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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第02讲 整式的乘法
要点一、单项式与单项式相乘
1.单项式乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其与字母连同它的指数不变，作为积的因式.
2.单项式与单项式相乘的步骤
（1）确定积的系数，积的系数等于各项系数的积;
（2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
（3）只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里.
3.单项式乘法法则的实质是乘法交换律、乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用.
特别提醒：
1.单项式与单项式相乘的结果仍是单项式；
2.只在一个单项式里含有的字母，写积时不要遗漏；
3.单项式乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用.
要点二、单项式与多项式相乘
1.单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.用字母表示为m（a+b+c）=ma+mb+mc（m,a,b,c都是单项式）.
2.单项式与多项式相乘的几何意义
大长方形的面积可以表示为p（a+b+c）；因为大长方形的面积等于三个小长方形的面积之和，所以大长方形的面积也可以表示为pa+pb+pc.所以p（a+b+c）=pa+pb+pc.
特别提醒：
1.单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同.
2.单项式与多项式相乘时，要把单项式和多项式里的每一项都相乘，不要漏乘、多乘.
要点三、多项式与多项式相乘
1.多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.用字母表示为（a+b）·（m+n）=am+bm+an+bn（m,n,a,b都是单项式）.
2.多项式与多项式相乘的几何解释
大长方形的面积可以表示为（a+b）（p+q），也可以将达长方形的面积表示为四个小长方形的面积之和，即ap+aq+bp+bq.所以（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq.
特别提醒：
1.多项式乘多项式法则的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式.
2.多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，再合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的订数之积.
3.计算结果一定要注意合并同类项.
【考点1】单项式乘以单项式
【例1】（2023下·全国·七年级专题练习）计算：
（1）； （2） ；
（3） （4）．
【变式1】（2022下·江苏徐州·七年级统考期中）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（2019下·四川成都·七年级统考期末）如果单项式与单项式的乘积为，则 ．
【考点2】单项式乘以多项式
【例2】（2023上·全国·八年级专题练习）计算下列各题．
（1）； （2）．
【变式1】（2023上·四川绵阳·八年级校联考阶段练习）若长方形的一边长为，另一边比它长，则这个长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·四川内江·七年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）已知，则代数式 ．
【考点3】多项式乘以多项式
【例3】（2023上·八年级课时练习）计算：
（1）； （2）．
【变式1】（2022下·湖南怀化·七年级统考期末）若，，则的值是（ ）
A． B．1 C．5 D．
【变式2】（2016·江苏泰州·统考一模）若，则代数式的值为 ．
【考点4】整式乘法的化简求值
【例4】（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）先化简，再求值：，其中
【变式1】（2021上·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）化简代数式结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2019下·七年级课时练习）若规定一种运算 ＝ad－bc，则化简 ＝ ．
【考点5】整式乘积中不含问题
【例5】（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）已知展开的结果中，不含和项．（，为常数）
（1）求，的值；
（2）在（）的条件下，求的值．
【变式1】（2023上·河南洛阳·八年级校考期中）的乘积中不含和项，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）若的计算结果不含和x项，则 ．
【考点6】整式乘法与面积问题
【例6】（2023上·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，长为，宽为的大长方形被分 成7块，除阴影部分的和外，其他5块空白部分是形状、大小完全相同的小长方形，且小长方形的宽为．
（1）由图可知：每个小长方形的长为______；（用含或的代数式表示）
（2）用含或的代数式表示阴影部分和的周长之和；（结果化为最简形式）
（3）当时，用含的代数式表示阴影部分与的面积之和．
【变式1】2023上·河南南阳·八年级统考期中）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的算式：（ ）

①； ②；
③； ④．
你认为其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（2023上·江苏南京·七年级校考阶段练习）装裱在我国具有悠久的历史和鲜明的民族特色，是我国特有的一种保护和美化书画以及碑帖的技术．如图，整个画框的长分米，宽为分米，中间部分是长方形的画心，长和宽均是分米，则画心外阴影部分面积是 平方米．
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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第02讲 整式的乘法
要点一、单项式与单项式相乘
1.单项式乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其与字母连同它的指数不变，作为积的因式.
2.单项式与单项式相乘的步骤
（1）确定积的系数，积的系数等于各项系数的积;
（2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
（3）只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里.
3.单项式乘法法则的实质是乘法交换律、乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用.
特别提醒：
1.单项式与单项式相乘的结果仍是单项式；
2.只在一个单项式里含有的字母，写积时不要遗漏；
3.单项式乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用.
要点二、单项式与多项式相乘
1.单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.用字母表示为m（a+b+c）=ma+mb+mc（m,a,b,c都是单项式）.
2.单项式与多项式相乘的几何意义
大长方形的面积可以表示为p（a+b+c）；因为大长方形的面积等于三个小长方形的面积之和，所以大长方形的面积也可以表示为pa+pb+pc.所以p（a+b+c）=pa+pb+pc.
特别提醒：
1.单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同.
2.单项式与多项式相乘时，要把单项式和多项式里的每一项都相乘，不要漏乘、多乘.
要点三、多项式与多项式相乘
1.多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.用字母表示为（a+b）·（m+n）=am+bm+an+bn（m,n,a,b都是单项式）.
2.多项式与多项式相乘的几何解释
大长方形的面积可以表示为（a+b）（p+q），也可以将达长方形的面积表示为四个小长方形的面积之和，即ap+aq+bp+bq.所以（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq.
特别提醒：
1.多项式乘多项式法则的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式.
2.多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，再合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的订数之积.
3.计算结果一定要注意合并同类项.
【考点1】单项式乘以单项式
【例1】（2023下·全国·七年级专题练习）计算：
（1）； （2） ；
（3） （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可；
（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可；
（3）根据同底数幂乘法的逆运算和积的乘方的逆运算法则求解即可；
（4）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点拨】本题主要考查了单项式乘单项式，积的乘方，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式1】（2022下·江苏徐州·七年级统考期中）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则化简求出答案即可．
解：．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了单项式乘以单项式，正掌握运算法则是解题关键．
【变式2】（2019下·四川成都·七年级统考期末）如果单项式与单项式的乘积为，则 ．
【答案】-5
【分析】根据已知条件可求得，约分可得，根据单项式相乘的原则：底数不变，指数相加可得求解即可.
解：单项式与单项式的乘积为，即
两边约分后可得
根据底数不变，指数相加原则可得
可求得.
故答案为-5.
【点拨】此题考查单项式乘单项式，解题关键在于掌握运算法则.
【考点2】单项式乘以多项式
【例2】（2023上·全国·八年级专题练习）计算下列各题．
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
（1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算；
（2）先根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算，再合并同类项．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式1】（2023上·四川绵阳·八年级校联考阶段练习）若长方形的一边长为，另一边比它长，则这个长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了整式乘法的运用，熟练掌握长方形的面积公式以及整式乘法的运算法则是解题的关键．
解：由题意得，长方形的另一边长为：，
所以长方形的面积为：
，故A正确．
故选：A．
【变式2】（2023上·四川内江·七年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）已知，则代数式 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，求代数式的值．先计算乘法，再合并，然后把代入，即可求解．
解：∵，
∴
故答案为：
【考点3】多项式乘以多项式
【例3】（2023上·八年级课时练习）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据多项式与多项式的乘法法则计算；
（2）根据多项式与多项式的乘法法则计算．
解：（1）
（2）
【点拨】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
【变式1】（2022下·湖南怀化·七年级统考期末）若，，则的值是（ ）
A． B．1 C．5 D．
【答案】D
【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后再代值求解即可．
解：，
∵，，
∴原式=；
故选D．
【点拨】本题主要考查多项式乘多项式的化简求值，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键．
【变式2】（2016·江苏泰州·统考一模）若，则代数式的值为 ．
【答案】0
【分析】利用多项式乘多项式法则进行计算，求出的值，再代入代数式进行计算即可．
解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点拨】本题考查代数式求值．熟练掌握多项式乘多项式法则，正确进行计算，是解题的关键．
【考点4】整式乘法的化简求值
【例4】（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】先根据多项式乘以单项式，单项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据非负数的性质求出m、n的值，最后代值计算即可．
解：
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴原式
．
【点拨】本题主要考查了整式的化简求值，正确计算是解题的关键．
【变式1】（2021上·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）化简代数式结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】按照多项式乘多项式的法则展开，合并同类项即可．
解：
故选：A
【点拨】本题考查了多项式的乘法，关键是掌握多项式乘多项式的法则，注意去括号时，若括号前是“ ”，去掉括号后括号里的各项一定要变号．
【变式2】（2019下·七年级课时练习）若规定一种运算 ＝ad－bc，则化简 ＝ ．
【答案】-5x
【分析】根据新运算 =ad-bc，可知该运算式表示了两对角相乘的差，注意a、b、c、d的位置，再利用完全平方公式和合并同类项计算即可.
解：根据题目的新规定知，
=（x-1）x-（x+4）x
=x2-x-x2-4x
=-5x.
故答案：-5x.
【点拨】本题考查了多项式的化简，解题的关键是根据题目信息列出算式.
【考点5】整式乘积中不含问题
【例5】（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）已知展开的结果中，不含和项．（，为常数）
（1）求，的值；
（2）在（）的条件下，求的值．
【答案】（1），；（2），．
【分析】（）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意得出关于的方程，解之即可求解；
（）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，再代入值计算即可；
本题考查了多项式乘多项式不含某项问题、多项式乘多项式化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
（1）解：原式，
，
∵展开的结果中，不含和项，
∴，，
∴，；
（2）解：
，
，
把，代入得，
原式，
，
．
【变式1】（2023上·河南洛阳·八年级校考期中）的乘积中不含和项，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式的法则先把要求的式子进行整理，再根据多项式展开后不含和的项，得出，求出的值即可．
解：
∴，
解得：
故选：C．
【变式2】（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）若的计算结果不含和x项，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、无关项等知识点，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
先利用多项式乘以多项式法则计算，合并同类项后，根据结果不含和x项，即可求出m与n的值，最后求出的值即可．
解：,
∵计算结果不含和x项，
∴，解得：．
∴．
故答案为．
【考点6】整式乘法与面积问题
【例6】（2023上·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，长为，宽为的大长方形被分 成7块，除阴影部分的和外，其他5块空白部分是形状、大小完全相同的小长方形，且小长方形的宽为．
（1）由图可知：每个小长方形的长为______；（用含或的代数式表示）
（2）用含或的代数式表示阴影部分和的周长之和；（结果化为最简形式）
（3）当时，用含的代数式表示阴影部分与的面积之和．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算；
（1）观察图形，由大长方形的长等于小长方形的宽的3倍与小长方形的长的和计算即可．
（2）设阴影A的长为m，宽为n，阴影B的长为p，宽为q，根据，，，，根据题意计算即可．
（3）设阴影A的长为m，宽为n，阴影B的长为p，宽为q，根据，，，，根据题意计算即可．
解：（1）根据题意，得，
故，
故答案为：．
（2）设阴影A的长为m，宽为n，阴影B的长为p，宽为q，根据，，，，
∴阴影部分的周长为，
阴影部分的周长为，
∴阴影部分和的周长之和为．
（3）设阴影A的长为m，宽为n，阴影B的长为p，宽为q，根据，，，，
∴阴影部分的面积为，
阴影部分的面积为，
∴阴影部分和的面积之和为．
当时，．
【变式1】2023上·河南南阳·八年级统考期中）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的算式：（ ）

①； ②；
③； ④．
你认为其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】此题考查了多项式乘以多项式的几何意义，利用面积正确列出代数式是解本题的关键．
①大长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式，表示即可；
②长方形的面积等于左边，中间及右边的长方形面积之和，表示即可；
③长方形的面积等于上下两个长方形面积之和，表示即可；
④长方形的面积由6个长方形的面积之和，表示即可．
解：①根据长方形的面积公式，得，故①正确；
②根据长方形的面积等于左边，中间及右边的长方形面积之和，得，故②正确；
③根据长方形的面积等于上下两个长方形面积之和，得，故③正确；
④根据长方形的面积由6个长方形的面积之和，得，故④正确，
则正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
【变式2】（2023上·江苏南京·七年级校考阶段练习）装裱在我国具有悠久的历史和鲜明的民族特色，是我国特有的一种保护和美化书画以及碑帖的技术．如图，整个画框的长分米，宽为分米，中间部分是长方形的画心，长和宽均是分米，则画心外阴影部分面积是 平方米．
【答案】
【分析】本题考查整式乘法在几何图形中的面积问题，灵活根据整式乘法运算表示出各部分面积是解题关键．阴影部分的面积等于大长方形的面积减去正方形的面积，列出代数式，化简求值即可．
解：由题可知整个长方形的面积为∶
平方分米，
中间正方形的面积为：
平方分米，
阴影部分面积为：
平方分米；
将代入上述结果得∶
平方分米平方米；
故答案为∶．
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