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1.1.1集合及其表示方法（1）
高一年级 数学
引入
（1）图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的，
（2）作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，
（3）整数可以分成正整数、负整数和零这三类.
分类实例
（1）实数可以分为有理数和无理数.
（2）三角形可以分为直角三角形和非直角三角形.
（3）整式加减时，要对同类项进行合并，这也是一种分类.
……
集合的概念
把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素.
集合的表示
集合通常用英文大写字母A，B，C，...表示，
集合的元素通常用英文小写字母a，b，c，...表示.
如果a是集合A的元素，就记作a A，读作“a属于A”；
如果a不是集合A的元素，就记作a A，读作“a不属于A”.
尝试与发现
你能举出几个用集合表达的、与数学有关的例子吗？指出例子中集合的元素是什么.
（1）整数的集合，
（2）有理数的集合，
（3）正数的集合.
集合实例
（1）如果A是由所有小于10的自然数组成的集合，则0A，0.5 A.
集合实例
（2）如果B是由方程的所有解组成的集合，则1B，0 B，1B.
集合实例
（3）如果C是平面上与定点O的距离等于定长r（r>0）的点组成的集合，则对于以O为圆心、r为半径的圆O上的每个点P来说，都有P C.
集合实例
（4）设平面上线段AB的垂直平分线上的点组成的集合记为P，设M是线段AB的中点，则M P.
思考与讨论
考虑方程x+1=x+2的所有解组成的集合，由于该方程无解，因此这个集合不含有任何元素.
一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作 .
由空集的定义可得，0 ，1 .
集合元素的特点
（1）确定性：集合的元素必须是确定的.
因此，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素，应该可以明确地判断出来.
集合元素的特点
（2）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的.
例如，由英语单词success（成功）中的所有英文字母组成的集合，包含的元素只有4个，即s，u，c，e.
集合元素的特点
（3）无序性：集合中的元素可以任意排列，与次序无关.
尝试与发现
（1）你所在的班级中，身高不低于175cm的同学能组成一个集合吗？
尝试与发现
（1）你所在的班级中，身高不低于175cm的同学能组成一个集合吗？能
尝试与发现
（2）你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗？为什么？
尝试与发现
（2）你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗？为什么？不能
尝试与发现
（3）不等式的所有解能组成一个集合吗？
尝试与发现
（3）不等式的所有解能组成一个集合吗？能
集合相等
给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B.
集合分类
集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.
空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集.
典型例题
例1.下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有优秀的同学；
(2)不超过20的非负数；
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(4)3的近似值的全体.
典型例题
例1.下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有优秀的同学；不能
(2)不超过20的非负数；
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(4)3的近似值的全体.
典型例题
例1.下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有优秀的同学；不能
(2)不超过20的非负数；能
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(4)3的近似值的全体.
典型例题
例1.下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有优秀的同学；不能
(2)不超过20的非负数；能
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；不能
(4)3的近似值的全体.
典型例题
例1.下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有优秀的同学；不能
(2)不超过20的非负数；能
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；不能
(4)3的近似值的全体.不能
典型例题
例2.若a、b、c、d为集合A的四个元素，则以a、b、c、d为边长构成的四边形可能是(　　)
A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
典型例题
例2.若a、b、c、d为集合A的四个元素，则以a、b、c、d为边长构成的四边形可能是(　　)
A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
解析：由于集合中的元素具有“互异性”，故四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.选D.
几种常见的数集
（1）所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作N.
0N，即0是自然数集N中的一个元素.
如果aN，bN，则一定有a+bN且abN，
但 N和都不一定成立.
例如，1N ，3N ，但 N且 N.
几种常见的数集
（1）所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作N.
0N，即0是自然数集N中的一个元素.
在自然数集N中，去掉元素0之后的集合，称为正整数集，记作 N+或N*.
几种常见的数集
（2）所有整数组成的集合，称为整数集，记作Z.
如果aZ ，bZ ，则一定有 Z，但不一定成立.
例如，1Z ，3Z ， Z但 Z.
几种常见的数集
（3）所有有理数组成的集合，称为有理数集，记作.
凡是能够表示成分数（即两个整数的商）的数称为有理数.
如果a，b 且，则 .
例如，3 ， ，则 6 .
几种常见的数集
（4）所有实数组成的集合，称为实数集，记作R.
如果a R，b R，则R， R，ab R.
当时，还有 R.
典型例题
例3.下列所给关系正确的个数是(　　)
① R；② Q；③0 N*；④|3| N*.
A.1 B.2 C.3 D.4
典型例题
例3.下列所给关系正确的个数是(　　)
① R；② Q；③0 N*；④|3| N*.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：①正确②正确③错误④错误.选B.
集合语言
利用集合的符号，可以简化自然语言描述，比如：
“0是整数”可以表示为“0 Z”；
“π不是有理数”可以表示为“π Q”；
“如果n是自然数，那么n+1也是自然数”可以表示为“如果n N，那么n+1 N”.
思考与讨论
（1）无限循环小数可以表示成分数吗？
思考与讨论
（1）无限循环小数可以表示成分数吗？可以.
设，则，
因此，即.
思考与讨论
（2）任何一个无限循环小数都是Q中的元素，对吗？
思考与讨论
（2）任何一个无限循环小数都是Q中的元素，对吗？
正确.
感兴趣的同学可以查阅有关资料，了解相关内容.
小结
1.集合与元素的概念及其关系
2.集合元素的特点
3.集合的分类
4.几种常见的数集
课后练习
教材8页 练习A组1，2，B组1.
教材38页 复习题A组1.
谢谢(共35张PPT)
1.1.1集合及其表示方法（2）
高一年级 数学
一、列举法
把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔）,并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法.
例如:
（1）由两个元素0,1组成的集合可用列举法表示为:{0 , 1};
（2）24的所有正因数1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24组成的集合可用列举法表示为:{1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24};
（3）中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为:{《红楼梦》,《三国演义》,《水浒传》 ,
《西游记》}.
1. 用列举法表示集合时,一般不考虑元素的顺序.
例如:{1,2}与{2,1}表示同一个集合.
几点说明
2.如果一个集合的元素较多,且能够按照一定的规律排列,
那么在不致于发生误解的情况下,可按照规律列出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.
例如:不大于100的自然数组成的集合,
可表示为{0,1,2,3,…,100}.
几点说明
3.无限集有时也可用列举法表示.
例如,自然数集N可表示为.
几点说明
几点说明
4.只含一个元素的集合{}也是一个集合, 要将它与它的元素加以区别,事实上, ∈{}.
二、描述法
【思考与讨论】
以下集合用列举法表示方便吗 如果不方便,你觉得可以怎样表示
（1）满足 x > 3 的所有数组成的集合A;
（2）所有有理数组成的集合Q.
（1）集合A表示为{x | x 是大于3的数}或{x | x >3},
即A={x |x 是大于3的数}或 A ={ x| x>3}.
（2）集合 Q 表示为 Q ={x| x是两个整数的商(分母不为0)}.
一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质 p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)称为集合 A 的一个特征性质.
此时,集合A可以用它的特征性质 p(x) 表示为 : {x | p(x)}.
这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称为描述法.
例如:
（1）“一组对边平行且相等的四边形”是平行四边形的一个特征性质,因此所有平行四边形组成的集合可以表示为{ x | x 是一组对边平行且相等的四边形}.
（2）所有能被3整除的整数组成的集合,可以用描述法表示为{ x | x = 3n , n∈Z }.
(3) 所有被3除余1的自然数组成的集合可以表示为
{x|x=3n+1,n∈N};
也可表示为{x∈N | x=3n+1,n∈Z }.
这就是说, 集合: {x | p(x)}中所有在另一个集合 I 中的元素组成的集合,可以表示为{x∈ I | p(x) }.
例1. 用适当的方法表示下列集合:
（1）方程 x(x 1) =0 的所有解组成的集合A;
（2）平面直角坐标系中,第一象限内所有点组成的集合B.
思考: 判断A与B是有限集还是无限集,
由此思考该选用哪种方法表示它们
解析:
(1)因为0和1是方程 x(x 1)=0的解,而且这个方程只有两个解,所以可以列举法表示,即 A ={ 0,1}.
(2)因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零,因此可以用描述法表示,即 B={(x , y) | x > 0 , y > 0}.
三、区间及其表示
习惯上 , 如果a < b,则集合{ x | a ≤ x ≤ b}可简写为:
[a, b] ，并称为闭区间.
例如: 集合{x | 1 ≤ x ≤ 2 }可简写为闭区间[1, 2].
类似地,
如果a < b, 集合{x | a < x < b}可简写为 (a , b)，并称为开区间；集合{x | a ≤ x < b }可简写为[a, b)，集合{x | a < x ≤ b}可简写为(a , b]，并都称为半开半闭区间.
上述区间中，a、b分别称为区间的左、右端点，b a称为区间的长度.
区间可以用数轴形象地表示.例如，区间[2,1)可用下图表示,注意图中 2处的点是实心点，而1处的点是空心点.
如果用“+∞”表示“正无穷大”，用“－∞”表示“负无穷大”，则：
实数集R可表示为区间(－∞ , +∞) ;
集合{ x | x ≥ a }可表示为区间[a , +∞) ;
集合{ x | x > a }可表示为区间( a , +∞) ;
集合{ x | x ≤ a }可表示为区间( －∞ , a] ;
集合{ x | x < a }可表示为区间( －∞ , a) .
类似地,上述区间也可用数轴来形象地表示.
例如: 区间 [ 7 ,+∞ )可以用下图表示为
例2. 用区间表示不等式 2x 3 > x的所有解组成的集合A.
解:由不等式 2x 3 > x,可知 x > 3,所以: A= ( 3, +∞).
例题
例题
例3.用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程的所有实数根组成的集合;
(3)由1～20以内的所有质数组成的集合.
例题
例3.用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
解析: 根据自然数的定义可以容易写出来,
应注意给集合一个名字,用大写英文字母表示即可.
设小于10的所有自然数组成的集合为,
那么＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
例题
例3.用列举法表示下列集合:
(2)方程 的所有实数根组成的集合；
解析: 方程 的解为0,1. 这两个解都属于实数.
设方程的所有实数根组成的集合为A,
那么A＝{0,1}.
例题
例3.用列举法表示下列集合：
(3)由1～20以内的所有质数组成的集合.
解析：此为概念题,不难写出. 设由1～20以内的所有质数组成的集合为B,那么B＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.
归纳总结
对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合,可采用列举法. 应用列举法时要注意:
① 元素之间用“,”而不是用“、”隔开;
② 元素不能重复.
例题
例4.用描述法表示不等式x＜x6的解集为________.
解析：
解不等式即可得解x＜3,写成集合形式为{ x | x ＜ 3}.
答案为{ x | x ＜3}.
例题
例5.用适当的方法表示下列集合.
(1)方程 x( x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；
(3)不等式x－2＞6的解的集合；
(4)大于0.5且小于6的自然数构成的集合.
例题
例5.用适当的方法表示下列集合.
(1)方程 x( x2＋2x＋1)＝0的解集；
解析：∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和1,
∴ 解集为{0, 1}.
例题
例5.用适当的方法表示下列集合.
(2)在自然数集内,小于1000的奇数构成的集合;
解析：要掌握奇数的定义,此题为三个限制条件,
应不重不漏地写出 { x | x＝2n＋1, 且 x ＜1000 , n∈N}.
例题
例5.用适当的方法表示下列集合.
(3)不等式的解的集合;
解析:由于解有无限个, 用描述法,
可表示为{ x | x ＞ 8 }.
例题
例5.用适当的方法表示下列集合.
(4)大于0.5且小于6的自然数构成的集合.
解析:根据题意容易写出集合,
可用列举法表示为:{1,2,3,4,5}.
课堂小结
1.集合的三种表示法:列举法、描述法、区间;
2.根据具体问题,选择合适的集合表示方法.
课后练习
人教B版教材第9页 练习A组3，4，5，B组2，3，4.
课后练习
人教B版教材第9页 练习A组3，4，5，B组2，3，4.
谢谢

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