资源简介

第九章 图形的变换
综合与实践：设计美丽的图案
一、背景介绍
平移、轴对称和旋转变换具有广泛的应用价值.无论是在建筑设计、工程制图、计算机图形学、艺术设计等领域，还是在其他学中，都可以看到它们的身影.
例如在工程设计中，可以利用变换来设计对称的建筑结构，以提高稳定性和美观性.在计算机图形学中，变换被广泛应用于图像的处理和编辑.在物理学中，变换也被用来描述物体的运动和变化.在艺术设计中，敦煌莫高窟的藻井图案、苏州古典园林的窗格样式，都巧妙地运用了图形变换，既富于变化又蕴含规律，呈现出独特的美感.
在上面两幅图案设计中，用到了哪些几何中的图形变换 你能利用图形变设计一幅美丽的图案吗
1.传承千年的美丽图案
中国传统图案花纹对称严谨而又富于变化，内容丰富而又流畅生动，具有浓厚的装饰意味.敦煌莫高窟是世界上现存规模最大、保存最完好的石窟艺术宝库，其中美丽的壁画主要采用对称构图法；苏州古典园林是世界文化遗产，其中的窗花形态各异，体现了简洁而深刻的美.他们都包含于中国传统图案花纹，在数千年的发展中，在多民族文化的多次碰撞与融合中，形成了这些独特的图案.
对称是中国传统图案的核心特征之一，包括轴对称、中心对称和旋转对称.如龙纹、凤纹常采用左右对称的构图，体现庄重和平衡.太极图中经典的阴阳对称，黑白两部分相互呼应，形成完美的中心对称.回纹通过直线或曲线的重复对称，形成连绵不断的图案.万字纹（卍）通过旋转和重复，形成无限延伸的图案，象征永恒.雪花纹通过六边形的重复和旋转，形成雪花状的图案.卷曲的云朵形态常采用重复和旋转增强动感.
起源于佛教艺术的宝相纹更是其中典型，其通常以莲花、牡丹等花卉为基础，以花瓣、花叶、花朵为基础图形，利用对称构图以简洁流畅度线条表现出庄重之感.
除此以外，平移、缩放密铺等数学变化也常出现在图样中.如缠枝纹通过藤蔓的曲线延伸和平移，形成复杂的植物图案.水波纹通过曲线的平移和缩放，模拟水波的动态效果.传统建筑中的地砖和墙面装饰则常采用密铺图案.
2. 埃舍尔版画中的图形变化
埃舍尔(M. C. Escher)是荷兰著名的版画家，因其绘画中的数学元素而闻名.他将平面密铺、分形、对称、双曲几何和多面体等数学概念融入画面，使作品极富趣味性和视觉冲击力. 埃舍尔的作品中常见动物、人物或其他形状的镶嵌图案，如，在《昼与夜》（Day and Night）中，飞鸟的图案通过平移和旋转完美地镶嵌在一起.对称也在埃舍尔的作品中广泛存在，如，对称绘图（Symmetry Drawing）系列中，他探索了各种平面对称群.
虽然埃舍尔的作品中没有严格意义上的分形，但他的许多图案展示了自相似性和无限重复的概念，如，在《圆形极限》（Circle Limit）系列中，图案在圆形边界内无限重复.除此以外，他还在《变形》（Metamorphosis）系列中，通过连续的几何变换逐渐改变形状，构成丰富奇幻的画面；在《瀑布》（Waterfall）和《上升与下降》（Ascending and Descending）中，他通过丰富而综合的图形变化创造视觉错觉，表现了无限循环的场景.
图形变换作为一种基本的数学工具，其实质是对几何图形进行某种规则性的操作，使得图形在位置或方向上发生某种改变.这些变换虽然看似简单，但它们的组合和叠加却能创造出千变万化的图形，为几何世界带来了无限的可能性.
二、教学目标
了解数学与艺术设计融合的基本形式，形成基本认识(如比例、图形变换、拼图、分形艺术等).了解利用图形变换设计的经典艺术作品(如埃舍尔镶嵌画、中国传统纹样)，对数学思维、对艺术设计的影响.掌握三种图形变换的概念与性质，会进行相应的变换作图.
聚焦图形变换在艺术设计领域的应用，从文化的视角展示数学的魅力.让学生用数学的眼光观察与分析、思考与表达、解决与阐释艺术设计方面的现实问题，感受数学与艺术的融合，体会数学的审美应用价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力.
三、活动准备
收集莫高窟图案和窗格设计图案及相关中国传统图样文化知识，回顾平移、翻折、旋转等图形变化的知识.
四、活动设计
分析美丽的图案
任务1图1是某建筑物地砖的一部分.仔细观察，你在图中发现了哪些熟悉的图形，与你的小组成员进行交流.
任务2如图2，小明从地砖的局部抽象出两个基本图形:正方形 ABCD，六边形EFGHIJ.如何由这两个基本图形通过图形变换得到图1中的其他图形
任务3进一步，观察图1，还可以从中抽象出哪些基本图形 如何由这些基本图形通过图形变换得到图1中的其他图形 在图1中框一框，并与你的小组成员相互交流，有哪些不同的图形变换方法.
任务4 类似的图案在生活中随处可见，如步行小道的地砖、妈妈披肩的花纹、爸爸领带花纹、建筑穹顶、窗花……，小组合作，选取一个图案仿照前面的操作分析它，并完成下表.
序号 基础图形 使用的图形变化 变化得到的图形
1 （例） 平移
2
3
……
综合与实践活动研究报告 年级 班 组
活动任务工作单
活动名称 活动 时间
组长 组员
任务分工
活动意义
研究方案
研究过程
研究成果
活动中遇到的问题与处理方法
收获与体会
师生评价
创作美丽的图案
任务1 如图，由正方形通过一些有规律的变化，得到了一个富有韵律之美的图案，仔细观察，找出其中应用的数学变化.
任务2对图形涂色后可以得到绚丽的图案，请展开想象，选择喜欢的颜色，对图形中的镂空的四边形涂色，可以得到怎样的图案 与同学交流.
任务3参考以上案例，利用一个基本的几何图形，通过有规律的变化及涂色， 展开想象，通过画笔、动态几何软件或计算机画图软件等，设计一幅图案.
任务4组织进行优秀作品的展示与交流活动，由设计者用图形变换的语言说明自己作品的设计理念.如“基本图形”是什么，变换过程是什么，体现了怎样的数学之美. 投票选出优秀作品，并布置展示版展览.
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活动任务工作单
活动名称 活动 时间
组长 组员
任务分工
活动意义
研究方案
研究过程
研究成果
活动中遇到的问题与处理方法
收获与体会
师生评价
欣赏美丽的图案
任务1选取下列选题之一，收集资料、选择图案、欣赏、分析其中的艺术之美、数学之美.从数学的角度欣赏图案，从中抽象出几何图形及图形变换，图案为什么美，尝试从简洁性、对称性、奇异性、规律性等，进行分析并与同一选题的同学进行交流.
选题1.查找网络资源或者观察现实世界，发现图形变换在绘画和设计中的各 种应用，感悟艺术之美与数学之美.
选题2.平面密铺是一类有趣的几何问题.我们可以用一个多边形(如正三角 形、长方形、正六边形等)完成平面密铺，也可以用几个多边形或者复杂图案完成平面密铺.查阅有关平面密铺的资料，挖掘其中数学知识的应用与在艺术创作中的用途.
任务2根据你的选题，结合交流中的收获，以小组为单位制作手抄报或撰写小论文的形式进行展示.
.综合与实践活动研究报告 年级 班 组
活动任务工作单
活动名称 活动 时间
组长 组员
任务分工
活动意义
研究方案
研究过程
研究成果
活动中遇到的问题与处理方法
收获与体会
师生评价
五、实施建议
任务部署
1.组建合作团队
本次综合与实践活动需要团队协作，在班级中组成5~8人一组的研究小每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人组
2.方案构思
小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决任务的方案
3.方案实施
按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务，根据规划的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告
4.展示交流
制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足.
时间计划
第一周 开题：老师简单介绍项目背景，部署相关任务.分小组
第二周 构思：学生在小组负责人的带领下，通过查阅资料或其它方式，搜集素材，并在小组内讨论交流，形成初步解决方案
第三周 实施：按任务研究实施步骤，完成活动任务，形成研究报告
第四周 展示：小组选派代表向全班展示汇报研究成果
六、成果展示
请各小组选出代表向全班同学展示本组的研究成果分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足.
七、评价标准
评价内容 自我评价 小组评价 教师评价
项目过程评价 能主动积极参与项目活动
具有一定的信息收集和处理能力
能正确表达自己的想法，并进行有效沟通
项目成果评价 活动过程记录清晰完整
汇报时表达流畅，解决问题的过程清楚
具有创造性思维，设计合理有创意
说明：打分范围1-10分（程度低/差→高/好）
八、拓展延伸
中国传统纹样
中国传统纹样分连续纹样和单独纹样两类.①连续纹样，以一个花纹为单位，向上、下或左、右两个方向或四个方向做反复连续排列.两个方向连续纹样简称二方连续纹样；四个方向连续纹样简称四方连续纹样.连续纹样又有几何形连续、散点形连续和缠枝形连续等.②单独纹样，以一个花纹为独立单位，不与其他花纹发生连续排列的关系.
密铺的魅力
密铺（Tessellation）是一种将平面用形状完全相同的图案无间隙、无重叠地覆盖的数学和艺术形式.它不仅在数学中具有重要意义，也在艺术、设计和自然界中展现出独特的魅力. 密铺展示了几何图形的完美排列，体现了数学中的对称性、周期性和规律性. 密铺可以使用三角形、四边形、六边形等基本几何形状，也可以通过复杂的图形（如动物、植物）实现.,图案可以在平面上无限延伸，象征着无限和永恒.
从中世纪开始，特别是到了19世纪和20世纪，人们开始从数学理论特别是图论的角度来研究和设计各种复杂的镶嵌图案.其中最有代表性的是荷兰艺术家埃舍尔(1898——1972) 及英国数学物理学家彭罗斯(R. Penrose， 1931——)的多种奇妙设计. 密铺通过重复和对称，创造出强烈的视觉冲击力，给人以秩序感和和谐感.如今，密铺已广泛应用于建筑、瓷砖、织物和墙纸设计中.
密铺也存在于自然界中，蜜蜂建造的六边形蜂巢是自然界中最著名的密铺例子，展示了高效的空间利用. 许多动物的外壳或皮肤上的图案也呈现出密铺的结构， 矿物的晶体排列往往遵循密铺的几何规律.(共21张PPT)
设计
美丽的图案
数学苏科版（2024）七年级下册 第九章 图形的变换
综合与实践——项目式学习
第九章 图形的变换
1.了解数学与艺术设计融合的基本形式,形成基本认识，如比例、图形变换、拼图、分形艺术等.
2.了解利用图形变换设计的经典艺术作品，对数学思维、对艺术设计的影响.
3.掌握三种图形变换的概念与性质，会进行相应的变换作图.
4.让学生用数学的眼光观察与分析、思考与表达、解决与阐释艺术设计方面的现实问题，感受数学与艺术的融合，体会数学的审美应用价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力.
平移、轴对称和旋转变换具有广泛的应用价值.无论是在建筑设计、工程制图、计算机图形学、艺术设计等领域，还是在其他学中，都可以看到它们的身影.
例如在工程设计中，可以利用变换来设计对称的建筑结构，以提高稳定性和美观性.在计算机图形学中，变换被广泛应用于图像的处理和编辑.在物理学中，变换也被用来描述物体的运动和变化.在艺术设计中,敦煌莫高窟的藻井图案、苏州古典园林的窗格样式,都巧妙地运用了图形变换,既富于变化又蕴含规律,呈现出独特的美感.
在上面两幅图案设计中,用到了哪些几何中的图形变换 你能利用图形变设计一幅美丽的图案吗
传承千年的美丽图案
中国传统图案花纹对称严谨而又富于变化，内容丰富而又流畅生动，具有浓厚的装饰意味.敦煌莫高窟是世界上现存规模最大、保存最完好的石窟艺术宝库，其中美丽的壁画主要采用对称构图法；苏州古典园林是世界文化遗产，其中的窗花形态各异，体现了简洁而深刻的美.他们都包含于中国传统图案花纹，在数千年的发展中，在多民族文化的多次碰撞与融合中，形成了这些独特的图案.
传承千年的美丽图案
对称是中国传统图案的核心特征之一，包括轴对称、中心对称和旋转对称.如龙纹、凤纹常采用左右对称的构图体现庄重和平衡.太极图中经典的阴阳对称，黑白两部分相互呼应，形成完美的中心对称.回纹通过直线或曲线的重复对称，形成连绵不断的图案.万字纹（卍）通过旋转和重复，形成无限延伸的图案，象征永恒.雪花纹通过六边形的重复和旋转，形成雪花状的图案.卷曲的云朵形态常采用重复和旋转增强动感.
传承千年的美丽图案
起源于佛教艺术的宝相纹更是其中典型，其通常以莲花、牡丹等花卉为基础，以花瓣、花叶、花朵为基础图形，利用对称构图以简洁流畅度线条表现出庄重之感.
除此以外，平移、缩放密铺等数学变化也常出现在图样中.如缠枝纹通过藤蔓延伸和平移，形成复杂的植物图案.水波纹通过平移和缩放，模拟水波动态效果.传统建筑中的地砖和墙面装饰则常采用密铺图案.
埃舍尔版画中的图形变化
埃舍尔是荷兰著名的版画家，因其绘画中的数学元素而闻名.他将平面密铺、分形、对称、双曲几何和多面体等数学概念融入画面，使作品极富趣味性和视觉冲击力. 埃舍尔的作品中常见动物、人物或其他形状的镶嵌图案，在《昼与夜》中，飞鸟的图案通过平移和旋转完美地镶嵌在一起.对称也在其作品中广泛存在，对称绘图系列中出现了各种平面对称群.
虽然埃舍尔的作品中没有严格意义上的分形，但他的许多图案展示了自相似性和无限重复的概念，在《圆形极限》系列中，图案在圆形边界内无限重复.除此以外，他还在《变形》系列中，通过连续的几何变换逐渐改变形状，构成丰富奇幻的画面；在《瀑布》和《上升与下降》中，他通过丰富而综合的图形变化创造视觉错觉，表现了无限循环的场景.
埃舍尔版画中的图形变化
图形变换作为一种基本的数学工具，其实质是对几何图形进行某种规则性的操作，使得图形在位置或方向上发生某种改变.这些变换虽然看似简单，但它们的组合和叠加却能创造出千变万化的图形，为几何世界带来了无限的可能性.
分析美丽的图案
任务1：图1是某建筑物地砖的一部分.仔细观察，你在图中发现了哪些熟悉的图形，与你的小组成员进行交流.
任务2：如图2,小明从地砖的局部抽象出两个基本图形:正方形 ABCD,六边形EFGHIJ.如何由这两个基本图形通过图形变换得到图1中的其他图形
分析美丽的图案
任务3：进一步，观察图1,还可以从中抽象出哪些基本图形 如何由这些基本图形通过图形变换得到图1中的其他图形 在图1中框一框，并与你的小组成员相互交流，有哪些不同的图形变换方法..
分析美丽的图案
任务4：类似的图案在生活中随处可见，如步行小道的地砖、妈妈披肩的花纹、爸爸领带花纹、建筑穹顶、窗花……，小组合作，选取一个图案仿照前面的操作分析它，并完成下表.
序号 基础图形 使用的图形变化 变化得到的图形
1 （例） 平移
2
3
……
创作美丽的图案
任务1：如图,由正方形通过一些有规律的变化,得到了一个富有韵律之美的图案，仔细观察，找出其中应用的数学变化.
任务2：对图形涂色后可以得到绚丽的图案，请展开想象，选择喜欢的颜色，对图形中的镂空的四边形涂色,可以得到怎样的图案 与同学交流.
创作美丽的图案
任务3：参考以上案例，利用一个基本的几何图形，通过有规律的变化及涂色，展开想象，通过画笔、动态几何软件或计算机画图软件等，设计一幅图案.
任务4：组织进行优秀作品的展示与交流活动，由设计者用图形变换的语言说明自己作品的设计理念.如“基本图形”是什么，变换过程是什么，体现了怎样的数学之美. 投票选出优秀作品，并布置展示版展览.
任务1：选取下列选题之一，收集资料、选择图案、欣赏、分析其中的艺术之美、数学之美.从数学的角度欣赏图案，从中抽象出几何图形及图形变换，图案为什么美，尝试从简洁性、对称性、奇异性、规律性等，进行分析并与同一选题的同学进行交流.
欣赏美丽的图案
选题1.查找网络资源或者观察现实世界，发现图形变换在绘画和设计中的各 种应用，感悟艺术之美与数学之美.
欣赏美丽的图案
选题2.平面密铺是一类有趣的几何问题.我们可以用一个多边形(如正三角 形、长方形、正六边形等)完成平面密铺，也可以用几个多边形或者复杂图案完成平面密铺.查阅有关平面密铺的资料，挖掘其中数学知识的应用与在艺术创作中的用途.
任务2：根据你的选题，结合交流中的收获，以小组为单位制作手抄报或撰写小论文的形式进行展示.
欣赏美丽的图案
4.展示交流
制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足.
1.组建合作团队
本次综合与实践活动需要团队协作，在班级中组成5~7人一组的研究小每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人组
2.方案构思
小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决任务的方案
3.方案实施
按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务，根据规划的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告
第一周 开题：老师简单介绍项目背景，部署相关任务，分小组.
第二周 构思：学生在小组负责人的带领下，通过查阅资料或其它方式，搜集素材，并在小组内讨论交流，形成初步解决方案
第三周 实施：按任务研究实施步骤，完成活动任务，形成研究报告
第四周 展示：小组选派代表向全班展示汇报研究成果
博学深思
未来可期

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