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第七章 相交线与平行线
章节复习
数学人教版（2024）七年级下册
　　请你带着下面的问题，进入本章的复习吧！
　　1．下面是本章学到的一些数学名词，你能用自己的语言描述它们吗？你能分别画一个图形表示它们吗？
　　对顶角、邻补角、垂直、平行、同位角、内错角、同旁内角、平移．
　　2．两条直线相交形成四个角，它们具有怎样的位置关系和数量关系？
　　3．什么是点到直线的距离？你会度量吗？请举例说明．
　　请你带着下面的问题，进入本章的复习吧！
　　4．怎样判定两条直线是否平行？平行线有什么性质？对比平行线的性质和直线平行的判定方法，它们有什么异同？
　　5．什么是命题？如何判断一个命题是真命题还是假命题？请结合具体例子说明．
　　6．图形平移时，连接各对应点的线段有什么关系？你能利用平移设计一些图案吗？
　　例1　如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE⊥AB，∠COE＝60°，求∠BOD 的度数．
考点一　相交线所成的角
A
O
B
D
E
C
　　解：∵OE⊥AB，
　　∴∠AOE＝90°．
　　∵∠COE＝60°，
　　∴∠AOC＝30°．
　　∵AB 与 CD 相交于点 O，
　　∴∠BOD＝∠AOC＝30°．
解决相交线所成的角应注意的三个问题
　　1．当两直线相交时，分清对顶角、邻补角，考虑对顶角、邻补角的性质．
　　2．有垂直时，考虑直角、互余关系．
　　3．有角的平分线时，考虑角平分线的性质．
考点一　相交线所成的角
　　1．如图，两条直线 AB，CD 交于点 O，射线 OM 是∠AOC 的平分线，若∠BOD＝80°，求∠BOM 的度数．
考点一　相交线所成的角
A
B
M
C
O
D
　　解：∵∠BOD＝80°，
　　∴∠AOC＝80°，∠COB＝100°．
　　∵OM 是∠AOC 的平分线，
　　∴∠COM＝40°，
　　∴∠BOM＝40°＋100°＝140°．
　　2．如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O，且∠BOC＝　∠AOC，
∠DOF＝　∠AOD，求∠FOC 的度数．
考点一　相交线所成的角
A
B
C
E
O
D
F
考点一　相交线所成的角
　　解：∵∠BOC＝　∠AOC，
　　∴设∠AOC＝3x，则∠BOC＝2x．
　　∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
　　∴3x＋2x＝180°，解得 x＝36°．
　　∴∠BOC＝72°．
　　∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD＝72°．
　　∵∠DOF＝　∠AOD，∴∠DOF＝　×72°＝24°．
　　∵∠DOF＋∠FOC＝180°，
　　∴∠FOC＝180°－∠DOF＝156°．
A
B
C
E
O
D
F
　　例2　如图，CD⊥AB 于点 D．点 F 是 BC 上任意一点，FE⊥AB 于点 E，∠1＝∠2，∠3＝62°，求∠BCA 的度数．
考点二　平行线的性质与判定的综合应用
A
B
C
2
1
3
E
D
G
F
　　分析：由题意，知 FE∥CD，可得∠2＝∠BCD．再根据等量代换，得∠BCD＝∠1，∴DG∥BC，最后推出∠BCA＝∠3＝62°．
　　例2　如图，CD⊥AB 于点 D．点 F 是 BC 上任意一点，FE⊥AB 于点 E，∠1＝∠2，∠3＝62°，求∠BCA 的度数．
考点二　平行线的性质与判定的综合应用
A
B
C
2
1
3
E
D
G
F
　　解：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
　　∴∠BEF＝∠BDC＝90°．
　　∴FE∥CD．
　　∴∠2＝∠BCD．
　　∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BCD．
　　∴DG∥BC．∴∠BCA＝∠3＝62°．
　　平行线的判定是用角的数量关系推出两直线的位置关系，平行线的性质是用两直线的位置关系得到角的数量关系，性质和判定恰好是互为“因果”关系．因此，“欲证平行用判定，已知平行用性质”．
考点二　平行线的性质与判定的综合应用
　　3．如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．
　 （1）求证：AB∥CD．
　 （2）若∠1＋∠2＝180°，∠BEC＝2∠B＋30°，求∠C 的度数．
考点二　平行线的性质与判定的综合应用
　　证明：（1）∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，
　　∴∠A＝∠D，
　　∴AB∥CD．
A
1
2
B
E
G
C
F
D
H
考点二　平行线的性质与判定的综合应用
　　解：（2）∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠DGC＝180°，
　　∴∠1＝∠DGC．
　　∴EC∥BF．
　　∴∠BEC＋∠B＝180°．
　　∵∠BEC＝2∠B＋30°，
　　∴(2∠B＋30°)＋∠B＝180°．
　　解得∠B＝50°．
　　∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠B＝50°，
　　∵EC∥BF，∴∠C＝∠BFD＝50°．
A
1
2
B
E
G
C
F
D
H
考点三　辅助线在平行线中的应用
　　例3　如图，已知ab∥cd，ac∥gf，∠cah＝34°．
　　（1）求∠gfd的度数．
　　（2）若hg平分∠egf，与ba的延长线交于点h，且∠h＝10°，求∠beg的度数．
　　解：（1）∵AB∥CD，
　　∴∠C＝∠CAH＝34°．
　　∵AC∥GF，
　　∴∠GFD＝∠C＝34°．
C
F
D
H
A
B
E
G
　　解：（2）过点G作GI∥AB，
　　则∠HGI＝∠H＝10°．
　　∵AB∥CD，∴GI∥CD．∴∠IGF＝∠GFD＝34°．
　　∴∠HGF＝∠HGI＋∠IGF＝10°＋34°＝44°．
　　又∵HG平分∠EGF，
　　∴∠HGE＝∠HGF＝44°．
　　∴∠BEG＝∠EGI＝∠HGE＋∠HGI
　　 ＝44°＋10°＝54°．
I
考点三　辅助线在平行线中的应用
C
F
D
H
A
B
E
G
　　在一些几何问题中，如果单靠图形中现有的条件无法解决问题，那么可结合已知条件和图形的特点，添加辅助线，使题目中的已知条件和所求结论能很好地联系起来，从而使问题得到解决．
考点三　辅助线在平行线中的应用
考点三　辅助线在平行线中的应用
　　解：（1）如图，过点M作MK∥AB，
　　则∠ABM＋∠1＝180°，
　　∴∠1＝180°－∠ABM＝60°．
　　∵∠CMN＝90°，∴∠2＝90°－∠1＝30°．
　　∵AB∥CD，MK∥AB，
　　∴MK∥CD，∴∠C＝∠2＝30°．
　　4．已知AB∥CD.
　　（1）如图①，若∠CMN＝90°，点B在MN上，∠ABM＝120°，求∠C的度数.
K
1
2
C
D
A
B
N
M
图①
　　解：（2）∠ABM－∠C＝30°．
　　理由如下：
　　如图，过点M作MK∥AB，
　　则∠ABM＋∠1＝180°，
　　∴∠1＝180°－∠ABM．
　　4．已知AB∥CD.
　　（2）如图②，若∠CMN＝150°，∠ABM－∠C是否为固定的度数？若是，写出这个度数，并说明理由；若不是，也请说明理由．
考点三　辅助线在平行线中的应用
K
1
2
C
D
A
B
N
M
图②
　　∵AB∥CD，MK∥AB，
　　∴MK∥CD．
　　∴∠C＝∠2．
　　∵∠CMN＝∠1＋∠2＝150°，
　　即180°－∠ABM＋∠C＝150°，
　　∴∠ABM－∠C＝180°－150°＝30°．
考点三　辅助线在平行线中的应用
K
1
2
C
D
A
B
N
M
图②
　　解：由平移的性质，可知
　　S三角形ABC＝S三角形DEF，AB＝DE．
　　故 HE＝DE－DH＝AB－DH＝8－3＝5（cm）．
　　∵阴影部分的面积等于梯形 ABEH 的面积，
　　∴ S阴影＝　(AB＋HE)×BE＝　×(8＋5)×4＝26（cm2）．
　　例4　如图，将直角三角形 ABC 沿直线 BC 向右平移后，到达三角形 DEF 的位置．若 AB＝8 cm，BE＝4 cm，DH＝3 cm，求图中阴影部分的面积．
考点四　平移
A
D
B
E
C
F
H
　　平移是图形变换中一种最基本的形式．当已知条件中含有可以进行平移变换的因素时，要利用这些因素，巧妙地进行平移，只有这样，才会更容易发现已知条件之间的内在联系，从而找到解决问题的途径．
考点四　平移
　　5．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度．有一个三角形 ABC，它的三个顶点均与小正方形的顶点重合．
　 （1）将三角形 ABC 向右平移 3 个单位长度，得到三角形 DEF（A 与 D、B 与 E、C 与 F 对应），请在方格纸中画出三角形 DEF；
考点四　平移
　　解：（1）如图所示．
A
C
B
D
F
E
　　5．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度．有一个三角形 ABC，它的三个顶点均与小正方形的顶点重合．
　 （2）在（1）的条件下，连接 AE 和 CE，请直接写出三角形 ACE 的面积 S，并判断 B 是否在 AE 上．
考点四　平移
　　解：（2）由图可知．
　　
　　根据图形可知，点 B 不在 AE 上．
B
D
F
A
C
E
　　6．某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺红色的地毯．已知这种地毯的价格为 40 元/平方米，主楼梯道的宽为 3 m，其侧面如图所示，则买地毯至少需要多少元？
考点四　平移
　　解：通过平移，知铺楼梯所需地毯的长为
　　2.8＋5.6＝8.4（m）．
　　∵主楼梯道的宽为 3 m，
　　∴所需地毯的面积为 8.4×3＝25.2（m2）．
　　故需要的总费用至少为 40×25.2＝1 008（元）．
A
C
B
2.8 m
5.6 m
两条直线相交
两条直线被第三条直线所截
邻补角、对顶角
相交线与平行线
垂线及其性质
平行线
平移
判定
性质
点到直线的距离
同位角、内错角、同旁内角

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