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2025年河南省洛阳市新安县中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，，与相交于点．若，，，，则的长为（ ）
A． B．12 C．10 D．20
2．某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表：
鞋码
平均每天销售量/双
如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
3．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．如图，在菱形中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( )
A． B． C．或 D．或
8．抛物线的部分图象如图所示，已知抛物线的对称轴是，且抛物线与轴的一个交点坐标为．下列结论：①②；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点坐标是；⑤若点在该抛物线上，则，其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，，，均在小正方形的顶点上，且都在同一个圆的圆弧上，是上一点，连接，，若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．请写出一个大于的负无理数 ．
12．若一元二次方程无实数根，则可取的最小整数值是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴，轴上，点在边上，将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．
14．关于抛物线（是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
①当时，抛物线的对称轴是轴；
②若此抛物线与轴只有一个公共点，则；
③若点，在抛物线上，则；
④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于．
15．如图，已知正方形的边长为2，另一边长为的正方形的中心与点重合，连接，设的中点为，连接，当正方形绕点旋转时，的最小值为 ，最大值为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．公司生产、两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的、型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
10台型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
10台型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的、型扫地机器人除尘量统计表
型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比
90 89 26.6
90 90 30

根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：_________，_________，_________；
(2)这个月公司可生产型扫地机器人共3000台，估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数；
(3)根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
18．在中，，连接．

(1)尺规作图：过点A作，交的延长线于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：为的切线；
(3)若，，则的半径为______.
19．如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上）

(1)求A、C两点的距离；
(2)求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：）
20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数的表达式和点，的坐标．
(2)过点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当点在点的下方时，直接写出的取值范围．
(3)若点在反比例函数的图象上，点先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到点，点恰好也落在反比例函数的图象上，求的值．
21．风能是一种可再生能源，与传统能源相比有着环保、清洁等优点．某乡镇计划安装甲、乙两种规格的发电风车共15台用来发电．已知3台甲种发电风车和1台乙种发电风车每天共发电79万度，2台甲种发电风车和2台乙种发电风车每天共发电86万度．
(1)求甲、乙两种发电风车每台每天的发电量．
(2)设这15台发电风车中有m台是甲种规格，且甲种发电风车的安装数量不少于乙种发电风车数量的，问怎样安装可使这15台发电风车每天的发电量最大，最大发电量为多少？
22．竖直上抛物体的高度与运动时间的关系可以近似地用公式表示，其中是抛出时的高度，是抛出时的速度．一个小球在离地面处以的速度被竖直向上抛起，小球距离地面的高度与运动时间的关系如图所示．
(1)直接写出与的关系式；
(2)小球经过多长时间达到最高点，并求出此时离地面的高度；
(3)求小球从第到第的运动路径长．
23．定义：有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”．
【认识模型】
（1）如图①，四边形是对余四边形，则与的度数之和为______；
【性质探究】
四边形是对余四边形，为对角线，已知．
如图②，若，求证：，小唯发现将绕点按逆时针方向旋转，构造等边三角形结合对余四边形即可得证，下面是小唯的部分证明过程：
证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，
∴，，
∴，，，
∴是等边三角形，
…
（2）请补全上面的证明过程；
（3）如图③，连接，若，，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程，若不成立，请说明理由．
《2025年河南省洛阳市新安县中考一模数学试题》参考答案
1．A
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
2．C
解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故老板最关注的销售数据的统计量是众数．
故选：C．
3．B
解：如图，连接，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴
∴
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故选：B
4．B
解：，
，
解得：．
四边形是菱形，
．
故选：B．
5．D
由题意知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6．D
解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为，
画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种可能，
∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是，
故选：D．
7．A
解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
又∵，，
∴，
∴
即
解得：或，
∵，
∴，
故选：A．
8．C
解：对称轴是y轴的右侧，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
，故错误，不符合题意；
，
，，故正确，符合题意；
由图象得：时，直线与抛物线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，故正确，符合题意；
抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，故不正确，不符合题意；
抛物线的对称轴是，
有最大值是，
点在该抛物线上，
，故正确，符合题意，
本题正确的结论有：，3个，
故选：C．
9．A
解：，，
．
，
．
，
．
，
，
，
设，则，
整理得，
由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
抛物线过点，
，
解得，
，
，
．
故选：A．
10．C
解：如图所示，取的中点，连接，过点作于点，
∵
∴是的直径，
∵
设的半径为，则
∵，
∴
∴，
∴
∴
∴阴影部分的面积为
故选：C．
11．（答案不唯一）
解：写出一个大于的负无理数可以是：
故答案为：（答案不唯一）．
12．
解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
解得： ，的最小整数值是，
故答案为：．
13．
解：∵四边形是矩形，
∴，
设，则，
在中，
∴
解得：
∴
∵折叠，
∴
∴
又
∴
∴即
∴
∴
∴，
故答案为：．
14．①④/④①
解：当时，，此时抛物线的对称轴是轴，故①正确；
∵此抛物线与轴只有一个公共点，
∴方程的有两个相等的实数根，
∴，
解得：，故②错误；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大，
∵点，在抛物线上，且，
∴，故③错误；
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点坐标在直线上，
如图，过点A作直线于点B，则点，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，即抛物线的顶点到直线的距离都等于，故④正确．
故答案为：①④
15．
解：如图1，在的延长线上截取（即是的中点），连接，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
由旋转的性质，可知在以点为圆心，半径为1的圆上，
如图2，当点在线段与的交点处时，最小，即最小，
此时，，
∴，即的最小值为；
如图3，当点在线段的延长线与的交点处时，最大，即最大，
此时，
∴，即的最大值为，
综上所述，的最小值为，最大值为．
故答案为：；．
16．（1）；（2）
解：（1）
（2）
17．(1)95；90；20
(2)900台
(3)型号更好，在平均数均为90的情况下，型号的平均除尘量众数大于B型号的平均除尘量众数90
（1）解：型中除尘量为95的有3个，数量最多，
所以众数a＝95；
B型中“良好”等级包含的数据有5个，则所占百分比为50%，
所以m%＝1－50%－30%＝20%，即m＝20；
因为B型中“合格”等级所占百分比为20%，
所以B型中“合格”的有2个，
所以B型中中位数b＝；
故答案为：95；90；20；
（2）（台），
答：估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数有900台；
（3）型号更好，
理由：在平均数均为90的情况下，型号的平均除尘量众数大于B型号的平均除尘量众数90．
18．(1)图见解析
(2)证明见解析
(3)2
（1）如图所示：即为所求
（2）如图：连接并延长交于点M，连接，
∵，；
∴是线段的垂直平分线；
∴；
∵；
∴；
∴为的切线．
（3）设，；
∵；
∴；
∵；
∴；
即；
解得：；
∴；
∴；
∴；
故答案为：2．
19．(1)
(2)树的高度约为
（1）解：如图所示，延长交于G，过点C作于H，
∵，
∴，
∵小山的斜坡的坡度，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；

（2）解：中，，
在中，，
∴，
∴树的高度约为．
20．(1)；；
(2)或
(3)
（1）解：把代入一次函数，
得，即，
∴，
把代入反比例函数，
得，
解得，
∴反比例函数的表达式为，
将代入
∴，
∴；
（2）解：∵，，
观察图象，当在的下方时，的取值范围为：或．
故答案为：或．
（3）解：点先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到点，则代入
∴
解得：
∴
21．(1)每台甲种发电风车每天的发电量为18万度，每台乙种发电风车每天的发电量为25万度
(2)安装甲种发电风车4台，乙种发电风车11台，可使这15台发电风车每天的发电量最大，最大发电量为347万度
（1）解：设每台甲种发电风车每天的发电量为x万度，每台乙种发电风车每天的发电量为y万度．
由题意，得，解得
答：每台甲种发电风车每天的发电量为18万度，每台乙种发电风车每天的发电量为25万度．
（2）由题意，可知乙种发电风车有台，且，解得．
设这15台发电风车每天的发电量为w万度．
则
∵，
∴w随着m的增大而减小．当m取最小值时，w有最大值．
∵m为正整数，
∴m的最小值为4，则
此时
答：安装甲种发电风车4台，乙种发电风车11台，可使这15台发电风车每天的发电量最大，最大发电量为347万度．
22．(1)
(2)小球经过时间达到最高点，此时离地面的高度为
(3)
（1）解：依题意，
∴与的关系式为；
（2）解：
∴当时，达到最高点，此时离地面的高度为
答：小球经过时间达到最高点，此时离地面的高度为
（3）解：当时，
∴小球从第到第的运动路径长为
23．（1）；（2）见解析；（3）（2）中的结论不成立，理由见解析
解：（1）解：∵四边形是对余四边形，
∴，
∴
故答案为：．
（2）证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，
∴，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴
∵
∴
∴
在中，
∴
（3）（2）中的结论不成立，理由见解析
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴
如图②，将绕点按逆时针方向旋转，并缩小，得到，连接，
∴，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴
在中，
∴
即

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