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(共21张PPT)
定义、命题、定理（第1课时）
数学人教版（2024）七年级下册
请同学们读出下列语句，你能发现什么？
（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；
（2）使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解；
（3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线；
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离．
这些都是对数学对象进行的清晰、明确的描述．
这样的描述称为数学对象的定义，一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断．
新知
已知|a|＝|b|，判断下面哪个说法正确．
（1）a＝b．
（2） a＝－b．
（3） a＝b 或 a＝－b．
√
×
×
请同学们读出下列语句，你能发现什么？
（1）如果两个角都是直角，那么这两个角相等；
（2）对顶角相等；
（3）同位角相等，两直线平行；
（4）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除；
（5）两直线平行，同旁内角互补．
这些都是可以判断正确与否的陈述语句．容易判断，第4个语句是错误的，其他语句都是正确的．
思考
像这样可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题．被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题．
新知
下列命题能改写成“如果……那么……”的形式吗？试一试．
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）两直线平行，同旁内角互补．
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
（2）如果两条直线平行，那么这两条直线被第三条直线所截而成的同旁内角互补．
思考
数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
新知
如果_________，那么____________．
把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式．
对顶角
相等
语句不通顺
两个角相等
问题
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
题设
结论
命题
题设
结论
已知事项
由已知事项推出的事项
把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式．
问题
下列语句是命题吗？
（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；
（3）如果 n 是奇数，那么 n＋1 是偶数；
（4）你喜欢数学吗？
（1）（2）（3）是可以判断正确与否的陈述语句，是命题．
（4）没有对事情作出判断，不是命题．
问题
下列命题中的题设成立时，结论一定成立吗？
（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；
（3）如果 n 是奇数，那么 n＋1 是偶数．
（1）（3）题设成立时，结论一定成立．
（2）题设成立时，不能保证结论一定成立．
思考
由题设和结论组成的命题，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是正确的；如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是错误的．
新知
例1　将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题．
（1）内错角相等；
（2）等边三角形的三个内角都是 60°．
解：（1）改写为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题．
（2）改写为：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个内角都是 60°；是真命题．
判断一个命题是不是真命题，首先找出此命题的题设和结论，然后看题设成立时结论是否一定成立，如果结论一定成立，此命题就是真命题，否则，就是假命题．
判断一个命题是不是真命题，首先应当怎么做？
找出命题的题设和结论．
例2　判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，你能举出一个例子说明它是假命题吗？
（1）两个锐角的和是锐角；
（2）邻补角是互补的角．
解：（1）假命题．例子：一个锐角为50°，另一个锐角为 60°，它们的和为 110°的角，为钝角；
（2）真命题．
对于真命题，题设成立时，结论无一例外，总是正确的；而假命题就不能保证结论总是正确的．
例3　判断下列语句是不是命题，如果是，改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假．
（1）画线段 AB＝2 cm ；
（2）分数一定是有理数；
（3）两个锐角互余．
解：（1）不是命题；
（2）是命题，改写为：如果一个数是分数，那么它一定是有理数，是真命题．
例3　判断下列语句是不是命题，如果是，改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假．
（1）画线段 AB＝2 cm ；
（2）分数一定是有理数；
（3）两个锐角互余．
解：（3）是命题，改写为：如果两个角是锐角，那么这两个角互余，是假命题．
命题是能判断真假的陈述性语句，祈使句、疑问句等都不是命题．
定义、命题
命题的构成
定义、命题的概念
真命题与假命题的概念(共23张PPT)
定义、命题、定理（第2课时）
数学人教版（2024）七年级下册
说出两个我们学过的基本事实．
如“两点确定一条直线”“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等．
说出两个经过推理得到的真命题．
“对顶角相等”
因为∠2 与∠3 互补，
∠4 与∠3 互补
（邻补角的定义），
所以∠2＝∠4
（同角的补角相等）．
推理过程如下：
A
D
B
C
1
3
O
2
4
“内错角相等，两直线平行”
说出两个经过推理得到的真命题．
因为∠2＝∠3，而∠3＝∠1，
所以∠1＝∠2，即同位角相等，
从而 a∥b．
推理过程如下：
c
a
b
2
1
3
一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理．定理也可以作为继续推理的依据．
推理过程又称为什么呢？
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明．
推理和证明有区别吗？
条件
结论
定义、定理、基本事实
推理
命题1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．
题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条．
结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条．
判断下列命题正确与否．
画出图形
a
b
c
1
2
已知：如图，直线 b∥c，a⊥b．
求证：a⊥c．
命题1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．
判断下列命题正确与否．
已知：如图，直线 b∥c，a⊥b．
求证：a⊥c．
分析：
a⊥c
∠1＝90°
∠2＝90°
a⊥b
b∥c
a
b
c
1
2
在下面证明命题的过程中，尝试把推理的根据填到括号内．
如图，已知直线 b∥c，a⊥b．求证 a⊥c．
证明：∵ a⊥b（已知），
∴ ∠1＝90°（垂直的定义）．
又 b∥c（__________），
∴ ∠1＝∠2（________________________）．
∴ ∠2＝∠1＝90°（等量代换）．
∴ a⊥c（_________________）．
已知
两直线平行，同位角相等
垂直的定义
a
b
c
1
2
证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等．
推理和证明是有区别的，推理是证明过程中的组成部分．
判断下列命题正确与否．
命题1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．
正确
命题2：相等的角是对顶角．
题设：两个角相等．
结论：这两个角互为对顶角．
判断下列命题正确与否．
A
D
B
C
1
3
O
2
4
命题2：相等的角是对顶角．
题设：两个角相等．
结论：这两个角互为对顶角．
对顶角：
∠1与∠3，
∠2与∠4．
位置关系：
有公共顶点，
两边分别互为反向延长线．
命题2：相等的角是对顶角．
题设：两个角相等．
结论：这两个角互为对顶角．
反例：
OC 是∠AOB 的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角．
1
2
O
A
C
B
命题2：相等的角是对顶角．
题设：两个角相等．
结论：这两个角互为对顶角．
反例：
1
2
∠1＝∠2，但∠1 与∠2 不是对顶角．
命题2：相等的角是对顶角．
判断下列命题正确与否．
错误
正确的命题需要通过推理才能作出判断，那么，怎么判断一个命题是错误的呢？
判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．
例1　在下面的括号内，填上推理的依据．
已知：如图，∠A＋∠B＝180°．
求证：∠C＋∠D＝180°．
证明：∵ ∠A＋∠B＝180°，
∴ AD∥BC（__________________________）．
∴ ∠C＋∠D＝180°（__________________________）．
同旁内角互补，两直线平行
A
B
C
D
两直线平行，同旁内角互补
注明的理由主要是依据的性质、定理、基本事实等，“已知”式的理由可以不注明．
例2　命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例．
解：不是，反例如图所示，∠1和∠2是同位角，但∠1≠∠2．
1
2
A
B
C
D
E
F
举反例是判断一个命题错误的常用方法，举反例的方法在生活中也常用到．
定理、证明
通过举反例判断命题错误
定理的概念
证明的概念及过程(共25张PPT)
定义、命题、定理（第3课时）
数学人教版（2024）七年级下册
相交线
6
7
1
2
3
4
5
8
两条直线相交
两条直线被第三条直线所截
邻补角
对顶角
垂直
同位角
内错角
同旁内角
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
判定
性质
　　例1　如图，直线 AB，CD 相交于点 O．EO⊥AB，∠3＝∠FOD，∠l＝27°，求∠2，∠3的度数．
解：∵EO⊥AB，∴∠AOE＝∠1＋∠2＝90°，
又∠1＝27°，
∴∠2＝90°－∠1＝90°－27°＝63°．
又∠1＋∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝180°－27°＝153°．
又∠3＝∠FOD，∴∠3＝ ∠AOD＝76.5°．
∴∠2＝63°，∠3＝76.5°．
　　
　　垂直是两条直线间的位置关系，一个角为90°是数量关系，垂直的定义建立起了两条直线垂直(位置关系)与一个角的度数为90°(数量关系)之间的联系．
例2　如图，AB 交 CD 于点 O，OE⊥AB．
（1）若∠EOD＝20°，求∠AOC 的度数；
解：∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，
即∠DOE＋∠BOD＝90°．
（1）∵∠DOE＝20°，
∴∠BOD＝90°－20°＝70°．
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝70°．
例2　如图，AB 交 CD 于点 O，OE⊥AB．
（2）若∠AOC ∠BOC＝1 2，求∠EOD 的度数．
解：（2）由∠AOC ∠BOC＝1 2，
可设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x．
由补角的定义可知∠AOC＋∠BOC＝180°，∴x＋2x＝180°，解得 x＝60°．
∴∠BOD＝∠AOC＝60°，
∴∠EOD＝90°－60°＝30°．
　　
解决相交线所成角的思路
　　（1）有两直线相交时，分清对顶角和邻补角，考虑对顶角、邻补角的性质．
　　（2）有垂直时，考虑直角、互为余角的关系．
　　（3）有两条直线被第三条直线所截时，注意同位角、内错角、同旁内角的应用．
　　例3　如图，一辆汽车在笔直的公路上由 A 向 B 行驶，M，N是位于公路 AB 两侧的两所学校．若汽车在公路上行驶时会对学校教学造成影响，则当汽车行驶到何处时，分别对两学校教学影响最大？在图上标出．
　　解：如图，汽车行驶到点 C 时对学校 M 影响最大，行驶到点 D 时对学校 N 影响最大．
C
D
　　
　　在利用“垂线段最短”的性质来解决问题时，要注意区分它与“两点之间，线段最短”的区别 ，它们的应用条件是不一样的．
　　例4　如图，在用数字标出的八个角中，请辨别同位角有哪些，内错角有哪些，同旁内角有哪些．
分析：从题图中分离出三个基本图形如下：
　　找到每个图形中的截线与被截直线，便能根据角的位置关系作出判断．
　　例4　如图，在用数字标出的八个角中，请辨别同位角有哪些，内错角有哪些，同旁内角有哪些．
　　解：∠1与∠7为同位角，∠2与∠8为同位角，
∠4与∠6为同位角；
　　∠3与∠4为内错角，∠1与∠5为内错角，∠2与∠6为内错角，∠4与∠8为内错角；
　　∠1与∠6为同旁内角，∠2与∠5为同旁内角，∠2与∠4为同旁内角，∠4与∠5为同旁内角．
　　
分离法辨别复杂图形中的“三线八角”
　　要在一个复杂的图形中确定“三线八角”，先在复杂的图形中分离出“三线”．一般是从相邻的两个顶点处的角入手，其中两个角的公共边或在同一直线上的边所在的直线是截线，另一边所在的直线是被截直线，然后根据角的位置关系来进一步判断．
　　例5　如图，已知直线 a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，则 a 与 c 平行吗？
解：a 与 c 平行．理由如下：
∵∠1与∠2是内错角，且∠1＝∠2，
∴a∥b(内错角相等，两直线平行)．
∵∠3与∠4是同旁内角，且∠3＋∠4＝180°，
∴b∥c(同旁内角互补，两直线平行)．
∴a∥c(平行于同一条直线的两条直线平行)．
　　
平行线判定的五种方法
（1）同一平面内，不相交的两条直线互相平行；
（2）平行于同一条直线的两条直线平行；
（3）同位角相等，两直线平行；
（4）内错角相等，两直线平行；
（5）同旁内角互补，两直线平行．
　　例6　工人师傅把一个如图所示的零件进行加工，首先把材料弯成了一个45°的锐角，然后准备在 A 处进行第二次弯折加工，若要保证弯折后的部分与 BC 保持平行，则弯折处的角度应是___________．
　　解析：分两种情况：第一种情况就是被弯过来的部分与 BC 在 AB的同一侧，且平行，如图①，此时弯折处的角度为135°(同旁内角互补，两直线平行)；第二种情况是被弯过来的部分与 BC 分别在 AB 的两侧，但也是平行的，如图②，此时弯折处的角度为45°(内错角相等，两直线平行)．
所以答案为45°或135°．
　　
用平行线的判定方法解决实际问题的两个步骤
第 1 步：将实际问题转化为数学问题；
第 2 步：借助平行线的判定方法加以判定，进而解决问题．
例7　如图，∠1＝∠2＝40°，MN 平分∠EMB，则∠3＝_____．
解析：∵∠2＝∠MEN，∠1＝∠2＝40°，
∴∠l＝∠MEN.
∴AB∥CD．
∴∠3＋∠BMN＝180°，∠EMB＋∠MEN＝180°．
又MN平分∠EMB，
∴∠BMN＝ (180°－∠MEN)＝ ×(180°－40°)＝70°．
∴∠3＝180°－∠BMN＝180°－70°＝110°．
110°
　　
　　解决此类问题的途径是由角的关系找出平行线，再由平行线的性质得到角相等或互补，从而结合角的有关性质进行角度计算．
解：由题意可设∠α＝2x，
∠D＝3x，∠B＝4x．
∵FC∥AB，FC∥DE，
∴∠2＋∠B＝180°，∠l＋∠D＝180°．
∴∠2＝180°－∠B＝180°－4x，
∠l＝180°－∠D＝180°－3x．
　　例8　如图，已知 FC∥AB，FC∥DE，∠α ∠D ∠B＝2 3 4，分别求∠α，∠D，∠B 的大小．
又∠1＋∠2＋∠α＝180°，
∴(180°－3x)＋(180°－4x)＋2x＝180°．
解得 x＝36°．
∴∠α＝2x＝72°，∠D＝3x＝108°，∠B＝4x＝144°．
　　例8　如图，已知 FC∥AB，FC∥DE，∠α ∠D ∠B＝2 3 4，分别求∠α，∠D，∠B 的大小．
　　
　　解决这类问题，不仅要掌握图形的性质，还要善于进行等量代换，把未知量和已知量逐步联系起来，当解决问题的过程比较复杂时，思路要清晰，语言表达要严谨．
相交线与平行线
相交线
平行线
两条直线相交
两条直线被第三条直线所截
性质
判定

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