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(共36张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.3 定义、命题、证明
1.通过具体实例，使学生经历定义的产生过程，了解定义的含义，感受下定义的必要性，及其在数学和生活中的广泛应用；
2.对命题的含义有初步的体验，理解命题的结构，会将命题写成“如果……那么……”的形式，分清命题的条件和结论；
3.通过观察、猜想、推理的过程，发展学生的探索意识与合作交流的意识.
4.发展学生的探索意识以及合作交流的习惯，关注现实，培养学生进行 思考的能力和质疑精神.
重点
难点
儿：那什么是法盲？
父：法盲就是法国的盲人.
儿：啊！隔壁王阿姨说你是法盲.
``````
儿：爸爸，什么叫法律？
父：法律就是法国的律师.
一对父子的谈话
在历史课堂上，老师问一个学生：
师：屈原是什么人？
生：是医生.
师：为什么说屈原是医生，从哪得知的呢？
生：书上说他是大夫呀！
笑不笑由你
我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义.
1.“具有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民”是 的定义.
2. “直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.”是 的定义.
3.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
是 的定义.
中华人民共和国公民
点到直线的距离
数轴
4.“使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解.”是 的定义.
5.“从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线”是 的定义.
方程
角平分线
定义就像标签，把事物与事物区别开.
我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义.
思考：如何理解数学对象的定义？
一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断.
议一议：下列陈述语句，哪些是正确的，哪些是错误的？
(1)等式两边加同一个数，结果仍相等;
(2)对顶角相等;
(3)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行;
(4)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补;
(5)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.
可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句，叫作命题.
被判断为正确的(或真)的叫作真命题，
被判断为错误的(或假)的叫作假命题.
真命题
真命题
真命题
真命题
假命题
议一议：下列陈述语句，哪些是正确的，哪些是错误的？
(1)等式两边加同一个数，结果仍相等;
(2)对顶角相等;
(3)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行;
(4)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补;
(5)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.
做一做：下列语句，哪些是命题？哪些不是？
(1) 过直线AB外一点P，作AB的平行线.
(2) 经过直线AB外一点P ，可以作一条直线与AB平行吗？
(3) 经过直线AB外一点P，有且只有一条直线与这条直线平行.
(4)若|a|= a，则a<0.
探究：观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
(1)如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；
(2)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
(3)如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.
都是“如果……那么……”的形式
命题
题设
结论
已知事项
由已知事项推出的事项
两直线平行，同位角相等
题设
结论
归纳
例1：把下列命题改写成“如果…那么”的形式：
(1)互补的两个角不可能都是锐角；
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.
解：(1)如果两个角互补，那么这两个角不可能都是锐角.
(2)如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行.
议一议：你能发现这些命题有什么不同的特点吗？
命题1：如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除.
命题2：如果两个角互补，那么它们是邻补角.
命题1是正确的命题，命题2是错误的命题.
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题是正确的.
题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题是错误的.
真命题
假命题
1 .下列命题属于定义的是( )
A.两点确定一条直线
B.同角或等角的余角相等
C.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
D.两直线平行 ，内错角相等
C
2.下列语句不是命题的是(　　)
A．两直线平行，同位角相等
B．锐角都相等
C．画直线AB平行于CD
D．所有的质数都是奇数
C
l1
l2
l3
l4
3
1
2
4
3.如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，有三个命题：①∠1+∠3=90°
②∠2+∠3=90°③∠2=∠4，下列说法中，正确的是( )
A.只有①正确
B.只有②正确
C. ①和③正确
D. ①②③都正确
A
条件：a≠b，b≠c；结论：a≠c；
(1)如果两个角相等，那么它们是对顶角；
(2)如果a≠b，b≠c，那么a≠c；
条件：两个角相等；结论：它们是对顶角；
命题不正确
命题不正确
4.指出下列命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？
(3)全等三角形的面积相等；
(4)三角形三个内角和等于180°.
条件：两个三角形全等；
结论：这两个三角形的面积相等；
条件：三个角是一个三角形的内角；
结论：它们的和等于180°.
命题正确
命题正确
4.指出下列命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？
定义与命题
定义:对数学对象进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义.
命题的结构：
概念：
命题:可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句，叫作命题.
“如果……,那么……”的形式.
命题的特征：
条件 已知事项，结论 由已事项推断出的事项.
命题分为真命题和假命题.
条件+结论
“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.
第七章 相交线与平行线
第2课时 定理与证明
7.3 定义、命题、证明
1.了解定理和证明的概念，会区分定理和命题.
2.了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题.
3.通过实例，体会判断简单命题真假的一般方法，明白要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例就可以了.
4.体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性.
重点
难点
对数学对象进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义.
定义
可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句，叫作命题
正确的命题称为 ，不正确的命题称为 .
真命题
假命题
每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.
命题的组成：
命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
命题的形式：
做一做：判断下列命题的真假.
(1)如果两个数的和为0，这两个数互为相反数；
(2)如果这两个角互补，两个角是邻补角；
(3)内错角相等，两直线平行.
(4)相等的角是对顶角
真命题
假命题
真命题
假命题
判断真假命题的一般步骤
第一步：判断是否为命题.
第二步：判断该命题说法是否正确，若正确则为真命题，若错误，则为假命题.
1.补角的性质：同角或等角的补角相等.
2.余角的性质：同角或等角的余角相等.
3.对顶角的性质：对顶角相等.
4.……
上面例题中的(1)和(3)，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理可作为继续推理的依据.
你还能想出一些学过的定理吗？
探究：
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
如何证明 “在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”？
例1：已知直线b∥c，a⊥b，求证a⊥c.
证明：
∵ a⊥b(已知)
∴∠1=90°(垂直的定义)
∵b∥c(已知)，
∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)
∴∠2=∠1=90°(等量代换)
∴ a⊥c(垂直的定义)
1
2
b
c
a
证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.
想一想：被判断为错误的(或假)的叫作假命题，那如何说明一个命题是假命题呢？
举反例是说明一个命题是假命题的常用方法.
例如，要判断命题“相等的角是对顶角”是错误的可以举出如下反例:
在图中，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，
但它们不是对顶角.
1
2
O
C
A
B
想一想：被判断为错误的(或假)的叫作假命题，那如何说明一个命题是假命题呢？
1.下列命题可以作为定理的有 .
①2与6的平均值是8；
②能被3整除的数字也能被6整除；
③5是方程号x+7=3x–3的根；
④三角形内角和是180°；
⑤等式两边加上同一个数仍是等式.
④⑤
2．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下列四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是(　　)
A．a＝3，b＝2 B．a＝－3，b＝2
C．a＝3，b＝－1 D．a＝－1，b＝3
B
3.已知：b∥c， a⊥b,求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b(已知) ，
∴ ∠1=90°(垂直的定义).
又 b ∥ c (已知) ，
∴ ∠2=∠1=90°(两直线平行，同位角相等).
∴ a ⊥ c (垂直的定义).
a
b
c
1
2
【分析】首先根据垂直定义可得∠1=90°，再根据平行线的性质可得∠2=∠1=90°，进而得到a⊥c．
4.已知：∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角.求证∠2=∠3.
证明：∵∠2是∠1的余角(已知)，
∴∠2+∠1=90°(余角的定义).
∴∠2=90°–∠1(等式的性质).
又∵∠3是∠1的余角(己知)，
∴∠3+∠1=90°(余角的定义).
∴∠3=90°–∠1(等式的性质).
∴∠2=∠3(等量代换).
【分析】根据余角的概念：和为90°的两角互为余角可得答案．
1
3
2
定理与证明
定理：它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.
证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明.

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