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(共18张PPT)
平行四边形中的最短路径
习题训练——专题课
课程导入
知识链接
将军饮马
B
A
河边
P
l
理论依据：
两点之间，线段最短。
B
A
l
A′
A′
P
河边
结论：
AP+PB=AB
AP+PB=BA′
基本图形：两点一线
应用提升
问题解决：
1.若EC+ED的值最小，在图中画出点E的位置；
2.若正方形OABC的边长为2，则EC+ED的最小值是 ；
3.若EC+ED的最小值是 ，求正方形的边长是多少？
已知，正方形OABC中，D为OC的中点，E是对角线OB上的一个动点。
E
问题学习
课题总结
2
1
3
解决菱形中最短路径问题的步骤：
利用轴对称画出最短路径
化“折”为“直”
计算，求出最小值
小组合作探究
3、其他同学认真倾听，对出
现的问题及时纠错、点评
2、小组代表展示学习成果
1、组内合作学习
（讲解时要求声音洪亮、 条理清楚、步骤规范）
一、学习任务
变式（一） 1、2
变式（二） 1、2、3
二、学习要求：
问题解决：
1.AB=2，∠AOC=60°，D是OC的中点，E是对角线OB上的一个动点，则
EC+ED的最小值为_____．
2.EC+ED的最小值是 ，则菱形OABC 的边长是 .
变式（一）：
若正方形OABC变为菱形OABC。
小组合作探究
问题解决：
1.若E为OA边上的一个动点，则
EB+ED的最小值为 ；
变式（二）：
若正方形OABC变为矩形OABC，OA=3，OC=4，D为边OC的中点。
点拨提升
2.若矩形OABC的顶点O在坐标原点，
顶点A、C分别在x轴、y轴的正
半轴上.E为OA边上的一个动点，
当△BDE的周长最小时，求点E
的坐标。
变式（二）：
若正方形OABC变为矩形OABC，OA=3，OC=4，D为边OC的中点。
点拨提升
解：作D关于x轴的对称点D′，连接D′B交x轴于E，连接DE，
由题可知：
C
∴ DE= D′E
∴ △BDE的周长=BD+DE+BE＝BD+D′E+EB＝BD+BD′
∵D为OC的中点，
∴ OD′＝OD＝2，
∵D和D′关于x轴对称，∴D′（0，﹣2），
∵OA=3，OC=4 ∴易得，B（3，4），
设直线BD'的解析式为y＝kx+b，
把B（3，4），D′（0，﹣2）分别代入解析式得，
解得，
解析式为y＝2x﹣2，
当y＝0时，x＝1，
故E点坐标为（1，0）．
B
3.若E、F为OA边上的两个动点，且EF=2，
当四边形BDEF的周长最小时，
(1)在图中画出点E、F的位置；
(2)此时点E的坐标为( ， )、
点F的坐标为( ， ).
变式（二）：
若正方形OABC变为矩形OABC，OA=3，OC=4，D为边OC的中点。
思维延伸
3.若E、F为OA边上的两个动点，且EF=2，
当四边形BDEF的周长最小时，
(1)在图中画出点E、F的位置；
(2)此时点E的坐标为( ， )、
点F的坐标为( ， ).
变式（二）：
若正方形OABC变为矩形OABC，OA=3，OC=4，D为边OC的中点。
思维延伸
B
C
课堂小结
2.解决问题的过程中运用的方法
对称、平移
1.解决四边形中最短路径问题运用的知识 两点之间，线段最短
3.学习的过程中体现的数学思想
转化思想、方程思想、函数思想
01
02
03
利用轴对称、平移画出最短路径
化“折”为“直”
计算，求出最小值
三动
如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，点M，N分别是边AB，BC上的动点，点P是线段AC上的动点，那么PM+PN的最小值是　 　.
A
B
C
D
P
M
N
M’
思维升华
课后作业
解决四边形中最短路径问题的步骤：
1.正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，DN+MN的最小值
为 。
2.如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP+NP的最小值是
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解决四边形中最短路径问题
古从军行（改写）
白日登山望烽火，
黄昏饮马傍交河。
欲求线段最小值，
平移对称连线段。
彩蛋
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