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相似三角形的性质
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
课前复习
对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.
1.平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似
2.三边对应成比例的两个三角形相似
3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
4.两角分别相等的两个三角形相似
5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
1相似三角形的概念
2三角形相似的判定
K=1：1
类比
从特殊到一般
B
C
A
B
C
A
B′
C′
A′
B′
C′
A′
全等三角形
相似三角形
全等三角形与相似三角形
类型 全等三角形的性质 相似三角形的性质
图形
边
角
三线
周长
面积
B
C
A
B′
C′
A′
类比探究相似三角形的性质
B
C
A
B′
C′
A′
对应边相等
对应角相等
对应高线、中线、
角平分线分别相等
周长相等
面积相等
对应边？
对应角？
对应高线、中线、角平分线
周长
面积
相似三角形的性质（边、角）
A
B
C
A′
B′
C′
相似三角形的性质1：相似三角形对应角相等，对应边成比例
符号语言： ∵△ABC∽△A′B′C′，
∴ ∠ A =∠A′, ∠ B =∠B′, ∠ C =∠C′
=k.
为证明角等、线段的比值关系提供了思路
如图 △ABC∽△A′B′C′ ，相似比为k，求它们对应高线的比是多少？
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
分析：
已 知
探究相似三角形的性质（高线）
∠B =∠B ′
△ABC∽△A′B′C′
△ABD∽△A′B′D′
∠BDA=∠B′D′A′
两高
证明：∵ AD、A′D′是BC、 B′C′边上的高
∴ ∠BDA=∠B′D′A′=90°
又∵△ABC∽△A′B′C′ ， ∴ ∠B =∠B′．
∴△ABD∽△A′B′D′.
∴ k.
结论：相似三角形的对应高之比等于相似比
符号语言： ∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k
AD、A′D′是BC、 B′C′边上的高
∴ k.
如图 △ABC∽△A′B′C′ ，相似比为k，它们对应角平分的比是多少？
A
B
C
E
A′
B′
C′
E′
探究相似三角形的性质（角平分线）
分析：
已 知
△ABE∽△A′B′E′
∠B =∠B ′，∠BAC=∠B′A′C′
△ABC∽△A′B′C′
两角平分线
∠BAE=∠B′A′E′
∴△ABE∽△A′B′E′
∴ k.
证明： ∵ △ABC∽△A′B′C′ ，
∴ ∠B =∠B′, ∠BAC=∠B′A′C′
又∵ AE、A′E′平分∠BAC和∠B′A′C′，
∴ ∠BAE=∠B′A′E′
结论：相似三角形的对应角平分线之比等于相似比
符号语言： ∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k
AE、A′E′平分∠BAC和∠B′A′C′，
∴ k.
A
B
C
F
如图， △ABC∽△A′B′C′ ，相似比为k，它们对应中的比是多少？
A′
B′
C′
F′
探究相似三角形的性质（中线）
分析：
已 知
△ABF∽△A′B′F′
∠B =∠B ′，k
△ABC∽△A′B′C′
两中线
k
证明： ∵ △ABC∽△A′B′C′ ，
∴ ∠B =∠B′．k
又∵A F、 A′ F′分别是BC、的中线，
∴k
∴△ABF∽△A′B′F′
∴ k.
结论：相似三角形的对应边上的中线之比等于相似比
符号语言： ∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k
A F、 A′ F′分别是BC、的中线，，
∴ k.
相似三角形的性质(三线）
A
B
C
A′
B′
C′
相似三角形的性质2：相似三角形对应高线、中线、角平分线之比都等于相似比
推广：相似三角形对应线段的比都等于相似比
连接对应
线段的桥梁
A
B
C
A′
B′
C′
如图，△ABC∽△A′B′C′，那么周长比也等于相似比吗？为什么？
分析：
△ABC∽△A′B′C′
已知
=k
探究相似三角形的性质(周长）
AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′
证明：∵ △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k
∴
∴ =k，
∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′
结论：相似三角形的周长之比等于相似比
符号语言： ∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k
∴
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
如图，△ABC ∽△A′B′C′，那么面积比等于什么呢？
k
分析：
探究相似三角形的性质(面积）
已知
△ABC∽△A′B′C′
∴ =k .
证明：∵ △ABC ∽△A‘B’C‘，相似比为 k,
AD、A′D′分别是 BC、 B′C′边上高
结论：相似三角形的面积之比等于相似比的平方
符号语言： ∵△ABC∽△A′B′C′，
全等三角形的性质 类型 相似三角形的性质
图形
角
边
三线
周长
面积
B
C
A
B′
C′
A′
类比记忆相似三角形的性质
B
C
A
B′
C′
A′
对应角相等
面积之比等于相似比的平方
所有元素对应相等
对应线段及周长
之比等于相似比
【例1】填一填：
已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF对应中线的比为 ，周长比为 .面积比为 .
相似三角形的性质的简单应用
1：4
1：4
1：2
1：16
1：2
变式1：已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的面积比为1：4，则△ABC与△DEF对应中线的比为 ，周长比为 。
一组量的比
已知相似
其他对应量的比
相似三角形的性质的简单应用
变式2：如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5 倍，那
么它的周长扩大为原来的____倍.,面积扩大为原来的___ 倍.
5
25
E
O
A
C
D
如图， △AOE∽△COD ，AE∶CD＝1∶2.
(1)求△AOE与△COD的周长比；
(2)如果S△AOE＝6 cm2，求△COD的面积.
B
相似三角形的性质的应用
解: (1)∵ △AOE∽△COD,AE∶CD＝1∶2
∴ : =1:2
(2)∵ △AOE∽△COD, AE∶CD＝1∶2
∴ S: =1:4
∵ S△AOE＝6
∴ S=24 cm2
AE∥CD
AE:AB=1:2
解：（1） ∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB ∥ CD,AB=CD
∴ △AOE∽△COD,
又∵AE:AB=1:2 ∴ AE∶CD＝1∶2
∴ : =1:2
(2)∵ △△AOE∽△COD,AE∶CD＝1∶2
∴ S: =1:4
∵ S△AOE＝6 ∴ S=24 cm2
在 ABCD中
相似三角形
的性质
对应角相等
对应线段的比等于相似比
周长比等于相似比
面积比等于相似比的平方
相似三角形
的判定
课堂小结
利用相似比求其他量
解决较复杂的问题
作业布置
（一）基础题
1.已知ΔABC与ΔA’B’C’的相似比为2：3，则周长比为 ，对应边上中线之比 ，面积之比为 .
2.如图， □ ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE= CD．
⑴求证：△ABF∽△CEB；
⑵若△DEF的面积为2，
求□ ABCD的面积．
B
A
F
E
D
C
作业布置
（二）实践题
(动手实践）如图,比例规是一种画图工具,它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成,利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短,如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OD,OB=3OC)，然后张开两脚，使A. B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若CD=3.2cm，则AB的长为___cm. 你能用它测出小口瓶的内径吗？
同学们再见！

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