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第十六章二次根式期中复习人教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．二次根式有意义，则x的值可以为（　　）
A．7 B．6 C．0 D．﹣1
2．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2024 B．x≥2024 C．x＜2024 D．x≤2024
3．若是整数，则满足条件的自然数n个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．在式子，，，，中，是二次根式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如果有意义，那么代数式的值为（　　）
A．±8 B．8 C．﹣8 D．无法确定
6．已知a，b，c满足，则a+b﹣c的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　）
A．a B．﹣a C．a﹣2b D．2b﹣a
8．已知a+b＝﹣5，ab＝2，且a≠b，则的值是（　　）
A． B． C． D．
9．当时，代数式x2+2x+2的值是（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
10．已知0＜x＜1，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知x，y为实数，且，则＝　 　．
12．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 　 　．
13．设a、b、c分别是三角形三边的长，则＝ 　 　．
14．化简：＝ 　 　．
14．等式成立的条件是 　 　．
16．计算：﹣×＝　 　．
17．当a＝ 　 　时，最简二次根式与能够合并．
18．若最简二次根式与是同类根式，则2a﹣b＝　 　．
三、解答题
19．若x、y满足．
（1）求出x和y的值；
（2）求：（x+y）（x﹣y）的值．
20．已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足a＝2+6，求此三角形的周长．
21．（1）已知3x2﹣18＝0，求x的值．
（2）已知a﹣1和5﹣2a都是m的平方根，求a与m的值．
（3）已知|1﹣x|+＝x，求x的值．
22．阅读下列材料，然后回答问题．
【思维启迪】
【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
【材料2】∵，即，
∴．
∴的整数部分为1．
∴的小数部分为．
【学以致用】
（1）化简；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，
①求a、b的值．
②求a2+b2的值．
23．探究并解决问题．
（1）通过计算下列各式的值探究问题．
＝ 　 　；＝ 　 　；＝ 　 　；＝ 　 ．
探究：对于任意非负有理数a，＝ 　 　．
＝ 　 ；＝ 　 　；＝ 　 　；＝ 　 ．
探究：对于任意负有理数a，＝ 　 　．
综上，对于任意有理数a，＝ 　 　．
（2）应用（1）所得结论解决问题：有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：．
24．已知．
（1）化简x，y；
（2）求代数式x2﹣5xy+y2的值；
（3）若x的小数部分为a，求的值．
25．阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如：．
请你根据上述材料，解决如下问题：
（1）的有理化因式是　 　，＝　 　．
（2）比较大小：　 　．（填＞，＜，≥或≤中的一种）
（3）计算：）；
（4）已知，求的值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：要使二次根式有意义，
则x﹣7≥0，
解得：x≥7，
故x的值可以是7，A选项符合题意．
故选：A．
2．【解答】解：由题可知，
x﹣2024≥0且x≠0，
解得x≥2024．
故选：B．
3．【解答】解：根据二次根式有意义的条件得，9﹣n≥0，
解得，n≤9，
又∵是整数，n为自然数，
∴9﹣n为完全平方数且 9﹣n的最大值为9，
∴9﹣n＝0或1或4或9，
解得，n＝9或8或5或0．
所以满足条件的自然数n的个数共4个，
故选：C．
4．【解答】解：，，是二次根式，共3个．
故选：B．
5．【解答】解：∵有意义，
∴x﹣1≥0，9﹣x≥0，
∴；
故选：B．
6．【解答】解：∵，
∴，
∴8﹣a≥0，a﹣8≥0，
∴a＝8，
∴|c﹣17|+（b﹣15）2＝0，
∴c﹣17＝0，b﹣15＝0，
∴c＝17，b＝15，
∴a+b﹣c＝8+15﹣17＝6，
故选：C．
7．【解答】解：由数轴，得a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴
＝|a﹣b|﹣|b|
＝﹣（a﹣b）﹣b
＝﹣a+b﹣b
＝﹣a，
故选：B．
8．【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝2，
∴a＜0，b＜0，
∴，
故选：B．
9．【解答】解：∵x＝﹣1，
∴x+1＝，
∴（x+1）2＝2023，
∴x2+2x+1＝2023，
∴x2+2x＝2022，
∴x2+2x+2＝2022+2＝2024．
故选：C．
10．【解答】解：∵，
∴，
∵0＜x＜1，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题
11．【解答】解：根据题意得，
∴x＝2024，
∴y＝2000，
∴＝＝＝2．
故答案为：．
12．【解答】解：∵n是正整数，是整数，且n取最小值，
∴13+n＝16．
∴n＝3．
故答案为：3．
13．【解答】解：
＝|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|．
∵a、b、c分别是三角形三边的长，
∴b+c＞a，a+c＞b．
∴原式＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣c﹣a）
＝b+c﹣a+a+c﹣b
＝2c．
故答案为：2c．
14．【解答】解：∵18a2b3≥0，a＜0，
∴b≥0，
∴＝3|a|b＝﹣3ab．
故答案为：﹣3ab．
15．【解答】解：∵有意义，
∴，
解得﹣1≤x＜0，
故答案为：﹣1≤x＜0．
16．【解答】解：原式＝
＝
＝，
故答案为：．
17．【解答】解：∵最简二次根式与能够合并，
∴2a+3＝3a﹣5，
∴a＝8．
故答案为：8．
18．【解答】解：∵最简二次根式与是同类根式，
∴2a﹣4＝2，
3a+b＝a﹣b，
解得：a＝3，b＝﹣3．
∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9．
故答案为：9．
三、解答题
19．【解答】解：（1）∵，且，，
∴x﹣3＝0，，
∴x＝3，；
（2）由（1）知x＝3，，
则．
20．【解答】解：∵，有意义，
∴，
∴b＝3，
∴a＝6，
当a为腰时，等腰三角形的边长为6，6，3，6+3＞6，能构成三角形，此时周长为6+6+3＝15；
当b为腰时，等腰三角形的边长为3，3，6，3+3＝6，不能构成三角形，
∴此三角形的周长为15．
21．【解答】解：（1）原方程变形得：x2＝6，
∴；
（2）∵a﹣1和5﹣2a都是m的平方根，
∴当a﹣1＝5﹣2a时，
解得：a＝2，
此时m＝1；
当a﹣1+5﹣2a＝0时，
解得：a＝4，
此时m＝（4﹣1）2＝9
综上所述，当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9；
（3）由题意得：x﹣2≥0，
∴x≥2，
∴1﹣x＜0，
∴原方程可化为，
∴，
∴x＝3，
经检验符合题意，
所以x＝3．
22．【解答】解：（1）原式＝＝﹣；
（2）①，
∵，
∴，
∴，
∴a＝3，；
②∵a＝3，，
∴．
23．【解答】解：（1）①＝4；＝16；＝0；＝；
因此对于任意非负有理数a，＝a，
故答案为：4，16，0，，a；
＝3；＝5；＝1；＝2，
因此对于任意负有理数a，＝﹣a，
综上，对于任意有理数a，＝|a|＝．
故答案为：3，5，1，2，﹣a，|a|＝；
（2）由有理数a、b在数轴上的位置可知，﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a﹣b＜0，b﹣a＞0，
∴+|b﹣a|﹣
＝﹣a+b﹣a﹣|a﹣b|
＝﹣a+b﹣a﹣b+a
＝﹣a．
24.【解答】解：（1）x＝＝2+，y＝＝2﹣；
（2）x2﹣5xy+y2
＝（x﹣y）2﹣3xy
＝（2）2﹣3
＝12﹣3
＝9；
（3）由题意a＝﹣1，
∴＝＝2﹣．
25．【解答】解：（1）由题知，﹣的有理化因式是+，
∴＝＝+；
故答案为：+，+；
（2）∵＝+，＝+，
∴＞，
又∵﹣和﹣都是大于0的数，
∴﹣＜﹣，
故答案为：＜；
（3）原式＝×（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）×（+1）
＝×（﹣1）×（+1）
＝×（2025﹣1）
＝1012；
（4）∵（+）（﹣）
＝2025+x﹣2023﹣x
＝2，
又∵+＝2，
∴﹣＝1．
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