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(共16张PPT)
平方根（第1课时）
数学人教版（2024）七年级下册
如果一个数的平方等于 9，那么这个数是多少？
因为32＝9，所以这个数可以是 3．
又因为(－3)2＝9，所以这个数也可以是－3．
除了3以外，还有没有别的数的平方也等于 9 呢？
如果一个数的平方等于 9，那么这个数是 3或－3．
填写下表：
x2 1 16 36 49
x ±1 ±4 ±6 ±7 ±
一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 ＝a ，那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根．
例如， 3和－3的平方等于9，3和－3是 9 的平方根．通常把3和－3合在一起简记为“±3”，则±3是 9 的平方根．
±3 的平方等于 9，9 的平方根是±3，可以发现，平方与开平方互为逆运算．根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根.
平方
开平方
＋1
－1
＋2
2
＋3
－3
1
4
9
1
4
9
＋1
－1
＋2
2
＋3
－3
正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数有平方根吗？
可以看出，正数有两个平方根，它们互为相反数．
因为02＝0，并且任何一个不为 0 的数的平方都不等于 0，所以 0 的平方根是 0．
正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0 的平方是 0，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根．
正数有两个平方根，它们互为相反数；
0 的平方根是 0 ；
负数没有平方根．
正数 a 的正的平方根记为“ ”，读作“根号 a”，a叫作被开方数；正数a的负的平方根可以用“ － ”表示，故正数 a 的平方根可以用“± ”表示，读作“正负根号a”.
例如，± 表示 9 的平方根，± ＝±3．特别地，0 的平方根记为 ．
例1 　求下列各数的平方根：
（1）64；（2） ；（3）0.01．
解：（1）因为(±8)2＝64，所以64的平方根是8；
（2）因为 ＝ ，所以 的平方根是 ；
（3）因为(±0.1)2＝0.01，所以 0.01 的平方根是±0.1．
例2　求下列各数的平方根：
（1） ；（2）0.000 4；（3）(－25)2；（4）11．
解：
（1）因为 ＞0，所以 有两个平方根．
又因为 ，所以 的平方根是 ，即 ；
（1） ；（2）0.000 4；（3）(－25)2；（4）11．
解：（2）因为(±0.02)2＝0.000 4，
所以0.000 4的平方根是±0.02，即 ＝±0.02；
（3）因为(± 25)2＝(－25)2，所以(－25)2的平方根是±25，
即 ＝±25；
（4）11的平方根是± ．
例2　求下列各数的平方根：
求一个数的平方根，注意三点免出错
（1）求一个正数的平方根，不能只考虑正的平方根而把负的平方根遗漏．
（2）如果被开方数为带分数，要先把它化成假分数．
（3）一个正数 a 的平方根可表示为± 的形式，比如，9的平方根可以表示为± ＝±3， 3的平方根可以表示为± ．
观察下列动图，巩固理解平方根的意义．
观察下列动图，巩固理解平方根的意义．
观察下列动图，巩固理解平方根的意义．
平方根
平方根的表示
平方根的相关概念
平方与开平方的关系
平方根的性质(共15张PPT)
平方根（第2课时）
数学人教版（2024）七年级下册
一般地，如果一个数x的平方等于 a，那么这个数x叫作 a 的平方根 或 二次方根．
正数有两个平方根，它们互为相反数；
0 的平方根是 0 ；
负数没有平方根．
正数a的正的平方根记为“ ”，读作“根号a”，a叫作被开方数.
我们知道，正数a有两个平方根，其中正的平方根 叫作a的算术平方根．正数a的算术平方根用 来表示．
（1）a 的取值范围是什么？
（2）算术平方根 x 的取值范围是什么？
a 是非负数，即 a≥0．
由 和 思考：
是非负数，即 ≥0，x≥0．
非负数的算术平方根是非负数．
负数不存在算术平方根，即当 a＜0时， 无意义．
例1　求下列各数的算术平方根：
（1）100 ；（2） ；（3）0.000 1．
解：（1）因为 ，所以 100 的算术平方根是10 ，即
．
（2）因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ．
例1　求下列各数的算术平方根：
（1）100 ；（2） ；（3）0.000 1．
解：（3）因为 ，所以0.000 1的算术平方根是0.01，即 ．
被开方数越大，对应的算术平方根就越大．这个结论对所有正数都成立．
求一个数的算术平方根与求一个非负数的平方恰好是互逆的运算．因此，求一个数的算术平方根的运算实际上可以转化为求一个非负数的平方的运算．
通过上面的例题，大家思考一下：我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？
平方运算
例2　求下列各式的值：
（1） ；（2） ；（3） ．
解：（1） ；（2） ；（3） ．
（1）在求 a 的算术平方根时，若 a 是有理数的平方，则 a 的算术平方根就不带根号；若 a 不是有理数的平方，则 a 的算术平方根就带有根号，如 ．
（2）求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算． 熟记常用平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果．
例3　计算：(－1)2 025－|－5|×(－6)＋ ．
解：原式＝－1－5×(－6)＋7
＝－1＋30＋7
＝36．
混合运算的运算顺序
解决混合运算题要从高级运算到低级运算进行，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
例4　已知 　 ，求 x＋y＋z 的值．
解： ，
由绝对值、平方及算术平方根的非负性知
，y＋2＝0， ，
得x＝ ，y＝－2，z＝ ，
所以 x＋y＋z＝ －2－ ＝－3．
“几个非负数的和为 0 ”问题的解决方法
目前学过的典型的非负数有 a2，|b|， 三种．根据非负数的性质知，若几个非负数的和为 0，则每一个非负数均为 0，即若 a2＋|b|＋ ＝0，则 a2＝0，|b|＝0， ＝0．
算术平方根
算术平方根的应用
算术平方根的相关概念
算术平方根的非负性(共19张PPT)
平方根（第3课时）
数学人教版（2024）七年级下册
1．一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，那么这个数 x 叫作 a 的 或 ．
2．正数有两个平方根，它们互为相反数；
0 的平方根是 0 ；
．
3．正数 a 的正的平方根记为“ ”，读作“根号a”，a 叫作 ．
平方根
二次方根
负数没有平方根
被开方数
4．正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 a 的____________．正数 a 的算术平方根记为___．
5．规定：0 的算术平方根是___．
若　　 ，则_______．
算术平方根
0
6．非负数的算术平方根是________．
负数不存在算术平方根，即当 a＜0时， ________．
7．被开方数越大，对应的算术平方根________．这个结论对所有______都成立．
8．求一个数的算术平方根与____________________恰好是互逆的运算．因此，求一个数的算术平方根的运算实际上可以转化为________________________．
非负数
无意义
也越大
正数
求一个非负数的平方
求一个非负数的平方的运算
9．混合运算的运算顺序：
解决混合运算题要从______运算到______运算，即先算_____ _____，再算_____，最后算_____，有括号的要先算___________，同级运算要按照_________的顺序进行．
10．“几个非负数的和为 0 ”问题的解决方法：
目前学过的典型的非负数有 a2，|b|， 三种．根据非负数的性质，知若几个非负数的和为 0，则___________________，即若 a2＋|b|＋ ＝0，则_____________________．
高级
低级
乘方、
开方
乘除
加减
括号里面的
从左到右
每一个非负数均为 0
a2＝0，|b|＝0， ＝0
怎样用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的 4 个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为 2 dm2 的大正方形．
这个大正方形的边长是多少？
设大正方形的边长为 x dm，则
．
由边长的实际意义可知
，
所以大正方形的边长是 dm．
……
有多大呢？
所以 ；
因为 ，1.42＜2＜1.52，
所以 ；
因为 ，1.412＜2＜1.422，
所以 ；
因为 ，1.4142＜2＜1.4152，
所以 ；
因为 ， ＜ ，
如此进行下去，可以得到 的更精确的估计范围．
事实上， ，它是一个无限不循环小数．
无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数．你以前见过这样的数吗？
像π，0.001 000 100 001…这样的数就是无限不循环小数．
实际上，很多正有理数的算术平方根（例如 等）都是无限不循环小数．
大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根（或其近似值）．
例1　用计算器求下列各式的值：
（1） ；（2） （结果保留小数点后三位）．
解：（1）依次按键 3 136 ，
显示：56．
所以 ＝56．
不同品牌的计算器，按键顺序有所不同．
例1　用计算器求下列各式的值：
（1） ；（2） （结果保留小数点后三位）．
解：（2）依次按键 2 ，
显示：1.414 213 562．
所以 ≈1.414．
计算器上显示的1.414 213 562是 的近似值．
（1）用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
… …
… …
从运算结果可以发现，被开方数的小数点向右或向左移动 2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 1 位．
（2）用计算器计算 （结果保留小数点后三位），并利用你在（1）中发现的规律求出 ， ， 的近似值，你能根据 的值求出 的近似值吗？
由 ，得 ， ， ．
不能根据 的值求出 是多少．
在生活中，我们经常遇到估计一个数的大小的问题，请看下面的例子．
例2　小丽想用一块面积为 400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2的长方形纸片，使它的长与宽的比为3 2，但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”
你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？
因此长方形纸片的长为 cm．
因为 ，所以 ．
解： 设长方形纸片的长为 3x cm，宽为 2x cm．
根据边长与面积的关系，得
，
，
．
由边长的实际意义，得 ．
由上可知 ，即长方形纸片的长应该大于21 cm．
因为 ，所以正方形纸片的边长只有20 cm，这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长．
答：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片．
用计算器求
算术平方根（估算）
用计算器求算术平方根
无限不循环小数
的估算
计算规律

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