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第七节　生产和生活中的机械能守恒
(分值：80分)
选择题1～2题，5～6题，每小题10分，共40分。
对点题组练
题组一　机械能守恒与自由落体模型的综合
1.如图所示，水龙头出水口的横截面积为S，出水口到水面的距离为h，水离开出水口时的速度大小为v0。假设水在下落的过程中不散开，水面的高度不变化，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则(　　)
水下落到水面前瞬间的速度为
水下落到水面前瞬间的速度为eq \r(v－2gh)
水柱在接近水面时的横截面积为eq \f(S\r(v－2gh),v0)
水柱在接近水面时的横截面积为eq \f(v0S,\r(v＋2gh))
2.(多选)一物体从某高度自由落下，下列关于从静止开始的相邻相等的两段时间内的运动过程说法正确的是(　　)
第一段和第二段运动过程的机械能变化量相等
第一段和第二段运动过程的速度变化量之比为1∶2
第一段和第二段运动过程的动能变化量之比为1∶3
第一段和第二段运动过程的重力势能变化量之比为1∶4
题组二　机械能守恒与平抛运动模型综合
3.(20分)跳台滑雪是滑雪爱好者喜欢的一种运动，某滑雪轨道可以简化成如图所示的示意图，其中助滑雪道CB段长L＝40 m，且与水平方向夹角α＝37°，BO段是水平起跳台，OA段是着陆雪道，CB段与BO段用一小段光滑圆弧相连，滑雪者从助滑雪道CB上的C点在自身重力作用下由静止开始运动，滑到O点水平飞出，此时速度大小v0＝20 m/s，不计空气阻力，经t＝2 s落在着陆雪道上的A点，已知滑雪者和装备的总质量为m＝50 kg(可视为质点)，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)(10分)滑雪者经过CO段过程中减少的机械能E减；
(2)(10分)滑雪者即将落到A点时的动能EkA。
题组三　机械能守恒与圆周运动模型综合
4.(20分)游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来，如图甲所示。我们把这种情况抽象为如图乙所示的模型：半径为R的圆弧轨道竖直放置，下端与弧形轨道相切，使质量为m的小球从弧形轨道上端无初速度滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动。实验表明，只要h大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点(不考虑空气及摩擦阻力)。
(1)(10分)若小球恰能通过最高点，则小球在最高点的速度为多大？此时对应的h多高？
(2)(10分)若h′＝4R，则小球在通过圆轨道的最高点时对轨道的压力是多少？
综合提升练
5.如图所示，可视为质点的小球以初速度v0从光滑斜面底端向上滑，恰能到达高度为h的斜面顶端。下图四种运动中小球在最低点的水平初速度都为v0，不计空气阻力，则小球不能到达高度h的是(　　)
图A中小球滑入轨道半径等于h的光滑管道
图B中小球系在半径大于h而小于h的轻绳下端
图C中小球滑入半径大于h的光滑轨道
图D中小球固定在长为h的轻杆下端
6.(多选)如图所示，光滑半球的半径为R，球心为O，固定在水平面上，其上方有一个光滑曲面轨道AB，高度为。轨道底端水平并与半球顶端相切于B点，质量为m的小球由A点静止滑下，最后落在水平面上的C点。重力加速度为g，则(　　)
小球运动到B点的速度为
小球运动到B点时对光滑半球的压力为mg
小球离开B点后将做平抛运动
小球运动到C点时的速率为
第七节　生产和生活中的机械能守恒
1．D　[设水柱落到水面前瞬间的速度为v1，由机械能守恒定律得mv＋mgh＝mv，解得v1＝eq \r(v＋2gh)，故A、B错误；相同时间，上、下部分水柱体积相同，即h上S上＝h下S下，则v0tS上＝v1tS下，解得S下＝eq \f(v0S,\r(v＋2gh))，故C错误，D正确。]
2．AC 　[自由落体过程中物体机械能守恒，第一阶段和第二阶段机械能变化量均为零，A正确；自由落体运动过程中物体在相等的时间内的速度变化量之比为1∶1，B错误；根据机械能守恒定律知，物体的重力势能转化为动能，动能变化量等于重力做的力，故物体的动能变化量之比等于位移之比为1∶3，C正确；重力势能变化量之比等于位移之比为1∶3，D错误。]
3．(1)2 000 J　(2)2×104 J
解析　(1)滑雪者经过CO段过程中减少的机械能
E减＝mgLsin37°－mv，代入数据解得E减＝2 000 J。
(2)在OA段滑雪者下落的竖直高度h＝gt2＝20 m
滑雪者即将落到A点时的动能
EkA＝mv＋mgh＝×50×202 J＋50×10×20 J＝2×104 J。
4．(1)　2.5R　(2)3mg
解析　(1)小球恰能通过最高点，即小球通过最高点时恰好不受轨道的压力，由牛顿第二定律得mg＝m
小球在最高点处的速度至少为v＝
小球由静止运动到最高点的过程中，只有重力做功，由机械能守恒定律mgh＝mv2＋mg·2R，联立解得h＝2.5R。
(2)h′＝4R时，小球由静止运动到最高点的过程中，由机械能守恒定律得mgh′＝mv′2＋mg·2R，解得v′＝2
小球在最高点，由牛顿第二定律得FN＋mg＝m
得FN＝3mg，，根据牛顿第三定律知，小球在通过圆轨道最高点时对轨道的压力是3mg。
5．B　[图A、C、D中小球到达h高度的速度可以为零，根据机械能守恒定律得，mgh＋0＝mgh′＋0，则h′＝h，故A、C、D不符合题意；图B中小球到达h高度时的速度不能为零，否则无法做圆周运动，故B符合题意。]
6．ACD　[小球从A到B的过程中，根据机械能守恒定律可得mg·＝mv2，解得v＝，A正确；在B点，当重力恰好提供向心力时，有mg＝meq \f(v,R)，解得vB＝，所以当小球到达B点时，对光滑半球的压力为零，即从B点开始做平抛运动，B错误，C正确；对整个过程由机械能守恒定律，有mg·R＝mv，解得vC＝，故D正确。]第七节　生产和生活中的机械能守恒
学习目标　1.深入理解机械能守恒定律，体会应用能量观点解决问题的思路。
2.能用机械能守恒定律分析生产和生活中的有关问题。
知识点一　机械能守恒与自由落体模型的综合
落锤打桩机主要由桩锤、卷扬机和导向架组成，分析桩锤自由下落时的做功和能量转化情况。
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1.自由落体模型是一种简单、简洁的运动模型，该运动模型中物体只受重力，机械能守恒。
2.求解自由落体的速度既可以用匀变速直线运动的规律，也可以用动能定理或机械能守恒定律，但求解能量时只能用动能定理或机械能守恒定律，机械能守恒定律比动能定理更简洁，不用考虑中间过程，只考虑始末状态即可。
例1 打桩机重锤的质量为1×103 kg，把它提升到离地高度为20 m处，由静止释放，不计空气阻力(取地面为参考平面，g＝10 m/s2)。求：
(1)重锤下落过程重力的平均功率；
(2)重锤落到地面时的动能和机械能；
(3)重锤下落至何处时，动能等于重力势能的3倍。
　
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知识点二　机械能守恒与抛体运动模型的综合
跳台滑雪的轨道主要由助滑坡AB、起跳平台BC和着陆坡CD组成。其示意图如图所示，试分析从A→B直线运动；C→F平抛运动，两个过程的能量转化情况。
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1.抛体运动模型包括上抛、下抛、平抛、斜抛等，各种抛体运动模型中物体只受重力作用，物体的机械能守恒，如果只求解速度的大小，应用机械能守恒最简单。
2.如果求解时间或者涉及速度的方向，宜用分解的思想化曲为直，将曲线运动分解为简单的直线运动，再求解。
3.若涉及多过程问题，前一个过程的末速度即为后一个过程的初速度，前一个过程的末动能即为后一个过程的初动能。
例2 如图为一跳台滑雪雪道的示意图。假设运动员从雪道的最高处A点由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑雪道到达跳台B点时速度多大？当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多大？(设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦和空气阻力，g取10 m/s2)
　
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知识点三　机械能守恒与圆周运动模型的综合
过山车由倾斜轨道和圆形轨道组成。思考：若过山车从与C点等高的倾斜轨道上释放，可以安全通过圆形轨道吗？
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1.圆周运动模型中如果圆弧轨道光滑，忽略空气阻力，此时物体除了受到重力作用，还有圆弧轨道的支持力或者绳子的拉力，但弹力与速度垂直不做功，物体的机械能守恒。
2.在竖直面内的圆周运动模型中，经常在最高点(或等效最高点)、最低点(或等效最低点)应用合力提供向心力列方程，其中动能和向心力的联系是表达式中有相同的部分为mv2。
3.解题时题眼往往是恰好通过圆周的最高点，一般通过最高点的临界速度为。
例3 如图是一个设计“过山车”的试验装置的原理示意图，斜面AB与竖直面内的圆形轨道在B点平滑连接，斜面AB和圆形轨道都是光滑的，圆形轨道半径为R，一个质量为m的小车(可视为质点)在A点由静止释放沿斜面滑下，小车恰能通过圆形轨道的最高点C。已知重力加速度为g。求：
(1)A点距水平面的高度h；
(2)运动到B点时小车对圆形轨道压力的大小。
　
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训练 (多选)特战队员在进行训练时，抓住一端固定在同一水平高度的绳索的另一端，从高度一定的平台上由水平状态无初速度开始下摆，如图所示，在绳索到达竖直状态时特战队员放开绳索，随后被水平抛出直到落地。不计绳索质量和空气阻力，特战队员可看成质点，绳索一直处于伸直状态。下列说法正确的是(　　)
A.绳索越长，特战队员落地时的速率越大
B.绳索越长，特战队员落地时的水平位移越大
C.绳索越长，特战队员落地时的水平方向速度越大
D.绳索越长，特战队员落地时的竖直方向速度越小
随堂对点自测
1.(机械能守恒与自由落体模型的综合)一物体由h高处自由落下，以地面为参考平面，当物体的动能等于势能时，物体的速度为(　　)
A. B.2
C.3 D.4
2.(机械能守恒与抛体运动模型的综合)如图所示，水平地面上固定一个光滑轨道ABC，该轨道由两个半径均为R的四分之一圆弧平滑连接而成，O1、O2分别为两段圆弧所对应的圆心，O1、O2的连线竖直，现将一质量为m的小球(可视为质点)由轨道上的A点静止释放，则小球落地点到A点的水平距离为(　　)
A.2R B.R
C.3R D.R
3.(机械能守恒与圆周运动模型的综合)水平光滑直轨道ab与半径为R的竖直半圆形光滑轨道bc相切，一质量为m的小球以一定初速度沿直轨道向右运动，如图所示，小球进入圆形轨道后刚好能通过c点，然后小球做平抛运动落在直轨道上的d点，则(　　)
A.小球到达c点的动能为mgR
B.小球的初速度为
C.小球到达b点时对轨道的压力为5mg
D.小球在直轨道上的落点d与b点距离为R
第七节　生产和生活中的机械能守恒
知识点一
导学　提示　只有重力做功，重力势能转化为动能
例1 (1)1×105 W　(2)2×105 J　2×105 J　(3)5 m
解析　(1)下落过程重力做功WG＝mgh＝2×105 J
由h＝gt2得下落时间t＝＝2 s
所以重力的平均功率为＝＝1×105 W。
(2)由动能定理得落地时重锤的动能Ek＝mgh＝2×105 J
以地面为参考平面，则Ep＝0
机械能E＝Ek＋Ep＝2×105 J。
(3)设离地高度为h′时其动能等于重力势能的3倍
即Ek′＝3Ep′
由机械能守恒定律得E＝Ek′＋Ep′，Ep′＝mgh′
联立解得h′＝5 m
即重锤下落至离地5 m高处，其动能为重力势能的3倍。
知识点二
导学　提示　从A→B下滑过程：重力势能转化为动能；C→F腾空过程机械能守恒。
例2 4 m/s　2 m/s
解析　取B点所在水平面为参考平面．由题意知A点和B点的高度差h1＝4 m，B点和C点的高度差h2＝10 m
从A点到B点的过程，由机械能守恒定律得mgh1＝mv
解得vB＝＝4m/s。
从B点到C点的过程，由机械能守恒定律得
mv＝－mgh2＋mv
解得vC＝＝2m/s。
知识点三
导学　提示　不可以
例3 (1)2.5R　(2)6mg
解析　(1)小车恰能通过最高点C，则有mg＝eq \f(mv,R)
解得vC＝
由A运动到C，根据机械能守恒定律得mgh＝mg·2R＋mv
解得h＝2.5R。
(2)由A运动到B，根据机械能守恒定律得mgh＝mv
解得vB＝
小车在B点，由牛顿第二定律得FN－mg＝eq \f(mv,R)
解得FN＝6mg
由牛顿第三定律可知，运动到B点时小车对圆形轨道的压力大小为6mg。
训练 CD　[设平台距离地面的高度为H，特战队员落地时的速率为v，特战队员从开始下摆到落地，绳索的拉力不做功，根据机械能守恒定律有mgH＝mv2，得v＝，v的大小与绳索长度无关，故A错误；设绳索的长度为L，放开绳索时，特战队员的水平速度为v1，则特战队员在抓住绳索下摆的过程中，根据机械能守恒定律有mgL＝mv，得v1＝，特战队员放开绳索后做平抛运动，则特战队员总的水平位移大小x＝L＋v1t，又在竖直方向上有H－L＝gt2，得x＝L＋2，若绳索越长，则对应L越大，v1越大，令L＝H得x＝L，不是x的最大值，故B错误，C正确；特战队员落地时的竖直方向速度大小为vy＝eq \r(v2－v)＝，故D正确。]
随堂对点自测
1．A　[设物体动能等于势能时速度为v，根据机械能守恒定律有mv2＋Ep＝mgh，又mv2＝Ep，解得v＝，A正确。]
2．C　[由机械能守恒定律，可得mgR＝mv2，小球下滑至B点时的速度v＝，方向水平向右。在B点做圆周运动的临界速度v0＝，由于v>v0，所以小球将做平抛运动，结合平抛运动规律y＝R＝gt2，x＝vt，得x＝2R，则小球落地点到A点的水平距离为3R，故C正确。]
3．B　[小球进入圆形轨道后刚好能通过c点，则mg＝meq \f(v,R)，得vc＝，小球到达c点的动能为Ek＝mv＝mgR，A错误；小球从a点到c点，根据机械能守恒，有mv＝mv＋mg·2R，解得v0＝，B正确；小球到达b点时由牛顿第二定律，有F－mg＝eq \f(mv,R)，解得轨道对小球的支持力F＝6mg，根据牛顿第三定律知小球对轨道的压力为6mg，故C错误；小球离开c点做平抛运动，由2R＝gt2得t＝2， 小球在直轨道上的落点d与b点距离x＝vct＝2R，D错误。](共39张PPT)
第七节　生产和生活中的机械能守恒
第四章　机械能及其守恒定律
1.深入理解机械能守恒定律，体会应用能量观点解决问题的思路。
2.能用机械能守恒定律分析生产和生活中的有关问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　机械能守恒与抛体运动模型的综合
知识点一　机械能守恒与自由落体模型的综合
知识点三　机械能守恒与圆周运动模型的综合
知识点一　机械能守恒与自由落体模型的综合
落锤打桩机主要由桩锤、卷扬机和导向架组成，分析桩锤自由下落时的做功和能量转化情况。
提示　只有重力做功，重力势能转化为动能
1.自由落体模型是一种简单、简洁的运动模型，该运动模型中物体只受重力，机械能守恒。
2.求解自由落体的速度既可以用匀变速直线运动的规律，也可以用动能定理或机械能守恒定律，但求解能量时只能用动能定理或机械能守恒定律，机械能守恒定律比动能定理更简洁，不用考虑中间过程，只考虑始末状态即可。
例1 打桩机重锤的质量为1×103 kg，把它提升到离地高度为20 m处，由静止释放，不计空气阻力(取地面为参考平面，g＝10 m/s2)。求：
(1)重锤下落过程重力的平均功率；
(2)重锤落到地面时的动能和机械能；
(3)重锤下落至何处时，动能等于重力势能的3倍。
答案　(1)1×105 W　(2)2×105 J　2×105 J (3)5 m
(2)由动能定理得落地时重锤的动能Ek＝mgh＝2×105 J
以地面为参考平面，则Ep＝0
机械能E＝Ek＋Ep＝2×105 J。
(3)设离地高度为h′时其动能等于重力势能的3倍
即Ek′＝3Ep′
由机械能守恒定律得E＝Ek′＋Ep′
Ep′＝mgh′
联立解得h′＝5 m
即重锤下落至离地5 m高处，其动能为重力势能的3倍。
知识点二　机械能守恒与抛体运动模型的综合
跳台滑雪的轨道主要由助滑坡AB、起跳平台BC和着陆坡CD组成。其示意图如图所示，试分析从A→B直线运动；C→F平抛运动，两个过程的能量转化情况。
提示　从A→B下滑过程：重力势能转化为动能；C→F腾空过程机械能守恒。
1.抛体运动模型包括上抛、下抛、平抛、斜抛等，各种抛体运动模型中物体只受重力作用，物体的机械能守恒，如果只求解速度的大小，应用机械能守恒最简单。
2.如果求解时间或者涉及速度的方向，宜用分解的思想化曲为直，将曲线运动分解为简单的直线运动，再求解。
3.若涉及多过程问题，前一个过程的末速度即为后一个过程的初速度，前一个过程的末动能即为后一个过程的初动能。
例2 如图为一跳台滑雪雪道的示意图。假设运动员从雪道的最高处A点由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑雪道到达跳台B点时速度多大？当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多大？(设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦和空气阻力，g取10 m/s2)
知识点三　机械能守恒与圆周运动模型的综合
过山车由倾斜轨道和圆形轨道组成。思考：若过山车从与C点等高的倾斜轨道上释放，可以安全通过圆形轨道吗？
提示　不可以
例3 如图是一个设计“过山车”的试验装置的原理示意图，斜面AB与竖直面内的圆形轨道在B点平滑连接，斜面AB和圆形轨道都是光滑的，圆形轨道半径为R，一个质量为m的小车(可视为质点)在A点由静止释放沿斜面滑下，小车恰能通过圆形轨道的最高点C。已知重力加速度为g。求：
(1)A点距水平面的高度h；
(2)运动到B点时小车对圆形轨道压力的大小。
答案　(1)2.5R　(2)6mg
训练 (多选)特战队员在进行训练时，抓住一端固定在同一水平高度的绳索的另一端，从高度一定的平台上由水平状态无初速度开始下摆，如图所示，在绳索到达竖直状态时特战队员放开绳索，随后被水平抛出直到落地。不计绳索质量和空气阻力，特战队员可看成质点，绳索一直处于伸直状态。下列说法正确的是(　　)
A.绳索越长，特战队员落地时的速率越大
B.绳索越长，特战队员落地时的水平位移越大
C.绳索越长，特战队员落地时的水平方向速度越大
D.绳索越长，特战队员落地时的竖直方向速度越小
CD
随堂对点自测
2
A
C
2.(机械能守恒与抛体运动模型的综合)如图所示，水平地面上固定一个光滑轨道ABC，该轨道由两个半径均为R的四分之一圆弧平滑连接而成，O1、O2分别为两段圆弧所对应的圆心，O1、O2的连线竖直，现将一质量为m的小球(可视为质点)由轨道上的A点静止释放，则小球落地点到A点的水平距离为(　　)
B
3.(机械能守恒与圆周运动模型的综合)水平光滑直轨道ab与半径为R的竖直半圆形光滑轨道bc相切，一质量为m的小球以一定初速度沿直轨道向右运动，如图所示，小球进入圆形轨道后刚好能通过c点，然后小球做平抛运动落在直轨道上的d点，则(　　)
课后巩固训练
3
D
题组一　机械能守恒与自由落体模型的综合
1.如图所示，水龙头出水口的横截面积为S，出水口到水面的距离为h，水离开出水口时的速度大小为v0。假设水在下落的过程中不散开，水面的高度不变化，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则(　　)
对点题组练
AC
2.(多选)一物体从某高度自由落下，下列关于从静止开始的相邻相等的两段时间内的运动过程说法正确的是(　　)
A.第一段和第二段运动过程的机械能变化量相等
B.第一段和第二段运动过程的速度变化量之比为1∶2
C.第一段和第二段运动过程的动能变化量之比为1∶3
D.第一段和第二段运动过程的重力势能变化量之比为1∶4
解析　自由落体过程中物体机械能守恒，第一阶段和第二阶段机械能变化量均为零，A正确；自由落体运动过程中物体在相等的时间内的速度变化量之比为1∶1，B错误；根据机械能守恒定律知，物体的重力势能转化为动能，动能变化量等于重力做的力，故物体的动能变化量之比等于位移之比为1∶3，C正确；重力势能变化量之比等于位移之比为1∶3，D错误。
题组二　机械能守恒与平抛运动模型综合
3.跳台滑雪是滑雪爱好者喜欢的一种运动，某滑雪轨道可以简化成如图所示的示意图，其中助滑雪道CB段长L＝40 m，且与水平方向夹角α＝37°，BO段是水平起跳台，OA段是着陆雪道，CB段与BO段用一小段光滑圆弧相连，滑雪者从助滑雪道CB上的C点在自身重力作用下由静止开始运动，滑到O点水平飞出，此时速度大小v0＝20 m/s，不计空气阻力，经t＝2 s落在着陆雪道上的A点，已知滑雪者和装备的总质量为m＝50 kg(可视为质点)，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)滑雪者经过CO段过程中减少的机械能E减；
(2)滑雪者即将落到A点时的动能EkA。
答案　(1)2 000 J　(2)2×104 J
题组三　机械能守恒与圆周运动模型综合
4.游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来，如图甲所示。我们把这种情况抽象为如图乙所示的模型：半径为R的圆弧轨道竖直放置，下端与弧形轨道相切，使质量为m的小球从弧形轨道上端无初速度滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动。实验表明，只要h大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点。(不考虑空气及摩擦阻力)
(1)若小球恰能通过最高点，则小球在最高点的速度为多大？此时对应的h多高？
(2)若h′＝4R，则小球在通过圆轨道的最高点时对轨道的压力是多少？
B
综合提升练
5.如图所示，可视为质点的小球以初速度v0从光滑斜面底端向上滑，恰能到达高度为h的斜面顶端。下图四种运动中小球在最低点的水平初速度都为v0，不计空气阻力，则小球不能到达高度h的是(　　)
ACD

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