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2024-2025学年第一学期九年级数学中考一模试卷
一、选择题（共30分，每小题3分）
1．在下列天气符号中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．
3．如图，抛物线与轴交于点和点B，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当抛物线沿着轴向下平移1个单位长度就可能经过点．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则的面积为（　　）
A．8 B．16 C．24 D．
5．如图，四边形内接于，为的直径，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．从四个数，，，中任取两个不同的数相乘，则乘积等于的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知正方形的面积为9，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点，且轴，轴，若点D的坐标是，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
8．如图，等边的边长为2，点D在上，，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接交于点G．则点G到的距离为（ ）

A． B． C． D．
9．如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
10．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分，每小题3分）
11．若是方程的一个解，则代数式的值为 ．
12．已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的值为 ．
13．在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到的点的坐标是 ．
14．如图，是的直径，若，则 ．

15．如图，在中，，分别与相交于点D、E，若，则 ．
16．如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，则的长为 ．
17．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为4的正三角形，俯视图是一个半径为2的圆，那么这个几何体的全面积是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、B在x轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，．若点E为的中点，的面积为2，则k值为 ．
三、解答题（共66分）
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
(1)将绕原点O旋转得到，画出；
(2)平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的；
(3)若将绕某一点P旋转可得到，请直接写出点P的坐标．
20．（9分）（1）解方程：．
（2）计算：
（3）化简求值：，其中
21．（6分）中国新能源汽车市场异常火爆，销量持续攀升．某汽车销售公司以每辆18万元的价格购入一批新能源汽车进行销售．当定价为26万元每辆时，平均每周能卖出10辆．现公司计划开展让利销售，市场调研表明：售价每降低1万元，平均每周能多卖出2辆．若要每周的销售利润达到84万元，且尽可能给顾客更多优惠，则每辆汽车的售价应定为多少？
22．（6分）如图，是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，且点D在边上，点C的对应点为点E，连接，若．
(1)求证：
(2)若，，求的长．
23．（7分）如图，是半圆的直径，点是弦延长线上一点，连接，，．
(1)求证：是半圆的切线；
(2)若，，则的长．
24．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，反比例函数的图象交直线于点和点，且．
(1)求直线的解析式；
(2)求的值．
25．（7分）如图，在和中，的延长线经过点C，且，

(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
26．（8分）如图，是的直径，是的切线，点为直线上一点，连接交于点，连接并延长交线段于点．
(1)求证：；
(2)若的直径为6，，，求的长度．
27．（10分）如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C．
(1)（3分）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
(2)（3分）点Q是线段上一动点，过点作轴交抛物线于点M，当最大值时，求点M的坐标；
(3)（4分）抛物线上存在一点P，使得，请直接写出P点的坐标．
答案
1-5 ABBDC 6-10 DDCBB
11．12； 12．； 13．； 14．
15．5； 16．； 17．； 18．
19．
．
20．（1），； （2）； （3），
21．设每辆汽车售价降低万元，则多卖辆，
由题意得：，
化简得：，
解得：，，
要尽可能给顾客更多优惠，
取，
，
∴每辆汽车的售价应定为24万元．
22．（1）∵是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴ ，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
（2）过点作于点，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
∵是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
23．（1） 是半圆O的直径，
，
，
，
是半圆O的切线；
（2）∵，，，
∴，
∴．
24．（1）设的解析式为，
将，代入得，
∴，
解得，
∴的解析式为；
（2）如图，过点作，垂足为，取的中点连接，
设，
∵，，
∴，，
，
∴点的纵坐标为
将代入，
可得，
解得，
∴点的横坐标为，
∵点，在反比例函数（）的图象上，
∴，
解得，（舍），
∴．
25．（1）
，
，，
，
，
∽；
（2）∵，
，
，，，
，
的长是
26．（1）是的切线，点为切点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
可得（负值舍去）．
27．（1）把，代入，
得，
解得，
∴，
∴顶点D的坐标为；
（2）解：令，则，
∴，
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，，
∴当时，取最大值，
此时，
∴；
（3）设直线的解析式为，将，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
分以下两种情况：
当点P在点B的下方，如图，
∵，
∴，
∴可设直线的解析式为，将代入得，，
∴直线的解析式为，
令，
解得，，
∴令，则，
∴；
当点P在点B的上方，如图，交于点E，
设，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
令，
解得或，
令，则，
∴；
综上所述，抛物线上存在一点P，使得，P点的坐标为或．

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