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培优提升九　机械能守恒定律的应用
(分值：100分)
选择题1～7题，每小题10分，共70分。
对点题组练
题组一　多物体的机械能守恒问题
1.(多选)如图所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，mB>mA，此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦地转动。现使轻杆从水平位置无初速度释放，发现杆绕O沿顺时针方向转动，则杆从释放至转动90°的过程中(　　)
B球的动能增大，机械能增大
A球的重力势能和动能都增大
A球的重力势能和动能的增加量等于B球的重力势能的减少量
A球和B球的总机械能守恒
2.(多选)(2024·广东广州高一期末)如图所示，两个可视为质点的质量相同的小球a、b分别被套在刚性轻杆的中点位置和其中一端的端点处，两球相对于杆固定不动，杆总长LOb＝2 m，轻杆的另一端可绕固定点O自由转动。装置在竖直平面内由水平位置静止释放到杆恰好摆至竖直状态，在此过程中不计一切摩擦，重力加速度g＝10 m/s2，则关于此过程下列说法正确的是(　　)
杆竖直状态时a、b两球重力的瞬时功率相同
杆竖直状态时b球的速度大小为 m/s
轻杆对a、b球均不做功
a球机械能减小，b球机械能增加
题组二　非质点类物体的机械能守恒问题
3.如图所示，一个质量为m、质量分布均匀的细链条长为L，置于光滑水平桌面上，用手按住一端，使长部分垂在桌面下(桌面高度大于链条长度，重力加速度为g)。现将链条由静止释放，则其上端刚离开桌面时链条的动能为(　　)
0 mgL
mgL mgL
4.如图，总长为l、质量为m的均匀软绳对称地挂在轻质小滑轮上，用细线将质量也为m的物块与软绳连接。将物块由静止释放，直到软绳刚好全部离开滑轮，不计一切摩擦，重力加速度为g，则(　　)
刚释放时细线的拉力大小为mg
该过程中物块的机械能减少了mgl
该过程中软绳的重力势能减少了mgl
软绳离开滑轮时速度大小为
综合提升练
5.(多选)如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两中心有孔的相同小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程中，下列说法中正确的是(　　)
M球的机械能守恒
M球的机械能减小
M球和N球组成的系统的机械能守恒
绳的拉力对N球做负功
6.(2024·广东广州高一期末)如图所示，小物块A套在水平杆上，一轻绳跨过固定的小滑轮O分别连接小物块A和小球B。系统开始时静止在图示位置，此时轻绳与水平杆间夹角为α＝30°。已知小物块A与小球B的质量之比为2∶1，杆上P点位于滑轮O正上方，且OP＝d，重力加速度为g，不计空气阻力和一切摩擦。则系统由静止释放至小物块A运动到P点的过程中(　　)
小物块A和小球B的速度大小始终相等
任一时刻轻绳对小物块A和小球B做功的功率大小均相等
小球B的机械能守恒
运动到P点时，小物块A的速度大小为
7.如图所示，甲图中一长度为L的均匀链条，总质量为2m，一半放在水平桌面上，一半竖直下垂。乙图中两个质量均为m的小球，一个放在水平桌面上，一个竖直下垂，中间用不计质量、长度为L的细绳相连，水平部分和竖直部分长度相等，小球可以视为质点。现给均匀链条和小球一个小扰动，使得两者都刚好离开水平桌面。取水平桌面所在的平面为零势能参考面，重力加速度大小为g，这个过程中，下列说法正确的是(　　)
甲的重力势能减少了mgL
乙的重力势能减少了mgL
甲的重力做的功小于乙的重力做的功
甲、乙重力势能的减少量相等
8.(12分)如图所示，斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，物块A和B均可视为质点，通过细绳连接并跨过定滑轮。开始时两物块都位于与地面距离为H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B竖直下落，B落地后不反弹。若物块A恰好能到达斜面的顶点，试求m1和m2的比值(滑轮的质量、半径和摩擦以及空气阻力均可忽略不计)。
培优加强练
9.(18分)如图所示，在长为L的轻杆的中点和端点处分别固定质量均为m的小球A、B，杆可绕轴O无摩擦转动，使杆从水平位置无初速度释放(不计空气阻力，重力加速度为g)。
(1)(9分)当杆转到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
(2)(9分)在杆转到竖直位置的过程中，轻杆对A、B两球分别做了多少功？
培优提升九　机械能守恒定律的应用
1．BD　[A球运动的速度增大，高度增大，所以动能和重力势能均增大，故A球的机械能增大；B球运动的速度增大，所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小；对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，因为A球的机械能增大，故B球的机械能减小，故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量，选项A、C错误，B、D正确。]
2．AD　[杆转动到竖直位置时，速度方向都是水平方向，而重力是竖直向下，所以重力的功率均为零，A正确；装置在竖直平面内由水平位置静止释放到杆恰好摆至竖直状态的过程中，系统机械能守恒，则mgLOb＋mg＝mv＋mv，其中vb＝2va，联立解得vb＝2＝4 m/s，va＝＝2 m/s，B错误；若摆到竖直位置的过程中杆对小球a不做功，那么对于小球a，有mg＝mv，解得va＝＝2 m/s>2 m/s，所以杆对小球a做负功，C错误；根据上述分析可知，杆对小球a做负功，小球a的机械能减少，又因为系统机械能守恒，所以杆对小球b做正功，小球b机械能增加，D正确。]
3．D　[取桌面下处为参考平面，根据机械能守恒定律得Ek＝WG＝·＋·＝mgL，D正确。]
4．D　[刚释放时，物块m有加速度，有mg－T＝ma，拉力小于mg，故A错误；物块的重力势能减小mgl，但物块也获得了速度，即动能增加，故机械能损失小于mgl，故B错误；因为绳子均匀，把绳子的重心看作在绳子的中点，所以绳子相当于向下移动了l，减小的重力势能为mgl，故C错误；对绳和物块组成的系统，由机械能守恒定律得mg·l＋mgl＝×2mv2，解得速度v＝，故D正确。]
5．BC　[因M球下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增大，但M球和N球组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误。]
6．B　[根据运动的合成与分解可知，将小物块A的速度分解为沿绳方向和垂直绳方向，小球B的速度沿绳方向，所以二者速度关系为vAcos α＝vB，可知A、B速度大小不相等，故A错误；由于A、B沿绳方向的速度一定相等，绳子对A、B的拉力也一定相等，由PA＝FTvAcos α，PB＝FTvB，故任一时刻轻绳对小物块A和小球B做功的功率大小均相等，故B正确；A、B组成的系统机械能守恒，但A、B各自的机械能均发生变化，故C错误；当小物块A运动到P点时，B下降到最低点，此时B的速度为0，由机械能守恒定律有mBg＝mAv，解得vA＝，故D错误。]
7．A　[取水平桌面所在的平面为零势能参考面，甲的重力势能的变化量ΔEp甲＝－2mg×－＝－mgL，即甲的重力势能减少了mgL，根据WG＝－ΔEp可知，重力对甲做功W甲＝mgL；乙的重力势能的变化量ΔEp乙＝－mgL－＝－mgL, 即乙的重力势能减少了mgL，根据WG＝－ΔEp可知，重力对乙做功W乙＝mgL，即甲的重力做的功大于乙的重力做的功，甲、乙重力势能的减少量不相等，故A正确，B、C、D错误。]
8.　[设B刚下落到地面时速度为v，由系统机械能守恒得
m2g·－m1g·sin 30°＝(m1＋m2)v2
A以速度v上滑到斜面顶点过程中机械能守恒，则
m1v2＝m1g·sin 30°，联立解得＝。]
9．(1)　　(2)－0.2mgL　0.2mgL
解析　(1)设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB，轻杆与两个小球构成的系统机械能守恒。若取B在竖直位置时的最低点所在水平面为参考平面，可得
mgL＋mgL＝mv＋mv
又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB＝2vA
解得vA＝，vB＝。
(2)根据动能定理
对于A有WA＋mgL＝mv－0，所以WA＝－0.2mgL
对于B有WB＋mgL＝mv－0，所以WB＝0.2mgL。培优提升九　机械能守恒定律的应用
学习目标　1.会分析多个物体组成的系统的机械能守恒问题。2.掌握非质点类物体的机械能守恒问题的处理方法。
提升1　多物体的机械能守恒问题
1.当研究对象为两个物体组成的系统时的列式技巧
(1)若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。
(2)若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。
(3)从机械能的转化角度来看，系统中一个物体某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用E减＝E增来列式。
2.系统机械能守恒的模型分类
(1)速率相等的连接体模型
如图所示的两物体组成的系统，当释放B，使A、B运动的过程中，二者的速度均沿绳子方向，因A、B在相等时间内运动的路程相等，则A、B的速率相等。
(2)角速度相等的连接体模型
如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B在竖直平面内绕过O点的轴转动，在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等，则A、B转动的角速度相等。
例1 如图所示，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑的轻质定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静止于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好被拉紧。从静止开始释放b球，则当b球刚落地时a球的速度为(不计空气阻力，重力加速度为g)(　　)
A. B.
C. D.
例2 如图所示，有一轻质杆可绕光滑的轴O在竖直平面内自由转动，在杆的中点和一端各固定一个质量为m的小球A、B，杆长为L。开始时，杆静止在水平位置，无初速度释放后杆转到竖直位置时，A、B两小球的速度各是多少(重力加速度为g)
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提升2　非质点类物体的机械能守恒问题
1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
2.物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
例3 如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为(重力加速度为g)(　　)
A. B.2
C. D.
例4 如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(重力加速度大小为g)(　　)
A. B.
C. D.
随堂对点自测
1.(多物体的机械能守恒问题)如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)
A.2R B.
C. D.
2.(多物体的机械能守恒问题)一长度为2R的轻质细杆两端分别连接质量为m和2m、可视为质点的球M、N，细杆的中点O处有一轴，细杆可绕其在竖直面内无摩擦地转动，开始时细杆呈竖直状态，球N处在最高点，如图所示。当装置受到很小的扰动后，细杆开始绕过中点的轴转动，则在球N转动到最低点的过程中，下列说法中正确的是(重力加速度为g)(　　)
A.球M的机械能守恒
B.球N的机械能守恒
C.细杆对球M、N均不做功
D.运动过程中两球的最大速度均为
3.(非质点类物体的机械能守恒问题)如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，让链条从静止开始沿桌边下滑，若桌子高度大于链条长度，则链条滑至刚离开桌边时的速度大小为(　　)
A. B.
C. D.2
培优提升九　机械能守恒定律的应用
提升1
例1 A　[a、b两球组成的系统机械能守恒，设b球刚落地时的速度大小为v，则整个过程中系统动能增加量Ek增＝(m＋3m)v2＝2mv2，系统重力势能的减少量Ep减＝3mgh－mgh＝2mgh，由机械能守恒定律得Ek增＝Ep减，所以2mv2＝2mgh，v＝，A正确。]
例2 　2
解析　设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB。如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，只有重力势能和动能相互转化，故系统机械能守恒。此过程重力势能转化为动能，可得mgL＋mg·＝mv＋mv
又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同v＝ωr，故
vB＝2vA
联立上式得vA＝，vB＝2。
提升2
例3 C　[设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方L处，末位置的重心与A点最初位置在同一水平面上，则重力势能的减少量为mgL，由机械能守恒定律得mv2＝mgL，则v＝ ，故C正确。]
例4 A　[当两液面高度相等时，减少的重力势能全部转化为液体的动能，根据机械能守恒定律得mg×h＝mv2，解得v＝，A正确。]
随堂对点自测
1．C　[设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面，B恰运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，机械能守恒，有2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，当A落地后，B球以速度v竖直上抛，到达最高点时上升的高度为h′＝，故B上升的总高度为R＋h′＝R，选项C正确。]
2．D　[球M的重力势能、动能均在增加，故机械能增加，A错误；两球组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，所以球N的机械能减少量等于球M的机械能增加量，故B错误；两球机械能均不守恒，杆对球M、N均做功，C错误；球N转动到最低点，速度最大，根据机械能守恒定律4mgR－2mgR＝×2mv2＋mv2，解得v＝，故D正确。]
3．A　[铁链下滑过程中机械能守恒，则有mg＝mv2，解得v＝，故A正确，B、C、D错误。](共39张PPT)
培优提升九　机械能守恒定律的应用
第四章　机械能及其守恒定律
1.会分析多个物体组成的系统的机械能守恒问题。
2.掌握非质点类物体的机械能守恒问题的处理方法。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　非质点类物体的机械能守恒问题
提升1　多物体的机械能守恒问题
提升1　多物体的机械能守恒问题
1.当研究对象为两个物体组成的系统时的列式技巧
(1)若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。
(2)若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。
(3)从机械能的转化角度来看，系统中一个物体某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用E减＝E增来列式。
2.系统机械能守恒的模型分类
(1)速率相等的连接体模型
如图所示的两物体组成的系统，当释放B，使A、B运动的过程中，二者的速度均沿绳子方向，因A、B在相等时间内运动的路程相等，则A、B的速率相等。
(2)角速度相等的连接体模型
如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B在竖直平面内绕过O点的轴转动，在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等，则A、B转动的角速度相等。
例1 如图所示，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑的轻质定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静止于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好被拉紧。从静止开始释放b球，则当b球刚落地时a球的速度为(不计空气阻力，重力加速度为g)(　　)
A
例2 如图所示，有一轻质杆可绕光滑的轴O在竖直平面内自由转动，在杆的中点和一端各固定一个质量为m的小球A、B，杆长为L。开始时，杆静止在水平位置，无初速度释放后杆转到竖直位置时，A、B两小球的速度各是多少(重力加速度为g)
提升2　非质点类物体的机械能守恒问题
1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
2.物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
例3 如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为(重力加速度为g)(　　)
C
例4 如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(重力加速度大小为g)(　　)
A
随堂对点自测
2
C
1.(多物体的机械能守恒问题)如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)
D
2.(多物体的机械能守恒问题)一长度为2R的轻质细杆两端分别连接质量为m和2m、可视为质点的球M、N，细杆的中点O处有一轴，细杆可绕其在竖直面内无摩擦地转动，开始时细杆呈竖直状态，球N处在最高点，如图所示。当装置受到很小的扰动后，细杆开始绕过中点的轴转动，则在球N转动到最低点的过程中，下列说法中正确的是(重力加速度为g)(　　)
A
3.(非质点类物体的机械能守恒问题)如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，让链条从静止开始沿桌边下滑，若桌子高度大于链条长度，则链条滑至刚离开桌边时的速度大小为(　　)
课后巩固训练
3
BD
题组一　多物体的机械能守恒问题
1.(多选)如图所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，mB>mA，此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦地转动。现使轻杆从水平位置无初速度释放，发现杆绕O沿顺时针方向转动，则杆从释放至转动90°的过程中(　　)
对点题组练
A.B球的动能增大，机械能增大
B.A球的重力势能和动能都增大
C.A球的重力势能和动能的增加量等于
B球的重力势能的减少量
D.A球和B球的总机械能守恒
解析　A球运动的速度增大，高度增大，所以动能和重力势能均增大，故A球的机械能增大；B球运动的速度增大，所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小；对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，因为A球的机械能增大，故B球的机械能减小，故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量，选项A、C错误，B、D正确。
AD
2.(多选)(2024·广东广州高一期末)如图所示，两个可视为质点的质量相同的小球a、b分别被套在刚性轻杆的中点位置和其中一端的端点处，两球相对于杆固定不动，杆总长LOb＝2 m，轻杆的另一端可绕固定点O自由转动。装置在竖直平面内由水平位置静止释放到杆恰好摆至竖直状态，在此过程中不计一切摩擦，重力加速度g＝10 m/s2，则关于此过程下列说法正确的是(　　)
D
D
4.如图，总长为l、质量为m的均匀软绳对称地挂在轻质小滑轮上，用细线将质量也为m的物块与软绳连接。将物块由静止释放，直到软绳刚好全部离开滑轮，不计一切摩擦，重力加速度为g，则(　　)
BC
综合提升练
5.(多选)如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两中心有孔的相同小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程中，下列说法中正确的是(　　)
A.M球的机械能守恒
B.M球的机械能减小
C.M球和N球组成的系统的机械能守恒
D.绳的拉力对N球做负功
解析　因M球下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增大，但M球和N球组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误。
B
6.(2024·广东广州高一期末)如图所示，小物块A套在水平杆上，一轻绳跨过固定的小滑轮O分别连接小物块A和小球B。系统开始时静止在图示位置，此时轻绳与水平杆间夹角为α＝30°。已知小物块A与小球B的质量之比为2∶1，杆上P点位于滑轮O正上方，且OP＝d，重力加速度为g，不计空气阻力和一切摩擦。则系统由静止释放至小物块A运动到P点的过程中(　　)
A
7.如图所示，甲图中一长度为L的均匀链条，总质量为2m，一半放在水平桌面上，一半竖直下垂。乙图中两个质量均为m的小球，一个放在水平桌面上，一个竖直下垂，中间用不计质量、长度为L的细绳相连，水平部分和竖直部分长度相等，小球可以视为质点。现给均匀链条和小球一个小扰动，使得两者都刚好离开水平桌面。取水平桌面所在的平面为零势能参考面，重力加速度大小为g，这个过程中，下列说法正确的是(　　)
培优加强练
9.如图所示，在长为L的轻杆的中点和端点处分别固定质量均为m的小球A、B，杆可绕轴O无摩擦转动，使杆从水平位置无初速度释放(不计空气阻力，重力加速度为g)。
(1)当杆转到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
(2)在杆转到竖直位置的过程中，轻杆对A、B两球分别做了多少功？
解析　(1)设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB，轻杆与两个小球构成的系统机械能守恒。若取B在竖直位置时的最低点所在水平面为参考平面，可得
(2)根据动能定理

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