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第九章 平面直角坐标系
第9章 平面直角坐标系
章末复习
1．进一步认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系；在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标。
2．能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置，进一步体会平面直角坐标系在解决问题中的应用。
3．在同一平面直角坐标系中，能用坐标表示平移变换，知道平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，发展形象思维能力和数形结合意识。
确定平面内点的位置
建立平面直角坐标系
画两条数轴
①互相垂直
②有公共原点
点 坐标
M （x，y）
表示方向的角、距离
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．结合具体实例，谈谈如何建立平面直角坐标系．在平面直角坐标系中描出原点以及其他一些点的位置，并分别指出它们的横坐标、纵坐标及所在的象限．
2．当要用坐标描述一个简单几何图形时，你是如何建立平面直角坐标系的？结合长方形谈谈你的做法．
3．你能结合具体实例，说一说怎样用坐标描述一个区域内的地点分布情况吗？你又是怎样用方向和距离表示两个地点或物体的相对位置的？请结合实例说明．
4．你能结合具体实例，说一说怎样借助坐标表示图形的平移吗？
1．结合具体实例，谈谈如何建立平面直角坐标系．在平面直角坐标系中描出原点以及其他一些点的位置，并分别指出它们的横坐标、纵坐标及所在的象限．
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
原点
y轴
x轴
（3, 4）
先过这点分别向x，y轴作垂线看垂足对应的实数.
A的横坐标是3，纵坐标是4.
点(x，y)到 x 轴的距离是|y|；到 y 轴的距离是|x|．
1．结合具体实例，谈谈如何建立平面直角坐标系．在平面直角坐标系中描出原点以及其他一些点的位置，并分别指出它们的横坐标、纵坐标及所在的象限．
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
点的位置 横坐标符号 纵坐标符号
第一象限 + +
第二象限 - +
第三象限 - -
第四象限 + -
坐标平面内任意一点
有序实数对
（点的坐标）
一一对应
1．结合具体实例，谈谈如何建立平面直角坐标系．在平面直角坐标系中描出原点以及其他一些点的位置，并分别指出它们的横坐标、纵坐标及所在的象限．
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
x轴上的点，纵坐标为0
y轴上的点，横坐标为0
原点的坐标是 (0, 0)
2．当要用坐标描述一个简单几何图形时，你是如何建立平面直角坐标系的？结合长方形谈谈你的做法．
y
x
用坐标描述简单几何图形的步骤：
（1）选原点：一般以几何图形的一个顶点为原点；
（2）作两轴：①一般以几何图形的边所在直线为坐标轴；②使图形中尽可能多的点落在坐标轴上；
（3）定坐标系：单位长度的选取要使点的坐标易于描述；
（4）确定坐标：注意点的坐标的符号特点.
2．当要用坐标描述一个简单几何图形时，你是如何建立平面直角坐标系的？结合长方形谈谈你的做法．
y
x
一般地，可以建立平面直角坐标系来描述一些简单几何图形．在用坐标描述简单几何图形时，只需用坐标描述这些图形上关键点的位置．这时，建立的平面直角坐标系不同，图形上点的坐标也不同．为了能方便地写出图形上点的坐标，在建立平面直角坐标系时，要考虑图形的形状特征．
3．你能结合具体实例，说一说怎样用坐标描述一个区域内的地点分布情况吗？你又是怎样用方向和距离表示两个地点或物体的相对位置的？请结合实例说明．
(1,3)
(3,3)
(-1,1)
(-3,-1)
(2,-2)
(-3,-4)
(3,-3)
O
x/km
y/km
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布平面图的过程如下：
(1)建立平面直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
(2)根据具体问题，确定单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.
3．你能结合具体实例，说一说怎样用坐标描述一个区域内的地点分布情况吗？你又是怎样用方向和距离表示两个地点或物体的相对位置的？请结合实例说明．
B船在A船北偏东60°方向上, 距离A船35 n mile.
(北偏东60°, 35 n mile)
A船在B船南偏西60°方向上, 距离B船35 n mile.
(南偏西60°, 35 n mile)
35 n mile
4．你能结合具体实例，说一说怎样借助坐标表示图形的平移吗？
一般地，在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）（ 或（x－a ，y）） ；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y ＋ b）（或（x，y－b））．
对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化。
平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标相等；
平行于 y 轴的直线上的点的横坐标相等．
4．你能结合具体实例，说一说怎样借助坐标表示图形的平移吗？
　　一般地，在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加 （或减去）一个正数a，相应的新图形可以看作把原图形向右 （或左）平移a个单位长度得到；如果把它各个点的纵坐标都加 （或减去）一个正数a，相应的新图形可以看作把原图形向上 （或下）平移a个单位长度得到．
考点一：平面直角坐标系中点的坐标特征
根据已知点的横、纵坐标确定某点所在的象限
（1）确定已知点的横、纵坐标的符号；
（2）根据各象限点的坐标的特征判断点所在的象限．
各象限点的坐标特征：第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)，第三象限(－，－)，第四象限(＋，－)．
根据点的坐标特征求字母的值
（1）明确平面直角坐标系内点的特征；
（2）结合题意列出方程；
（3）解方程，求出字母的值．
考点一：平面直角坐标系中点的坐标特征
例1：（1）若点 P(m，n)在第一象限，则点 Q(－m，－n)在第_____象限；
　　（2）若点 A(m＋2，m－3)在 x 轴上，则点 A 的坐标为_________．
三
(5，0)
考点二：用坐标表示地理位置
建立平面直角坐标系表示地理位置时的注意事项
（1）选择适当的位置为坐标原点，通常是比较明显的地点或是所要绘制的区域内较居中的位置．
（2）坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向，正东为横轴的正方向，这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向一致．
考点二：用坐标表示地理位置
例2：根据下列条件画一幅示意图，标出学校、书店、电影院、汽车站的位置．
书店：从学校向东走 500 m，再向北走 450 m；
电影院：从学校向西走 300 m，再向南走 300 m，最后向东走 50 m；
汽车站：从学校向南走 600 m，再向东走 400 m．
　　解：如图，以学校所在位置为原点，分别以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，规定 1 个单位长度代表 100 m．
　　根据已知条件，可知点 A(500，450)是书店的位置，点 B(－250，－300)是电影院的位置，点 C(400，－600)是汽车站的位置．
考点二：用坐标表示地理位置
考点三：用坐标表示平移
坐标平面内的图形平移的步骤
第1步：明确平移的方向和距离；
第2步：找出图形中的关键点；
第3步：利用平移规律确定平移后的各关键点的对应点的坐标，顺次连接各点得到平移后的图形．
考点三：用坐标表示平移
例3：在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点的位置如图所示．点 A′ 的坐标为(4，6)，现将三角形 ABC 平移，使点 A 变换为点 A′，点 B′ ，C′分别是点 B，C 的对应点．请画出平移后的三角形 A′B′C′（不写画法），并直接写出点 B′，C′ 的坐标．
考点三：用坐标表示平移
　　解：由点 A(1，2)变换为点 A′(4，6)，得平移过程是先向右平移 3个单位长度，再向上平移 4 个单位长度．由平移过程可得出点 B′ 的坐标为(0，4)，点 C′ 的坐标为(3，2)．进而可画出平移后的三角形A′B′C′（如图所示）．
考点四：平面直角坐标系中的图形面积问题
两点注意
（1）在平面直角坐标系中求不规则图形的面积时，一般采用割补法，将其割补为规则的图形，求出这些规则图形的面积再相加减即可．
（2）利用点的平移规律，将点的坐标转化为距离是求解图形面积的关键．
考点四：平面直角坐标系中的图形面积问题
例4：如图，四边形 OABC 各个顶点的坐标分别是 O(0，0)，A(3，0)，B(5，2)，C(2，3)．求这个四边形的面积．
解：如图所示，分别过点 C 和点 B 作 x 轴和 y 轴的平行线，交 x 轴于点 H，交 y 轴于点 F，且这两条线交于点 E，则 E(5，3)，F(0，3)，H(5，0)．
所以 S四边形OABC
＝S长方形OHEF－S三角形ABH－S三角形CBE－S三角形OCF
＝5×3－ ×2×2－ ×1×3－ ×3×2=
H
E
F
探究技巧
（1）观察点在平面直角坐标系中的排列；
（2）按照排列写出各点的坐标，
（3）探究点的坐标规律．
考点五：平面直角坐标系中的点的规律探究
考点五：平面直角坐标系中的点的规律探究
2
4
－4
－2
y
x
O
A11
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
例5：如图，已知 A1(1,0)，A2(1,1)，A3(－1,1)，A4(－1,－1)，A5(2,－1)，…，则点 A2 025 的坐标为_______．
(507，－506)
因为506……1，所以A2 025 位于第四象限
(1)A1(1,0), A2(1,1), A3(－1,1), A4(－1,－1);
(2)A5(2,－1), A6(2,2), A7(－2,2), A8(－2,－2);
(3)A9(3,－2), A10(3,3), A11(－3,3), A12(－3,－3);
(4) A13(4,－3), A14(4,4), A15(－4,4), A16(－4,－4);
….
(507) A2025(507,－506)
【知识技能类练习】必做题：
1．如图，观察小岛A相对于灯塔O的位置，下列描述准确的是（　　）．
A．北偏东60°
B．距灯塔20 km处
C．北偏东30°，且距灯塔20 km处
D．北偏东60°，且距灯塔20 km处
D
【知识技能类练习】必做题：
2．如图，小刚画了一张脸，他对妹妹说“如果我用(0，2)表示左眼，用(2，2)表示右眼，那么嘴的位置可以表示为（　　）．
A．(1，0) B．(－1，0)
C．(－1，1) D．(1，－1)
A
【知识技能类练习】必做题：
3．（1）写出图中小鱼身上所标各点的坐标；
（2）观察点A与点E，点B与点D的位置，看看它们的坐标有什么特点
解：（1）A(0，2)，B(2，1)，C(1，0)，D(2，－1)，E(0，－2)，F(－2，0)．
（2）A与E，B与D的横坐标相等，纵坐标互为相反数．
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，在平面直角坐标系中，三角形OAB的顶点A，B的坐标分别为(3,2)，(4,0)，把三角形OAB沿x轴向右平移得到三角形CDE. 如果点C的坐标为(3，0)，那么四边形OADE的面积为__________.
10
5．如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的Rt△ABO沿x轴向右旋转到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置，…，依次进行下去，发现A(3，0)，A1(12，3)，A2(15，0)，…，那么点A2 025的坐标为（　　）．
A．(12 153，0)
B．(12 153，3)
C．(12 156，0)
D．(12 156，3)
【综合拓展类练习】
D
请同学们总结一下本节课所复习的主要内容
【知识技能类作业】必做题：
1．已知a＜b＜0，则点A(a－b，b)在（　　）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C
【知识技能类作业】必做题：
2．已知x轴上一点A(3，0)，点B在y轴上，连接AB，所得△AOB的面积为6，则点B的坐标是___________________．
(0，4)或(0，－4)
【知识技能类作业】必做题：
3．一个围棋棋盘的部分平面示意图如图所示，已知黑棋 的坐标为(2，0)，白棋②的坐标为(－1，1)．
（1）写出白棋④的坐标和黑棋 的坐标；
（2）若黑棋 的坐标为(6，0)，白棋②的
坐标为(3，1)，则白棋④和黑棋 的坐标
是否发生改变？若改变，请写出改变后的
坐标；若不改变，请说明理由．
【知识技能类作业】必做题：
解：（1）根据黑棋 的坐标为(2，0)，白棋②的坐标为(－1，1)，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，此时白棋④的坐标是(0，－3)，黑棋 的坐标是(3，－2)．
（2）白棋④和黑棋 的坐标发生了改变．根据黑棋 的坐标为(6，0)，白棋②的坐标为(3，1)，建立如图所示的平面直角坐标系xO'y'，则白棋④的坐标是(4，－3)，黑棋 的坐标是(7，－2)．
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，一个点在第一、四象限运动，第1次它从点(0，-2)运动到点(1，1) 用了1秒，然后以折线状向右运动，即(0，-2)→(1，1)→(2，-1)→(3，2)→…它每运动一次需要1秒，那么第2 025秒时点所在位置的坐标是 ( )
A．(2024，2) B．(2024，-2) C．(2025，1) D．(2 025，-1)
C
【综合拓展类作业】
5．如图，在平面直角坐标系xO1y中，点A的坐标为(1，1)，如果将x轴向上平移3个单位长度，将y轴向左平移2个单位长度，两轴交于点O2，点A的位置不变，那么在平面直角坐标系xO2y中，点A的坐标是（　　）．
A．(－3，2) B．(3，－2)
C．(－2，－3) D．(3，4)
B中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第六课时《第9章 平面直角坐标系 章末复习》教学设计
课型 新授课口 复习课 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节的教学内容主要对学习过的第九章平面直角坐标系的内容进行复习，主要涵盖了用坐标描述平面内点的位置以及坐标方法的简单应用。本章内容是初中数学学习中的重要基础，通过复习不仅能更好地帮助学生理解几何图形位置关系的关键，同时也是后续学习函数、图象变换等内容的基石。
学习者分析 在学习本章前，学生已经学习了有理数、实数、代数式、一元一次方程等基础知识，通过本章的学习，学生已掌握了平面直角坐标系的概念及其基本应用并能够将这些知识与方法运用到实际问题中。但在本章整体知识建构上尚有欠缺，因此，通过整体知识上的复习及强化练习反馈，可以有效地让学生对本章所学知识有整体上的认识，以完成知识建构并培养学生的数学应用意识和能力。
教学目标 1．进一步认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系；在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标。 2．能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置，进一步体会平面直角坐标系在解决问题中的应用。 3．在同一平面直角坐标系中，能用坐标表示平移变换，知道平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，发展形象思维能力和数形结合意识。
教学重点 1．坐标系中象限、坐标轴等特殊点的坐标特征。 2．用平面直角坐标系和“方向和距离”表示平面内物体的位置。 3．会判断点移动后新位置的坐标，能利用点的坐标变化与图形平移的关系解决问题。 4．能利用所学平面直角坐标系知识解决面积问题、点的坐标规律问题。
教学难点 利用所学平面直角坐标系知识解决面积问题、点的坐标规律问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．进一步认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系；在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标。 2．能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置，进一步体会平面直角坐标系在解决问题中的应用。 3．在同一平面直角坐标系中，能用坐标表示平移变换，知道平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，发展形象思维能力和数形结合意识。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：知识框图教师活动2： 出示知识框图 学生活动2： 学生认真听老师的讲本章知识架构活动意图说明： 通过出示本章知识框图，让学生对本章所学内容有明确的了解，为进一步进行知识回顾做好准备环节三：回顾思考教师活动3： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． 1．结合具体实例，谈谈如何建立平面直角坐标系．在平面直角坐标系中描出原点以及其他一些点的位置，并分别指出它们的横坐标、纵坐标及所在的象限． 预设： 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 先过这点分别向x，y轴作垂线看垂足对应的实数. A的横坐标是3，纵坐标是4. 点(x，y)到 x 轴的距离是|y|；到 y 轴的距离是|x|． x轴上的点，纵坐标为0 y轴上的点，横坐标为0 原点的坐标是 (0, 0) 2．当要用坐标描述一个简单几何图形时，你是如何建立平面直角坐标系的？结合长方形谈谈你的做法． 预设：用坐标描述简单几何图形的步骤： （1）选原点：一般以几何图形的一个顶点为原点； （2）作两轴：①一般以几何图形的边所在直线为坐标轴；②使图形中尽可能多的点落在坐标轴上； （3）定坐标系：单位长度的选取要使点的坐标易于描述； （4）确定坐标：注意点的坐标的符号特点. 一般地，可以建立平面直角坐标系来描述一些简单几何图形．在用坐标描述简单几何图形时，只需用坐标描述这些图形上关键点的位置．这时，建立的平面直角坐标系不同，图形上点的坐标也不同．为了能方便地写出图形上点的坐标，在建立平面直角坐标系时，要考虑图形的形状特征． 3．你能结合具体实例，说一说怎样用坐标描述一个区域内的地点分布情况吗？你又是怎样用方向和距离表示两个地点或物体的相对位置的？请结合实例说明． 预设：利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布平面图的过程如下： (1)建立平面直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题，确定单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称. B船在A船北偏东60°方向上, 距离A船35 n mile. (北偏东60°, 35 n mile) A船在B船南偏西60°方向上, 距离B船35 n mile. (南偏西60°, 35 n mile) 4．你能结合具体实例，说一说怎样借助坐标表示图形的平移吗？ 预设： 一般地，在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）（ 或（x－a ，y）） ；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y ＋ b）（或（x，y－b））． 对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化。 平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标相等； 平行于 y 轴的直线上的点的横坐标相等． 一般地，在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加 （或减去）一个正数a，相应的新图形可以看作把原图形向右 （或左）平移a个单位长度得到；如果把它各个点的纵坐标都加 （或减去）一个正数a，相应的新图形可以看作把原图形向上 （或下）平移a个单位长度得到．学生活动3： 学生先独立思考，然后在小组合作探究中完成老师提出的问题活动意图说明： 以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识设疑并回顾，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望环节四：考点梳理教师活动4： 考点一：平面直角坐标系中点的坐标特征 技巧：根据已知点的横、纵坐标确定某点所在的象限 （1）确定已知点的横、纵坐标的符号； （2）根据各象限点的坐标的特征判断点所在的象限． 各象限点的坐标特征：第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)，第三象限(－，－)，第四象限(＋，－)． 根据点的坐标特征求字母的值 （1）明确平面直角坐标系内点的特征； （2）结合题意列出方程； （3）解方程，求出字母的值． 例1：（1）若点 P(m，n)在第一象限，则点 Q(－m，－n)在第_____象限； （2）若点 A(m＋2，m－3)在 x 轴上，则点 A 的坐标为_________． 答案：三；(5，0) 考点二：用坐标表示地理位置 技巧：建立平面直角坐标系表示地理位置时的注意事项 （1）选择适当的位置为坐标原点，通常是比较明显的地点或是所要绘制的区域内较居中的位置． （2）坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向，正东为横轴的正方向，这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向一致． 例2：根据下列条件画一幅示意图，标出学校、书店、电影院、汽车站的位置． 书店：从学校向东走 500 m，再向北走 450 m； 电影院：从学校向西走 300 m，再向南走 300 m，最后向东走 50 m； 汽车站：从学校向南走 600 m，再向东走 400 m． 解：如图，以学校所在位置为原点，分别以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，规定 1 个单位长度代表 100 m． 根据已知条件，可知点 A(500，450)是书店的位置，点 B(－250，－300)是电影院的位置，点 C(400，－600)是汽车站的位置． 考点三：用坐标表示平移 技巧：坐标平面内的图形平移的步骤 第1步：明确平移的方向和距离； 第2步：找出图形中的关键点； 第3步：利用平移规律确定平移后的各关键点的对应点的坐标，顺次连接各点得到平移后的图形． 例3：在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点的位置如图所示．点 A′ 的坐标为(4，6)，现将三角形 ABC 平移，使点 A 变换为点 A′，点 B′ ，C′分别是点 B，C 的对应点．请画出平移后的三角形 A′B′C′（不写画法），并直接写出点 B′，C′ 的坐标． 解：由点 A(1，2)变换为点 A′(4，6)，得平移过程是先向右平移 3个单位长度，再向上平移 4 个单位长度．由平移过程可得出点 B′ 的坐标为(0，4)，点 C′ 的坐标为(3，2)．进而可画出平移后的三角形A′B′C′（如图所示）． 考点四：平面直角坐标系中的图形面积问题 技巧：两点注意 （1）在平面直角坐标系中求不规则图形的面积时，一般采用割补法，将其割补为规则的图形，求出这些规则图形的面积再相加减即可． （2）利用点的平移规律，将点的坐标转化为距离是求解图形面积的关键． 例4：如图，四边形 OABC 各个顶点的坐标分别是 O(0，0)，A(3，0)，B(5，2)，C(2，3)．求这个四边形的面积． 解：如图所示，分别过点 C 和点 B 作 x 轴和 y 轴的平行线，交 x 轴于点 H，交 y 轴于点 F，且这两条线交于点 E，则 E(5，3)，F(0，3)，H(5，0)． 所以 S四边形OABC ＝S长方形OHEF－S三角形ABH－S三角形CBE－S三角形OCF ＝5×3－ ×2×2－ ×1×3－ ×3×2= 考点五：平面直角坐标系中的点的规律探究 技巧：探究技巧 （1）观察点在平面直角坐标系中的排列； （2）按照排列写出各点的坐标， （3）探究点的坐标规律． 例5：如图，已知 A1(1,0)，A2(1,1)，A3(－1,1)，A4(－1,－1)，A5(2,－1)，…，则点 A2 025 的坐标为_______． 分析：因为506……1，所以A2 025 位于第四象限 (1)A1(1,0),A2(1,1),A3(－1,1),A4(－1,－1); (2)A5(2,－1),A6(2,2),A7(－2,2),A8(－2,－2); (3)A9(3,－2),A10(3,3),A11(－3,3),A12(－3,－3); (4)A13(4,－3),A14(4,4),A15(－4,4),A16(－4,－4); …. (507) A2025(507,－506) 答案：(507，－506)学生活动4： 学生先独立完成例题，然后小组合作交流，并派代表班内汇报交流活动意图说明： 通过例题，考查查学生对应用对顶角、邻补角、垂线、平移、综合运用平行线的判定与性质进行证明和计算、添加辅助线等知识的掌握情况，提高学生综合运用知识解决相关问题能力．环节五：课堂小结教师活动5： 问题：请同学们总结一下本节课所复习的主要内容？ 教师通过学生的回答，进行归纳学生活动5： 学生积极对本节课所复习的内容进行总结活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所复习的知识，将所学的知识进一步整合，完善本章知识体系。
板书设计 课题：第9章 平面直角坐标系 章末复习一、知识框图 二、考点梳理 1.平面直角坐标系中点的坐标特征 2.用坐标表示地理位置 3.用坐标表示平移 4.平面直角坐标系中的图形面积问题 5.平面直角坐标系中的点的规律探究教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，观察小岛A相对于灯塔O的位置，下列描述准确的是（　　）． A．北偏东60° B．距灯塔20 km处 C．北偏东30°，且距灯塔20 km处 D．北偏东60°，且距灯塔20 km处 答案：D 2．如图，小刚画了一张脸，他对妹妹说“如果我用(0，2)表示左眼，用(2，2)表示右眼，那么嘴的位置可以表示为（　　）． A．(1，0) B．(－1，0) C．(－1，1) D．(1，－1) 答案：A 3．（1）写出图中小鱼身上所标各点的坐标； （2）观察点A与点E，点B与点D的位置，看看它们的坐标有什么特点 解：（1）A(0，2)，B(2，1)，C(1，0)，D(2，－1)，E(0，－2)，F(－2，0)． （2）A与E，B与D的横坐标相等，纵坐标互为相反数． 选做题： 4．如图，在平面直角坐标系中，三角形OAB的顶点A，B的坐标分别为(3,2)，(4,0)，把三角形OAB沿x轴向右平移得到三角形CDE. 如果点C的坐标为(3，0)，那么四边形OADE的面积为__________. 答案：10 【综合拓展类练习】 5．如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的Rt△ABO沿x轴向右旋转到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置，…，依次进行下去，发现A(3，0)，A1(12，3)，A2(15，0)，…，那么点A2 025的坐标为（　　）． A．(12 153，0) B．(12 153，3) C．(12 156，0) D．(12 156，3) 答案：D
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知a＜b＜0，则点A(a－b，b)在（　　）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 2．已知x轴上一点A(3，0)，点B在y轴上，连接AB，所得△AOB的面积为6，则点B的坐标是___________________． 答案：(0，4)或(0，－4) 3．一个围棋棋盘的部分平面示意图如图所示，已知黑棋 的坐标为(2，0)，白棋②的坐标为(－1，1)． （1）写出白棋④的坐标和黑棋 的坐标； （2）若黑棋 的坐标为(6，0)，白棋②的坐标为(3，1)，则白棋④和黑棋 的坐标 是否发生改变？若改变，请写出改变后的坐标；若不改变，请说明理由． 解：（1）根据黑棋 的坐标为(2，0)，白棋②的坐标为(－1，1)，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，此时白棋④的坐标是(0，－3)，黑棋 的坐标是(3，－2)． （2）白棋④和黑棋 的坐标发生了改变．根据黑棋 的坐标为(6，0)，白棋②的坐标为(3，1)，建立如图所示的平面直角坐标系xO'y'，则白棋④的坐标是(4，－3)，黑棋 的坐标是(7，－2)． 选做题： 4．如图，一个点在第一、四象限运动，第1次它从点(0，-2)运动到点(1，1) 用了1秒，然后以折线状向右运动，即(0，-2)→(1，1)→(2，-1)→(3，2)→…它每运动一次需要1秒，那么第2 025秒时点所在位置的坐标是 ( ) A．(2024，2) B．(2024，-2) C．(2025，1) D．(2 025，-1) 答案：C 【综合拓展类作业】 5．如图，在平面直角坐标系xO1y中，点A的坐标为(1，1)，如果将x轴向上平移3个单位长度，将y轴向左平移2个单位长度，两轴交于点O2，点A的位置不变，那么在平面直角坐标系xO2y中，点A的坐标是（　　）． A．(－3，2) B．(3，－2) C．(－2，－3) D．(3，4) 答案：B
教学反思 在教学过程中，采用思维导图和问题串的方式帮助学生梳理知识框架，效果显著。学生掌握了平面直角坐标系的基本概念、坐标方法的应用及跨学科应用，构建起完整的知识体系。通过典型例题的探究和课堂练习，大部分学生对基础知识的掌握较好，能够运用所学定理解决简单的几何证明和计算问题，在小组讨论探究中也激发了学生的学习积极性，促进了学生之间的思维碰撞。
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同步探究学案
课题 第9章 平面直角坐标系 章末复习 单元 第九章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 1．进一步认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系；在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标。 2．能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置，进一步体会平面直角坐标系在解决问题中的应用。 3．在同一平面直角坐标系中，能用坐标表示平移变换，知道平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，发展形象思维能力和数形结合意识。
重点 1．坐标系中象限、坐标轴等特殊点的坐标特征。 2．用平面直角坐标系和“方向和距离”表示平面内物体的位置。 3．会判断点移动后新位置的坐标，能利用点的坐标变化与图形平移的关系解决问题。． 4．能利用所学平面直角坐标系知识解决面积问题、点的坐标规律问题。
难点 利用所学平面直角坐标系知识解决面积问题、点的坐标规律问题。
探究过程
导入新课 【引入思考】 本章知识结构图
新知探究 本节课来研究： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1．结合具体实例，谈谈如何建立平面直角坐标系．在平面直角坐标系中描出原点以及其他一些点的位置，并分别指出它们的横坐标、纵坐标及所在的象限． 2．当要用坐标描述一个简单几何图形时，你是如何建立平面直角坐标系的？结合长方形谈谈你的做法． 3．你能结合具体实例，说一说怎样用坐标描述一个区域内的地点分布情况吗？你又是怎样用方向和距离表示两个地点或物体的相对位置的？请结合实例说明． 4．你能结合具体实例，说一说怎样借助坐标表示图形的平移吗？ 考点梳理： 考点一：平面直角坐标系中点的坐标特征 例1：（1）若点 P(m，n)在第一象限，则点 Q(－m，－n)在第_____象限； （2）若点 A(m＋2，m－3)在 x 轴上，则点 A 的坐标为_________． 考点二：用坐标表示地理位置 例2：根据下列条件画一幅示意图，标出学校、书店、电影院、汽车站的位置． 书店：从学校向东走 500 m，再向北走 450 m； 电影院：从学校向西走 300 m，再向南走 300 m，最后向东走 50 m； 汽车站：从学校向南走 600 m，再向东走 400 m． 考点三：用坐标表示平移 例3：在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点的位置如图所示．点 A′ 的坐标为(4，6)，现将三角形 ABC 平移，使点 A 变换为点 A′，点 B′ ，C′分别是点 B，C 的对应点．请画出平移后的三角形 A′B′C′（不写画法），并直接写出点 B′，C′ 的坐标． 考点四：平面直角坐标系中的图形面积问题 例4：如图，四边形 OABC 各个顶点的坐标分别是 O(0，0)，A(3，0)，B(5，2)，C(2，3)．求这个四边形的面积． 考点五：平面直角坐标系中的点的规律探究 例5：如图，已知 A1(1,0)，A2(1,1)，A3(－1,1)，A4(－1,－1)，A5(2,－1)，…，则点 A2 025 的坐标为_______．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，观察小岛A相对于灯塔O的位置，下列描述准确的是（　　）． A．北偏东60° B．距灯塔20 km处 C．北偏东30°，且距灯塔20 km处 D．北偏东60°，且距灯塔20 km处 2．如图，小刚画了一张脸，他对妹妹说“如果我用(0，2)表示左眼，用(2，2)表示右眼，那么嘴的位置可以表示为（　　）． A．(1，0) B．(－1，0) C．(－1，1) D．(1，－1) 3．（1）写出图中小鱼身上所标各点的坐标； （2）观察点A与点E，点B与点D的位置，看看它们的坐标有什么特点 选做题： 4．如图，在平面直角坐标系中，三角形OAB的顶点A，B的坐标分别为(3,2)，(4,0)，把三角形OAB沿x轴向右平移得到三角形CDE. 如果点C的坐标为(3，0)，那么四边形OADE的面积为__________. 【综合拓展类练习】 5．如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的Rt△ABO沿x轴向右旋转到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置，…，依次进行下去，发现A(3，0)，A1(12，3)，A2(15，0)，…，那么点A2 025的坐标为（　　）． A．(12 153，0) B．(12 153，3) C．(12 156，0) D．(12 156，3)
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知a＜b＜0，则点A(a－b，b)在（　　）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知x轴上一点A(3，0)，点B在y轴上，连接AB，所得△AOB的面积为6，则点B的坐标是___________________． 3．一个围棋棋盘的部分平面示意图如图所示，已知黑棋 的坐标为(2，0)，白棋②的坐标为(－1，1)． （1）写出白棋④的坐标和黑棋 的坐标； （2）若黑棋 的坐标为(6，0)，白棋②的坐标为(3，1)，则白棋④和黑棋 的坐标 是否发生改变？若改变，请写出改变后的坐标；若不改变，请说明理由． 选做题： 4．如图，一个点在第一、四象限运动，第1次它从点(0，-2)运动到点(1，1) 用了1秒，然后以折线状向右运动，即(0，-2)→(1，1)→(2，-1)→(3，2)→…它每运动一次需要1秒，那么第2 025秒时点所在位置的坐标是 ( ) A．(2024，2) B．(2024，-2) C．(2025，1) D．(2 025，-1) 【综合拓展类作业】 5．如图，在平面直角坐标系xO1y中，点A的坐标为(1，1)，如果将x轴向上平移3个单位长度，将y轴向左平移2个单位长度，两轴交于点O2，点A的位置不变，那么在平面直角坐标系xO2y中，点A的坐标是（　　）． A．(－3，2) B．(3，－2) C．(－2，－3) D．(3，4)
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