，．
求和的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知，数列的前项和为，点均在函数的图像上．
求数列的通项公式；
若，令，求数列的前项和．
17.本小题分
设是各项都为正数的递增数列，已知，且满足关系式，．
证明：数列是等差数列；
令，求数列的前项的和．
18.本小题分
已知数列的前项和为，，．
证明：数列是等比数列；
若，求数列的前项和；
若，求使取得最大值时的的值．
19.本小题分
已知数列满足．
求的通项公式；
在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和．
若不等式对任意的恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.
15.解：等差数列的公差为，是等比数列，，
设的公比为，
所以，故．
又，，所以．
记和的前项和分别为，，则．
又，
，
所以．
16.解：由题意可得，
当时，，
当时，，对也成立，
则，；
由，可得，
又，
可得，即有，
则，
又，
两式相加可得，
可得．
17.

18.
19.解：数列满足，
当时，，
当时，由，
可得，
两式相减可得．
所以，
上式对也成立，
所以的通项公式为．
在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，
知，得，
则，
，
相减可得
，
所以．
得，
又因为，
当为奇数时，由对任意的恒成立，
得，即，
当为偶数时，由对任意的恒成立，
得，即，
所以．
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