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培优提升三　圆周运动的临界问题
(分值：100分)
选择题1～10题，12题，每小题8分，共88分。
对点题组练
题组一　水平面内圆周运动的临界问题
1.如图所示，质量不等的甲、乙两个物块放在水平圆盘上，两物块与水平圆盘的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，让圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，并逐渐增大转动的角速度，结果发现甲物块先滑动，其原因是(　　)
甲的质量比乙的质量小
甲的质量比乙的质量大
甲离转轴的距离比乙离转轴的距离小
甲离转轴的距离比乙离转轴的距离大
2.如图，一硬币(可视为质点)置于水平圆盘上，硬币与竖直转轴OO′的距离为r，已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，重力加速度大小为g。若硬币与圆盘一起绕OO′轴匀速转动，则圆盘转动的最大角速度为(　　)
2
3.如图所示，一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　)
rad/s rad/s
rad/s rad/s
题组二　竖直面内圆周运动的轻绳类模型
4.用一轻绳拉质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，若小球经过最高点的临界速度为v，则当小球以2v速度经过最高点时，小球对轻绳的拉力大小为(重力加速度大小为g)(　　)
0 mg
3mg 5mg
5.(多选)装有水的小桶用细绳拉着，绕固定点在竖直面内做圆周运动，经过最高点时桶口向下。已知水的质量是0.5 kg，绳长40 cm，桶可以视为质点，重力加速度g取10 m/s2。某次小桶经过圆周最高点，则(　　)
要使水不从桶口流出，桶的最小速度是2 m/s
当水恰好不从桶口流出时，水对桶底的压力大小是5 N
如果小桶的速度为4 m/s，则水对桶底的压力大小是20 N
如果小桶的速度为4 m/s，则水对桶底的压力大小是15 N
题组三　竖直面内圆周运动的轻杆类模型
6.(多选)如图所示，轻杆端固定在水平转轴O上，另一端固定一个小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小球运动至最高点时，轻杆对小球的作用力(　　)
方向一定竖直向上 方向可能竖直向下
大小可能为0 大小不可能为0
7.(多选)如图所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度ω＝的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
小球运动到最高点C时与杆作用力为零
小球运动到最高点C时球对杆的作用力大小为mg
小球运动到水平位置A时杆对球的作用力大小为2mg
小球运动到水平位置A时杆对球的作用力大小为mg
8.质量为m的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图所示。已知小球以速度v通过最高点时对圆管外壁的压力恰好为mg，则小球以速度通过圆管的最高点时(　　)
小球对圆管的内、外壁均无压力
小球对圆管的外壁的压力大小等于
小球对圆管的内壁压力大小等于
小球对圆管的内壁压力大小等于mg
综合提升练
9.(多选)如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B运动所需的向心力等于A运动所需的向心力
盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB
10.如图所示，质量为1.6 kg，半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B的直径略小于细圆管的内径。它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A球的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为零。则B球的速度大小vB为(g＝10 /s2)(　　)
2 m/s 4 m/s
6 m/s 8 m/s
11.(12分)如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置。两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高点A时，对管壁上部的压力为3mg，b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg，求a、b两球落地点间的距离。
培优加强练
12.(多选)如图甲所示，一长为R的轻绳，一端系在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动，小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系图像如图乙所示，图线与纵轴的交点坐标为a，重力加速度为g，下列判断正确的是(　　)
利用该装置可以得出重力加速度，且g＝
绳长不变，用质量较大的球做实验，得到的图线斜率更大
绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
绳长不变，用质量较小的球做实验，图线与纵轴的交点坐标不变
培优提升三　圆周运动的临界问题
1．D　[当最大静摩擦力提供向心力时，根据牛顿第二定律得μmg＝mω2r，解得发生滑动的临界角速度为ω＝，与质量无关，故A、B错误；动摩擦因数相同，由ω＝可知，甲物块先滑动的原因一定是甲离转轴的距离比乙离转轴的距离大，故C错误，D正确。]
2．B　[硬币做圆周运动的向心力由静摩擦力提供，当达到最大静摩擦力时，圆盘转动的角速度最大，则有μmg＝mω2r，解得ω＝，即圆盘转动的最大角速度为，故B正确。]
3．A　[若小球刚好要离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力沿水平方向，在水平方向由牛顿第二定律得mgtan θ＝mωlsin θ，解得ω0＝＝ rad/s，故A正确。]
4．C　[当小球以速度v经过最高点时，小球仅受重力作用，重力提供向心力，有mg＝m，当小球以速度2v经过最高点时，小球受重力mg和向下的拉力T，如图所示，合力提供向心力，有mg＋T＝m，又由牛顿第三定律可得，小球对轻绳的拉力与轻绳对小球的拉力大小相等，即T′＝T，由以上三式联立解得T′＝3mg，故选项C正确。]
5．AD　[桶经过最高点，水恰好不流出时，桶底对水的弹力是0，则有mg＝meq \f(v,L)，解得最小速率vmin＝＝ m/s＝2 m/s，A正确，B错误；水桶在最高点的速率v＝4 m/s时，设桶底对水的压力大小为FN，根据牛顿第二定律有FN＋mg＝m，解得FN＝m－mg＝15 N，根据牛顿第三定律可知水对桶底压力的大小FN′＝FN＝15 N，C错误，D正确。]
6．BC　[设杆长为R，当重力刚好提供小球做圆周运动的向心力时，杆对小球无作用力，此时有mg＝m，解得v＝，当v>时，杆对小球提供竖直向下的拉力，当v<时，杆对小球提供竖直向上的支持力，故B、C正确，A、D错误。]
7．AD　[小球运动到最高点C时，有FT＋mg＝mω2l，解得FT＝0，A正确，B错误；小球运动到水平位置A时有FT′＝mω2l＝mg，杆对球的作用力大小为F＝＝mg，C错误，D正确。]
8．C　[小球以速度v通过最高点时，由牛顿第三定律和牛顿第二定律得2mg＝m，设小球以速度通过圆管的最高点时，小球受向下的压力大小为FN，则有mg＋FN＝m，联立解得FN＝－，负号表示小球受到向上的支持力，由牛顿第三定律知小球对圆管内壁有向下的压力，大小为，故C正确。]
9．BC　[把A、B看作一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以摩擦力即物块所受合外力，提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，A错误；物块做匀速圆周运动，向心力F＝mω2r，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等，所以两者运动所需的向心力相等，B正确；由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，盘对B的摩擦力等于2F，C正确；若B相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg＜μAmg，即μB＜μA，D错误。]
10．B　[对A球，设管对A球的支持力为FA，由牛顿第二定律有FA－mAg＝mAeq \f(v,r)，代入数据解得FA＝28 N，由牛顿第三定律可得，A球对管的力方向向下，大小为FA′＝28 N；设B球对管的力为FB′，由管的受力平衡可得FB′＋FA′＋m环g＝0，解得FB′＝－44 N，负号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，管对B球的力FB为44 N，方向竖直向下，对B球由牛顿第二定律有FB＋mBg＝mBeq \f(v,r)，解得vB＝4 m/s，故B正确。]
11．3R
解析　设a球到达最高点时的速度为va，b球到达最高点时的速度为vb，根据题意及牛顿第二定律有
mg＋FNa＝meq \f(v,R)，mg－FNb＝meq \f(v,R)
其中FNa＝3mg，FNb＝0.75 mg
解得va＝2，vb＝
两小球脱离轨道后均做平抛运动，设从最高点到落地所用时间为t，则竖直方向有2R＝gt2，水平方向有xa＝vat，xb＝vbt，解得xa＝4R，xb＝R，故a、b两球落地点间的距离为Δx＝xa－xb＝3R。
12．CD　[由题图乙知当F＝0时，v2＝a，则有mg＝＝，解得g＝，故A错误；在最高点，根据牛顿第二定律得F＋mg＝m，整理得v2＝F＋gR，图线的斜率为k＝可知绳长不变，小球的质量越小，斜率越大，故B错误，C正确；由表达式v2＝F＋gR可知，当F＝0时，有v2＝gR＝a可知图线与纵轴的交点坐标与小球质量无关，故D正确。]培优提升三　圆周运动的临界问题
学习目标　1.知道滑动临界条件和分离临界条件，利用临界条件解决水平面内圆周运动的临界问题。2.理解无支撑物模型通过最高点的临界条件。3.会讨论竖直面内做圆周运动的轻杆上的作用力。
提升1　水平面内圆周运动的临界问题
物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。水平面内的圆周运动常见的临界问题：
(1)滑动临界
物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。
(2)分离临界
物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。
(3)松弛临界
绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。
(4)断裂临界
绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。
例1 如图所示，A、B两小物块放在一个水平的圆盘上，离圆盘中心O的距离分别为rA＝3R和rB＝2R，它们与圆盘之间的动摩擦因数分别为μA＝2μ、μB＝μ，并认为最大静摩擦力的大小等于滑动摩擦力。当圆盘绕着过O点的竖直轴转动的角速度ω从零开始缓慢增大时，则关于物块相对圆盘的滑动情况说法正确的是(　　)
A.物块A先滑动
B.物块B先滑动
C.同时开始滑动
D.两物块的质量关系未知，无法判断谁先滑动
例2 如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r。一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。
(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳恰好伸直，求ω1的值；
(2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值。
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提升2　竖直面内圆周运动的轻绳类模型
如图所示，细绳拉着的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，则有mg＝m，即v＝。
(1)v＝时，拉力或压力为零。
(2)v>时，小球受向下的拉力或压力。
(3)v<时，小球不能到达最高点，在到达最高点之前就已脱离圆轨道。
例3 如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求：
(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小；
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球运动过程中速度的最大值。
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训练1 (2024·辽宁大连高一期末)如图所示，游乐场里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒。若乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于其自身重力的一半，轨道半径为R，重力加速度为g，则此时过山车的速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
提升3　竖直面内圆周运动的轻杆类模型
如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况如下：
(1)当v＝0时，小球受向上的支持力FN＝mg。
(2)当0(3)当v＝时，小球除受重力之外不受其他力。
(4)当v>时，小球受杆的拉力或管的外壁对小球竖直向下的压力FN＝m－mg。速度越大，FN越大。
例4 长为L＝0.5 m、质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个小球A，A的质量为m＝2 kg，g取10 m/s2。当A通过最高点时，如图所示，求在下列两种情况下小球对杆的作用力：
(1)A在最高点的速度为1 m/s；
(2)A在最高点的速度为4 m/s。
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训练2 (多选)如图所示，有一半径为R的光滑圆管道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，则关于小球在过最高点时的速度v，下列叙述中正确的是(　　)
A.v的最小值是
B.v越大，管道对球的弹力越大
C.若v大于，v越大，管道对小球的弹力也越大
D.若v小于，v越小，管道对小球的弹力也越大
随堂对点自测
1.(水平面内圆周运动的临界问题)如图所示，半径为R的水平圆盘上放置两个相同的木块a和b，木块a放在圆盘的边缘处，木块b放在距圆心处，它们都随圆盘一起绕过圆盘中心的竖直轴转动，下列说法正确的是(　　)
A.两木块的线速度大小相等
B.两木块的角速度相等
C.若圆盘转速逐渐增大，木块b将先滑动
D.若圆盘转速逐渐增大，木块a、b将同时滑动
2.(水平面内圆周运动的临界问题)如图所示，有一竖直转轴以角速度ω匀速旋转，转轴上的A点有一长为L的细绳系有质量为m的小球，重力加速度大小为g。要使小球在随转轴匀速转动的同时又不离开光滑的水平面，则A点到水平面高度h最小为(　　)
A. B.ω2g
C. D.
3.(竖直面内圆周运动的轻绳类模型)(多选)如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，重力加速度大小为g，则其通过最高点时下列表述正确的是(　　)
A.小球对圆环的压力大小等于mg
B.重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力
C.小球的线速度大小等于
D.小球的向心加速度大小等于g
4.(竖直面内圆周运动的轻杆类模型)(多选)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B.小球过最高点的最小速度是
C.若小球过最高点的速度v>时，杆对小球的作用力竖直向下
D.若小球过最高点的速度v<时，速度v越小，杆对小球的作用力越大
培优提升三　圆周运动的临界问题
提升1
例1 B　[A所受的最大静摩擦力fAm＝2μmAg，则A刚要滑动时满足2μmAg＝mAω·3R，解得ωAm＝；同理B刚要滑动时满足μmBg＝mBω·2R，解得ωBm＝。则当圆盘绕着过O点的竖直轴转动的角速度ω从零开始缓慢增大时，物块B相对圆盘先滑动，选项B正确，A、C、D错误。]
例2 (1)　(2)
解析　(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳恰好伸直，则静摩擦力达到最大值，此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg＝mωr，解得ω1＝。
(2)物块恰好离开转盘，则FN＝0，物块只受重力和绳的拉力作用，如图所示，则有mgtan θ＝mωr
由几何关系可知tan θ＝
联立解得ω2＝。
提升2
例3 (1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s
解析　(1)小球刚好能够通过最高点时，重力提供向心力，有
mg＝meq \f(v,L)，解得v1＝＝2 m/s。
(2)小球通过最高点时的速度大小为v2＝4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，则有FT＋mg＝meq \f(v,L)，解得FT＝15 N。
(3)分析可知小球通过最低点时轻绳张力最大，在最低点时，由牛顿第二定律得FT′－mg＝meq \f(v,L)，将FT′＝45 N代入解得v3＝4 m/s，即小球运动过程中速度的最大值为4 m/s。
训练1 C　[乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于其自身重力的一半，则座椅对乘客的支持力也为重力的一半，由于在最高点时，乘客在座椅里面头朝下，所以座椅对乘客的支持力也朝下，则有FN＋mg＝m，FN＝0.5mg，联立解得v＝，故C正确。]
提升3
例4 (1)16 N，方向竖直向下　(2)44 N，方向竖直向上
解析　设小球A在最高点的速度为v0时，与杆之间恰好没有相互作用力，此时向心力完全由小球的重力提供，根据牛顿第二定律有mg＝meq \f(v,L)，代入数据解得v0＝ m/s。
(1)当A在最高点的速度为v1＝1 m/s时，因v1(2)当A在最高点的速度为v2＝4 m/s时，因v2>v0，所以此时小球A受到杆竖直向下的拉力作用，根据牛顿第二定律有mg＋F2＝meq \f(v,L)，代入数据解得F2＝44 N，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的作用力大小为44 N，方向竖直向上。
训练2 CD　[小球在最高点，管道对小球的作用力可以竖直向上，也可以竖直向下，所以v的最小值为零，A错误；当v＝时，根据牛顿第二定律有mg－FN＝m，可得管道对球的作用力FN＝0；当v<时，管道对小球的作用力方向竖直向上，根据牛顿第二定律得mg－FN＝m，v越小，管道对小球的弹力越大，D正确，B错误； v>时，管道对小球的作用力方向竖直向下，根据牛顿第二定律得mg＋FN＝m， v越大，管道对小球的弹力也越大， C正确。]
随堂对点自测
1．B　[两木块与圆盘一起转动，角速度相等，半径不等，根据v＝ωr可知，a的线速度是b的线速度的2倍，选项A错误，B正确；根据F＝mω2r可知，随着圆盘转速的增大，木块所需要的向心力也逐渐增大，且转动半径越大，需要的向心力越大，而两木块完全相同，与水平圆盘间的最大静摩擦力相同，故木块a先滑动，选项C、D错误。]
2．A　[当小球对水平面的压力恰好为零时，设细绳与转轴的夹角为θ，有FTcos θ＝mg，FTsin θ＝mω2Lsin θ，解得cos θ＝，则A点到水平面高度h最小为h＝Lcos θ＝，故选项A正确，B、C、D错误。]
3．BCD　[因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，则有mg＝m＝ma，即v＝，a＝g，选项B、C、D正确。]
4．ACD　[当小球过最高点的速度v＝时，重力恰好提供向心力，杆所受到的弹力等于零，故A正确；因为杆可以对小球提供向上的支持力，故小球过最高点时最小速度为0，故B错误；若小球过最高点的速度v>，则重力比所需要的向心力小，杆对小球的作用力竖直向下，故C正确；若小球过最高点的速度v<时，杆对小球的作用力方向竖直向上，此时有mg－F＝，v越小，杆对小球的作用力F越大，故D正确。](共54张PPT)
培优提升三　圆周运动的临界问题
第二章　圆周运动
1.知道滑动临界条件和分离临界条件，利用临界条件解决水平面内圆周运动的临界问题。
2.理解无支撑物模型通过最高点的临界条件。
3.会讨论竖直面内做圆周运动的轻杆上的作用力。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　竖直面内圆周运动的轻绳类模型
提升1　水平面内圆周运动的临界问题
提升3　竖直面内圆周运动的轻杆类模型
提升1　水平面内圆周运动的临界问题
物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。水平面内的圆周运动常见的临界问题：
(1)滑动临界
物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。
(2)分离临界
物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。
(3)松弛临界
绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。
(4)断裂临界
绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。
B
例1 如图所示，A、B两小物块放在一个水平的圆盘上，离圆盘中心O的距离分别为rA＝3R和rB＝2R，它们与圆盘之间的动摩擦因数分别为μA＝2μ、μB＝μ，并认为最大静摩擦力的大小等于滑动摩擦力。当圆盘绕着过O点的竖直轴转动的角速度ω从零开始缓慢增大时，则关于物块相对圆盘的滑动情况说法正确的是(　　)
A.物块A先滑动
B.物块B先滑动
C.同时开始滑动
D.两物块的质量关系未知，无法判断谁先滑动
(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳恰好伸直，求ω1的值；
(2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值。
提升2　竖直面内圆周运动的轻绳类模型
例3 如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求：
(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小；
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球运动过程中速度的最大值。
训练1 (2024·辽宁大连高一期末)如图所示，游乐场里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒。若乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于其自身重力的一半，轨道半径为R，重力加速度为g，则此时过山车的速度大小为(　　)
C
提升3　竖直面内圆周运动的轻杆类模型
如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况如下：
例4 长为L＝0.5 m、质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个小球A，A的质量为m＝2 kg，g取10 m/s2。当A通过最高点时，如图所示，求在下列两种情况下小球对杆的作用力：
(1)A在最高点的速度为1 m/s；
(2)A在最高点的速度为4 m/s。
答案　(1)16 N，方向竖直向下　(2)44 N，方向竖直向上
训练2 (多选)如图所示，有一半径为R的光滑圆管道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，则关于小球在过最高点时的速度v，下列叙述中正确的是(　　)
CD
随堂对点自测
2
B
A
2.(水平面内圆周运动的临界问题)如图所示，有一竖直转轴以角速度ω匀速旋转，转轴上的A点有一长为L的细绳系有质量为m的小球，重力加速度大小为g。要使小球在随转轴匀速转动的同时又不离开光滑的水平面，则A点到水平面高度h最小为(　　)
BCD
3.(竖直面内圆周运动的轻绳类模型)(多选)如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，重力加速度大小为g，则其通过最高点时下列表述正确的是(　 　)
ACD
4.(竖直面内圆周运动的轻杆类模型)(多选)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　 　)
课后巩固训练
3
D
题组一　水平面内圆周运动的临界问题
1.如图所示，质量不等的甲、乙两个物块放在水平圆盘上，两物块与水平圆盘的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，让圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，并逐渐增大转动的角速度，结果发现甲物块先滑动，其原因是(　　)
对点题组练
A.甲的质量比乙的质量小
B.甲的质量比乙的质量大
C.甲离转轴的距离比乙离转轴的距离小
D.甲离转轴的距离比乙离转轴的距离大
B
2.如图，一硬币(可视为质点)置于水平圆盘上，硬币与竖直转轴OO′的距离为r，已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，重力加速度大小为g。若硬币与圆盘一起绕OO′轴匀速转动，则圆盘转动的最大角速度为(　　)
A
3.如图所示，一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　)
C
题组二　竖直面内圆周运动的轻绳类模型
4.用一轻绳拉质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，若小球经过最高点的临界速度为v，则当小球以2v速度经过最高点时，小球对轻绳的拉力大小为(重力加速度大小为g)(　　)
A.0 B.mg C.3mg D.5mg
AD
5.(多选)装有水的小桶用细绳拉着，绕固定点在竖直面内做圆周运动，经过最高点时桶口向下。已知水的质量是0.5 kg，绳长40 cm，桶可以视为质点，重力加速度g取10 m/s2。某次小桶经过圆周最高点，则(　　)
A.要使水不从桶口流出，桶的最小速度是2 m/s
B.当水恰好不从桶口流出时，水对桶底的压力大小是5 N
C.如果小桶的速度为4 m/s，则水对桶底的压力大小是20 N
D.如果小桶的速度为4 m/s，则水对桶底的压力大小是15 N
BC
题组三　竖直面内圆周运动的轻杆类模型
6.(多选)如图所示，轻杆端固定在水平转轴O上，另一端固定一个小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小球运动至最高点时，轻杆对小球的作用力(　　)
A.方向一定竖直向上 B.方向可能竖直向下
C.大小可能为0 D.大小不可能为0
AD
C
BC
9.(多选)如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
综合提升练
A.A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B.B运动所需的向心力等于A运动所需的向心力
C.盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D.若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB
解析　把A、B看作一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以摩擦力即物块所受合外力，提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，A错误；物块做匀速圆周运动，向心力F＝mω2r，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等，所以两者运动所需的向心力相等，B正确；由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，盘对B的摩擦力等于2F，C正确；若B相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg＜μAmg，即μB＜μA，D错误。
B
10.如图所示，质量为1.6 kg，半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B的直径略小于细圆管的内径。它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A球的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为零。则B球的速度大小vB为(g＝10 m/s2)(　　)
A.2 m/s B.4 m/s
C.6 m/s D.8 m/s
11.如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置。两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高点A时，对管壁上部的压力为3mg，b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg，求a、b两球落地点间的距离。
答案　3R
解析　设a球到达最高点时的速度为va，b球到达最高点时的速度为vb，根据题意及牛顿第二定律有
xb＝vbt
解得xa＝4R，xb＝R
故a、b两球落地点间的距离为Δx＝xa－xb＝3R。
CD
12.(多选)如图甲所示，一长为R的轻绳，一端系在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动，小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系图像如图乙所示，图线与纵轴的交点坐标为a，重力加速度为g，下列判断正确的是(　　)
培优加强练

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