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第五节　电势差及其与电场强度的关系
(分值：100分)
选择题1～10题，每小题8分，共80分。
对点题组练
题组一　电势差
1.(2024·广东深圳高二期末) 对于电场中确定的A、B两点，关于表达式UAB＝，下列说法正确的是(　　)
电势差UAB随着电场力所做的功WAB的变化而变化
WAB随着试探电荷的运动路径不同而变化
试探电荷的电量q的大小直接影响电势差UAB的大小
电势差UAB由电场决定，与电场力做的功WAB及试探电荷的电量q无关
2.在电场中A、B两点间的电势差UAB＝75 V，B、C两点间的电势差为UBC＝－200 V，则A、B、C三点的电势高低关系为(　　)
φA>φB>φC φA<φC<φB
φC>φA>φB φC>φB>φA
3.在电场中将一带电量q＝－1×10－9 C的负电荷从B点移至A点时，克服电场力做功2×10－6 J，将该电荷从A点移至C点，则需克服电场力做功3×10－6 J，则B、C间的电势差为(　　)
5 000 V 3 000 V 2 000 V 1 000 V
题组二　电势差与电场强度的关系
4.对公式E＝和U＝Ed的理解，下列说法正确的是(　　)
公式U＝Ed适用于计算任何电场中两点间的电势差
由U＝Ed知，两点间距离越大，则这两点的电势差越大
由E＝知，匀强电场中两点沿电场线方向的距离越大，则电场强度越小
公式中的d是匀强电场中两点所在的两等势面之间的距离
5.如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝2 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ，若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为(　　)
UOP＝－200sin θ(V)
UOP＝200 sin θ(V)
UOP＝－200cos θ(V)
UOP＝200cos θ(V)
6.如图所示，沿x轴正方向场强为E的匀强电场中，有一动点从A点开始以O为圆心，r＝OA为半径逆时针转动一周，O与圆周上的A点的连线OA与x轴正方向(E方向)成θ角(θ<)，则此圆周上各点与A点间最大的电势差为(　　)
U＝Er U＝Er(sin θ＋1)
U＝Er(cos θ＋1) U＝2Er
题组三　利用U＝Ed定性分析非匀强电场
7.雷电击中地面或高压输电线掉落到地面时，都会在以落地点为中心的一定区域内的地面上形成一个强电流场，如果有人站在这个区域内，双脚间会存在一定的电势差，叫作“跨步电压”，如图所示，一条电势远高于地面的高压直流输电线掉落在地面上的O点(O点附近地质结构分布均匀)，图中O、A、B、C在同一直线上，BD是过B点圆的切线，AB＝BC＝BD，电线落地时恰好有人单脚着地站在B点，则以下说法正确的是(　　)
图中的虚线是等势线，其中A、B、C三点中，C点的电势最高
地面上电子由C向O定向移动
为了安全，人应该沿BD方向迈大步快速脱离
A、B、C、D四点间电势差大小关系为UAB＝UBC＝UBD
8.如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为φa＝－50 V，φb＝－20 V，则a、b连线的中点c的电势应为(　　)
φc＝－35 V φc＞－35 V
φc＜－35 V 无法判断
综合提升练
9.如图所示，a、b、c是一条电场线上的三点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，以下判断正确的是(　　)
φa＞φb＞φc Ea＞Eb＞Ec
φa－φb＝φb－φc Ea＝Eb＝Ec
10.如图所示，a、b、c、d是以O点为圆心的圆弧上的四个点，该圆的半径R＝5 m。a、b、c、d也在xOy坐标系的x轴和y轴上，匀强电场的方向与x轴正方向成θ＝53°(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)，已知O点的电势为零，a点的电势为4 V，则下列说法正确的是(　　)
匀强电场的电场强度E＝2 V/m
b点电势为2.5 V
将一个电量为－1 C的试探电荷从b点移到d点，电场力做功为6 J
将一个电量为＋1 C的试探电荷从a点移到c点，试探电荷的电势能减少8 J
11.(10分)如图所示，在水平方向的匀强电场中，一电场线上有相距6 cm的A、B两点，且UAB＝150 V，求：
(1)(3分)电场强度的大小和方向；
(2)(3分)电量为q＝3.2×10－4 C的负电荷放在该电场中，求解其受到的电场力的大小和方向；
(3)(4分)电场中A、C两点相距14 cm，A、C两点连线与电场线方向成37°角，则C点与A点间的电势差UCA为多大(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)？
培优加强练
12.(10分)如图所示，M、N两极板间匀强电场的电场强度大小E＝2.4×104 N/C，方向竖直向上。电场中A、B两点相距10 cm，A、B连线与电场方向的夹角θ＝60°，A点和M板间的距离为2 cm。
(1)(5分)此时UAB等于多少？
(2)(5分)一正点电荷的电量q＝5×10－8 C，它在A、B两点的电势能之差为多少？若M板接地，A点电势是多少？B点电势是多少？
第五节　电势差及其与电场强度的关系
1.D　[电势差的定义式为UAB＝，是用比值法定义的物理量，但电势差与试探电荷及电场力做的功无关，由电场强度和两点的位置决定，故A、C错误，D正确；电场力做功与路径无关，只与试探电荷的电量q和初末位置有关，故B错误。]
2.C　[根据UAB＝75 V，可得φA－φB＝75 V，所以φA＝φB＋75 V；根据UBC＝－200 V，可得φB－φC＝－200 V，所以φC＝φB＋200 V，比较可知φC>φA>φB，故C正确。]
3.A　[负电荷由B移到C，电场力做的功为WBC＝WBA＋WAC＝－2×10－6 J－3×10－6 J＝－5×10－6 J，则UBC＝＝ V＝5 000 V，故A正确。]
4.D　[公式U＝Ed只适用于计算匀强电场中两点间的电势差，故A错误；由U＝Ed知，当E一定时，两点间沿电场线方向距离越大，则这两点的电势差越大，故B错误；匀强电场场强处处相同，与距离无关，故C错误；公式中的d是匀强电场中两点所在的两等势面之间的距离，即沿电场线方向的距离，故D正确。]
5.A　[在匀强电场中，两点间的电势差U＝Ed，而d是沿电场强度方向上的距离，所以dOP＝R·sin θ，沿电场线方向电势降低，故UOP＝－100×2sin θ＝－200sin θ(V)，故A正确，B、C、D错误。]
6.C　[由U＝Ed知，此圆周上各点与A点间电势差最大的点应是沿场强方向与A点相距最远的点，dmax＝r＋rcos θ，所以Umax＝Er(cos θ＋1)，C项正确。]
7.B　[根据题意可知，题图中的虚线是等势线，因为O点的电势最高，且逐步往外电势慢慢降低，所以电势的高低顺序依次是O、A、B、D、C，故A错误；在地面上，电子带负电，受力的方向与电场线的方向相反，即沿着CO方向，故电子由C到O定向移动，故B正确；根据公式U＝Ed定性分析可知，电压的大小会随着步伐的增大而增大，更加不安全，故C错误；在电场中，因为AB＝BC＝BD，且随着半径的增大，电场强度逐渐变小，则UAB＞UBC，而因为BD＜BC，则UBC＞UBD，故D错误。]
8.B　[由题图可知这是一个非匀强电场，且Ea＞Ec＞Eb，即从b到a电场强度越来越大，则Ubc＜Uca，即φb－φc＜φc－φa，可得φc＞－35 V，B正确。]
9.A　[沿电场线方向电势降低，所以φa＞φb＞φc，A正确；只有一条电场线，不能确定电场线的分布情况，无法比较三点电场强度的大小，B、D错误；由U＝Ed知，只有在匀强电场中沿电场线方向才有φa－φb＝φb－φc，C错误。]
10.D　[a、O之间沿电场线方向的距离为d＝Rsin 53°＝4 m，a、O间电势差U＝4 V，则电场强度的大小为E＝＝1 V/m，故A错误；b、O之间沿电场线方向的距离为x＝Rcos 53°＝3 m，b点电势为φb＝UbO＝Ex＝1×3 V＝3 V，故B错误；b、d两点间的电势差为Ubd＝2ERcos 53°＝6 V，将电量为－1 C的试探电荷从b点移到d点，电场力做的功Wbd＝qUbd＝－1×6 J＝－6 J，故C错误；a、c两点间的电势差为Uac＝2ERsin 53°＝8 V，将电量为＋1 C的试探电荷从a点移到c点，电场力做的功Wac＝q′Uac＝1×8 J＝8 J，则试探电荷的电势能减少8 J，故D正确。]
11.(1)大小为2.5×103 V/m　方向水平向右　(2)大小为0.8 N
方向水平向左　(3)－280 V
解析　(1)电场强度的大小为
E＝＝ V/m＝2.5×103 V/m
方向水平向右。
(2)电场力的大小F＝qE＝0.8 N，方向水平向左。
(3)C点与A点间的电势差
UCA＝－EdCAcos 37°＝－280 V。
12.(1)1 200 V　(2)6×10－5 J　－480 V　－1 680 V
解析　(1)由U＝Ed得A、B两点间的电势差
UAB＝E·cos θ＝2.4×104×10×10－2×0.5 V＝1 200V。
(2)正点电荷在电势高处电势能大，它在A、B两点间的电势能之差为EpA－EpB＝qUAB＝5×10－8×1 200 J＝6×10－5 J
若M板接地，M板电势为0
UMA＝φM－φA＝E·＝480 V
则φA＝－480 V
φB＝φA－UAB＝－480 V－1 200 V＝－1 680 V。第五节　电势差及其与电场强度的关系
学习目标　1.理解电势差的概念。2.掌握电势差的表达式UAB＝φA－φB及UAB＝。3.理解匀强电场中电势差与电场强度的关系U＝Ed或E＝，了解其适用条件。
知识点一　电势差
电场中两点间电势的差值称为电势差，用U表示。若A、B两点的电势分别为φA、φB，则A、B两点的电势差UAB＝φA－φB。
(1)把某电荷q从A移到B，电荷的电势能变化了多少？
(2)根据电场力做功与电势能变化的关系，求电场力对该电荷做的功；
(3)电场力做功与电势差有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.电势差
(1)定义：电场中两点间电势的差值叫作电势差，也叫________，用符号U表示。
(2)表达式：UAB＝____________。
(3)电势差的正负：电势差与电势一样都是标量，它可以为正值，也可以为负值。若UAB为正值，则表示点A的电势比点B的电势________；若UAB为负值，则表示点A的电势比点B的电势________。
2.电场力做功与电势差的关系
(1)比值定义法：把电场力做的功与所移动电荷的电量________叫作电势差。
(2)公式：UAB＝。
(3)物理意义：电场中A、B两点间的电势差UAB等于把________电荷从点A移动到点B时电场力所做的功。
(4)说明：①由UAB＝可以看出，UAB在数值上等于单位正电荷由A点移动到B点时电场力所做的功。
②电势差UAB反映的是电场自身在A、B两点间的性质，与电量q无关，只和电场中A、B的位置有关。
③UAB＝中，UAB、WAB及q都有正负之分，计算UAB时，WAB和q的正负可直接代入。
④电场中某点的电势在数值上等于该点与零电势点之间的电势差。
【思考判断】
(1)若电场中两点间电势差UAB＝1 V，则单位正电荷从A点移到B点，电场力做功为1 J。(　　)
(2)将电量为q的电荷从A点移到B点与将电量为－q的电荷从B点移到A点，电场力所做的功相同。(　　)
(3)根据公式UAB＝，则两点间的电势差UAB与WAB成正比，与q成反比。(　　)
例1 (多选)关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是(　　)
A.电势与电势差均是相对量，均与电势零点的选取有关
B.UAB和UBA是不同的，它们的关系为UAB＝－UBA
C.φA、φB都有正、负，所以电势是矢量
D.若φB＝0，则φA＝UAB
总结提升　电势和电势差的比较
比较内容 电势φ 电势差U
区别 定义 电势能与电荷量的比值φ＝ 静电力做的功与电荷量的比值UAB＝
决定因素 由电场和在电场中的位置决定，与q、Ep无关 由电场和场内两点位置决定，与q、WAB无关
相对性 与零电势点的选取有关 与零电势点的选取无关
联系 数值关系 UAB＝φA－φB
单位 相同，国际单位制中均是伏特(V)
标矢性 都是标量，但均有正负
例2 在电场中把一个带电量为6×10－6 C的负电荷从A点移到B点，克服电场力做功3×10－5 J，再将电荷从B点移到C点，电场力做功1.2×10－5 J，求：
(1)A与B、B与C两点间电势差；
(2)以B点为零电势点时，A、C两点的电势各为多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
电势差与电场力做功的关系
(1)公式UAB＝适用于任何电场，其中WAB是电场力做的功，不包括从A到B移动电荷时其他力所做的功。
(2)公式UAB＝或WAB＝qUAB中符号处理方法
把电荷q的电性正负和电势差U的正负均代入进行运算，功为正，说明电场力做正功，电荷的电势能减小；功为负，说明电场力做负功，电荷的电势能增大。　　　　
知识点二　电势差与电场强度的关系
如图所示，已知匀强电场的场强大小为E，A、B间距为d，A、B两点间的电势差为UAB，将电荷q从A点移动到B点：
(1)从力和位移的角度计算电场力所做的功；通过A、B间的电势差计算电场力做的功。
(2)比较两次计算的功，电势差与电场强度有何关系？
(3)若将电荷从A点移动到C点，仍从两个角度计算电场力做功并比较，能得到什么结论？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.电势差与电场强度的关系
(1)关系：在匀强电场中任意两点之间的电势差等于________与这两点沿________方向的距离的乘积。
(2)关系式：U＝________。
(3)适用条件：________电场，d是沿电场方向两点间的距离。
2.电场强度的另一种表达
(1)表达式：E＝________。
(2)物理意义：在匀强电场中，场强在数值上等于沿场强方向距离为每________长度的两点间的电势差。
(3)场强的另一个单位：____________，符号为________。
【思考】
1.思考判断
(1)由公式E＝得电场强度跟两点的电势差成正比，跟两点的距离成反比。(　　)
(2)匀强电场中沿电场线方向，任何相同距离上电势降落必定相等。(　　)
(3)匀强电场中电势降低的方向必是电场强度方向。(　　)
2.如图所示，AB＝AC，沿电场线从A到B电势降落的快，还是不沿电场线从A到C电势降落的快？说明沿什么方向电势降落得最快？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3 如图所示，Q、P两金属板间的电势差为50 V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10 cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4 cm。
(1)求P板及A点的电势；
(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5 cm，则A点的电势将变为多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
电势差的求解方法
(1)应用定义式UAB＝φA－φB来求解。
(2)应用关系式UAB＝来求解。
(3)应用关系式UAB＝Ed(匀强电场)来求解。
(4)应用代数法依次相加，但要注意角标的排序。如UAD＝UAB＋UBC＋UCD，UAB＝－UBA。　　　　
训练1 (2024·广州市高二期末)如图所示，匀强电场方向向上，电场强度大小E＝100 V/m，A、B两点相距10 cm，A、B连线与电场线夹角为60°，若取A点电势为0，则B点电势为(　　)
A.－10 V B.10 V C.－5 V D.－3 V
知识点三　利用U＝Ed定性分析非匀强电场
U＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题。
(1)在非匀强电场中，U＝Ed中的E可理解为距离为d的两点间电场强度的平均值。
(2)如图所示，当电势差U相同时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密。
例4 (多选)如图所示为某一电场的电场线和等势面。已知φa＝5 V，φc＝3 V，ab＝bc，b点电势为φb，b、d在同一等势面上。以|Wac|表示带电量为q的点电荷由a点移到c点过程中电场力做功的大小，|Wdc|表示该点电荷由d点移到c点过程中电场力做功的大小，则(　　)
A.φb>4 V B.φb<4 V
C.|Wac|＝2|Wdc| D.|Wac|>2|Wdc|
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练2 (多选)如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON。则下列说法正确的是(　　)
A.M点的电势比P点的电势高
B.将负点电荷由O点移动到P点，电场力做正功
C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
随堂对点自测
1.(电势差的理解和计算)电场中有A、B两点，一个点电荷在A点的电势能为1.2×10－8 J，在B点的电势能为8.0×10－9 J。已知A、B两点在同一条电场线上。如图所示，该点电荷的电量绝对值为1.0×10－9 C，那么(　　)
A.该电荷为负电荷
B.该电荷为正电荷
C.A、B两点的电势差UAB＝4.0 V
D.把该电荷从A移到B，静电力做功为W＝4.0 J
2.(电势差与电场强度的关系)如图所示，四条竖直平行线是一个匀强电场中的四个等势面，相邻两个等势面之间的距离为1 cm，由此可以确定场强的大小和方向是(　　)
A.300 V/m，水平向左 　B.300 V/m，竖直向下
C.900 V/m，水平向右 　D.900 V/m，竖直向上
3.(利用U＝Ed定性分析非匀强电场)如图所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径之比为1∶2∶3。A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上。A、C两点的电势依次为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势(　　)
A.一定等于6 V B.一定低于6 V
C.一定高于6 V D.无法确定
第五节　电势差及其与电场强度的关系
知识点一
导学　提示　(1)电势能的变化量ΔEp＝EpB－EpA＝q(φB－φA)。
(2)WAB＝－ΔEp＝q(φA－φB)＝qUAB。
(3)WAB＝qUAB。
知识梳理
1.(1)电压　(2)φA－φB　(3)高　低　2.(1)之比　(3)单位
[思考判断] (1)√　(2)√　(3)×
例1 BD　[电势差与电势零点的选取无关，A错误；UAB＝－UBA，B正确；电势虽有正、负之分，但电势是标量，C错误；由UAB＝φA－φB知，若φB＝0，则φA＝UAB，D正确。]
例2 (1)5 V　－2 V　(2)5 V　2 V
解析　(1)由A到B电场力做负功，则
WAB＝－3×10－5 J
所以UAB＝＝ V＝5 V
由B到C电场力做正功，即WBC＝1.2×10－5 J
所以UBC＝＝ V＝－2 V。
(2)以B为零电势点时，φB＝0
UAB＝φA－φB，则φA＝5 V
UBC＝φB－φC，则φC＝2 V。
知识点二
导学　提示　(1)WAB＝qEd；WAB＝qUAB。
(2)UAB＝Ed。
(3)WAC＝qELcos θ＝qEd，WAC＝qUAC，UAC＝Ed。
知识梳理
1.(1)场强　电场　(2)Ed　(3)匀强
2.(1)　(2)单位　(3)伏/米　V/m
[思考判断]
1.(1)×　(2)√　(3)×
2.提示　UAB＝Ed，UAC＝E·dcos θ，可见相同距离，沿电场线电势降落的最快。
例3 (1)－50 V　－30 V　(2)－10 V
解析　板间电场强度方向水平向左，可知Q板电势最高。Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值。
(1)UQP＝φQ－φP＝50 V
解得φP＝－50 V
电场强度大小E＝＝ V/m＝5×102 V/m
Q、A间电势差
UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2 V＝30 V
又UQA＝φQ－φA，所以A点电势φA＝－30 V。
(2)当Q板向左平移5 cm时，两板间距离d″＝(10－5) cm＝5 cm
Q板与A点间距离变为d?＝(10－4) cm－5 cm＝1 cm
电场强度大小E′＝＝ V/m＝1.0×103 V/m
Q、A间电势差UQA′＝E′d?＝1.0×103×1.0×10－2 V＝10 V
又UQA′＝φQ－φA′，所以A点电势φA′＝－10 V。
训练1 C　[A、B连线沿电场线的距离为d＝xABcos 60°＝10×10－2× m＝0.05 m，根据匀强电场中电势差与电场强度的关系可知UAB＝Ed＝100×0.05 V＝5 V，若取A点电势为0，则有UAB＝φA－φB＝0－φB＝5 V，解得B点电势为φB＝－5 V，故C正确。]
知识点三
例4 BD　[由电场线的疏密程度可知，ab段上各点电场强度大于bc段上各点电场强度，由U＝Ed可定性判断出Uab>Ubc，即φa－φb>φb－φc，所以φb<＝4 V，故A错误，B正确；又因为Uac＝Uab＋Ubc，所以Uac>2Ubc，b、d在同一等势面上，φb＝φd，故Uac>2Udc，由电场力做功W＝qU，得|Wac|>2|Wdc|，故C错误，D正确。]
训练2 AD　[根据电场线和等势面的关系，可知M点的电势比P点的电势高，A正确；将负点电荷由O点移到P点，电场力做负功，B错误；根据U＝Ed进行定性分析，可知UMN随堂对点自测
1.A　[点电荷在A点的电势能大于在B点的电势能，从A到B静电力做正功，所以该电荷一定为负电荷，且WAB＝EpA－EpB＝1.2×10－8 J－8.0×10－9 J＝4.0×10－9 J，故A正确，B、D错误；UAB＝＝ V＝－4.0 V，故C错误。]
2.A　[根据电场线垂直于等势面且沿着电场线方向电势逐渐降低，知该匀强电场场强方向水平向左，大小为E＝＝ V/m＝300 V/m，故A正确。]
3.B　[根据点电荷电场强度公式E＝k可知，EA＞EB＞EC，又AB＝BC，则由U＝Ed定性分析可知UAB＞UBC，即φA－φB＞φB－φC，所以φB＜＝6 V，故B正确。](共49张PPT)
第五节　电势差及其与电场强度的关系
第一章　静电场的描述
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　电势差与电场强度的关系
知识点一　电势差
知识点三　利用U＝Ed定性分析非匀强电场
知识点一　电势差
电场中两点间电势的差值称为电势差，用U表示。若A、B两点的电势分别为φA、φB，则A、B两点的电势差UAB＝φA－φB。
(1)把某电荷q从A移到B，电荷的电势能变化了多少？
(2)根据电场力做功与电势能变化的关系，求电场力对该电荷做的功；
(3)电场力做功与电势差有什么关系？
提示　(1)电势能的变化量ΔEp＝EpB－EpA＝q(φB－φA)。
(2)WAB＝－ΔEp＝q(φA－φB)＝qUAB。
(3)WAB＝qUAB。
1.电势差
(1)定义：电场中两点间电势的差值叫作电势差，也叫______，用符号U表示。
(2)表达式：UAB＝_______________。
(3)电势差的正负：电势差与电势一样都是标量，它可以为正值，也可以为负值。若UAB为正值，则表示点A的电势比点B的电势___；若UAB为负值，则表示点A的电势比点B的电势___。
电压
φA－φB
高
低
2.电场力做功与电势差的关系
之比
单位
【思考判断】
(1)若电场中两点间电势差UAB＝1 V，则单位正电荷从A点移到B点，电场力做功为1 J。( )
(2)将电量为q的电荷从A点移到B点与将电量为－q的电荷从B点移到A点，电场力所做的功相同。( )
×
√
√
BD
例1 (多选)关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是(　　)
A.电势与电势差均是相对量，均与电势零点的选取有关
B.UAB和UBA是不同的，它们的关系为UAB＝－UBA
C.φA、φB都有正、负，所以电势是矢量
D.若φB＝0，则φA＝UAB
解析　电势差与电势零点的选取无关，A错误；UAB＝－UBA，B正确；电势虽有正、负之分，但电势是标量，C错误；由UAB＝φA－φB知，若φB＝0，则φA＝UAB，D正确。
总结提升　电势和电势差的比较
例2 在电场中把一个带电量为6×10－6 C的负电荷从A点移到B点，克服电场力做功3×10－5 J，再将电荷从B点移到C点，电场力做功1.2×10－5 J，求：
(1)A与B、B与C两点间电势差；
(2)以B点为零电势点时，A、C两点的电势各为多少？
解析　(1)由A到B电场力做负功，则WAB＝－3×10－5 J
答案　(1)5 V　－2 V　(2)5 V　2 V
(2)以B为零电势点时，φB＝0
UAB＝φA－φB，则φA＝5 V
UBC＝φB－φC，则φC＝2 V。
知识点二　电势差与电场强度的关系
如图所示，已知匀强电场的场强大小为E，A、B间距为d，A、B两点间的电势差为UAB，将电荷q从A点移动到B点：
(1)从力和位移的角度计算电场力所做的功；通过A、B间的电势差计算电场力做的功。
(2)比较两次计算的功，电势差与电场强度有何关系？
(3)若将电荷从A点移动到C点，仍从两个角度计算电场力做功并比较，能得到什么结论？
提示　(1)WAB＝qEd；WAB＝qUAB。
(2)UAB＝Ed。
(3)WAC＝qELcos θ＝qEd，WAC＝qUAC，UAC＝Ed。
1.电势差与电场强度的关系
(1)关系：在匀强电场中任意两点之间的电势差等于______与这两点沿______方向的距离的乘积。
(2)关系式：U＝______。
(3)适用条件：______电场，d是沿电场方向两点间的距离。
场强
电场
Ed
匀强
2.电场强度的另一种表达
(1)表达式：E＝___。
(2)物理意义：在匀强电场中，场强在数值上等于沿场强方向距离为每______长度的两点间的电势差。
(3)场强的另一个单位：_________，符号为_________。
单位
伏/米
V/m
【思考】
1.思考判断
×
√
×
2.如图所示，AB＝AC，沿电场线从A到B电势降落的快，还是不沿电场线从A到C电势降落的快？说明沿什么方向电势降落得最快？
提示　UAB＝Ed，UAC＝E·dcos θ，可见相同距离，沿电场线电势降落的最快。
例3 如图所示，Q、P两金属板间的电势差为50 V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10 cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4 cm。
(1)求P板及A点的电势；
(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5 cm，则A点的电势将变为多少？
解析　板间电场强度方向水平向左，可知Q板电势最高。Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值。
(1)UQP＝φQ－φP＝50 V
解得φP＝－50 V
Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2 V＝30 V
又UQA＝φQ－φA
所以A点电势φA＝－30 V。
(2)当Q板向左平移5 cm时，两板间距离
d″＝(10－5) cm＝5 cm
Q板与A点间距离变为d＝(10－4) cm－5 cm＝1 cm
答案　(1)－50 V　－30 V　(2)－10 V
Q、A间电势差UQA′＝E′d?＝1.0×103×1.0×10－2 V＝10 V
又UQA′＝φQ－φA′,所以A点电势φA′＝－10 V。
C
训练1 (2024·广州市高二期末)如图所示，匀强电场方向向上，电场强度大小E＝100 V/m，A、B两点相距10 cm，A、B连线与电场线夹角为60°，若取A点电势为0，则B点电势为(　　)
A.－10 V B.10 V C.－5 V D.－3 V
知识点三　利用U＝Ed定性分析非匀强电场
U＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题。
(1)在非匀强电场中，U＝Ed中的E可理解为距离为d的两点间电场强度的平均值。
(2)如图所示，当电势差U相同时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密。
BD
例4 (多选)如图所示为某一电场的电场线和等势面。已知φa＝5 V，φc＝3 V，ab＝bc，b点电势为φb，b、d在同一等势面上。以|Wac|表示带电量为q的点电荷由a点移到c点过程中电场力做功的大小，|Wdc|表示该点电荷由d点移到c点过程中电场力做功的大小，则(　　)
A.φb>4 V B.φb<4 V C.|Wac|＝2|Wdc| D.|Wac|>2|Wdc|
AD
训练2 (多选)如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON。则下列说法正确的是(　　)
A.M点的电势比P点的电势高
B.将负点电荷由O点移动到P点，电场力做正功
C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
解析　根据电场线和等势面的关系，可知M点的电势比P点的电势高，A正确；将负点电荷由O点移到P点，电场力做负功，B错误；根据U＝Ed进行定性分析，可知UMN随堂对点自测
2
A
1.(电势差的理解和计算)电场中有A、B两点，一个点电荷在A点的电势能为1.2×10－8 J，在B点的电势能为8.0×10－9 J。已知A、B两点在同一条电场线上。如图所示，该点电荷的电量绝对值为1.0×10－9 C，那么(　　)
A.该电荷为负电荷
B.该电荷为正电荷
C.A、B两点的电势差UAB＝4.0 V
D.把该电荷从A移到B，静电力做功为W＝4.0 J
A
2.(电势差与电场强度的关系)如图所示，四条竖直平行线是一个匀强电场中的四个等势面，相邻两个等势面之间的距离为1 cm，由此可以确定场强的大小和方向是(　　)
A.300 V/m，水平向左 　B.300 V/m，竖直向下
C.900 V/m，水平向右 　D.900 V/m，竖直向上
B
3.(利用U＝Ed定性分析非匀强电场)如图所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径之比为1∶2∶3。A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上。A、C两点的电势依次为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势(　　)
A.一定等于6 V B.一定低于6 V
C.一定高于6 V D.无法确定
课后巩固训练
3
D
A.电势差UAB随着电场力所做的功WAB的变化而变化
B.WAB随着试探电荷的运动路径不同而变化
C.试探电荷的电量q的大小直接影响电势差UAB的大小
D.电势差UAB由电场决定，与电场力做的功WAB及试探电荷的电量q无关
对点题组练
题组一　电势差
C
2.在电场中A、B两点间的电势差UAB＝75 V，B、C两点间的电势差为UBC＝－200 V，则A、B、C三点的电势高低关系为(　　)
A.φA>φB>φC B.φA<φC<φB
C.φC>φA>φB D.φC>φB>φA
解析　根据UAB＝75 V，可得φA－φB＝75 V，所以φA＝φB＋75 V；根据UBC＝－200 V，可得φB－φC＝－200 V，所以φC＝φB＋200 V，比较可知φC>φA>φB，故C正确。
A
3.在电场中将一带电量q＝－1×10－9 C的负电荷从B点移至A点时，克服电场力做功2×10－6 J，将该电荷从A点移至C点，则需克服电场力做功3×10－6 J，则B、C间的电势差为(　　)
A.5 000 V B.3 000 V C.2 000 V D.1 000 V
D
解析　公式U＝Ed只适用于计算匀强电场中两点间的电势差，故A错误；由U＝Ed知，当E一定时，两点间沿电场线方向距离越大，则这两点的电势差越大，故B错误；匀强电场场强处处相同，与距离无关，故C错误；公式中的d是匀强电场中两点所在的两等势面之间的距离，即沿电场线方向的距离，故D正确。
A
5.如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝2 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ，若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为(　　)
A.UOP＝－200sin θ(V) B.UOP＝200 sin θ(V)
C.UOP＝－200cos θ(V) D.UOP＝200cos θ(V)
解析　在匀强电场中，两点间的电势差U＝Ed，而d是沿电场强度方向上的距离，所以dOP＝R·sin θ，沿电场线方向电势降低，故UOP＝－100×2sin θ＝－200sin θ(V)，故A正确，B、C、D错误。
C
A.U＝Er B.U＝Er(sin θ＋1)
C.U＝Er(cos θ＋1) D.U＝2Er
解析　由U＝Ed知，此圆周上各点与A点间电势差最大
的点应是沿场强方向与A点相距最远的点，
dmax＝r＋rcos θ，所以Umax＝Er(cos θ＋1)，C项正确。
B
题组三　利用U＝Ed定性分析非匀强电场
7.雷电击中地面或高压输电线掉落到地面时，都会在以落地点为中心的一定区域内的地面上形成一个强电流场，如果有人站在这个区域内，双脚间会存在一定的电势差，叫作“跨步电压”，如图所示，一条电势远高于地面的高压直流输电线掉落在地面上的O点(O点附近地质结构分布均匀)，图中O、A、B、C在同一直线上，BD是过B点圆的切线，AB＝BC＝BD，电线落地时恰好有人单脚着地站在B点，则以下说法正确的是(　　)
A.图中的虚线是等势线，其中A、B、C三点中，C点的电势最高
B.地面上电子由C向O定向移动
C.为了安全，人应该沿BD方向迈大步快速脱离
D.A、B、C、D四点间电势差大小关系为UAB＝UBC＝UBD
解析　根据题意可知，题图中的虚线是等势线，因为O点的电势最高，且逐步往外电势慢慢降低，所以电势的高低顺序依次是O、A、B、D、C，故A错误；在地面上，电子带负电，受力的方向与电场线的方向相反，即沿着CO方向，故电子由C到O定向移动，故B正确；根据公式U＝Ed定性分析可知，电压的大小会随着步伐的增大而增大，更加不安全，故C错误；在电场中，因为AB＝BC＝BD，且随着半径的增大，电场强度逐渐变小，则UAB＞UBC，而因为BD＜BC，则UBC＞UBD，故D错误。
B
8.如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为φa＝－50 V，φb＝－20 V，则a、b连线的中点c的电势应为(　　)
A.φc＝－35 V B.φc＞－35 V
C.φc＜－35 V D.无法判断
解析　由题图可知这是一个非匀强电场，且Ea＞Ec＞Eb，即从b到a电场强度越来越大，则Ubc＜Uca，即φb－φc＜φc－φa，可得φc＞－35 V，B正确。
A
综合提升练
9.如图所示，a、b、c是一条电场线上的三点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，以下判断正确的是(　　)
A.φa＞φb＞φc B.Ea＞Eb＞Ec
C.φa－φb＝φb－φc D.Ea＝Eb＝Ec
解析　沿电场线方向电势降低，所以φa＞φb＞φc，A正确；只有一条电场线，不能确定电场线的分布情况，无法比较三点电场强度的大小，B、D错误；由U＝Ed知，只有在匀强电场中沿电场线方向才有φa－φb＝φb－φc，C错误。
D
10.如图所示，a、b、c、d是以O点为圆心的圆弧上的四个点，该圆的半径R＝5 m。a、b、c、d也在xOy坐标系的x轴和y轴上，匀强电场的方向与x轴正方向成θ＝53°(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)，已知O点的电势为零，a点的电势为4 V，则下列说法正确的是(　　)
A.匀强电场的电场强度E＝2 V/m
B.b点电势为2.5 V
C.将一个电量为－1 C的试探电荷从b点移到d点，电场力做功为6 J
D.将一个电量为＋1 C的试探电荷从a点移到c点，试探电荷的电势能减少8 J
11.如图所示，在水平方向的匀强电场中，一电场线上有相距6 cm的A、B两点，且UAB＝150 V，求：
(1)电场强度的大小和方向；
(2)电量为q＝3.2×10－4 C的负电荷放在该电场中，求解其受到的电场力的大小和方向；
(3)电场中A、C两点相距14 cm，A、C两点连线与电场线方向成37°角，则C点与A点间的电势差UCA为多大(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
答案　(1)大小为2.5×103 V/m　方向水平向右
(2)大小为0.8 N　方向水平向左　(3)－280 V
方向水平向右。
(2)电场力的大小F＝qE＝0.8 N，方向水平向左。
(3)C点与A点间的电势差
UCA＝－EdCAcos 37°＝－280 V。
培优加强练
12.如图所示，M、N两极板间匀强电场的电场强度大小E＝2.4×104 N/C，方向竖直向上。电场中A、B两点相距10 cm，A、B连线与电场方向的夹角θ＝60°，A点和M板间的距离为2 cm。
(1)此时UAB等于多少？
(2)一正点电荷的电量q＝5×10－8 C，它在A、B两点的
电势能之差为多少？若M板接地，A点电势是多少？B点电势是多少？
答案　(1)1 200 V　(2)6×10－5 J　－480 V －1 680 V
解析　(1)由U＝Ed得A、B两点间的电势差
(2)正点电荷在电势高处电势能大，
它在A、B两点间的电势能之差为
EpA－EpB＝qUAB＝5×10－8×1 200 J＝6×10－5 J
若M板接地，M板电势为0
则φA＝－480 V
φB＝φA－UAB＝－480 V－1 200 V＝－1 680 V。

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