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第十七章勾股定理练习期中复习人教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．下列各组数中，是勾股数的一组是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．
C．4，5，6 D．6，8，10
2．在平面直角坐标系中，点M的坐标为（﹣3，4），则OM的长为（　　）
A．2 B．5 C．7 D．12
3．一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（　　）
A．5 B．5或
C． D．以上都不对
4．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米．
A．7 B．8 C．9 D．10
5．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（　　）
A．8 B．10 C．12 D．13
6．如图，圆柱的底面周长为24厘米，高AB为5厘米，BC是底面直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点C的最短路程是（　　）
A．6厘米 B．12厘米 C．13厘米 D．16厘米
7．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（　　）
A．1cm B．cm C．cm D．2cm
二、填空题
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且 BF＝AE，连接CF．若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为 　 　．
10．如图所示，正方形的边长为1，则数轴上的点P表示的实数为 　　．
11．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 　　cm．（π取3）
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝4时，阴影部分的面积为 　　．
13．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则＝　 ．
三、解答题
14．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2．
（1）求BC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
15．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．
16．如图，在△ABC中，AB＝17，AC＝15，BC＝8．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若点D为线段AC上一点，连接BD，且BD﹣AD＝1，求△ABD的面积．
．
17．在一款名为超级玛丽的游戏中，马里奥到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，
（1）求高台A比矮台B高多少米？
（2）求旗杆的高度OM；
（3）马里奥在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
18．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图．有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）求∠ACB度数；
（2）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（3）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
19．如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，B的坐标是（﹣4，4），D是BC的中点，．
（1）写出点D，E的坐标；
（2）问：△ADE是直角三角形吗？请说明理由．
20．如图，一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO＝20米，云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，AO⊥BO，设OB的长度为x米．
（1）求OB的长度；
（2）若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，通过计算说明云梯的底部B往外移动多少米．
21．已知：在四边形ABCD中，连接AC，BC＝AB，CD2+AD2＝2AB2，AD⊥CD．
（1）试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；
（2）当，AD＝17，求四边形ABCD的周长．
22．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合，若长方形的长BC为8，宽AB为4，求：
（1）DE的长；
（2）求阴影部分△GED的面积．
参考答案
一、选择题
1.【解答】A、三个数不是正整数，故A不符合题意；
B、不是正整数，故B不符合题意；
C、42+52≠62，故C不符合题意；
D、62+82＝102，故D符合题意．
故选：D．
2．【解答】解：∵点M的坐标为（﹣3，4），O（0，0），
∴，
故选：B．
3．【解答】解：设第三边为x，
（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
32+42＝x2，所以x＝5；
（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
32+x2＝42，所以x＝；
所以第三边的长为5或．
故选：B．
4．【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6（米），间距为8米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离＝＝10（米）．
故选：D．
5．【解答】解：设BC＝x，则BD＝BA＝x+1，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2＝AC2+BC2，
即（x+1）2＝52+x2，
解得x＝12，
即BC＝12，
故选：C．
6．【解答】解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为24cm，
则AD＝24×＝12（cm）．
又因为CD＝5cm，
所以AC＝＝13（cm）．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm，
故选：C．
7．【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n，
∴（m﹣n）2＝5，即m2+n2﹣2mn＝5①，
∵（m+n）2＝21，
∴m2+n2+2mn＝21②，
①+②得2（m2+n2）＝26，
∴大正方形的面积为：m2+n2＝13，
故选：B．
8．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，
∴AB＝＝＝5cm．
根据题意，AE＝AB＝5，ED＝BD．
∴CE＝1cm．
设CD＝x cm，则ED＝（3﹣x）cm．
根据勾股定理得
x2+12＝（3﹣x）2，
解得x＝．即CD长为cm．
故选：B．
二、填空题
9．【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BF∥AC，
∴∠ACB＝∠CBF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴BC平分∠ABF，
过点C作CM⊥AB，CN⊥BF，
则：CM＝CN，
∵，，且BF＝AE，
∴S△CBF＝S△ACE，
∴四边形EBFC的面积＝S△CBF+S△CBE＝S△ACE+S△CBE＝S△CBA，
∵AC＝13，
∴AB＝13，
设AM＝x，则BM＝13﹣x，
由勾股定理，得：CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2，
∴132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，
解得：，
∴，
∴，
∴四边形EBFC的面积为60，
故答案为：60．
10．【解答】解：如图所示，由图形可知：∠AOB＝90°，OA＝OB＝1，由勾股定理得：，
∴AB＝BP＝，
∵点B表示的数为2，
∴点P表示的数为：，
故答案为：．
11．【解答】解：圆柱展开图为长方形，
则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm，
蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，
由勾股定理得AB＝＝＝＝15cm．
故蚂蚁经过的最短距离为15cm．
12．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AB＝＝4，
以AC为直径的半圆的面积＝＝＝8π，
以BC为直径的半圆的面积＝＝＝2π，
以AB为直径的半圆的面积＝，
S＝16，
∴S阴影＝8π+2π+16﹣10π＝16，
故答案为：16．
13．【解答】解：方法一：∵图中AF＝a，DF＝b，
∴ED＝AF＝a，EH＝EF＝DF﹣DE＝b﹣a，
∵△ADE与△BEH的面积相等，
∴，
∴a2＝（b﹣a）b，
∴a2＝b2﹣ab，
∴1＝（）2﹣，
∴，
解得＝（负值舍去），
∴；
方法二：∵a2＝b2﹣ab，
∴b2﹣a2＝ab，
∴（b2﹣a2）2＝a2b2，
∴b4+a4＝3a2b2，
∴＝3，
故答案为：3．
三、解答题
14．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，由勾股定理得BC2＝BD2+CD2＝42+22＝20，
∴．
（2）在△ABC中，，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S阴影＝S△ABC﹣S△BCD
＝
＝
＝．
15．【解答】解：由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称，
故AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5．
所以CF＝4，
设BF＝x cm，则AF＝AD＝BC＝x+4．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2＝（x+4）2．
解得x＝6，故BC＝10．
所以阴影部分的面积为：10×8﹣2S△ADE＝80﹣50＝30（cm2）．
16．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由：
∵AB＝17，AC＝15，BC＝8，82+152＝172，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵BD﹣AD＝1，AB＝17，AC＝15，BC＝8，
∴设AD＝a，则BD＝a+1，CD＝15﹣a，
由（1）知，△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，
∴CD2+BC2＝BD2，即（15﹣a）2+82＝（a+1）2，
解得a＝9，
∴AD＝9，
∴S△ABD＝AD BC＝×9×8＝36．
17．【解答】解：（1）10﹣3＝7（米）
（2）如图：
作AE⊥OM，BF⊥OM，
∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°
∴∠AOE＝∠OBF
在△AOE和△OBF中，，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴OE＝BF，AE＝OF
即OE+OF＝AE+BF＝CD＝17（m）
∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7（m），
∴2EO+EF＝17，
则2×EO＝10，
所以OE＝5m，OF＝12m，
所以OM＝OF+FM＝15m
（3））由勾股定理得OB＝OA＝ON＝13，
∴MN＝15﹣13＝2（m）．
答：马里奥在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．
18．【解答】解：（1）∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°；
（2）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD＝＝120（m），
∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝（m），
∴EF＝100（m），
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
19．【解答】解：（1）∵B的坐标是（﹣4，4），D是BC的中点，
∴D（﹣2，4），
又∵，OC＝BC＝4，
∴E（0，3）．
（2）△BEF是直角三角形；理由如下：
由题意可知，AB＝BC＝CO＝AO＝4，CD＝BD＝2，CE＝1，OE＝3，
根据勾股定理，得：
在Rt△AOE中，AE2＝OA2+OE2＝42+32＝25；
在Rt△ABD中，AD2＝AB2+BD2＝42+22＝20；
在Rt△DCE中，DE2＝CD2+CE2＝22+12＝5；
∴在△BEF中，AE2＝AD2+DE2，
∴△BEF是直角三角形．
20．【解答】解：（1）由题意知，AB＝（x+10）米，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，
OB2+OA2＝AB2，
即x2+202＝（x+10）2，
解得x＝15，
∴OB的长度为15米；
（2）由题意知，OC＝AO﹣AC＝20﹣5＝15（米），CD＝AB＝25米，
在Rt△OCD中，由勾股定理得，
OC2+OD2＝CD2，
即152+OD2＝252，
解得OD＝20米（负值舍去），
∴BD＝20﹣15＝5（米），
∴云梯的底部B往外移动了5米．
21．【解答】解：（1）AB⊥BC，理由如下：
∵AD⊥CD，
∴AD2+CD2＝AC2，
∵CD2+AD2＝2AB2，
∴AC2＝2AB2，
∵BC＝AB，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC；
（2）由（1）可知，∠ABC＝90°，AD⊥CD，
∴CD2+AD2＝AB2+BC2，
∵，AD＝17，
∴CD2+172＝（3CD）2+（3CD）2，
解得：，
∴，
∴四边形ABCD的周长＝．
22．【解答】解：（1）设DE＝EG＝x，则AE＝8﹣x，
在Rt△AEG中，AG2+EG2＝AE2，
∴16+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴DE＝3．
（2）过G点作GM⊥AD于M，
则 AG×GE＝ AE×GM，AG＝AB＝4，AE＝CF＝5，GE＝DE＝3，
∴GM＝，
∴S△GED＝GM×DE＝．
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