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平行四边形专题复习
一、证明题
1．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF.
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AB=8，AD=4，求BF的长.
3．如图，四边形是边长为1的正方形，分别延长，至点E，F，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求四边形的面积．
4．如图，在中，过点A、C作，，分别交、的延长线于点F和E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点O，点G是线段的中点，若，，求矩形的周长．
5．如图，在平行四边形中，平分，交于点E，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
6．如图，在中，，D，E分别是，的中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点M，连接，若，，求，的长．
7．如图，已知在梯形中，，是上的点，，，连结并延长交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点作，垂足为点，若，求证：四边形是矩形．
8．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
9．如图，矩形中，点E为边上任意一点，连结，点F为线段的中点，过点F作，与、分别相交于点M、N，连结、．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，当时，求的长．
10．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求四边形的面积．
11．如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴（ASA），
∴，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）如图，连接AC，交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD的面积为：．
2．【答案】（1）解：∵DE∥BC，DF∥AB
∴四边形BFDE是平行四边形
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD
∵DE∥BC
∴∠CBD=∠EDB
∴∠ABD=∠EDB
∴EB=ED
∴平行四边形BFDE是菱形
（2）解：∵DE∥BF，∠C=90°
∴∠ADE=90°
设BF=x
∴DE=BE=x
∴AE=8－x
在Rt△ADE中
，即
解得：x=3
∴BF=3
3．【答案】（1）证明：如图，连接，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是边长为的正方形，，∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
4．【答案】（1）证明：在中，，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，即，
四边形是矩形
（2）解：在中，，
点G是线段的中点，，
是的中位线，，
又，，
在中，，
，
矩形的周长为
5．【答案】（1）证明：因为平行四边形，所以，所以，
因为平分，所以，所以，
所以；
（2）解：因为平行四边形，∴，
因为，，
所以，，
因为，，，
所以，
所以，
如图，连接，
因为，
所以，，，
所以，
由勾股定理得，，
所以的长为．
6．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
是的中位线，
∴，，
在中，，
在中，，
∴．
7．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）证明：由（1）知四边形是菱形，
，
，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
8．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
且，
，
∴
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
∵，
，
，
，
，
．
9．【答案】（1）证明：矩形中，，
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
在△EFM和△CFM中
∴（AAS），
∴，
∵EM∥CN，
∴四边形为平行四边形，
∵于点F，
∴四边形为菱形；
（2）解：由（1）知：四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
解得：，
答：的长为5．
10．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
11．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AB=BC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）得四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO，CD=BC，
∵DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵，
∴，
∵DE=4，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴CE的长为3．平行四边形及特殊四边形证明（二）
一、解答题
1．如图，在矩形 中（ > ），对角线 ， 相交于点 O，延长 到点 E，使得 = ，连
接 ，点 F是 的中点，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若矩形 的周长为 20， = 8，求四边形 的面积．
2．如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 O，延长 到点 E，使得 = ．连接 ．过点
B作 ∥ ，交 于点 F，连接 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若∠ = 30°， = 1，求 的长．
1
3．在四边形 中， ∥ ， = ，对角线 , 交于点 ， 平分∠ ，过 C作 ⊥ ，
交 延长线于点 E．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 = 6， = 8，求四边形 的面积．
4．如图，在平行四边形 中，∠ = 90°，点 是 的中点，连接 ，过点 作 ∥ ，交
于点 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若平行四边形 的周长为 36， = 6，求菱形 的面积．
2
5．如图，在菱形 中，延长 到点 ，使 = ，延长 到点 ，使 = ，顺次连接点 , , , ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若菱形 的周长为 20，面积为 24，求矩形 的周长．
6．如图， 对角线 ， 相交于点 O，过点 D作 ∥ 且 = ，连接 ， ， = ．
（1）求证： 是菱形；
（2）若 = 4，∠ = 60°，求 的长．
3
7．如图，点 O是菱形 ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接 OE．求证：
（1）四边形 OCED是矩形；
（2）如果 AB＝AC＝4，连接 AE，求线段 AE的长．
8．如图， ∥ ， 平分∠ ，且交 于点 ， 平分∠ ，且交 于点 ，连接 .
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 = 12， = 16，求平行线 与 间的距离.
4
9．如图，在平行四边形 中，∠ = 90°，点 是 的中点，连接 ，过点 作 ∥ ，交
于点 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若平行四边形 的周长为 36, = 6，求菱形 的面积．
10．如图，在菱形 中，对角线 、 相交于点 ，点 、 分别在 、 的延长线上，且 = ，
连接 、 、 、 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ⊥ 于点 ， = 3， = 24，求△ 的面积．
5
11．如图，在平行四边形 中，点 E、F分别在 、 上， = ， = ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 = ，且 = 4 5，tan∠ = 2，求四边形 的面积．
12．如图，在四边形 中， = , ∠ = ∠ ，对角线 与 相交于点 ．
（1）若∠ = ∠ ，求证：四边形 是菱形；
（2）在（1）的条件下，过点 作 ⊥ 交 于点 ，若 = 15, = 24，求 的长．
6
13．如图，平行四边形 1的对角线 与 相交于点 O，∠1 = ∠2，过点 D作 ∥ 且 = 2 ，
连接 ．
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）若 = 3， = 4，求点 E到 的距离．
14．如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 O，点 E 为菱形 外一点，连接 、 ，且 ∥ ，
∥ ．
（1）求证：四边形 为矩形；
（2）若菱形 的边长为 4，∠ = 60°，求△ 的面积．
7
15．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝CD，对角线 AC、BD 交于点 O，过点 C 作 CE⊥AB 交
AB 延长线于点 E，且∠ABO＝∠ACE，连接 OE．
（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；
（2）若 = 3 3，∠ADC＝120°，求菱形 ABCD 的面积．
16． 如图，四边形 是平行四边形，对角线 、 相交于点 ，点 、 分别在 、 上， = ，
连接 ，且 ⊥ ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2 1）连接 ，若点 是 的中点， = 5， = 2 ，求四边形 的面积．
8
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：∵矩形 中，
∴ = ， = 1 12 ， = 2 ，∠ = 90°，
∴ = ，
∵ = ，
∴点 是线段 的中点，
∵点 F是 的中点，
∴ 是△ 的中位线，
1
∴ = 2 = ， ∥ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ = ，
∴四边形 是菱形
（2）解：∵矩形 中，
∴ = ， = ，∠ = 90°，
∵矩形 的周长为 20，
∴2( + ) = 20，
∴ + = 10，
∴ = 10 ，
在 △ 中， 2 + 2 = 2，即 2 + 10 2 = 82，
解得 = 5 + 7或 = 5 7，
∵ > ，
∴ = 5 + 7， = 5 7，
∴ = = 1 1△ △ 2 △ = 4 × × ，
∴菱形 = 2 = 1的面积 △ 2 5 + 7 5 + 7 =
1
2 25 7 = 9．
2．【答案】（1）证明：∵四边形 是菱形，
∴ ∥ ， ⊥ ， = ，
∵ = ，
∴ = ，
9
∴四边形 是平行四边形，
∴ ∥ ．
∵ ∥ ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°，
∴平行四边形 是矩形；
（2）解：由（1）知四边形 是矩形，
∴∠ = ∠ = 90°， = ，
∴ ∠ = 90°．
又∵ ∠ = 30°， = 1，
∴ = 2 = 2．
在 △ 中， = ，
∴ = = 2，
∴ = 2．
3．【答案】（1）证明：∵ ∥ ， = ，∴四边形 是平行四边，∠ = ∠ ，
∵ 平分∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∴ = ，
∴四边形 是菱形
（2）解：∵四边形 是菱形，∴ ⊥ ，
∵ ⊥ ，
∴ ∥ ，
又∵ ∥ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ = = 6，
又∵ = 8，
1
∴ = = 1 × 6 × 8 = 24．
菱形 2 2
10
4．【答案】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ∥ ， ∥ ，
∴ ∥ ，
∵ ∥ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ∠ = 90°， ∥ ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
在 △ 中， 是 中点，
∴ = 12 = ，
∴平行四边形 是菱形；
（2）解：连接 ，如图，
∵平行四边形 的周长是 36，
∴ + = 18，
设 = ，则 = 18 ，
在 △ 中，由勾股定理得： 2 + 2 = 2，
2 + 62 = 18 2，解得 = 8，
∴ = 8，
∵四边形 是菱形，
∴ ∥ ， = ，
∴ ∥ ， = ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ = = 8，
∴ 1 1 ．菱形 = 2 = 2 × 6 × 8 = 24
5．【答案】（1）解：∵ = , = ．
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是菱形．
11
∴ = ．
∴ = = = ．
∴ = ．
∴四边形 是矩形：
（2）解：连接 交 于点 ．
∵四边形 是菱形．
∴ ⊥ , = , = ．
∴ = 2
∵菱形 的周长为 20，面积为 24，
∴ = 20 ÷ 4 = 5, 12 = 24，
即 = 12，
∴在 △ 中， 2 + 2 = 52, 12 × 2 × 2 = 24，
∴ ( + )2 = 2 + 2 + 2 = 25 + 24 = 49．
∴ + = 7（负值已含去）．
∴ 矩形 = 2 + = 2 2 + 2 = 28．
6．【答案】（1）证明：∵ ∥ ， = ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ = ，
∴平行四边形 是矩形，
∴∠ = 90°，
∴ ⊥ ，
∴ 是菱形；
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴ = ， = = = 4， ⊥ ，
∵∠ = 60°，
12
∴△ 是等边三角形，
∴ = = 4，
∴ = = 2，
在 △ 中，由勾股定理得： = 2 2 = 42 22 = 2 3，
由（1）可知，四边形 是矩形，
∴ = = 2 3，∠ = 90°，
∴在 △ 中， = 2 + 2 = 42 + (2 3)2 = 2 7，
即 的长为 2 7．
7．【答案】（1）证明：∵菱形 ABCD，
∴ ⊥ ，∠ = 90°，
又∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形 是平行四边形，
∴ 是矩形；
（2）解：如下图所示，
∵四边形 OCED是矩形，
∴∠ = 90°， = ，
∵菱形 ABCD，AB＝AC＝4，
∴ = 2， = 2 3，
∴ = 2 + 2 = 42 + (2 3)2 = 2 7；
8．【答案】（1）证明：∵ ∥ ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ .
∵ 、 分别是∠ 、∠ 的平分线，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
13
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ = ， = ，
∴ = .
∵ ∥ ，
∴四边形 是平行四边形.
∵ = ，
∴四边形 是菱形.
（2）解：如图，过点 作 ⊥ 于点 ，
∵四边形 是菱形， = 12， = 16，
∴ ⊥ ， = 12 = 6
1
， = 2 = 8，
∴ = 62 + 82 = 10，
∵ 1菱形 = 2 = ，
∴ = 485 ，
48
即平行线 与 间的距离为 5 .
9．【答案】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，∴ ∥ , ∥
∴ ∥ ∵ ∥ ∴四边形 是平行四边形
∵ ∠ = 90°, ∥ ∴ ∠ = ∠ = 90°
在 △ 1中， 是 中点，∴ = 2 =
∴平行四边形 是菱形
（2）连接 ∵平行四边形 的周长是 36∴ + = 18
分设 = ，则 = 18 ，
在 △ 中，由勾股定理得： 2 + 2 = 2，
2 + 62 = (18 )2，解得 = 8，∴ = 8
14
∵四边形 是菱形，∴ ∥ , = ∴ ∥ , =
∴四边形 是平行四边形，∴ = = 8
1 1
∴ 菱形 = 2 = 2 × 6 × 8 = 24
10．【答案】（1）证明：在菱形 中，对角线 、 相交于点 ，
∴ ⊥ ， = ， = ，
∵ = ，
∴ + = + ，即 = ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ⊥ ，
∴ ⊥ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：由题意知，在菱形 中，∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵ ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ，
∵ = + = 3 + 24 = 27，
∴ 27 = 3 ，
解得： = 9（负值已舍去），
在 △ 中， = 2 2 = 92 32 = 6 2．
∴在 △ 中， △ =
1
2 =
1
2× 24 × 6 2 = 72 2．
11．【答案】（1）证明：∵平行四边形 ，
15
∴ ∥ , = ，
∵ = ，
∴ ∥ , = ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ = ，
∴四边形 是矩形
（2）解：∵平行四边形 ， = ，
∴四边形 是菱形，
∴ = = = = ，
∴ = = ，
∵四边形 是矩形，
∴∠ = 90°，
∵tan∠ = 2，
∴ = 2 ，
∵ = 4 5
2
∴ 2 + 2 = 2 = 4 5 = 80 = 5 2，
解得 = 4, = 4(舍去)，
∴ = 2 = 8，
∴82 + 4 2 = 2，
解得 = 10，
∴四边形 的面积为 · = 10 × 8 = 80．
12．【答案】（1）证明：∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∥ ，
∵ = ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ = ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：∵四边形 是菱形，
16
1
∴ = 2 = 12， ⊥ ，
∴ ∠ = 90°，
= 2 2 = 152 122 = 9，
∵ ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 90°，
又∵ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ，
12 9
即15 = ，
解得： = 454
13．【答案】（1）证明见解答；
（2）点 E 12到 的距离是 5 ．
14．【答案】（1）证明：∵ ∥ ， ∥ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵四边形 是菱形，
∴ ⊥ ，
∴平行四边形 为矩形．
（2）解：∵菱形 的边长为 4，∠ = 60°，
∴ = 4, ∠ = 30°, ⊥ ，
∴ = 12 = 2, =
2 2 = 2 3，
由（1）已证：四边形 为矩形，
∴ = = 2 3，
∵ ∥ , ⊥ ，
∴点 到直线 的距离为 = 2，即△ 的 边上的高为 2，
则△ 的面积为12 × 2 3 × 2 = 2 3．
15．【答案】（1）证明：∵CE⊥AB，
17
∴∠CEA＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∵∠ABO＝∠ACE，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AO⊥OB，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形 ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形 ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形 ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
∴OA＝OC，OB＝OD，∠DAB＝60°，∠CAB＝30°，
在 Rt△ACE 中， = 2 = 6 3，AB＝2OB，
∴ = = 3 3，
在 Rt△ABO 中，AB2＝OB2+OA2，
∴4 2 2 = (3 3)2，
解得：OB＝3（负值舍去），
∴BD＝6，
∴ 1菱形 = 2 × 6 × 6 3 = 18 3．
16．【答案】（1）证明：∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴△ 为等腰三角形，
∴ = ，
∴四边形 是菱形；
18
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴ = ， = = 12 ， ⊥ ，
∴ ∠ = 90°，
∵ 为 的中点，
∴ = 12 ，
∵ = 5 1， = 2 ，
∴ = 2 = 2 5， = 2 ，
∵ 2 + 2 = 2，
∴ 5 2 = 20，
∴ = 2(负值已经舍去)，
∴ = 2 = 4， = 2 = 4 = 8，
∴四边形 1的面积= 2 =
1
2 × 4 × 8 = 16．
19

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